測地効果

重力プローブBの値を用いた測地効果の表現

測地効果（測地歳差運動、ド・ジッター歳差運動、ド・ジッター効果とも呼ばれる）は、一般相対性理論によって予測される時空の曲率が、軌道を周回する物体に伴って運ばれるベクトルに及ぼす影響である。例えば、重力探査機B実験で行われた地球を周回するジャイロスコープの角運動量などがそのベクトルとなる。測地効果は1916年にウィレム・デ・ジッターによって初めて予測され、地球・月系の運動に相対論的な補正が行われた。デ・ジッターの研究は1918年にヤン・スハウテン、1920年にアドリアン・フォッカーによって拡張された。^{[ 1 ]}また、これは天体の軌道の特定の永年歳差運動にも適用でき、ラプラス・ルンゲ・レンツ・ベクトルの回転に相当する。^{[ 2 ]}

測地効果という用語には、運動する物体が自転している場合と自転していない場合の2つのわずかに異なる意味があります。自転しない物体は測地線に沿って運動しますが、自転する物体はわずかに異なる軌道に沿って運動します。

ド・ジッター歳差とレンズ・サーリング歳差（フレームドラッグ）の違いは、ド・ジッター効果は単に中心質量の存在によるものであるのに対し、レンズ・サーリング歳差は中心質量の回転によるものである点です。歳差運動の全体は、ド・ジッター歳差とレンズ・サーリング歳差を合わせて計算されます。

実験による確認

測地効果は、地球周回軌道上のジャイロスコープの回転軸の傾きを測定する実験である重力プローブBによって、0.5%以上の精度で検証されました。 ^{[ 3 ]}最初の結果は、2007年4月14日にアメリカ物理学会の会議で発表されました。^{[ 4 ]}

公式

歳差運動を導くために、系が回転するシュワルツシルト計量であると仮定する。回転しない計量は

${\displaystyle ds^{2}=dt^{2}\left(1-{\frac {2m}{r}}\right)-dr^{2}\left(1-{\frac {2m}{r}}\right)^{-1}-r^{2}(d\theta ^{2}+\sin ^{2}\theta \,d\phi '^{2}),}$

ここで c  = G  = 1 です。

角速度 を持つ回転座標系を導入し、θ = π/2平面上の円軌道上の衛星が静止するようにする。これにより、 ${\displaystyle \omega }$

${\displaystyle d\phi =d\phi '-\omega \,dt.}$

この座標系において、半径rの位置にある観測者は、 rにあるベクトルが角周波数ωで回転しているのを観測します。しかし、この観測者は、相対論的な時間の遅れにより、 rの別の値にあるベクトルが異なる速度で回転しているのを観測します。シュワルツシルト計量を回転座標系に変換し、を定数と仮定すると、次式が得られます。 ${\displaystyle \theta }$

${\displaystyle {\begin{aligned}ds^{2}&=\left(1-{\frac {2m}{r}}-r^{2}\beta \omega ^{2}\right)\left(dt-{\frac {r^{2}\beta \omega }{1-2m/r-r^{2}\beta \omega ^{2}}}\,d\phi \right)^{2}-\\&-dr^{2}\left(1-{\frac {2m}{r}}\right)^{-1}-{\frac {r^{2}\beta -2mr\beta }{1-2m/r-r^{2}\beta \omega ^{2}}}\,d\phi ^{2},\end{aligned}}}$

θ = π/2平面を周回する物体の場合、β = 1となり、物体の世界線は常に一定の空間座標を維持する。ここで、計量は標準形となる。 ${\displaystyle \beta =\sin ^{2}(\theta )}$

${\displaystyle ds^{2}=e^{2\Phi }\left(dt-w_{i}\,dx^{i}\right)^{2}-k_{ij}\,dx^{i}\,dx^{j}.}$

この標準形から、固有時間におけるジャイロスコープの回転速度を簡単に決定することができる。

${\displaystyle {\begin{aligned}\Omega &={\frac {\sqrt {2}}{4}}e^{\Phi }[k^{ik}k^{jl}(\omega _{i,j}-\omega _{j,i})(\omega _{k,l}-\omega _{l,k})]^{1/2}=\\&={\frac {{\sqrt {\beta }}\omega (r-3m)}{r-2m-\beta \omega ^{2}r^{3}}}={\sqrt {\beta }}\omega .\end{aligned}}}$

ここで、最後の等式は、加速度が存在しない自由落下する観測者に対してのみ成り立ち、したがって、 ${\displaystyle \Phi ,_{i}=0}$

${\displaystyle \Phi ,_{i}={\frac {2m/r^{2}-2r\beta \omega ^{2}}{2(1-2m/r-r^{2}\beta \omega ^{2})}}=0.}$

この式をωについて解くと、

${\displaystyle \omega ^{2}={\frac {m}{r^{3}\beta }}.}$

これは本質的にケプラーの周期の法則であり、この特定の回転座標系の時間座標tで表すと相対論的に正確になります。回転座標系では、衛星は静止していますが、衛星に搭乗した観測者はジャイロスコープの角運動量ベクトルが速度 ω で歳差運動しているのを観測します。この観測者は遠方の星も回転しているのを観測しますが、時間の遅れにより、それらの回転速度はわずかに異なります。ジャイロスコープの固有時を τ とします。

${\displaystyle \Delta \tau =\left(1-{\frac {2m}{r}}-r^{2}\beta \omega ^{2}\right)^{1/2}\,dt=\left(1-{\frac {3m}{r}}\right)^{1/2}\,dt.}$

−2 m / rの項は重力による時間の遅れとして解釈され、追加の − m / rはこの基準系の回転によるものである。α' を回転系における累積歳差運動とする。 なので、遠方の恒星に対する1周回あたりの歳差運動は次のように与えられる。 ${\displaystyle \alpha '=\Omega \Delta \tau }$

${\displaystyle \alpha =\alpha '+2\pi =-2\pi {\sqrt {\beta }}{\Bigg (}\left(1-{\frac {3m}{r}}\right)^{1/2}-1{\Bigg )}.}$

一次テイラー級数では、

${\displaystyle \alpha \approx {\frac {3\pi m}{r}}{\sqrt {\beta }}={\frac {3\pi m}{r}}\sin(\theta ).}$

円軌道の周りの平行移動を用いた導出

ジャイロスコープのスピン4ベクトルの平行移動は、平行移動方程式^{[ 5 ]を使用して行われます。} ${\displaystyle \mathbf {S} }$

$${\displaystyle \nabla _{\mathbf {u} }\,\mathbf {S} \,=\,0}$$

ここでは速度4次元ベクトルであり、はに関する共変微分である。ここでは、接続係数がクリストッフェル記号である座標記述を用いる。これらは、通常の計量における シュワルツシルト幾何学 について、ソーンとブランドフォード^{[ 6 ]}によって与えられている。 ${\displaystyle \mathbf {u} }$ ${\displaystyle \nabla _{\mathbf {u} }}$ ${\displaystyle \mathbf {u} }$

$${\displaystyle d\,s^{2}\,=\,-{\Big (}1-{\frac {2M}{r}}{\Big )}\,dt^{2}\,+\,{\frac {d\,r^{2}}{1-{\frac {2\,M}{r}}}}\,+\,r^{2}d{\theta }^{2}\,+\,r^{2}\,\sin ^{2}\theta \;\,d\phi ^{2}}$$

重力定数と光速度に合わせて単位が選択されています。 ${\displaystyle G=1}$ ${\displaystyle c=1}$

平行移動は、自由落下する非加速物体に起こる現象です。回転しない球対称物体の周りの赤道円軌道では、半径は一定で、極角も一定です。 ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle \theta =\pi /2}$

$${\displaystyle u^{r}\,=\,u^{\mathbf {\theta } }\,=\,0}$$

接続係数を用いると、平行輸送方程式は次のようになる。 ${\displaystyle \Gamma _{\beta \,\gamma }^{\alpha }}$

$${\displaystyle {\frac {d\,S^{\alpha }}{d\,\tau }}\,+\,\Gamma _{\beta \,\gamma }^{\alpha }\,u^{\beta }\,S^{\gamma }\,=\,0}$$

ここで、固有時である。回転しない球対称物体の外側では、幾何学はシュワルツシルトとなるため、これらの接続係数を用いる。スピンが赤道面内にあると仮定すると、 のみが非ゼロとなる。これらの方程式は以下の通りである。 ${\displaystyle \tau }$ ${\displaystyle S^{\theta }=0}$ ${\displaystyle S^{t},S^{r},S^{\phi }}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {d\,S^{r}}{d\,\tau }}\,+\,\Gamma _{tt}^{r}\,u^{t}\,S^{t}\,+\,\Gamma _{\phi \,\phi }^{r}\,u^{\phi }\,S^{\phi }\,&=\,0\\{\frac {d\,S^{t}}{d\,\tau }}\,+\,\Gamma _{tr}^{t}\,u^{t}\,S^{r}\,&=\,0\\{\frac {d\,S^{\phi }}{d\,\tau }}\,+\,\Gamma _{\phi r}^{\phi }\,u^{\phi }\,S^{r}\,&=\,0\end{aligned}}}$$

ソーンとブランドフォードはシュワルツシルト幾何学における非ゼロの接続係数を列挙している。これらのすべてが方程式に現れるわけではない。

$${\displaystyle u^{r}\,=\,u^{\theta }\,=\,S^{\theta }\,=\,0}$$

これらの式における接続係数は定数とのみに依存します。最初の式を導関数し、2番目と3番目の式を代入すると、 ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle \theta }$

$${\displaystyle {\frac {d^{2}\,S^{r}}{d\,{\tau }^{2}}}\,=\,\Gamma _{tt}^{r}\,\Gamma _{tr}^{t}\,{(u^{t})}^{2}\,S^{r}\,+\,\Gamma _{\phi \,\phi }^{r}\,\Gamma _{\phi r}^{\phi }\,{(u^{\phi })}^{2}\,S^{r}}$$

これらの接続係数は^{[ 7 ]}

$${\displaystyle \Gamma _{tr}^{t}\,=\,{\frac {M}{r^{2}}}\,{\frac {1}{1-{\frac {2\,M}{r}}}},\;\;\;\Gamma _{tt}^{r}\,=\,{\frac {M}{r^{2}}}\,{\Big (}1-{\frac {2\,M}{r}}{\Big )},\;\;\;\Gamma _{\phi \phi }^{r}\,=\,-r\,\sin ^{2}\theta \;{\Big (}1-{\frac {2\,M}{r}}{\Big )},\;\;\;\Gamma _{\phi r}^{\phi }\,=\,{\frac {1}{r}}}$$

接続係数を代入すると、次のようになる。

$${\displaystyle {\frac {d^{2}\,S^{r}}{d\,{\tau }^{2}}}+{\Big (}{\Big (}1-{\frac {2\,M}{r}}{\Big )}\,(u^{\phi })^{2}\,-{\frac {M^{2}}{r^{4}}}\,(u^{t})^{2}\,{\Big )}\,S^{r}=\,0}$$

ミスナー、ソーン、ホイーラーはシュワルツシルト幾何学における軌道について広範囲に議論している。r>6Mの場合には安定な円軌道が存在する。^{[ 8 ]} このような円軌道については^{[ 9 ]}

$${\displaystyle {\omega }^{2}\,r^{3}\,=\,M\;\;\Rightarrow \;\;(u^{\phi })^{2}={\frac {M}{r^{3}}}\,(u^{t})^{2}}$$

を 代入すると ${\displaystyle (u^{t})^{2}}$

$${\displaystyle {\frac {d^{2}\,S^{r}}{d\,{\tau }^{2}}}+{\Big (}1-{\frac {3\,M}{r}}\,{\Big )}\,(u^{\phi })^{2}\,S^{r}=\,0}$$

は定数なので、この式は次のように書き直すことができる。 ${\displaystyle u^{\phi }}$

$${\displaystyle {\frac {d^{2}\,S^{r}}{d\,{\phi }^{2}}}+{\Big (}1-{\frac {3\,M}{r}}\,{\Big )}\,S^{r}\,=\,0}$$

独立変数は固有時 の代わりに になります。これは における周期運動を表します。 ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle \tau }$ ${\displaystyle \phi }$

の場合、これは1周ごとにラジアンの大きさの歳差運動を表します。高度650 kmのGravity Probe Bの場合、r=7028 kmとし、を に置き換えると、1周ごとに0.0012271秒角の歳差運動となります。公転周期は5862.6秒で、年間歳差運動は-6.605秒角となり、これは正確な予測値-6.6061秒角と観測値-6.601.8秒角に近い値です。 ${\displaystyle M\ll r}$ ${\displaystyle 3\,\pi \,M/r}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle G\,M_{\oplus }/c^{2}}$

トーマス歳差運動

ド・ジッター歳差を、トーマス歳差と呼ばれる運動学的効果と、重力によって曲がった時空によって引き起こされる幾何学的効果の組み合わせに分解することができます。少なくとも1人の著者^{[ 10 ]}はこのように説明していますが、他の著者は「トーマス歳差は地球表面上のジャイロスコープには影響しますが…自由に移動する衛星内のジャイロスコープには影響しません」と述べています^{[ 11 ]} 。前者の解釈に対する反論は、必要なトーマス歳差の符号が間違っているというものです。フェルミ・ウォーカー輸送方程式^{[ 12 ]}は測地学的効果とトーマス歳差の両方を与え、曲がった時空における加速運動におけるスピン4元ベクトルの輸送を記述します。スピン4元ベクトルは速度4元ベクトルと直交します。フェルミ・ウォーカー輸送はこの関係を維持します加速がない場合、フェルミ・ウォーカー輸送は測地線に沿った単なる平行輸送であり、測地線効果によるスピン歳差運動を与える。平坦なミンコフスキー時空における等速円運動による加速の場合、フェルミ・ウォーカー輸送はトーマス歳差運動を与える。

参照

• フレームドラッグ
• 一般相対論における測地線
• 重力井戸
• 重力物理学と相対性理論のタイムライン

注釈

1. ジャン・アイゼンシュテット、アン・J・コックス (1988).一般相対性理論の歴史研究.ビルクハウザー. p. 42. ISBN 0-8176-3479-7。
2. de Sitter, W (1916). 「アインシュタインの重力理論とその天文学的帰結について」 . Mon. Not. R. Astron. Soc . 77 : 155–184 . Bibcode : 1916MNRAS..77..155D . doi : 10.1093/mnras/ 77.2.155
3. Everitt, CWF; Parkinson, BW (2009). 「Gravity Probe B の科学的成果—NASA最終報告書」(PDF) . 2009年5月2日閲覧。
4. カーン、ボブ (2007年4月14日). 「アインシュタインは正しかったのか？ 科学者たちが重力探査機Bの成果を初めて一般公開」(PDF) .スタンフォード・ニュース. 2023年1月3日閲覧。
5. ミスナー、チャールズ・W、ソーン、キップ・S、ホイーラー、ジョン・アーチボルド (2017). 『重力』 プリンストン：プリンストン大学出版局. pp.  207– 211. ISBN 978-0-691-17779-3。
6. キップ・S・ソーン著、ロジャー・D・ブランドフォード著 (2017).現代古典物理学. プリンストン：プリンストン大学出版局. pp.  1241– 1244. ISBN 9780691159027。
7. ソーンとブランドフォード著『現代古典物理学』1243ページ
8. ミスナー、ソーン、ホイーラー『重力』639ページ
9. ミスナー、ソーン、ホイーラー『重力』668ページ
10. リンドラー、234ページ
11. ミスナー、ソーン、ホイーラー『重力』1118ページ
12. ミスナー、ソーン、ホイーラー『重力』165ページ、175-176ページ、1117-1121ページ

参考文献

• ヴォルフガング・リンドラー（2006）『相対性理論：特殊相対性、一般相対性、宇宙相対性』（第2版）、オックスフォード大学出版局、ISBN 978-0-19-856731-8

外部リンク

• NASAとスタンフォード大学の重力探査機Bのウェブサイト
• 曲がった空間における歳差運動「測地学的効果」
• 測地効果

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