Study of curves from a differential point of view
曲線の微分幾何学は、 微分積分 法 と 積分法を用いて、 平面 および ユークリッド空間 内の 滑らかな 曲線 を扱う幾何 学 の一分野です 。
多くの 特定の曲線は、 合成アプローチ を用いて徹底的に研究されてきました 。 微分幾何学は 別のアプローチを採用しています。曲線は パラメータ化された形式 で表現され、その幾何学的特性と 曲率 や 弧長などの関連する様々な量は、 ベクトル解析 を用いた 微分 と 積分 によって表現されます 。曲線を解析するために使用される最も重要なツールの1つは、 フレネ座標系 です。これは、曲線の各点で、その点の近くの曲線に「最もよく適合する」座標系を提供する移動座標系です
曲線理論は、ユークリッド空間における正則曲線には固有の幾何学がないため、 曲面理論 やその高次元一般化よりもはるかに単純で、その範囲は狭い。任意の正則曲線は弧長によって媒介変数化できる（ 自然媒介変数化）。周囲の空間について何も知らない曲線上の 理論上の点粒子 の観点から見ると 、すべての曲線は同じに見える。異なる空間曲線は、どのように曲がり、ねじれるかによってのみ区別される。定量的には、これは曲線の 曲率 と ねじれ と呼ばれる微分幾何学的不変量によって測定される。 曲線の基本定理は 、これらの不変量の知識が曲線を完全に決定することを主張している。
定義 パラメトリック C r 曲線 または C r パラメータ 化は 、 r 回 連続的に微分可能な （ つまり、 γ の成分関数が連続的に 微分可能な） ベクトル値関数 です。ここで 、、、 I は 実数 の 空でない 区間 です。パラメトリック曲線の 像 は です。の特定のサブセットは多くの異なるパラメトリック曲線の像になることができるため、 パラメトリック曲線 γ とその像 γ [ I ]は区別する必要があります。 γ ( t ) の パラメータ tは時間を表し、 γ は 空間内を移動する点の軌跡を表すものと考えることができます。 I が閉区間 [ a , b ] のとき 、 γ ( a ) は 開始 点 、 γ ( b ) は 終点 と呼ばれます 。 開始 点 と 終点 が 一致する場合（つまり、 γ ( a ) = γ ( b ) ）、 γ は閉曲線 または ループ です 。 C r ループであるためには 、関数 γ はr 回連続微分可能で、 0 ≤ k ≤ r に対して γ ( k ) ( a ) = γ ( k ) ( b ) を満たす必要があります 。 γ : I → R n {\displaystyle \gamma :I\to \mathbb {R} ^{n}} n ∈ N {\displaystyle n\in \mathbb {N} } r ∈ N ∪ { ∞ } {\displaystyle r\in \mathbb {N} \cup \{\infty \}} γ [ I ] ⊆ R n {\displaystyle \gamma [I]\subseteq \mathbb {R} ^{n}} R n {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}
パラメトリック曲線は、が 単射で ある 場合に 単純 です。γの各成分関数が 解析関数 である場合 、つまり C ω クラスである場合 に 解析的 です γ | ( a , b ) : ( a , b ) → R n {\displaystyle \gamma |_{(a,b)}:(a,b)\to \mathbb {R} ^{n}}
曲線 γ が m 次（ m ≤ r ） の正則曲線 であるとは 、
任意の t ∈ I に対して の 線型独立 部分集合
となる場合である 。特に、パラメトリック C 1 曲線 γ が正則曲線であるとは、任意の t ∈ I に対して γ ′( t ) ≠ 0 となる場合のみで ある 。 { γ ′ ( t ) , γ ″ ( t ) , … , γ ( m ) ( t ) } {\displaystyle \left\{\gamma '(t),\gamma ''(t),\ldots ,{\gamma ^{(m)}}(t)\right\}} R n {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}
再パラメトリック化と同値関係 パラメトリック曲線のイメージが与えられた場合、パラメトリック曲線にはいくつかの異なるパラメトリック化があります。微分幾何学は、特定の再パラメトリック化に対して不変なパラメトリック曲線の特性を記述することを目的としています。 すべてのパラメトリック曲線の集合上で適切な 同値関係を定義する必要があります。パラメトリック曲線の微分幾何学的特性（長さ、フレネフレーム、一般化曲率など）は再パラメトリック化に対して不変であり、したがって 同値類 自体の特性です。同値類は C r 曲線と呼ばれ、曲線の微分幾何学において研究される中心的な対象です。
2つのパラメトリック C r 曲線 とが 同値 である とは、 単射 C r 写像 φ : I 1 → I 2 が存在し、かつ γ 2 が γ 1 の 再パラメトリック化 であると言われる場合に限られ ます γ 1 : I 1 → R n {\displaystyle \gamma _{1}:I_{1}\to \mathbb {R} ^{n}} γ 2 : I 2 → R n {\displaystyle \gamma _{2}:I_{2}\to \mathbb {R} ^{n}} ∀ t ∈ I 1 : φ ′ ( t ) ≠ 0 {\displaystyle \forall t\in I_{1}:\quad \varphi '(t)\neq 0} ∀ t ∈ I 1 : γ 2 ( φ ( t ) ) = γ 1 ( t ) . {\displaystyle \forall t\in I_{1}:\quad \gamma _{2}{\bigl (}\varphi (t){\bigr )}=\gamma _{1}(t).}
再パラメータ化は、クラスC r のすべてのパラメータC r 曲線の 集合上の同値関係を定義します 。この関係の同値類は、単に C r 曲線です。
方向付けられたパラメータC r 曲線のさらに 細かい 同値関係は、 φが φ ′( t ) > 0 を 満たすことを 要求することによって定義できます
同等のパラメトリック C r 曲線は同じ像を持ち、同等の有向パラメトリック C r 曲線は同じ方向に像を横切ります。
長さと自然なパラメトリゼーション パラメトリック C 1 曲線の 長さ ℓ は次のように定義されます。 パラメトリック曲線の長さは再パラメタ化に対して不変であるため、パラメトリック曲線の微分幾何学的性質です。 γ : [ a , b ] → R n {\displaystyle \gamma :[a,b]\to \mathbb {R} ^{n}} ℓ = def ∫ a b ‖ γ ′ ( t ) ‖ d t . {\displaystyle \ell ~{\stackrel {\text{def}}{=}}~\int _{a}^{b}\left\|\gamma '(t)\right\|\,\mathrm {d} {t}.}
同様に、 γ ( a )から γ ( t ) まで の曲線の長さは t の関数として表すことができ 、 s : [ a , b ] → [0, ℓ ] は次のように定義されます
。
s ( t ) = def ∫ a t ‖ γ ′ ( x ) ‖ d x . {\displaystyle s(t)~{\stackrel {\text{def}}{=}}~\int _{a}^{t}\left\|\gamma '(x)\right\|\,\mathrm {d} {x}.}
微積分学の基本定理の最初の部分 により 、
s ′ ( t ) = ‖ γ ′ ( t ) ‖ {\displaystyle s'(t)~{=}~\left\|\gamma '(t)\right\|}
γ が正則 C 1 曲線、つまり γ'が どこでもゼロでない 場合、 s ( t ) は厳密に増加し、したがって逆関数 t ( s ) が存在します。この逆関数は定義するために使用できます。 – γ 、 γ の再パラメタ化 ：
γ ¯ ( s ) = def γ ( t ( s ) ) {\displaystyle {\bar {\gamma }}(s)~{\stackrel {\text{def}}{=}}~\gamma (t(s))}
そして、 連鎖律 と 逆関数則 により、各 s とそれに対応する t = t ( s ) について、の1次導関数は – γ γ の1次導関数と同じ方向を指す単位ベクトルです 。
γ ¯ ′ ( s ) = γ ′ ( t ) ‖ γ ′ ( t ) ‖ {\displaystyle {\bar {\gamma }}'(s)~=~{\frac {\gamma '(t)}{\left\|\gamma '(t)\right\|}}}
幾何学的には、これはs の任意の2つの値（ s 0 < s 1） について、 sが s 0から s 1 まで 移動する 距離が、 – γ から – γ （ s 0 ） まで移動する 。 – γ あるいは、tとsを時間パラメータと考えると、γ (t)と – γ (s)はどちらも同じ経路に沿った動きを表しますが、 – γ s )
Because of this, – γ arc-length parametrization natural parametrization , unit-speed parametrization . The parameter s (t )natural parameter of γ
For a given parametric curve γ
γ も C 2 関数であれば 、 s と – γ 。 連鎖律 と 逆関数則を用いると、それらの2階微分も γ の微分で表すことができます 。
s ″ ( t ) = γ ′ ( t ) ⋅ γ ″ ( t ) ‖ γ ′ ( t ) ‖ {\displaystyle s''(t)~{=}~{\frac {\gamma '(t)\cdot \gamma ''(t)\;}{\left\|\gamma '(t)\right\|}}} γ ¯ ″ ( s ) = γ ″ ( t ) ‖ γ ′ ( t ) ‖ 2 − ( γ ″ ( t ) ‖ γ ′ ( t ) ‖ 2 ⋅ γ ′ ( t ) ‖ γ ′ ( t ) ‖ ) γ ′ ( t ) ‖ γ ′ ( t ) ‖ {\displaystyle {\bar {\gamma }}''(s)~=~{\frac {\gamma ''(t)}{\left\|\gamma '(t)\right\|^{2}}}-\left({\frac {\gamma ''(t)}{\left\|\gamma '(t)\right\|^{2}}}\cdot {\frac {\gamma '(t)}{\left\|\gamma '(t)\right\|}}\right){\frac {\gamma '(t)}{\left\|\gamma '(t)\right\|}}}
したがって、 – γ "( s ) は、
接ベクトル γ ′ (t )に対する γ ′( t )/ ‖γ ′( t ) ‖2 の 垂直成分 であり 、したがって – γ s )– γ s )
In practice, it is often very difficult to calculate the natural parametrization of a parametric curve, but it is useful for theoretical arguments.
The quantity E ( γ ) = def 1 2 ∫ a b ‖ γ ′ ( t ) ‖ 2 d t {\displaystyle E(\gamma )~{\stackrel {\text{def}}{=}}~{\frac {1}{2}}\int _{a}^{b}\left\|\gamma '(t)\right\|^{2}~\mathrm {d} {t}} energy or action of the curve; this name is justified because the geodesic equations are the Euler–Lagrange equations of motion for this action.
Frenet frame An illustration of the Frenet frame for a point on a space curve. T P B A Frenet frame is a moving reference frame of n orthonormal vectors e i t )γ t )
Given a C n +1γ R n {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}} n e 1 ( t ) , … , e n ( t ) {\displaystyle \mathbf {e} _{1}(t),\ldots ,\mathbf {e} _{n}(t)} Frenet vectors . They are constructed from the derivatives of γ t )Gram–Schmidt orthogonalization algorithm with e 1 ( t ) = γ ′ ( t ) ‖ γ ′ ( t ) ‖ e j ( t ) = e ¯ j ( t ) ‖ e j ¯ ( t ) ‖ , e ¯ j ( t ) = γ ( j ) ( t ) − ∑ i = 1 j − 1 ⟨ γ ( j ) ( t ) , e i ( t ) ⟩ e i ( t ) ⟨ {\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {e} _{1}(t)&={\frac {{\boldsymbol {\gamma }}'(t)}{\left\|{\boldsymbol {\gamma }}'(t)\right\|}}\\[1ex]\mathbf {e} _{j}(t)&={\frac {\mathbf {\overline {e}} _{j}(t)}{\left\|{\overline {\mathbf {e} _{j}}}(t)\right\|}},&\mathbf {\overline {e}} _{j}(t)&={\boldsymbol {\gamma }}^{(j)}(t)-\sum _{i=1}^{j-1}\left\langle {\boldsymbol {\gamma }}^{(j)}(t),\,\mathbf {e} _{i}(t)\right\rangle \,\mathbf {e} _{i}(t){\vphantom {\Bigg \langle }}\end{aligned}}}
The real-valued functions χ i t ) χ i ( t ) = ⟨ e i ′ ( t ) , e i + 1 ( t ) ⟩ ‖ γ ′ ( t ) ‖ {\displaystyle \chi _{i}(t)={\frac {{\bigl \langle }\mathbf {e} _{i}'(t),\mathbf {e} _{i+1}(t){\bigr \rangle }}{\left\|{\boldsymbol {\gamma }}^{'}(t)\right\|}}}
フレネフレームと一般化曲率は再パラメータ化に対して不変であり、したがって曲線の微分幾何学的性質です。 内の曲線の場合 、 χ R 3 {\displaystyle \mathbb {R} ^{3}} 1 ( t ) は 曲率 、 χ 2 ( t ) はねじれ角です。
特殊なフレネベクトルと一般化曲率 最初の3つのフレネベクトルと一般化曲率は、3次元空間で視覚化できます。これらには、追加の名称とより多くの意味情報が付与されています。
接線ベクトル 曲線 γ が粒子の時間経過を表す場合、与えられた位置 P における粒子の瞬間 速度は、 P における曲線の 接線ベクトル と呼ばれる ベクトル で表されます 。パラメータ化された C 1 曲線 γ = γ ( t ) が与えられた場合、時間パラメータの 任意の値 t = t 0 に対して、ベクトル
は点 P = γ ( t 0 ) における接線ベクトルです。一般的に、接線ベクトルは ゼロに なる場合があります。接線ベクトルの大きさは 、時刻 t 0 における速度です γ ′ ( t 0 ) = d d t γ ( t ) | t = t 0 {\displaystyle {\boldsymbol {\gamma }}'(t_{0})=\left.{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}{\boldsymbol {\gamma }}(t)\right|_{t=t_{0}}} ‖ γ ′ ( t 0 ) ‖ {\displaystyle \left\|{\boldsymbol {\gamma }}'(t_{0})\right\|}
最初のフレネベクトル e 1 ( t )は、 γ の各正則点で定義される、同じ方向の単位接線ベクトル（単に接線方向と呼ばれる）です 。 時間パラメータを弧長 t = s に置き換えると、接線ベクトルは単位長さを持ち、式は簡略化されます。
ただし、粒子の速度（長さ/時間の 次元 ）
による解釈は適用できなくなります 。接線方向は、パラメータの増加値に応じて、曲線の向き、つまり順方向を決定します。曲線として捉えられた接線方向は、 元の曲線の 球面像を描きます。 e 1 ( t ) = γ ′ ( t ) ‖ γ ′ ( t ) ‖ . {\displaystyle \mathbf {e} _{1}(t)={\frac {{\boldsymbol {\gamma }}'(t)}{\left\|{\boldsymbol {\gamma }}'(t)\right\|}}.} e 1 ( s ) = γ ′ ( s ) . {\displaystyle \mathbf {e} _{1}(s)={\boldsymbol {\gamma }}'(s).}
法線ベクトルまたは曲率ベクトル 曲線 法線ベクトル（ 曲率ベクトル とも呼ばれる ）は、曲線が直線からどれだけ離れているかを示します。これは、 粒子の 加速度 を接線方向から ベクトル的に除去したもの として定義されます。
ここで、加速度は位置の時間に関する2次微分として定義されます。 e ¯ 2 ( t ) = γ ″ ( t ) − ⟨ γ ″ ( t ) , e 1 ( t ) ⟩ e 1 ( t ) , {\displaystyle \mathbf {\overline {e}} _{2}(t)={\boldsymbol {\gamma }}''(t)-{\bigl \langle }{\boldsymbol {\gamma }}''(t),\mathbf {e} _{1}(t){\bigr \rangle }\,\mathbf {e} _{1}(t),} γ ″ ( t 0 ) = d 2 d t 2 γ ( t ) | t = t 0 {\displaystyle {\boldsymbol {\gamma }}''(t_{0})=\left.{\frac {\mathrm {d} ^{2}}{\mathrm {d} t^{2}}}{\boldsymbol {\gamma }}(t)\right|_{t=t_{0}}}
その正規化された形式である単位法線ベクトルは、第2フレネベクトル e 2 ( t ) であり、次のように定義されます
。 e 2 ( t ) = e ¯ 2 ( t ) ‖ e ¯ 2 ( t ) ‖ . {\displaystyle \mathbf {e} _{2}(t)={\frac {{\overline {\mathbf {e} }}_{2}(t)}{\left\|{\overline {\mathbf {e} }}_{2}(t)\right\|}}.}
点t における接線と法線ベクトルは、点 t における 接触面 を定義します 。
e 2 ( t ) ∝ e ′ 1 ( t ) であることが示されます 。したがって、 e 2 ( t ) = e 1 ′ ( t ) ‖ e 1 ′ ( t ) ‖ . {\displaystyle \mathbf {e} _{2}(t)={\frac {\mathbf {e} _{1}'(t)}{\left\|\mathbf {e} _{1}'(t)\right\|}}.}
曲率 第1一般化曲率 χ 1 ( t ) は曲率と呼ばれ、接触面に対する直線からの γ の偏差を測定します。これは次のように定義され、 点 tにおける γ の 曲率 と呼ばれます 。次のように示されます
。 κ ( t ) = χ 1 ( t ) = ⟨ e 1 ′ ( t ) , e 2 ( t ) ⟩ ‖ γ ′ ( t ) ‖ {\displaystyle \kappa (t)=\chi _{1}(t)={\frac {{\bigl \langle }\mathbf {e} _{1}'(t),\mathbf {e} _{2}(t){\bigr \rangle }}{\left\|{\boldsymbol {\gamma }}'(t)\right\|}}} κ ( t ) = ‖ e 1 ′ ( t ) ‖ ‖ γ ′ ( t ) ‖ . {\displaystyle \kappa (t)={\frac {\left\|\mathbf {e} _{1}'(t)\right\|}{\left\|{\boldsymbol {\gamma }}'(t)\right\|}}.}
曲率の 逆数 は 曲率半径 と呼ばれます 。 1 κ ( t ) {\displaystyle {\frac {1}{\kappa (t)}}}
半径 r の円の曲率は一定ですが、 直線の曲率は0です。 κ ( t ) = 1 r {\displaystyle \kappa (t)={\frac {1}{r}}}
従法線ベクトル 単位従法線ベクトルは、3番目のフレネベクトル e 3 ( t )です。これは、 t における単位接線ベクトルと法線ベクトルに常に直交します 。次のように定義されます。
e 3 ( t ) = e ¯ 3 ( t ) ‖ e ¯ 3 ( t ) ‖ , e ¯ 3 ( t ) = γ ‴ ( t ) − ⟨ γ ‴ ( t ) , e 1 ( t ) ⟩ e 1 ( t ) − ⟨ γ ‴ ( t ) , e 2 ( t ) ⟩ e 2 ( t ) {\displaystyle \mathbf {e} _{3}(t)={\frac {{\overline {\mathbf {e} }}_{3}(t)}{\left\|{\overline {\mathbf {e} }}_{3}(t)\right\|}},\quad {\overline {\mathbf {e} }}_{3}(t)={\boldsymbol {\gamma }}'''(t)-{\bigr \langle }{\boldsymbol {\gamma }}'''(t),\mathbf {e} _{1}(t){\bigr \rangle }\,\mathbf {e} _{1}(t)-{\bigl \langle }{\boldsymbol {\gamma }}'''(t),\mathbf {e} _{2}(t){\bigr \rangle }\,\mathbf {e} _{2}(t)}
3次元空間では、この方程式は または に
簡略化されます 。どちらの符号も発生する可能性があることは、右巻きらせんと左巻きらせんの例で示されています。 e 3 ( t ) = e 1 ( t ) × e 2 ( t ) {\displaystyle \mathbf {e} _{3}(t)=\mathbf {e} _{1}(t)\times \mathbf {e} _{2}(t)} e 3 ( t ) = − e 1 ( t ) × e 2 ( t ) . {\displaystyle \mathbf {e} _{3}(t)=-\mathbf {e} _{1}(t)\times \mathbf {e} _{2}(t).}
ねじれ 2番目の一般化曲率 χ 2 ( t )は ねじれ と呼ばれ、 γ が平面曲線 であることから の逸脱を測定します 。言い換えれば、ねじれがゼロの場合、曲線は完全に同じ接触面内にあります（すべての点 t には接触面が1つしかありません）。これは と定義され
、 点 tにおける γ の ねじれ と呼ばれます 。 τ ( t ) = χ 2 ( t ) = ⟨ e 2 ′ ( t ) , e 3 ( t ) ⟩ ‖ γ ′ ( t ) ‖ {\displaystyle \tau (t)=\chi _{2}(t)={\frac {{\bigl \langle }\mathbf {e} _{2}'(t),\mathbf {e} _{3}(t){\bigr \rangle }}{\left\|{\boldsymbol {\gamma }}'(t)\right\|}}}
異常性 3次導関数 は、 曲線の 非円性 の尺度である 異常性 を定義するために使用できます。 [1] [2] [3]
曲線理論の主要定理 n − 1 個の 関数 が与えられたとき、次数 n の正則 で次の特性を持つ 唯一の ( ユークリッド群 を使用した変換を除く) C n +1 曲線 γ が存在する:
ここで、集合 は曲線のフレネフレームである。 χ i ∈ C n − i ( [ a , b ] , R n ) , χ i ( t ) > 0 , 1 ≤ i ≤ n − 1 {\displaystyle \chi _{i}\in C^{n-i}([a,b],\mathbb {R} ^{n}),\quad \chi _{i}(t)>0,\quad 1\leq i\leq n-1} ‖ γ ′ ( t ) ‖ = 1 t ∈ [ a , b ] χ i ( t ) = ⟨ e i ′ ( t ) , e i + 1 ( t ) ⟩ ‖ γ ′ ( t ) ‖ {\displaystyle {\begin{aligned}\|\gamma '(t)\|&=1&t\in [a,b]\\\chi _{i}(t)&={\frac {\langle \mathbf {e} _{i}'(t),\mathbf {e} _{i+1}(t)\rangle }{\|{\boldsymbol {\gamma }}'(t)\|}}\end{aligned}}} e 1 ( t ) , … , e n ( t ) {\displaystyle \mathbf {e} _{1}(t),\ldots ,\mathbf {e} _{n}(t)}
I における開始点 t 0 、開始点 p 0 、 および 初期の正の直交フレネフレーム { e 1 , ..., e n −1 } を追加することで 、 ユークリッド変換は消去され、一意の曲線 γ が得られます。 R n {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}} γ ( t 0 ) = p 0 e i ( t 0 ) = e i , 1 ≤ i ≤ n − 1 {\displaystyle {\begin{aligned}{\boldsymbol {\gamma }}(t_{0})&=\mathbf {p} _{0}\\\mathbf {e} _{i}(t_{0})&=\mathbf {e} _{i},\quad 1\leq i\leq n-1\end{aligned}}}
フレネ・セレの公式は、1階の常微分方程式 の集合です。解は、一般化曲率関数 χ i によって指定される曲線を記述するフレネベクトルの集合です 。
2次元 [ e 1 ′ ( t ) e 2 ′ ( t ) ] = ‖ γ ′ ( t ) ‖ [ 0 κ ( t ) − κ ( t ) 0 ] [ e 1 ( t ) e 2 ( t ) ] {\displaystyle {\begin{bmatrix}\mathbf {e} _{1}'(t)\\\mathbf {e} _{2}'(t)\end{bmatrix}}=\left\Vert \gamma '(t)\right\Vert {\begin{bmatrix}0&\kappa (t)\\-\kappa (t)&0\\\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\mathbf {e} _{1}(t)\\\mathbf {e} _{2}(t)\end{bmatrix}}}
3次元 [ e 1 ′ ( t ) e 2 ′ ( t ) e 3 ′ ( t ) ] = ‖ γ ′ ( t ) ‖ [ 0 κ ( t ) 0 − κ ( t ) 0 τ ( t ) 0 − τ ( t ) 0 ] [ e 1 ( t ) e 2 ( t ) e 3 ( t ) ] {\displaystyle {\begin{bmatrix}\mathbf {e} _{1}'(t)\\[0.75ex]\mathbf {e} _{2}'(t)\\[0.75ex]\mathbf {e} _{3}'(t)\end{bmatrix}}=\left\Vert \gamma '(t)\right\Vert {\begin{bmatrix}0&\kappa (t)&0\\[1ex]-\kappa (t)&0&\tau (t)\\[1ex]0&-\tau (t)&0\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\mathbf {e} _{1}(t)\\[1ex]\mathbf {e} _{2}(t)\\[1ex]\mathbf {e} _{3}(t)\end{bmatrix}}}
[ e 1 ′ ( t ) e 2 ′ ( t ) ⋮ e n − 1 ′ ( t ) e n ′ ( t ) ] = ‖ γ ′ ( t ) ‖ [ 0 χ 1 ( t ) ⋯ 0 0 − χ 1 ( t ) 0 ⋯ 0 0 ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ ⋮ 0 0 ⋯ 0 χ n − 1 ( t ) 0 0 ⋯ − χ n − 1 ( t ) 0 ] [ e 1 ( t ) e 2 ( t ) ⋮ e n − 1 ( t ) e n ( t ) ] {\displaystyle {\begin{bmatrix}\mathbf {e} _{1}'(t)\\[1ex]\mathbf {e} _{2}'(t)\\[1ex]\vdots \\[1ex]\mathbf {e} _{n-1}'(t)\\[1ex]\mathbf {e} _{n}'(t)\\[1ex]\end{bmatrix}}=\left\Vert \gamma '(t)\right\Vert {\begin{bmatrix}0&\chi _{1}(t)&\cdots &0&0\\[1ex]-\chi _{1}(t)&0&\cdots &0&0\\[1ex]\vdots &\vdots &\ddots &\vdots &\vdots \\[1ex]0&0&\cdots &0&\chi _{n-1}(t)\\[1ex]0&0&\cdots &-\chi _{n-1}(t)&0\\[1ex]\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\mathbf {e} _{1}(t)\\[1ex]\mathbf {e} _{2}(t)\\[1ex]\vdots \\[1ex]\mathbf {e} _{n-1}(t)\\[1ex]\mathbf {e} _{n}(t)\\[1ex]\end{bmatrix}}}
ベルトラン曲線 ベルトラン 曲線 は、対応する各点において2つの曲線の主法線ベクトルが一致するような2つ目の曲線が存在するという追加の特性を持つ、 正則曲線です 。言い換えれば、 γ 1 ( t ) と γ 2 ( t ) が、任意の t に対して2つの主法線 N 1 ( t )、 N 2 ( t ) が等しい2つの曲線で ある場合、 γ 1 と γ 2 はベルトラン曲線であり、 γ 2 は γ 1 のベルトランメイトと呼ばれます。 ある定数 rに対して、 γ 2 ( t ) = γ 1 ( t ) + r N 1 ( t ) と書くことができます 。 [4] R 3 {\displaystyle \mathbb {R} ^{3}} R 3 {\displaystyle \mathbb {R} ^{3}} R 3 {\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}
キューネルの『微分幾何学 曲線-曲面-多様体』の問題25によれば、同じ2次元平面上にない2つのベルトラン曲線は、線形関係 a κ ( t ) + b τ ( t ) = 1 が存在することによって特徴付けられることも事実です。ここで、 κ ( t ) と τ ( t )は γ 1 ( t ) の曲率とねじれ角であり 、 a と b は a ≠ 0 の実定数です 。 [5] さらに、ベルトラン曲線のペアのねじれ角の積は定数です。 [6] γ 1 に複数のベルトランメイトがある 場合、ベルトランメイトは無限に存在します。これは、 γ 1 が 円螺旋の場合にのみ発生します。 [4]
参照
参考文献 ^ ショット、スティーブン（1978年11月）. 「異常性：三階微分の幾何学」. 数学マガジン . 5. 51 (5): 259–275 . doi :10.2307/2690245. JSTOR 2690245. ^ キャメロン・バイアリー、ラッセル・A・ゴードン（2007年）. 「異常性の尺度」. 実解析エクスチェンジ . 32 (1). ミシガン州立大学出版局: 233. doi : 10.14321/realanalexch.32.1.0233 . ISSN 0147-1937 ^ Gordon, Russell A. (2004). 「平面曲線の異常性」. The Mathematical Gazette . 89 (516). Cambridge University Press (CUP): 424– 436. doi :10.1017/s0025557200178271. ISSN 0025-5572. S2CID 118533002. ^ ab do Carmo, Manfredo P. (2016). 曲線と曲面の微分幾何学 （改訂・更新第2版）. ミネオラ、ニューヨーク州: Dover Publications, Inc. pp. 27– 28. ISBN 978-0-486-80699-0 . ^ Kühnel, Wolfgang (2005). 微分幾何学：曲線、曲面、多様体 . プロビデンス: AMS. p. 53. ISBN 0-8218-3988-8 . ^ ワイスタイン、エリック W. 「ベルトラン曲線」. mathworld.wolfram.com .
参考文献 Kreyszig, Erwin (1991). 微分幾何学 . ニューヨーク: Dover Publications. ISBN 0-486-66721-9 . 第2章は、 3次元 曲線理論 の古典的な扱い方です。
範囲
表記法 テンソル定義 演算 関連する 抽象化 著名なテンソル
数学者
![{\displaystyle \gamma[I]\subseteq\mathbb{R}^{n}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/27a675bd019e880d10ce7c4e1f744884fa8afab8)
![{\displaystyle \gamma :[a,b]\to \mathbb {R} ^{n}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cac70dec799b73a718bdc3431587a65f829bf03b)
![{\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {e} _{1}(t)&={\frac {{\boldsymbol {\gamma }}'(t)}{\left\|{\boldsymbol {\gamma }}'(t)\right\|}}\\[1ex]\mathbf {e} _{j}(t)&={\frac {\mathbf {\overline {e}} _{j}(t)}{\left\|{\overline {\mathbf {e} _{j}}}(t)\right\|}},&\mathbf {\overline {e}} _{j}(t)&={\boldsymbol {\gamma }}^{(j)}(t)-\sum _{i=1}^{j-1}\left\langle {\boldsymbol {\gamma }}^{(j)}(t),\,\mathbf {e} _{i}(t)\right\rangle \,\mathbf {e} _{i}(t){\vphantom {\Bigg \langle }}\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c2bf26d0f6fa386ba08fea858eb4560d3b3b6c5c)
![{\displaystyle \chi_{i}\in C^{ni}([a,b],\mathbb {R}^{n}),\quad \chi_{i}(t)>0,\quad 1\leq i\leq n-1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b7182200998b9129906844a4064319c58db58284)
![{\displaystyle {\begin{aligned}\|\gamma '(t)\|&=1&t\in [a,b]\\\chi _{i}(t)&={\frac {\langle \mathbf {e} _{i}'(t),\mathbf {e} _{i+1}(t)\rangle }{\|{\boldsymbol {\gamma }}'(t)\|}}\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dea14cc28063056837a1e8fcc22afbdcc9de4b49)
![{\displaystyle {\begin{bmatrix}\mathbf {e} _{1}'(t)\\[0.75ex]\mathbf {e} _{2}'(t)\\[0.75ex]\mathbf {e} _{3}'(t)\end{bmatrix}}=\left\Vert \gamma '(t)\right\Vert {\begin{bmatrix}0&\kappa (t)&0\\[1ex]-\kappa (t)&0&\tau (t)\\[1ex]0&-\tau (t)&0\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\mathbf {e} _{1}(t)\\[1ex]\mathbf {e} _{2}(t)\\[1ex]\mathbf {e} _{3}(t)\end{bmatrix}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6b2b3f14415be28c04fe7791330e1a80312da4c0)
![{\displaystyle {\begin{bmatrix}\mathbf {e} _{1}'(t)\\[1ex]\mathbf {e} _{2}'(t)\\[1ex]\vdots \\[1ex]\mathbf {e} _{n-1}'(t)\\[1ex]\mathbf {e} _{n}'(t)\\[1ex]\end{bmatrix}}=\left\Vert \gamma '(t)\right\Vert {\begin{bmatrix}0&\chi _{1}(t)&\cdots &0&0\\[1ex]-\chi _{1}(t)&0&\cdots &0&0\\[1ex]\vdots &\vdots &\ddots &\vdots &\vdots \\[1ex]0&0&\cdots &0&\chi_{n-1}(t)\\[1ex]0&0&\cdots &-\chi_{n-1}(t)&0\\[1ex]\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\mathbf {e} _{1}(t)\\[1ex]\mathbf {e} _{2}(t)\\[1ex]\vdots \\[1ex]\mathbf {e} _{n-1}(t)\\[1ex]\mathbf {e} _{n}(t)\\[1ex]\end{bmatrix}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/57257de520512a5d4eeb5260f888646942fa5d89)
