キューポラ（幾何学）

キューポラのセット
キューポラのセット
	五角形の例
顔	n個の三角形、; n 個の正方形、; 1 個のn角形、; 1 個の2 個のn角形
エッジ	5 n
頂点	3 n
シュレーフリ記号	{ n } \|\| t{ n }
対称群	C n v , [1, n ], (* nn )、2 n次
回転グループ	C n , [1, n ] + , ( nn )、n次
二重多面体	半二等分台形
プロパティ	凸面、角柱状

幾何学において、キューポラとは、 2つの多角形（一方（底辺）は他方の2倍の辺を持つ）を、二等辺三角形と長方形を交互に帯状に繋いで形成される立体である。三角形が正三角形で長方形が正方形であり、底辺とその反対面が正多角形である場合、三角形、正方形、五角形のキューポラはすべてジョンソン立体に数えられ、それぞれ立方八面体、菱形立方八面体、菱形二十十二面体の断面をとることで形成される。キューポラは角柱体のサブクラスである。

キューポラは、交互の頂点を結合することによってポリゴンの 1 つが半分に折りたたまれたプリズムとして見ることもできます。

キューポラには拡張シュレーフリ記号 ${n} || t{n$ }が与えられ $、$ 正多角形 ${n}$ とその切断された平行線 $t{n}$ または ${2$ $n$ } が結合された形を表します $。$

キューポラの双対には、 $n$ 面台形と $2 つの n$ 面ピラミッドの半分を溶接したような形状が含まれます。

例

凸型キューポラのファミリー
v
t
e
n	2	3	4	5	6	7	8
シュレーフリ記号	${2} \|\| t{2}$	${3} \|\| t{3}$	${4} \|\| t{4}$	${5} \|\| t{5}$	${6} \|\| t{6}$	${7} \|\| t{7}$	${8} \|\| t{8}$
キューポラ	斜めのキューポラ	三角形のキューポラ	正方形のキューポラ	五角形のキューポラ	六角形のキューポラ（平）	七角形のキューポラ（非正面）	八角形のキューポラ（非正面）
関連する均一多面体	菱面体	立方八面体	菱形立方八面体	菱形十二面体	菱形六角形のタイル張り	菱形三角七角形のタイル張り	菱形三角形のタイル張り

三角形、正方形、五角形のキューポラは、正三角形の面を持つ唯一の非自明な凸キューポラです。「六角形キューポラ」は平面図形であり、三角柱は2次の「キューポラ」（線分と正方形のキューポラ）と見なすことができます。しかし、より高次の多角形のキューポラは、不規則な三角形や長方形の面を持つ場合があります。

頂点の座標

キューポラの定義では、底面（または底面の反対側の辺、つまり上面とも呼ばれる）が正多角形である必要はありませんが、キューポラが最大の対称性 $C n v$ を持つ場合を考えると便利です。その場合、上面は正 $n$ 角形であり、底面は正 $2 n$ 角形、または $2$ つの異なる辺の長さが交互に並び、正 2 n 角形と同じ角度を持つ 2 n 角形の $いずれ$ $かに$ $なり$ ます。底面が $xy平面にあり、上面が$ $xy$ 平面に平行な平面にあるように座標系を固定すると便利です。 $z$ 軸は $n$ 倍軸であり、鏡面は $z$ 軸を通り、底面の辺を二等分します。また、鏡面は上面多角形の辺または角度、あるいはその両方を二等分します。 ( $n$ が偶数の場合、ミラー平面の半分は上面ポリゴンの辺を二等分し、残りの半分は角度を二等分します。n が奇数の場合 $、$ 各ミラー平面は上面ポリゴンの 1 つの辺と 1 つの角度を二等分します。) 底面の頂点は⁠ ⁠ $V_{1}$ から⁠ ⁠ $V_{2n},$ まで指定でき、上面ポリゴンの頂点は⁠ ⁠ $V_{2n+1}$ から⁠ ⁠ $V_{3n}.$ まで指定できます。これらの規則により、頂点の座標は次のように記述できます。 ${\begin{array}{rllcc}V_{2j-1}:&{\biggl (}r_{b}\cos \left({\frac {2\pi (j-1)}{n}}+\alpha \right),&r_{b}\sin \left({\frac {2\pi (j-1)}{n}}+\alpha \right),&0{\biggr )}\\[2pt]V_{2j}:&{\biggl (}r_{b}\cos \left({\frac {2\pi j}{n}}-\alpha \right),&r_{b}\sin \left({\frac {2\pi j}{n}}-\alpha \right),&0{\biggr )}\\[2pt]V_{2n+j}:&{\biggl (}r_{t}\cos {\frac {\pi j}{n}},&r_{t}\sin {\frac {\pi j}{n}},&h{\biggr )}\end{array}}$

$j = 1, 2, ..., n$ の場合。

多 $V_{1}V_{2}V_{2n+2}V_{2n+1},$ 角形などは長方形なので、これは⁠ ⁠の値に制約を課します。距離 $r_{b},r_{t},\alpha .$ は次のようになります。 ${\bigl |}V_{1}V_{2}{\bigr |}$ ${\begin{aligned}&r_{b}{\sqrt {\left[\cos \left({\tfrac {2\pi }{n}}-\alpha \right)-\cos \alpha \right]^{2}+\left[\sin \left({\tfrac {2\pi }{n}}-\alpha \right)-\sin \alpha \right]^{2}}}\\[5pt]=\ &r_{b}{\sqrt {\left[\cos ^{2}\left({\tfrac {2\pi }{n}}-\alpha \right)-2\cos \left({\tfrac {2pi}{n}}-\alpha \right)\cos \alpha +\cos ^{2}\alpha \right]+\left[\sin ^{2}\left({\tfrac {2\pi }{n}}-\alpha \right)-2\sin \left({\tfrac {2\pi }{n}}-\alpha \right)\sin \alpha +\sin ^{2}\alpha \right]}}\\[5pt]=\ &r_{b}{\sqrt {2\left[1-\cos \left({\tfrac {2\pi }{n}}-\alpha \right)\cos \alpha -\sin \left({\tfrac {2\pi }{n}}-\alpha \right)\sin \alpha \right]}}\\[5pt]=\ &r_{b}{\sqrt {2\left[1-\cos \left({\tfrac {2\pi }{n}}-2\alpha \right)\right]}}\end{aligned}}$

距離は ${\bigl |}V_{2n+1}V_{2n+2}{\bigr |}$ ${\begin{aligned}&r_{t}{\sqrt {\left[\cos {\tfrac {\pi }{n}}-1\right]^{2}+\sin ^{2}{\tfrac {\pi }{n}}}}\\[5pt]=\ &r_{t}{\sqrt {\left[\cos ^{2}{\tfrac {\pi }{n}}-2\cos {\tfrac {\pi }{n}}+1\right]+\sin ^{2}{\tfrac {\pi }{n}}}}\\[5pt]=\ &r_{t}{\sqrt {2\left[1-\cos {\tfrac {\pi }{n}}\right]}}\end{aligned}}$

これらは等しく、この共通辺を $s$ とすると、 ${\begin{aligned}r_{b}&={\frac {s}{\sqrt {2\left[1-\cos \left({\tfrac {2\pi }{n}}-2\alpha \right)\right]}}}\\[4pt]r_{t}&={\frac {s}{\sqrt {2\left[1-\cos {\tfrac {\pi }{n}}\right]}}}\end{aligned}}$

これらの値は、前に指定した頂点の座標の式に挿入されます。

星型キューポラ

星のキューポラの家族
v
t
e
4	5	7	8	$.mw-parser-output .frac{white-space:nowrap}.mw-parser-output .frac .num,.mw-parser-output .frac .den{font-size:80%;line-height:0;vertical-align:super}.mw-parser-output .frac .den{vertical-align:sub}.mw-parser-output .sr-only{border:0;clip:rect(0,0,0,0);clip-path:polygon(0px 0px,0px 0px,0px 0px);height:1px;margin:-1px;overflow:hidden;padding:0;position:absolute;width:1px}n ⁄ d$
{4/3} 交差した四角いキューポラ（逆さま）	{5/3} 交差五芒星のキューポラ（逆さま）	{7/3} 七芒星形のキューポラ	{8/3} 八芒星形のキューポラ	3
—	—	{7/5} 交差した七芒星形のキューポラ（逆さま）	{8/5} 交差した八芒星形のキューポラ	5

星状カップロイドのファミリー
v
t
e
3	5	7	$n ⁄ d$
{3/2} 交差三角形カップロイド（逆さま）	{5/2} 五芒星のカップロイド	{7/2} ヘプタグラムカップロイド	2
—	{5/4} 交差五角形カップロイド（逆さま）	{7/4} 交差七芒星状カップロイド	4

$星型キューポラは、6/5 <$ $n$ $/$ $d$ $< 6$ かつ $d$ が奇数である任意の上底 ${n / d}$ に対して存在する。これらの限界では、キューポラは平面図形に収束する。これらの限界を超えると、三角形と正方形は、2 つの底辺多角形の間の距離を張ることができなくなる（非正二等辺三角形と非正方形長方形ではまだ作ることができる）。d が偶数の場合 $、$ 底底 ${2$ $n$ $/$ $d$ $}$ は退化するため、この退化した面を引き抜き、三角形と正方形を底底（その二重辺を介して）ではなくここで（単辺を介して）互いに接続することで、キューポロイドまたは半キューポラを形成できる。特に、四半六面体は ${3/2}$ -キューポロイドと見ることができる。

キューポラはすべて方向付け可能ですが、キューポロイドはすべて方向付けできません。キューポロイドの場合、 $n / d > 2$ の場合、三角形と正方形は（単一の）底面全体を覆うことはなく、この底面 ${n / d}$ 角形には小さな膜が配置され、単に空間を覆います。したがって、上図の ${5/2}-キューポロイド$ と ${7/2}-$ キューポロイドには膜（塗りつぶされていない）がありますが、 ${5/4}$ -キューポロイドと ${7/4}-$ キューポロイドには膜がありません。

${$ $n$ $/$ $d$ $}$ -キューポラまたはキューポロイドの高さ $h$ は、次の式で与えられます。特に、 $n$ $/$ $d$ $= 6$ および $n$ $/$ $d$ $= 6/5$ の限界では $h$ $= 0$ となり、 $n$ $/$ $d$ $= 2$ （三角形が垂直な三角柱である対角キューポラ）でhが最大になります。[ $1$ ] ^[^2] $h={\sqrt {1-{\frac {1}{4\sin ^{2}\left({\frac {\pi d}{n}}\right)}}}}.$

上の画像では、星のキューポラは面を識別しやすくするために、統一された配色で表示されています。底辺 ${n / d}$ 角形は赤、底辺 ${2n / d} 角形$ は黄色、正方形は青、三角形は緑です。キューポロイドは底辺 ${n / d}$ 角形が赤、正方形は黄色、三角形は青です。これは底辺 ${2n / d}$ 角形が削除されているためです。

ハイパーキューポラ

ハイパーキューポラまたは多面体キューポラは、キューポラに類似した凸型不均一多面体（ここでは四次元図形）の一群である。それぞれの底面はプラトン立体であり、その展開はである。^[3]

名前	四面体キューポラ		立方体のキューポラ		八面体キューポラ		十二面体キューポラ		六角形のタイル張りのキューポラ
シュレーフリ記号	${3,3} \|\| rr{3,3}$		${4,3} \|\| rr{4,3}$		${3,4} \|\| rr{3,4}$		${5,3} \|\| rr{5,3}$		${6,3} \|\| rr{6,3}$
セグメントコーラ指数^[3]	K4.23		K4.71		K4.107		K4.152
円周半径	$1$		${\textstyle {\sqrt {\frac {3+{\sqrt {2}}}{2}}}\approx 1.485634}$		${\textstyle {\sqrt {2+{\sqrt {2}}}}\approx 1.847759}$		${\textstyle 3+{\sqrt {5}}\approx 5.236068}$
画像
キャップセル
頂点	16		32		30		80		∞
エッジ	42		84		84		210		∞
顔	42	24個の三角形と 18個の正方形	80	32個の三角形と 48個の正方形	82	40個の三角形 42個の正方形	194	80個の三角形、 90個の正方形、 24個の五角形	∞
細胞	16	正四面体1 個、三角柱 4 個、三角柱6 個、三角錐4 個、直方八面体1個	28	立方体 1個、四角柱 6個、三角柱12個、三角錐 8個、菱形八面体 1個	28	八面体 1個、三角柱 8個、三角柱12個、四角錐 6個、菱形八面体 1個	64	正十二面体 1個、五角柱 12個、三角柱30個、三角錐20個、菱形十二面体 1個	∞	1 六角形のタイル張り ∞ 六角柱 ∞ 三角柱 ∞ 三角錐 1 菱形六角形のタイル張り
関連する均一な多孔菌	ランシネーテッド5セル		ランシネーテッド・テッセラクト		ランシネートされた24細胞		ランシネート120セル		ランシネーテッド六角形タイル張りハニカム

参照

参考文献

^ "cupolas". www.orchidpalms.com . 2018年4月21日閲覧。
^ "semicupolas". www.orchidpalms.com . 2018年4月21日閲覧。
^ ab Convex Segmentochora リチャード・クリツィング博士、「Symmetry: Culture and Science」第11巻、第1-4号、139-181ページ、2000年

ジョンソン、NW. 正則面を持つ凸多面体、 Can. J. Math. 18, 169–200, 1966.

外部リンク

ワイスタイン、エリック・W.「キューポラ」。マスワールド。
セグメントトープ

[1] "cupolas". www.orchidpalms.com . 2018年4月21日閲覧。

[2] "semicupolas". www.orchidpalms.com . 2018年4月21日閲覧。

[Segmentochora-3] Convex Segmentochora リチャード・クリツィング博士、「Symmetry: Culture and Science」第11巻、第1-4号、139-181ページ、2000年

v t e ジョンソンソリッド
ピラミッド、キューポラ、円形塔	四角錐五角錐三角形のキューポラ四角いキューポラ五角形のキューポラ五角形の円形建築
改良ピラミッド	細長い三角錐細長い四角錐細長い五角錐回転細長い四角錐回転細長い五角錐三角錐五角両錐細長い三角錐細長い四角錐細長い五角両錐回転長四角錐
改良されたキューポラとロタンダ	細長い三角形のキューポラ細長い四角いキューポラ細長い五角形のキューポラ細長い五角形の円形建築回転細長い三角形のキューポラ回転長方形のキューポラ回転細長い五角形のキューポラ回転細長い五角形の円形建築ギロビファスティギウム三角形の正立キューポラ正方形のオルソビキューポラ正方形のジャイロキューポラ五角形の正二円錐五角形のジャイロビキューポラ五角形の正キュポラロトゥンダ五角形のジャイロキュポラロトゥンダ五角形のオルソビロトゥンダ細長い三角形の正立円錐細長い三角形のジャイロビキューポラ細長い四角形のジャイロキューポラ細長い五角形の正二円錐細長い五角形のジャイロビキューポラ細長い五角形の正キュポラロトゥンダ細長い五角形のジャイロキュポラロトゥンダ細長い五角形のオルソビロトゥンダ細長い五角形のジャイロビロトゥンダ回転細長い三角形の双キューポラ回転細長い正方形の双キューポラ回転細長い五角形の双円錐回転細長い五角形のキューポラロタンダ回転細長い五角形のビロタンダ
拡張プリズム	拡張三角柱双増三角柱三角柱拡張五角柱双増五角柱拡張六角柱パラビ拡張六角柱メタビ拡張六角柱三角柱六角柱
修正プラトン立体	拡大十二面体パラビオーグメント十二面体メタビオーグメント十二面体三角正十二面体メタビディミニッシュドイコサヘドロン三減二十面体増三減二十面体
修正アルキメデス立体	拡大切頂四面体拡大された切頂立方体双増長切形立方体拡大切頂十二面体パラビオーグメント切頂十二面体メタビオーグメント切頂十二面体三角錐台形十二面体回転菱形十二面体双二面体菱形十二面体メタビギレート菱形十二面体三面体菱形十二面体縮小菱形十二面体パラギレート縮小菱形十二面体メタ回旋縮小菱形十二面体二平方節減菱形十二面体二面体縮小菱形十二面体メタビディミニッシュド・ロンビコシドデカヘドロン回転する二減菱形十二面体三減菱形十二面体
その他の基本固体	スナブ二蝶形骨スナブスクエアアンチプリズム蝶冠状骨増大した蝶形冠スフェノメガコロナヘベスフェノメガコロナ蝶形骨離開帯ビルナナビロトゥンダ三角形のヘベスフェノロトゥンダ
（ソート可能な表であるジョンソン立体の一覧も参照）

キューポラのセット
五角形の例
顔	$n個の$ 三角形、 $n 個の$ 正方形、 1 個の $n$ 角形、 1 個の $2 個の n$ 角形
エッジ	$5 n$
頂点	$3 n$
シュレーフリ記号	${n} \|\| t{n}$
対称群	$C n v, [1, n], (* nn)、$ $2$ $n$ 次
回転グループ	$C n, [1, n] +, (nn)、$ $n$ 次
二重多面体	半二等分台形
プロパティ	凸面、角柱状