ド・ラームコホモロジー

Cohomology with real coefficients computed using differential forms

閉じているが正確ではない、穴あき平面上の微分形式に対応するベクトル場。この空間の de Rham コホモロジーが自明ではないことを示しています。

数学において、ド・ラーム・コホモロジー（ジョルジュ・ド・ラームにちなんで名付けられた）は、代数位相幾何学と微分位相幾何学の両方に属するツールであり、滑らかな多様体に関する基本的な位相情報を、特に計算に適した形式で表現し、コホモロジー類の具体的な表現を可能にする。これは、所定の性質を持つ微分形式の存在に基づくコホモロジー理論である。

任意の滑らかな多様体上では、すべての完全形は閉じているが、その逆は成立しない可能性がある。大まかに言えば、この不成立は多様体における「穴」の存在の可能性と関連しており、ド・ラーム・コホモロジー群は、この関係を厳密に定量化する滑らかな多様体の位相不変量の集合を構成する。^[1]

形式上の積分の概念は、微分位相幾何学、幾何学、物理学において根本的に重要であり、また、コホモロジーの最も重要な例の 1 つであるド・ラーム・コホモロジーを生み出します。これは (大まかに言えば)微積分学の基本定理が高次元や一般多様体でどの程度成り立たないかを正確に測定するものです。
— テレンス・タオ『微分形式と積分』^[2]

意味

ド・ラーム複体は、外微分を微分とする、ある滑らかな多様体M上の微分形式の共鎖複体である。

${\displaystyle 0\to \Omega ^{0}(M)\ {\stackrel {d}{\to }}\ \Omega ^{1}(M)\ {\stackrel {d}{\to }}\ \Omega ^{2}(M)\ {\stackrel {d}{\to }}\ \Omega ^{3}(M)\to \cdots ,}$

ここで、Ω ⁰ ( M )はM上の滑らかな関数の空間、Ω ¹ ( M )は1形式の空間、​​などとなります。外微分による他の形式の像にΩ ⁰ ( M )の定数0関数を加えた形式は完全形式と呼ばれ、外微分が0である形式は閉じた形式と呼ばれます（「閉じた微分形式と完全微分形式」を参照）。d 2 = 0^の関係は完全形式が閉じていることを示しています。

対照的に、閉形式は必ずしも正確ではありません。一例として、多様体としての円と、その中心にある基準点からの角度の微分に対応する1 -形式が挙げられます。これは通常、 dθと表記されます（「閉微分形式と厳密微分形式」で説明されています）。円全体にわたって定義された関数θで、 dθがその微分となるようなものは存在しません。円を正方向に一周すると2 π増加するため、多価関数 θが成り立ちます。円から一点を削除すれば、この問題は解消されますが、同時に多様体の位相も変化します。

すべての閉形式が正確である顕著な例としては、基礎空間が点に縮約可能である場合、あるいはより一般的には単連結である場合（無孔条件）が挙げられる。この場合、閉形式に限定された外微分は、ホモトピー作用素と呼ばれる局所逆関数を持つ。^{[3] [4]これは}冪零でもあるため、^[3]はデ・ラーム複体と比較して矢印が逆向きの双対鎖複体を形成する。 ^[5]これはポアンカレの補題で説明されている状況である。 ${\displaystyle d}$

ド・ラーム・コホモロジーの背後にある考え方は、多様体上の閉形式の同値類を定義することである。2つの閉形式α , β ∈ Ω ^k ( M )は、それらが完全形式によって異なる場合、すなわちα − β が完全である場合に、コホモロジーであると分類される。この分類は、 Ω ^k ( M )の閉形式の空間に同値関係を誘導する。そして、k番目のド・ラーム・コホモロジー群を同値類の集合、すなわち完全形式を法とするΩ ^k ( M )の閉形式の集合として定義する。 ${\displaystyle H_{\mathrm {dR} }^{k}(M)}$

それぞれの要素が連結されたm個の非連結要素から成る任意の多様体Mに対して、

${\displaystyle H_{\mathrm {dR} }^{0}(M)\cong \mathbb {R} ^{m}.}$

これは、 M上のどこでも導関数がゼロである任意の滑らかな関数が、 Mの各連結成分上で個別に定数であるという事実から生じます。

計算されたド・ラームコホモロジー

多様体の一般的なド・ラーム・コホモロジーは、零コホモロジーとマイヤー・ヴィエトリス列に関する上記の事実を用いてしばしば求められる。もう一つの有用な事実は、ド・ラーム・コホモロジーはホモトピー不変量であるということである。計算は示されていないが、いくつかの一般的な位相対象について計算されたド・ラーム・コホモロジーは以下の通りである。

そのn-球

n球面、、および開区間の積と組み合わせると、次式が成り立ちます。n > 0、m ≥ 0、Iを実開区間とします。すると、 ${\displaystyle S^{n}}$

${\displaystyle H_{\mathrm {dR} }^{k}(S^{n}\times I^{m})\simeq {\begin{cases}\mathbb {R} &k=0{\text{ or }}k=n,\\0&k\neq 0{\text{ and }}k\neq n.\end{cases}}}$

そのn-トーラス

-トーラスは直積である。同様に、ここで を許容すると、 ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle T^{n}=\underbrace {S^{1}\times \cdots \times S^{1}} _{n}}$ ${\displaystyle n\geq 1}$

${\displaystyle H_{\mathrm {dR} }^{k}(T^{n})\simeq \mathbb {R} ^{n \choose k}.}$

トーラスのド・ラーム・コホモロジーの明示的な生成元を微分形式を用いて直接求めることもできます。商多様体と微分形式が与えられれば、が-不変であると言えるので、によって誘導される任意の微分同相写像が与えられると、が成り立ちます。特に、 上の任意の形式の引き戻しは-不変です。また、引き戻しは単射です。 の場合、 の微分形式はであるため -不変です。しかし、についてはが不変 -形式ではないことに注意してください。これは単射性とともに、次のことを意味します。 ${\displaystyle \pi :X\to X/G}$ ${\displaystyle \omega \in \Omega ^{k}(X)}$ ${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle \cdot g:X\to X}$ ${\displaystyle (\cdot g)^{*}(\omega )=\omega }$ ${\displaystyle X/G}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}/\mathbb {Z} ^{n}}$ ${\displaystyle dx_{i}}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} ^{n}}$ ${\displaystyle d(x_{i}+k)=dx_{i}}$ ${\displaystyle x_{i}+\alpha }$ ${\displaystyle \alpha \in \mathbb {R} }$ ${\displaystyle 0}$

${\displaystyle [dx_{i}]\in H_{dR}^{1}(T^{n})}$

トーラスのコホモロジー環は によって生成されるので、これらの形式の外積をとると、トーラスの de Rham コホモロジーの 明示的な代表がすべて得られます。 ${\displaystyle H^{1}}$

穴あきユークリッド空間

穴あきユークリッド空間は単純に原点が除去された空間です。 ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$

${\displaystyle H_{\text{dR}}^{k}(\mathbb {R} ^{n}\setminus \{0\})\cong {\begin{cases}\mathbb {R} ^{2}&n=1,k=0\\\mathbb {R} &n>1,k=0,n-1\\0&{\text{otherwise}}\end{cases}}.}$

メビウスの帯

メビウスの帯Mが1 -球面（つまり実単位円）に変形できるという事実から、次のことが推測できます。

${\displaystyle H_{\mathrm {dR} }^{k}(M)\simeq H_{\mathrm {dR} }^{k}(S^{1}).}$

ド・ラームの定理

ストークスの定理は、ド・ラーム・コホモロジーと鎖のホモロジーの双対性を表すものである。微分形式と鎖を積分によって組み合わせると、ド・ラーム・コホモロジーから特異コホモロジー群への準同型写像が得られるという。 1931年にジョルジュ・ド・ラームによって証明されたド・ラームの定理は、滑らかな多様体Mに対して、この写像は実際には同型写像となることを述べている。 ${\displaystyle H_{\mathrm {dR} }^{k}(M)}$ ${\displaystyle H^{k}(M;\mathbb {R} ).}$

より正確には、地図を考えてみましょう

${\displaystyle I:H_{\mathrm {dR} }^{p}(M)\to H^{p}(M;\mathbb {R} ),}$

は次のように定義されます。任意の に対して、I ( ω )を次のように作用するの元とします。 ${\displaystyle [\omega ]\in H_{\mathrm {dR} }^{p}(M)}$ ${\displaystyle {\text{Hom}}(H_{p}(M),\mathbb {R} )\simeq H^{p}(M;\mathbb {R} )}$

${\displaystyle H_{p}(M)\ni [c]\longmapsto \int _{c}\omega .}$

ド・ラームの定理は、これがド・ラームコホモロジーおよび特異コホモロジー間の同型であることを主張しています。

外積はこれらの群の直和に環構造を与える。定理のさらなる帰結として、2つのコホモロジー環は（次数付き環として）同型であり、特異コホモロジー上の類似の積はカップ積である。

層理論的ド・ラーム同型

任意の滑らかな多様体Mに対して、アーベル群に付随するM上の定数層をとします。言い換えると、M上の局所定数実数値関数の層です。このとき、自然同型 ${\textstyle {\underline {\mathbb {R} }}}$ ${\textstyle \mathbb {R} }$ ${\textstyle {\underline {\mathbb {R} }}}$

${\displaystyle H_{\mathrm {dR} }^{*}(M)\cong H^{*}(M,{\underline {\mathbb {R} }})}$

のド・ラーム・コホモロジーと層コホモロジーの間。（これは、ド・ラーム・コホモロジーがチェフ・コホモロジーによって計算されることもできることを示していることに注意してください。実際、すべての滑らかな多様体はパラコンパクト・ハウスドルフであるため、層コホモロジーはMの任意の良好な被覆に対してチェフ・コホモロジーに同型です。） ${\textstyle {\underline {\mathbb {R} }}}$ ${\textstyle {\check {H}}^{*}({\mathcal {U}},{\underline {\mathbb {R} }})}$ ${\textstyle {\mathcal {U}}}$

証拠

標準的な証明は、ド・ラーム複体を層の複体として見たとき、の非巡回的な解決であることを示すことから始まります。より詳しくは、m をMの次元とし、 をM上の -形式の芽の層（M 上の関数の層を含む）とします。ポアンカレの補題により、次の層の列は（層のアーベル圏において）正確です。 ${\textstyle {\underline {\mathbb {R} }}}$ ${\textstyle \Omega ^{k}}$ ${\displaystyle k}$ ${\textstyle \Omega ^{0}}$ ${\textstyle C^{\infty }}$

${\displaystyle 0\to {\underline {\mathbb {R} }}\to \Omega ^{0}\,\xrightarrow {d_{0}} \,\Omega ^{1}\,\xrightarrow {d_{1}} \,\Omega ^{2}\,\xrightarrow {d_{2}} \dots \xrightarrow {d_{m-1}} \,\Omega ^{m}\to 0.}$

この長い完全列は、層の短い完全列に分解される。

${\displaystyle 0\to \mathrm {im} \,d_{k-1}\,\xrightarrow {\subset } \,\Omega ^{k}\,\xrightarrow {d_{k}} \,\mathrm {im} \,d_{k}\to 0,}$

ここで、正確には、すべてのkに対して同型が成り立つ。これらのそれぞれは、コホモロジーにおける長完全列を誘導する。M上の関数層は1 の分割を許容するので、任意の-加群は微細層となる。特に、層はすべて 微細である。したがって、パラコンパクト空間上のすべての微細層は非巡回的であるため、 に対して層コホモロジー群は消滅する。したがって、長完全コホモロジー列自体は、最終的に同型の連鎖へと分離する。連鎖の一方の端には の層コホモロジーがあり、もう一方の端には de Rham コホモロジーがある。 ${\textstyle \mathrm {im} \,d_{k-1}\cong \mathrm {ker} \,d_{k}}$ ${\textstyle \Omega ^{0}}$ ${\textstyle C^{\infty }}$ ${\textstyle \Omega ^{0}}$ ${\textstyle \Omega ^{k}}$ ${\textstyle H^{i}(M,\Omega ^{k})}$ ${\textstyle i>0}$ ${\textstyle {\underline {\mathbb {R} }}}$

関連アイデア

ド・ラーム・コホモロジーは、ドルボ・コホモロジー、ホッジ理論、アティヤ・シンガーの指数定理など、多くの数学的アイデアに影響を与えてきた。しかし、より古典的な文脈においても、この定理は多くの発展を促してきた。まず、ホッジ理論は、調和形式からなるコホモロジーと、完全形式を法とする閉形式からなるド・ラーム・コホモロジーとの間に同型性が存在することを証明する。これは、調和形式とホッジ定理の適切な定義に依存する。詳細については、ホッジ理論を参照のこと。

調和形式

Mがコンパクト リーマン多様体の場合、 の各同値類はちょうど1つの調和形式を含む。つまり、与えられた閉形式の同値類のすべての要素は次のように書ける。 ${\displaystyle H_{\mathrm {dR} }^{k}(M)}$ ${\displaystyle \omega }$

${\displaystyle \omega =\alpha +\gamma }$

ここでは正確で、は調和です。 ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle \gamma }$ ${\displaystyle \Delta \gamma =0}$

コンパクト連結リーマン多様体上の任意の調和関数は定数である。したがって、この特定の代表元は、多様体上のすべてのコホモロジー的に同値な形式の極値（最小値）であると理解できる。例えば、2次元トーラス上では、定数1次元形式とは、すべての「毛」が同じ方向にきちんと梳かれている（そしてすべての「毛」が同じ長さである）形式を想定することができる。この場合、コホモロジー的に異なる2つの梳かしがあり、その他はすべて線型結合である。特に、これは2次元トーラスの1次ベッティ数が2であることを意味する。より一般的には、次元トーラス上では、トーラス上のさまざまな形式の梳かしを考えることができる。の基底ベクトルを形成するために使用できる梳かしはいくつもある。したがって、 トーラスのド・ラーム・コホモロジー群の 次ベッティ数はとなる。 ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle T^{n}}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle H_{\text{dR}}^{k}(T^{n})}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle k}$

より正確には、微分多様体 Mに対して、何らかの補助的なリーマン計量を与えることができる。その場合、ラプラシアンは 次のように定義される 。 ${\displaystyle \Delta }$

${\displaystyle \Delta =d\delta +\delta d}$

外微分と共微分 を用いてラプラシアンは、微分形式の外積代数に作用する同次（次数において）線型微分作用素である。次数の各成分に対するその作用を個別に見ることができる。 ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle \delta }$ ${\displaystyle k}$

がコンパクトで向きがついている場合、k -形式の空間に作用するラプラシアン核の次元は、（ホッジ理論により）次数 のド・ラームコホモロジー群の次元に等しい。ラプラシアンは、閉形式の各コホモロジー類において、一意の調和形式を選択する。特に、上のすべての調和 -形式の空間はと同型である。このような各空間の次元は有限であり、 -次のベッティ数によって与えられる。 ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle H^{k}(M;\mathbb {R} ).}$ ${\displaystyle k}$

ホッジ分解

をコンパクトな有向リーマン多様体とする。ホッジ分解によれば、上の任意の -形式は3つのL ²成分の和に一意に分解される： ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle M}$

${\displaystyle \omega =\alpha +\beta +\gamma ,}$

ここで、 は正確、は共正確、は調和です。 ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle \beta }$ ${\displaystyle \gamma }$

ある形式 が共閉であるとは、 が共完全であるとは、ある形式 に対してが共完全であるとは、また がラプラシアン がゼロであるとき、 が調和的であるとは、よく言われる。これは、完全形式と共完全形式が直交していることに着目すれば明らかである。したがって、直交補形式は、閉形式かつ共閉形式である形式、すなわち調和形式から構成される。ここで、直交性は のL ²内積に関して定義される。 ${\displaystyle \beta }$ ${\displaystyle \delta \beta =0}$ ${\displaystyle \beta =\delta \eta }$ ${\displaystyle \eta }$ ${\displaystyle \gamma }$ ${\displaystyle \Delta \gamma =0}$ ${\displaystyle \Omega ^{k}(M)}$

${\displaystyle (\alpha ,\beta )=\int _{M}\alpha \wedge {\star \beta }.}$

ソボレフ空間やソボレフ超関数を用いることで、例えば完全な（有向あるいは無向の）リーマン多様体まで分解を拡張することができる。^[6]

参照

• ホッジ理論
• ファイバーに沿った積分（ド・ラームコホモロジーの場合、プッシュフォワードは積分によって与えられる）
• 束理論
• ${\displaystyle \partial {\bar {\partial }}}$コンパクトケーラー多様体の場合の正確な微分形式の改良のための補題。

引用

1. Lee 2013、440頁。
2. Tao, Terence (2007)「微分形式と積分」Princeton Companion to Mathematics 2008。Timothy Gowers 編。
3. エデレン、ドミニク・GB (2011).応用外面微積分（改訂版）. ミネオラ、ニューヨーク州: Dover Publications. ISBN 978-0-486-43871-9. OCLC  56347718。
4. ワーナー、フランク・W. (1983).微分可能多様体とリー群の基礎. ニューヨーク: シュプリンガー. ISBN 0-387-90894-3. OCLC  9683855.
5. Kycia, Radosław Antoni (2020). 「ポアンカレの補題、反厳密形式、そしてフェルミオン量子調和振動子」. Results in Mathematics . 75 (3) 122. arXiv : 1908.02349 . doi :10.1007/s00025-020-01247-8. ISSN  1422-6383. S2CID  199472766.
6. Jean-Pierre Demailly, 複素解析的および微分幾何学 第8章、§3。

参考文献

• リー、ジョン・M. (2013).滑らかな多様体入門.シュプリンガー・フェアラーク. ISBN 978-1-4419-9981-8。
• ボット、ラウル; トゥ、ローリング W. (1982)、代数的位相幾何学における微分形式、ベルリン、ニューヨーク：シュプリンガー・フェアラーク、ISBN 978-0-387-90613-3
• グリフィス、フィリップ、ハリス、ジョセフ（1994）、代数幾何学の原理、ワイリークラシックスライブラリー、ニューヨーク：ジョンワイリーアンドサンズ、ISBN 978-0-471-05059-9、MR  1288523
• ワーナー、フランク（1983）、微分可能多様体とリー群の基礎、ベルリン、ニューヨーク：シュプリンガー・フェアラーク、ISBN 978-0-387-90894-6

外部リンク

• MathifoldプロジェクトにおけるDe Rhamコホモロジーのアイデア
• 「デ・ラーム・コホモロジー」数学百科事典、EMSプレス、2001 [1994]

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