クロネッカーの定理

Theorem about Diophantine approximations

数学において、クロネッカーの定理は、レオポルド・クロネッカー(1884)によって導入されたディオファントス近似に関する定理です 。

クロネッカーの近似定理は、19世紀末にL. クロネッカーによって初めて証明されました。20世紀後半以降、 n-トーラスやマーラー測度の概念と関連していることが明らかになっています。物理系の観点から見ると、恒星の周りを一様に円軌道で回る惑星は、その公転周期に厳密な依存関係がない限り、時間の経過とともにあらゆる配置をとるという帰結が得られます。

声明

クロネッカーの定理は、ディリクレの近似定理を複数の変数に一般化した ディオファントス近似に関する結果です。

クロネッカーの近似定理は、古典的には次のように定式化されます。

実数n組と が与えられた場合、条件: ${\displaystyle \alpha _{i}=(\alpha _{i1},\dots ,\alpha _{in})\in \mathbb {R} ^{n},i=1,\dots ,m}$ ${\displaystyle \beta =(\beta _{1},\dots ,\beta _{n})\in \mathbb {R} ^{n}}$

${\displaystyle \forall \epsilon >0\,\exists q_{i},p_{j}\in \mathbb {Z} :{\biggl |}\sum _{i=1}^{m}q_{i}\alpha _{ij}-p_{j}-\beta _{j}{\biggr |}<\epsilon ,1\leq j\leq n}$

が成り立つのは、任意の ${\displaystyle r_{1},\dots ,r_{n}\in \mathbb {Z} ,\ i=1,\dots ,m}$

${\displaystyle \sum _{j=1}^{n}\alpha _{ij}r_{j}\in \mathbb {Z} ,\ \ i=1,\dots ,m\ ,}$

その数値も整数です。 ${\displaystyle \sum _{j=1}^{n}\beta _{j}r_{j}}$

より平易な言葉で言えば、最初の条件は、タプルがs (整数係数を持つ) と整数ベクトルの線形結合によって任意に近似できることを述べています。 ${\displaystyle \beta =(\beta _{1},\ldots ,\beta _{n})}$ ${\displaystyle \alpha _{i}}$

およびの場合、クロネッカーの定理は次のように述べられる。^[1]無理数およびの任意のに対して、およびの整数が存在し、 ${\displaystyle m=1}$ ${\displaystyle n=1}$ ${\displaystyle \alpha ,\beta ,\epsilon \in \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle \epsilon >0}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle q>0}$

${\displaystyle |\alpha q-p-\beta |<\epsilon .}$

トーラスとの関係

N個の数の場合、単一のN組とトーラスの点Pとしてとらえると、

T = R ^N /Z ^N、

Pによって生成される部分群 < P >の閉包は有限であるか、あるいはTに含まれるトーラスT′と なる。クロネッカーの定理(レオポルド・クロネッカー、1884) は、

T′ = T、

つまり、数x _iと 1 は有理数に対して線形独立であるべきである、という条件も十分である。ここで、 x iと1 の_非ゼロ有理数係数を持つ線形結合がゼロであれば、係数は整数とみなすことができ、群Tの自明な指標χ以外の指標はP上で値 1 をとることが容易にわかる。ポンチャギン双対性により、 T′は χ の核に含まれるため、Tと等しくない。

実際、ここでポンチャギン双対性を徹底的に用いると、クロネッカーの定理全体が< P >の閉包をχの核と

χ( P ) = 1です。

これは、Tの単元閉部分群（位相的な意味で単一の生成元を持つもの）と、与えられた点を含む核を持つ指標集合との間の（反音）ガロア接続を与える。すべての閉部分群が単元閉部分群として現れるわけではない。例えば、単位元の連結成分として次元 ≥ 1 のトーラスを持ち、かつ連結でない部分群は、そのような部分群にはなり得ない。

この定理は、 Pの倍数mPが閉包をどの程度（均一に）満たすかという疑問を残す。1次元の場合、等分布定理により分布は均一となる。

参照

• 等分布列に対するワイルの基準
• ディリクレの近似定理

参考文献

• Kronecker、L. (1884)、「Näherungsweise ganzzahlige Auflösung lineer Gleichungen」、Berl。ベル。 : 1179 – 1193、1271 – 1299
• Onishchik, AL (2001) [1994]、「クロネッカーの定理」、数学百科事典、EMS Press

1. 「クロネッカーの近似定理」 Wolfram Mathworld. 2018年10月24日時点のオリジナルよりアーカイブ。 2019年10月26日閲覧。

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