多様体分解
数学の一分野である位相幾何学において、多様体M は、 M をより小さな断片の組み合わせとして記述することで、分解または分割されることがあります。その際には、それらの断片が何であるか、そしてそれらがどのように組み合わされてMを形成するかを明確にする必要があります。
多様体分解には2つの方向性があります。一つは、小さな部分から始めて多様体を構築する方法、もう一つは、大きな多様体から始めてそれを分解する方法です。後者は、多様体を研究する上で非常に有用な方法であることが証明されています。分解のようなツールがなければ、多様体を理解することは非常に困難な場合があります。特に、3次元多様体の分類や、高次元ポアンカレ予想の証明において有用です。
以下の表は、様々な多様体分解手法の概要です。「 M 」という列は、どのような多様体を分解できるかを示しています。「分解方法」という列は、多様体からどのように小さな断片に分解できるかを示しています。「断片」という列は、断片がどのようなものであるかを示しています。「それらの組み合わせ方法」という列は、小さな断片がどのように組み合わされて大きな多様体が形成されるかを示しています。
| 分解の種類 | M | 分解方法 | ピース | どのように組み合わせるか |
|---|---|---|---|---|
| 三角測量 | 次元によって異なります。3次元では、エドウィン・E・モイゼの定理により、すべての3次元多様体は共通の細分を除いて一意の三角形分割を持つとされています。4次元では、すべての多様体が三角形分割可能であるわけではありません。高次元では、三角形分割の一般的な存在は未知です。 | 単体 | 共次元1の面のペアを接着する | |
| ヤコ・シャレン/ヨハンソントーラス分解 | 既約、方向付け可能な、コンパクトな 3 多様体 | 埋め込まれたトーラスに沿って切る | アトロイダルまたはザイフェルトファイバー3次元多様体 | 自明な同相写像を用いて境界に沿って結合する |
| 素分解 | 本質的には曲面と3次元多様体です。多様体が有向性を持つ場合、分解は一意です。 | 埋め込まれた球に沿って切断し、その結果生じる境界に沿って、分離した球と自明な同相写像によって結合します。 | 素多様体 | 連結合計 |
| ヒーガード分割 | 閉じた、向き付け可能な 3次元多様体 | 同じ属の2つのハンドルボディ | 何らかの同相による境界に沿った結合 | |
| ハンドル分解 | 任意のコンパクト（滑らかな）n次元多様体（分解は一意ではない） | モールス関数を通じて、各臨界点にハンドルが関連付けられます。 | ボール（ハンドルと呼ばれる） | 境界のサブセットに沿って結合します。ハンドルは通常、特定の順序で追加する必要があることに注意してください。 |
| ハケン階層 | 任意のハーケン多様体 | 非圧縮面の連続に沿って切断する | 3ボール | |
| ディスク分解 | 特定のコンパクトで配向可能な 3 多様体 | マニホールドを縫合し、特殊なサーフェスに沿って切断します (境界曲線と縫合の条件...) | 3ボール | |
| オープンブック分解 | 任意の閉じた 有向3次元多様体 | リンクと、そのリンクと境界を共有する2次元多様体の族 | ||
| トリゲヌス | コンパクトで閉じた3次元多様体 | 手術 | 3つの方向転換可能なハンドルボディ | ハンドルボディの境界上のサブサーフェスに沿った結合 |
参照
参考文献
