単生成半群

位数9、周期6の単生成半群。数字は生成元aの指数、矢印はaによる乗算を示します

数学において、単一生成半群は単一の元によって生成される半群である。 ^{[ 1 ]}単一生成半群は巡回半群とも呼ばれる。^{[ 2 ]}

構造

単集合{ a }によって生成される単元半群は{a }で表されます。{a , a2 , a3 , ...}の元の集合は{ a , ^a2 , ^a3 , ...}です。単元半群には2つの可能性があります ${\displaystyle \langle a\rangle }$ ${\displaystyle \langle a\rangle }$ ${\displaystyle \langle a\rangle }$

• a ^m = a ⁿ ⇒ m = n。
• a ^m = a ⁿとなるm ≠ nが存在する。

前者の場合、は加法の下で自然数の半群 ({1, 2, ...}, +) と同型である。このような場合、は無限一元半群であり、元aは無限位数を持つと言われる。これは、生成元が1つしかない自由半群でもあるため、自由一元半群と呼ばれることもある。 ${\displaystyle \langle a\rangle }$ ${\displaystyle \langle a\rangle }$

後者の場合、ある正の整数x ≠ mに対してa ^m = a ^xを満たす最小の正の整数をmとし、a ^m = a ^{m + r}を満たす最小の正の整数をrとする。正の整数mは単元半群の指数、正の整数rは周期と呼ばれる。aの位数はm + r −1と定義される。周期と指数は以下の性質を満たす。 ${\displaystyle \langle a\rangle }$

• a ^m = a ^{m + r}
• a ^{m + x} = a ^{m + y}であるのは、 m + x ≡ m + y (mod r )の場合のみである。
• ${\displaystyle \langle a\rangle }$= { a , a ² , ... , a ^{m + r −1} }
• K _a = { a ^m , a ^{m +1} , ... , a ^{m + r −1} } は巡回部分群であり、のイデアルでもある。これはaの核と呼ばれ、単元半群 の極小イデアルである。^{[ 3 ] [ 4 ]} ${\displaystyle \langle a\rangle }$ ${\displaystyle \langle a\rangle }$

正の整数のペア ( m , r ) は、単生成半群の構造を決定します。すべての正の整数のペア ( m , r ) に対して、指数m、周期rの単生成半群が存在します。指数m、周期rの単生成半群はM ( m , r )と表記されます。単生成半群M (1, r ) は、位数rの巡回群です。

このセクションの結果は、任意の半群の任意の元aとそれが生成する単一部分半群に対して実際に当てはまります。 ${\displaystyle \langle a\rangle }$

関連する概念

関連する概念として、周期半群（捩れ半群とも呼ばれる）があります。これは、すべての元が有限の位数を持ちます（または、同義的に、すべての単元部分半群が有限です）。より一般的なクラスは、準周期半群（別名、群束縛半群またはエピグループ）であり、半群のすべての元は部分群に含まれるべき乗を持ちます。^{[ 5 ] [ 6 ]}

非周期半群とは、すべての単一部分半群の周期が 1 である半群です。

参照

• サイクル検出、限られた量の記憶空間を用いて有限の単一原始半群のパラメータを見つける問題
• 半群の特別なクラス

参考文献

1. Howie, JM (1976).半群論入門. LMSモノグラフ. 第7巻. アカデミックプレス. pp.  7– 11. ISBN 0-12-356950-8。
2. AH Clifford; GB Preston (1961).半群の代数的理論 第1巻. 数学概論 第7巻. アメリカ数学会. pp.  19– 20. ISBN 978-0821802724。{{cite book}}：ISBN / 日付の非互換性（ヘルプ）
3. 「半群の核 - 数学百科事典」。
4. 「最小イデアル - 数学百科事典」。
5. 「周期的半群 - 数学百科事典」。
6. ピーター・M・ヒギンズ (1992).半群論の技法. オックスフォード大学出版局. p. 4. ISBN 978-0-19-853577-5。

「 https://en.wikipedia.org/w/index.php?title=Monogenic_semigroup&oldid=1314020348」より引用