円分体

Field extension of the rational numbers by a primitive root of unity

代数的整数論において、円分体（えんぶんたい）とは、有理数体に複素数根を付加して得られる数体である。^[1] ${\displaystyle \mathbb {Q} }$

円分体は、フェルマーの最終定理との関連から、現代​​代数学および数論の発展において重要な役割を果たした。これらの体（素数に対して）の算術的性質を深く研究する過程で、より正確には、それらの整数環における一意因数分解の失敗から、エルンスト・クンマーは初めてイデアル数の概念を導入し、有名な合同性を証明した。 ${\displaystyle n}$

意味

については、 ${\displaystyle n\geq 1}$

${\displaystyle \zeta _{n}=e^{2\pi i/n}\in \mathbb {C} .}$

これは原始 th 根です。するとth 円分体はによって生成されるの体拡大です。 ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \mathbb {Q} (\zeta _{n})}$ ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ ${\displaystyle \zeta _{n}}$

プロパティ

• 番目の円分多項式は既約なので、上の の最小多項式です。 ${\displaystyle n}$ $${\displaystyle \Phi _{n}(x)=\prod _{\stackrel {1\leq k\leq n}{\gcd(k,n)=1}}\!\!\!\left(x-e^{2\pi ik/n}\right)=\prod _{\stackrel {1\leq k\leq n}{\gcd(k,n)=1}}\!\!\!(x-{\zeta _{n}}^{k})}$$ ${\textstyle \zeta _{n}}$ ${\textstyle \mathbb {Q} }$

• したがって、の共役は、の他の原始- 乗根です。のときです。 ${\displaystyle \zeta _{n}}$ ${\displaystyle \mathbb {C} }$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \zeta _{n}^{k}}$ ${\displaystyle 1\leq k\leq n}$ ${\displaystyle \gcd(k,n)=1}$

• したがっての次数はであり、はオイラーのトーティエント関数です。 ${\displaystyle \mathbb {Q} (\zeta _{n})}$ ${\displaystyle [\mathbb {Q} (\zeta _{n}):\mathbb {Q} ]=\deg \Phi _{n}=\varphi (n)}$ ${\displaystyle \varphi }$

• の根はの冪であり、（または）の上の分解体も同様である。したがって、 はのガロア拡大である。 ${\displaystyle x^{n}-1}$ ${\displaystyle \zeta _{n}}$ ${\displaystyle \mathbb {Q} (\zeta _{n})}$ ${\displaystyle x^{n}-1}$ ${\displaystyle \Phi _{n}}$ ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ ${\displaystyle \mathbb {Q} (\zeta _{n})}$ ${\displaystyle \mathbb {Q} }$

• ガロア群は 、 を法とする逆剰余群（およびを法とする剰余群）からなる乗法群と自然に同型である。この同型性により、各 は を法とする に写る。ここで はとなる整数である。 ${\displaystyle \operatorname {Gal} (\mathbb {Q} (\zeta _{n})/\mathbb {Q} )}$ ${\displaystyle (\mathbb {Z} /n\mathbb {Z} )^{\times }}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle 1\leq a\leq n}$ ${\displaystyle \gcd(a,n)=1}$ ${\displaystyle \sigma \in \operatorname {Gal} (\mathbb {Q} (\zeta _{n})/\mathbb {Q} )}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle \sigma (\zeta _{n})=\zeta _{n}^{a}}$

• の整数環はです。 ${\displaystyle \mathbb {Q} (\zeta _{n})}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} [\zeta _{n}]}$

• の場合、拡大の判別式は^[2]である。 ${\displaystyle n>2}$ ${\displaystyle \mathbb {Q} (\zeta _{n})/\mathbb {Q} }$

${\displaystyle (-1)^{\varphi (n)/2}\,{\frac {n^{\varphi (n)}}{\displaystyle \prod _{p|n}p^{\varphi (n)/(p-1)}}}.}$

• 特に、 はを割り切れないすべての素数上で非分岐です。 ${\displaystyle \mathbb {Q} (\zeta _{n})/\mathbb {Q} }$ ${\displaystyle n}$

• が素数 のべき乗である場合、 はより上で完全に分岐します。 ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle \mathbb {Q} (\zeta _{n})/\mathbb {Q} }$ ${\displaystyle p}$

• が を割り切れない素数である場合、フロベニウス元はにおけるの剰余に対応します。 ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \operatorname {Frob} _{q}\in \operatorname {Gal} (\mathbb {Q} (\zeta _{n})/\mathbb {Q} )}$ ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle (\mathbb {Z} /n\mathbb {Z} )^{\times }}$

• の単位根群は、が偶数か奇数かに応じて、または の順序を持​​ちます。 ${\displaystyle \mathbb {Q} (\zeta _{n})}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle 2n}$ ${\displaystyle n}$

• 単位群は、 ディリクレの単位定理により、任意の に対して、階数 の有限生成アーベル群である。特に、は に対してのみ有限である。の捩れ部分群は、前の項目で説明したにおける単位根の群である。 円分単位は、の明示的な有限指数部分群を形成する。 ${\displaystyle \mathbb {Z} [\zeta _{n}]^{\times }}$ ${\displaystyle \varphi (n)/2-1}$ ${\displaystyle n>2}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} [\zeta _{n}]^{\times }}$ ${\displaystyle n\in \{1,2,3,4,6\}}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} [\zeta _{n}]^{\times }}$ ${\displaystyle \mathbb {Q} (\zeta _{n})}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} [\zeta _{n}]^{\times }}$

• クロネッカー・ウェーバーの定理は、におけるの任意の有限 アーベル拡大は、ある に対してに含まれることを述べています。同様に、すべての円分体の和集合はの最大アーベル拡大です。 ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ ${\displaystyle \mathbb {C} }$ ${\displaystyle \mathbb {Q} (\zeta _{n})}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \mathbb {Q} (\zeta _{n})}$ ${\displaystyle \mathbb {Q} ^{\mathrm {ab} }}$ ${\displaystyle \mathbb {Q} }$

正多角形との関係

ガウスは、コンパスと定規を用いて正n角形を構成する問題に関連して、円分体理論に早くから着手しました。先人たちには見出されていなかった彼の驚くべき結果は、正17角形もこのように構成できるというものでした。より一般的には、任意の整数 に対して、以下は同値です。 ${\displaystyle n\geq 3}$

• 通常の-gon は構築可能です。 ${\displaystyle n}$
• で始まりで終わる体の列が存在し、それぞれは前の体の2次拡大である。 ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ ${\displaystyle \mathbb {Q} (\zeta _{n})}$
• ${\displaystyle \varphi (n)}$2 の累乗です。
• ${\displaystyle n=2^{a}p_{1}\cdots p_{r}}$いくつかの整数とフェルマー素数について。(フェルマー素数とは、2のべき乗となる奇数の素数です。既知のフェルマー素数は3、5、17、257、65537で、他には存在しないと思われます。) ${\displaystyle a,r\geq 0}$ ${\displaystyle p_{1},\ldots ,p_{r}}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle p-1}$

小さな例

• ${\displaystyle n=3}$および: 方程式および は、 の二次拡大であることを示しています。これに対応して、正3角形と正6角形が作図可能です。 ${\displaystyle n=6}$ ${\textstyle \zeta _{3}={\tfrac {1}{2}}(-1+{\sqrt {-3}}\,)}$ ${\textstyle \zeta _{6}={\tfrac {1}{2}}(1+{\sqrt {-3}}\,)}$ ${\textstyle \mathbb {Q} (\zeta _{3})=\mathbb {Q} (\zeta _{6})=\mathbb {Q} ({\sqrt {-3}})}$ ${\textstyle \mathbb {Q} }$
• ${\displaystyle n=4}$: 同様に、ζ ₄ = iなので、正4角形が作図可能です。 ${\textstyle \mathbb {Q} (\zeta _{4})}$
• ${\displaystyle n=5}$: 体はの二次拡大ではありませんが、二次拡大 の二次拡大なので、正 5 角形が構成可能です。 ${\textstyle \mathbb {Q} (\zeta _{5})}$ ${\textstyle \mathbb {Q} }$ ${\textstyle \mathbb {Q} ({\sqrt {5}})}$

フェルマーの最終定理との関係

フェルマーの最終定理を証明する自然な方法は、フェルマーの方程式の片側に現れる奇素数である二項式を因数分解することである。 ${\displaystyle x^{n}+y^{n}}$ ${\displaystyle n}$

${\displaystyle x^{n}+y^{n}=z^{n}}$

次のように：

${\displaystyle x^{n}+y^{n}=(x+y)(x+\zeta _{n}y)\ldots (x+\zeta _{n}^{n-1}y)}$

ここで、 とは通常の整数であり、因数は円分体 における代数的整数である。円分整数 において一意の因数分解が成立する場合、フェルマー方程式の非自明な解の存在を否定するために用いることができる。 ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle \mathbb {Q} (\zeta _{n})}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} [\zeta _{n}]}$

フェルマーの最終定理に挑戦するいくつかの試みは、この方向に沿って進められ、フェルマーの証明とオイラーの証明はどちらもこの観点から書き直すことができる。nが一意に因数分解できる完全なリストは^[3]である。 ${\displaystyle n=4}$ ${\displaystyle n=3}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} [\zeta _{n}]}$

• 1 から 22、24、25、26、27、28、30、32、33、34、35、36、38、40、42、44、45、48、50、54、60、66、70、84、90。

クンマーは、一意に因数分解できない問題に対処する方法を発見した。彼は、円分整数 における素数の置き換えを導入し、類数によって一意に因数分解できないことを測定し、が素数で割り切れない場合（このような素数を正則素数という）は指数 に対してフェルマーの定理が成り立つことを証明した。さらに、どの素数が正則素数であるかを決定する基準を与え、不規則素数37、59、67を除く、100 未満のすべての素指数に対してフェルマーの定理を確立した。円分体の類数の合同性に関するクンマーの研究は、20 世紀に岩澤により岩澤理論で、また久保田とレオポルドにより-進ゼータ関数の理論で一般化された。 ${\displaystyle \mathbb {Z} [\zeta _{n}]}$ ${\displaystyle h_{n}}$ ${\displaystyle h_{p}}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle n=p}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle p}$

円分体の類数の一覧

（OEISの配列A061653）、または（OEISの配列A055513）または（OEISの配列A000927）の-部分（素数nの場合） ${\displaystyle h}$

• 1-22: 1
• 23:3
• 24-28: 1
• 29:8
• 30:1
• 31:9
• 32-36: 1
• 37:37
• 38:1
• 39: 2
• 40:1
• 41: 121
• 42:1
• 43: 211
• 44:1
• 45:1
• 46:3
• 47: 695
• 48:1
• 49:43
• 50:1
• 51:5
• 52:3
• 53: 4889
• 54:1
• 55:10
• 56:2
• 57:9
• 58:8
• 59: 41241
• 60:1
• 61: 76301
• 62:9
• 63:7
• 64:17
• 65: 64
• 66:1
• 67: 853513
• 68:8
• 69: 69
• 70:1
• 71: 3882809
• 72:3
• 73: 11957417
• 74:37
• 75:11
• 76:19
• 77: 1280
• 78: 2
• 79: 100146415
• 80:5
• 81: 2593
• 82: 121
• 83: 838216959
• 84:1
• 85: 6205
• 86: 211
• 87: 1536
• 88:55
• 89: 13379363737
• 90:1
• 91: 53872
• 92: 201
• 93: 6795
• 94: 695
• 95: 107692
• 96:9
• 97: 411322824001
• 98:43
• 99: 2883
• 100:55
• 101: 3547404378125
• 102: 5
• 103: 9069094643165
• 104: 351
• 105: 13
• 106: 4889
• 107: 63434933542623
• 108: 19
• 109: 161784800122409
• 110:10
• 111: 480852
• 112: 468
• 113: 1612072001362952
• 114: 9
• 115: 44697909
• 116: 10752
• 117: 132678
• 118: 41241
• 119: 1238459625
• 120:4
• 121: 12188792628211
• 122: 76301
• 123: 8425472
• 124: 45756
• 125: 57708445601
• 126: 7
• 127: 2604529186263992195
• 128: 359057
• 129: 37821539
• 130: 64
• 131: 28496379729272136525
• 132: 11
• 133: 157577452812
• 134: 853513
• 135: 75961
• 136: 111744
• 137: 646901570175200968153
• 138: 69
• 139: 1753848916484925681747
• 140:39
• 141: 1257700495
• 142: 3882809
• 143: 36027143124175
• 144: 507
• 145: 1467250393088
• 146: 11957417
• 147: 5874617
• 148: 4827501
• 149: 687887859687174720123201
• 150: 11
• 151: 2333546653547742584439257
• 152: 1666737
• 153: 2416282880
• 154: 1280
• 155: 84473643916800
• 156: 156
• 157: 56234327700401832767069245
• 158: 100146415
• 159: 223233182255
• 160: 31365

参照

• クロネッカー・ウェーバーの定理
• 円分多項式

参考文献

1. スティルウェル、ジョン (1994). 『代数の要素』. 学部生向け数学テキスト. シュプリンガー・ニューヨーク. p. 100. doi :10.1007/978-1-4757-3976-3. ISBN 978-1-4419-2839-9。
2. ワシントン 1997、命題 2.7。
3. ワシントン 1997、定理11.1。

出典

• Bryan Birch、「Cyclotomic fields and Kummer extensions」、JWS CasselsとA. Frohlich (edd)、『Algebraic number theory』、Academic Press、1973 年。第 3 章、45 ～ 93 ページ。
• ダニエル・A・マーカス『数体論』初版、シュプリンガー・フェアラーク、1977年
• ワシントン、ローレンス C. (1997)、「円分体入門」、大学院数学テキスト、第83巻（第2版）、ニューヨーク：シュプリンガー・フェアラーク、doi :10.1007/978-1-4612-1934-7、ISBN 0-387-94762-0、MR  1421575
• セルジュ・ラング『円分体I・II』合本版第2版。カール・ルービンによる付録付き。Graduate Texts in Mathematics、121。Springer-Verlag、ニューヨーク、1990年。ISBN 0-387-96671-4

さらに読む

• コーツ、ジョン、スジャタ、R. (2006).円分体とゼータ値. シュプリンガー数学モノグラフ.シュプリンガー出版. ISBN 3-540-33068-2. Zbl  1100.11002。
• ワイスタイン、エリック・W.「サイクロトミック体」。MathWorld。
• 「円分体」数学百科事典、EMSプレス、2001 [1994]
• 山形浩二；山岸正和（2016） 「実円分体の整数の環上」。手順日本アカデミー、シリーズA、数学。科学。92 (6)。土井：10.3792/pjaa.92.73。ISSN  0386-2194。

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