サイクロトロン運動

物理学では、サイクロトロン運動はジャイロ運動とも呼ばれ、均一な磁場内で荷電粒子が示す円運動を指します。

サイクロトロン運動における粒子の円軌道は、サイクロトロン周波数またはジャイロ周波数と呼ばれる角周波数と、サイクロトロン半径、ジャイロ半径、またはラーモア半径と呼ばれる半径によって特徴付けられます。電荷と質量を持つ粒子が均一磁場の方向に対して垂直な速度で運動している場合、サイクロトロン半径は次のように表されます。サイクロトロン周波数は次のように表されます。サイクロトロン周波数に一致する外部振動場は、粒子を加速させます。この現象はサイクロトロン共鳴と呼ばれます。この共鳴は、サイクロトロン運動の多くの科学的および工学的利用の基礎となっています。 $q$ $m$ $v_{\perp }$ $B$ $r_{\rm {c}}={\frac {mv_{\perp }}{|q|B}}$ $\omega _{\rm {c}}={\frac {|q|B}{m}}.$ $\omega =\omega _{c},$

量子力学系において、サイクロトロン軌道のエネルギーは離散的なランダウ準位に量子化され、ランダウ反磁性に寄与し、ド・ハース・ファン・アルフェン効果やシュブニコフ・ド・ハース効果といった振動性電子現象を引き起こす。また、整数量子ホール効果におけるホール抵抗の正確な量子化にも関与している。

パラメータ

サイクロトロン周波数

電荷と質量を持つ粒子が一様な磁場内を速度で運動している場合、その粒子には次式のローレンツ力が作用します。力の方向は、速度と磁場の外積で決まります。したがって、ローレンツ力は常に運動方向に対して垂直に作用し、粒子を回転、つまり円運動させます。この円の半径は、非相対論的な粒子の場合、ローレンツ力の大きさを求心力に等しくすることで決定できます。整理すると、サイクロトロン半径は次のように表すことができます。したがって、サイクロトロン半径は粒子の質量と垂直速度に正比例し、粒子の電荷と磁場の強さに反比例します。粒子が1回転するのにかかる時間は周期と呼ばれ、次のように計算できます。周期はサイクロトロン周波数の逆数です。または^[1]^{: 20}サイクロトロン周波数は半径と速度に依存せず、したがって粒子の運動エネルギーにも依存しません。非相対論的極限では、同じ電荷質量比を持つすべての粒子が同じ周波数で磁力線の周りを回転します。 $q$ $m$ ${\vec {v}}$ ${\vec {B}}$ ${\vec {F}}=q({\vec {v}}\times {\vec {B}}).$ $r_{\rm {c}}$ ${\frac {mv_{\perp }^{2}}{r_{\rm {c}}}}=|q|v_{\perp }B.$ $r_{\rm {c}}={\frac {mv_{\perp }}{|q|B}}.$ $T_{\rm {c}}={\frac {2\pi r_{\rm {c}}}{v_{\perp }}}.$ $f_{\rm {c}}={\frac {1}{T_{\rm {c}}}}={\frac {|q|B}{2\pi m}}$ $\omega _{\rm {c}}={\frac {|q|B}{m}}.$

サイクロトロン周波数は、非均一磁場においても有用です。非均一磁場においては（磁場の強さがゆっくりと変化すると仮定すると）、運動はほぼ螺旋状になります。つまり、磁場に平行な方向では運動は一様ですが、磁場に垂直な面では運動は円運動になります。これら2つの運動の和は、螺旋状の軌道を与えます。^[2]^{: 14–16}

サイクロトロン共鳴

粒子のサイクロトロン周波数に一致する振動場は、サイクロトロン共鳴を発生させます。真空チャンバー内の均一磁場中のイオンに対して、サイクロトロン共鳴周波数の振動電場は、サイクロトロンと呼ばれる粒子加速器を生成します。^[3]^{: 13}サイクロトロン周波数に一致する振動高周波場は、プラズマを加熱するために使用されます。^[1]^{: 381}

ガウス単位

上記はSI単位系の場合です。サイクロトロン周波数はガウス単位で表される場合があります。^[4]ガウス単位では、ローレンツ力は光速の 1/ c倍の差があり、以下の式が成り立ちます。

\omega _{\rm {c}}={\frac {v}{r}}={\frac {qB}{mc}}

。

磁性がほとんどないか全くない物質（すなわち）の場合、 Bの代わりに簡単に測定できる磁場強度 Hを使用することができる。^[5] $\mu \approx 1$ $H\approx B$

\omega _{\rm {c}}={\frac {qH}{mc}}

。

この式を SI 単位系に変換すると、真空透磁率の係数が導入されることに注意してください。

有効質量

一部の物質では、電子の運動は印加磁場に依存するループを描きますが、その軌跡は必ずしも同じではありません。このような物質に対して、サイクロトロン有効質量を以下のように定義します。 $m^{*}$

\omega _{\rm {c}}={\frac {qB}{m^{*}}}

。

相対論的なケース

相対論的粒子の場合、古典方程式は粒子の運動量の観点から解釈する必要があります。ここではローレンツ因子です。この方程式は非相対論的な場合でも正しいです。 $p=\gamma mv$ $r_{\rm {c}}={\frac {p_{\perp }}{|q|B}}={\frac {\gamma mv_{\perp }}{|q|B}}$ $\gamma$

加速器および宇宙素粒子物理学の計算では、サイクロトロン半径の式は次のように変形できます。ここで、 $m$ はメートル、 $c$ は光速、 $GeVは$ ギガ電子ボルトの単位、は素電荷、 $Tは$ テスラの単位です。 $r_{\rm {c}}=\mathrm {3.3~m} \times {\frac {(\gamma mc^{2}/\mathrm {GeV} )\cdot (v_{\perp }/c)}{(|q|/e)\cdot (B/\mathrm {T} )}},$ $e$

量子化

量子力学では、均一磁場中の荷電粒子のサイクロトロン軌道のエネルギーは、ソビエト連邦の物理学者レフ・ランダウにちなんでランダウ準位として知られる離散的な値に量子化されます。これらの準位は縮退しており、準位あたりの電子数は印加磁場の強度に正比例します。^[6]

ランダウ量子化は金属の磁化率に寄与し、ランダウ反磁性として知られる。強磁場下では、ランダウ量子化は、印加磁場の関数として物質の電子特性に振動をもたらし、ド・ハース・ファン・アルフェン効果およびシュブニコフ・ド・ハース効果として知られる。

ランダウ量子化は整数量子ホール効果を説明する上で重要な要素である。^[7]

参照

参考文献

^ ab Chen, Francis F. (2016). プラズマ物理学と制御核融合入門. シュプリンガー・インターナショナル・パブリッシング. p. 20. Bibcode :2016ippc.book.....C. doi :10.1007/978-3-319-22309-4. ISBN 978-3-319-22308-7。
^ Boyd, TJM; Sanderson, JJ (2003). 『プラズマの物理学』ケンブリッジ大学出版局, イギリス. Bibcode :2003phpl.book.....B. doi :10.1017/CBO9780511755750. ISBN 978-0-521-45912-9。
^ Wille, Klaus (2000).粒子加速器の物理学：入門. オックスフォード; ニューヨーク: オックスフォード大学出版局. ISBN 978-0-19-850550-1。
^ キッテル、チャールズ.固体物理学入門、第8版、pp. 153
^ アシュクロフトとマーミン. 固体物理学. pp12
^ ランダウ、L. (1930)。「金属の反磁性」。Zeitschrift für Physik (ドイツ語)。64（9-10）。 Springer Science and Business Media LLC: 629–637。Bibcode :1930ZPhy...64..629L。土井：10.1007/bf01397213。ISSN 1434-6001。S2CID 123206025。
^ フォン・クリッツィング、クラウス（1985年12月9日）「ノーベル賞講演：量子ホール効果」（PDF）NobelPrize.org . 2025年2月21日閲覧。

外部リンク

Wolfram Alphaでサイクロトロン周波数を計算する

[Chen-1] Chen, Francis F. (2016). プラズマ物理学と制御核融合入門. シュプリンガー・インターナショナル・パブリッシング. p. 20. Bibcode :2016ippc.book.....C. doi :10.1007/978-3-319-22309-4. ISBN 978-3-319-22308-7。

[2] Boyd, TJM; Sanderson, JJ (2003). 『プラズマの物理学』ケンブリッジ大学出版局, イギリス. Bibcode :2003phpl.book.....B. doi :10.1017/CBO9780511755750. ISBN 978-0-521-45912-9。

[Klaus-2000-3] Wille, Klaus (2000).粒子加速器の物理学：入門. オックスフォード; ニューヨーク: オックスフォード大学出版局. ISBN 978-0-19-850550-1。

[4] キッテル、チャールズ.固体物理学入門、第8版、pp. 153

[5] アシュクロフトとマーミン. 固体物理学. pp12

[6] ランダウ、L. (1930)。「金属の反磁性」。Zeitschrift für Physik (ドイツ語)。64（9-10）。 Springer Science and Business Media LLC: 629–637。Bibcode :1930ZPhy...64..629L。土井：10.1007/bf01397213。ISSN 1434-6001。S2CID 123206025。

[7] フォン・クリッツィング、クラウス（1985年12月9日）「ノーベル賞講演：量子ホール効果」（PDF）NobelPrize.org . 2025年2月21日閲覧。