結晶光学

Sub-branch of Optical Physics

結晶光学は、異方性媒質、すなわち光の伝播方向によって光の挙動が異なる媒質（結晶など）における光の挙動を記述する光学の一分野です。屈折率は組成と結晶構造の両方に依存し、グラッドストン・デールの関係式を用いて計算できます。結晶は多くの場合、本来異方性を有しており、一部の媒質（液晶など）では、外部電場を印加することで異方性を誘起することが可能です。

等方性媒体

ガラスなどの典型的な透明媒体は等方性であり、これは光が媒体中をどの方向に進んでも同じように振る舞うことを意味します。誘電体におけるマクスウェル方程式を用いると、これは変位電場Dと電場Eの間に次の関係を与えます。

${\displaystyle \mathbf {D} =\varepsilon _{0}\mathbf {E} +\mathbf {P} }$

ここで、ε ₀は自由空間の誘電率、 Pは電気分極（媒質中に存在する電気双極子モーメントに対応するベクトル場）である。物理的には、分極場は光の電場に対する媒質の応答とみなすことができる。

電気感受性

等方性で線形の媒体では、この分極場Pは電場Eに比例し平行になります。

${\displaystyle \mathbf {P} =\chi \varepsilon _{0}\mathbf {E} }$

ここで、χは媒質の電気感受性である。したがって、 DとEの関係は次のようになる。

${\displaystyle \mathbf {D} =\varepsilon _{0}\mathbf {E} +\chi \varepsilon _{0}\mathbf {E} =\varepsilon _{0}(1+\chi )\mathbf {E} =\varepsilon \mathbf {E} }$

どこ

${\displaystyle \varepsilon =\varepsilon _{0}(1+\chi )}$

は媒体の誘電率である。1+χの値は媒体の比誘電率と呼ばれ、非磁性媒体の屈折率 nと次の関係がある。

${\displaystyle n={\sqrt {1+\chi }}}$

異方性媒体

結晶のような異方性媒質においては、分極場P は必ずしも光電場Eと一直線になるとは限りません。物理的な観点から見ると、これは、電場によって媒質中に誘起される双極子が、結晶の物理的構造に関連した特定の方向を持つと考えることができます。これは次のように表すことができます。

${\displaystyle \mathbf {P} =\varepsilon _{0}{\boldsymbol {\chi }}\mathbf {E} .}$

ここでχは前述のような数値ではなく、階数2のテンソル、すなわち電気感受率テンソルです。3次元の成分で表すと、次のようになります。

${\displaystyle {\begin{pmatrix}P_{x}\\P_{y}\\P_{z}\end{pmatrix}}=\varepsilon _{0}{\begin{pmatrix}\chi _{xx}&\chi _{xy}&\chi _{xz}\\\chi _{yx}&\chi _{yy}&\chi _{yz}\\\chi _{zx}&\chi _{zy}&\chi _{zz}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}E_{x}\\E_{y}\\E_{z}\end{pmatrix}}}$

または合計規則を使用する:

${\displaystyle P_{i}=\varepsilon _{0}\sum _{j\in \{x,y,z\}}\chi _{ij}E_{j}\quad .}$

χはテンソルなので、 Pは必ずしもEと共線的であるとは限りません。

非磁性体および透明体では、χ _ij = χ _ji、すなわちχテンソルは実対称である。^[1]スペクトル定理によれば、適切な座標軸を選択し、 χ _xx、 χ _yy、 χ _zzを除くすべての成分をゼロにすることで、テンソルを対角化することができる。これにより、以下の関係式が得られる。

${\displaystyle P_{x}=\varepsilon _{0}\chi _{xx}E_{x}}$

${\displaystyle P_{y}=\varepsilon _{0}\chi _{yy}E_{y}}$

${\displaystyle P_{z}=\varepsilon _{0}\chi _{zz}E_{z}}$

この場合、x、y、z方向は媒質の主軸と呼ばれます。χ​​テンソルのすべての要素が実数である場合、これらの軸は直交することに注意してください。これは、屈折率がすべての方向で実数である場合に相当します。

したがって、 DとEもテンソルによって関連していることがわかります。

${\displaystyle \mathbf {D} =\varepsilon _{0}\mathbf {E} +\mathbf {P} =\varepsilon _{0}\mathbf {E} +\varepsilon _{0}{\boldsymbol {\chi }}\mathbf {E} =\varepsilon _{0}(I+{\boldsymbol {\chi }})\mathbf {E} =\varepsilon _{0}{\boldsymbol {\varepsilon }}\mathbf {E} .}$

ここでεは比誘電率テンソルまたは誘電率テンソルとして知られています。したがって、媒質の屈折率もテンソルでなければなりません。Z主軸に沿って伝播する光波を考えてみましょう。この光波の電界はX軸と平行です。この光波は磁化率 χ _xxと誘電率 ε _xxを持ちます。したがって、屈折率は次のようになります。

${\displaystyle n_{xx}=(1+\chi _{xx})^{1/2}=(\varepsilon _{xx})^{1/2}.}$

y方向に偏光した波の場合：

${\displaystyle n_{yy}=(1+\chi _{yy})^{1/2}=(\varepsilon _{yy})^{1/2}.}$

そのため、これらの波は2つの異なる屈折率を持ち、異なる速度で伝播します。この現象は複屈折と呼ばれ、方解石や石英などの一般的な結晶で発生します。

χ _xx = χ _yy ≠ χ _zzの場合、結晶は一軸性と呼ばれます。（結晶の光軸を参照してください。） χ _xx ≠ χ _yyかつ χ _yy ≠ χ _{zzの場合、結晶は二軸}性と呼ばれます。一軸性結晶は、x または y 方向の偏光に対する「常屈折率」（ n _{o ）と、 z 方向の偏光に対する「異常屈折率」（} n _e）の 2 つの屈折率を示します。一軸性結晶は、 n _e > n _{oの場合に「正」、 n e} < n _oの場合に「負」です。軸に対してある角度で偏光した光は、異なる偏光成分に対して異なる位相速度を示すため、単一の屈折率で説明することはできません。これは、多くの場合、屈折率楕円体として表されます。

その他の影響

電気光学効果などの特定の非線形光学現象は、外部電場を印加すると、媒質の誘電率テンソルに（最低次まで）電場の強度に比例した変化を引き起こします。これにより媒質の主軸が回転し、媒質を通過する光の挙動が変化します。この効果は光変調器の製造に利用できます。

一部の物質は磁場に対して、複素エルミート誘電テンソルを示すことがあります。これは磁気回転効果または磁気光学効果と呼ばれます。この場合、主軸は複素数値ベクトルとなり、楕円偏光に対応し、時間反転対称性が破れることがあります。これは、例えば光アイソレータの設計に利用できます。

エルミートでない誘電テンソルは複素固有値を生じ、これは特定の周波数で利得または吸収を持つ材料に対応します。

参照

• 複屈折
• 光学結晶
• 指数楕円体
• 光学回転
• プリズム

参考文献

1. Amnon Yariv, Pochi Yeh. (2006). 現代通信におけるフォトニクス・光エレクトロニクス（第6版）. オックスフォード大学出版局. pp. 30-31.

外部リンク

• 仮想偏光顕微鏡

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