Transformation of a body from a reference configuration to a current configuration
細い直線棒が閉ループ状に変形する現象。棒の長さは変形中もほとんど変化しないため、ひずみが小さいことを示しています。この曲げの場合、棒内の材料要素の剛体並進および回転に伴う変位は、ひずみに伴う変位よりもはるかに大きくなります。 SI基本単位
m 寸法 次元 L {\displaystyle {\mathsf {L}}}
物理学 および 連続体力学 において 、 変形 とは物体の 形状 またはサイズの変化です。SI 単位 系は メートル （m）で、 長さ の 次元を持ちます。非 剛体 における粒子の 残留変位として、初期配置から最終配置まで、物体の平均的な並進および回転（剛体変換）を除いて定量 化されます 。 [ 1 ] 配置 と は 、 物体 の すべて の 粒子 の 位置を含む集合です。
は、外部荷重 、 [2] 固有の活動（例： 筋肉の収縮 ）、 体積力（ 重力 や 電磁力 など ）、または温度、水分含有量、化学反応などの変化 によって発生する可能性があります
連続体 では 、 変形場は、加えられた 力 による 応力 場、または物体の状態の何らかの変化によって生じます。応力と ひずみ （相対変形）の関係は、 構成方程式 （例： 線形弾性 材料 の フックの法則 ）によって表されます
応力場が除去された後に存在しなくなる変形は 弾性変形 と呼ばれます。この場合、連続体は元の形状に完全に回復します。一方、不可逆な変形が残ることもあり、これは応力が除去された後も存在します。不可逆な変形の1つのタイプは 塑性変形 であり、これは応力が弾性限界 または 降伏応力 と呼ばれる特定の閾値に達した後に物質体に発生し、 原子レベルでの 滑り または 転位 メカニズムの結果です。もう1つのタイプの不可逆な変形は 粘性変形であり、これは 粘弾性 変形の不可逆な部分です 。弾性変形の場合、ひずみと変形応力を結び付ける応答関数は 材料の コンプライアンステンソルです。
変形とは、連続体の計量特性の変化であり、最初の物体配置で描かれた曲線が、最終的な配置の曲線に変位すると、その長さが変化することを意味します。どの曲線も長さが変化しない場合は、 剛体 変位が発生したと言われます。
連続体のすべての後続の配置の参照となる、参照配置または初期の幾何学的状態を特定すると便利です。参照配置は、物体が実際に占める配置である必要はありません。多くの場合、 t = 0 での構成が参照配置 κ 0 ( B )と見なされます。現在の時刻 t での構成が 現在の配置 です 。
変形解析では、参照配置は 変形前の配置 、現在の配置は 変形後の配置 として識別されます。さらに、変形を解析する際には時間は考慮されないため、変形前の配置と変形後の配置間の配置の順序は重要ではありません
基準座標系を基準とした、基準配置における粒子の 位置ベクトル X の成分 X i は、物質座標または基準座標 と呼ばれます。一方、基準空間座標系を基準とした、変形配置における粒子の 位置ベクトル xの成分 x i は、空間座標 と呼ばれます。
連続体の変形を解析する方法は2つあります。1つは物質座標または基準座標で記述され、 物質記述またはラグランジュ記述 と呼ばれます。もう1つは空間座標で記述され、 空間記述またはオイラー記述 と呼ばれます。
連続体の変形中は、以下の意味で連続性があります。
ある瞬間に閉曲線を形成する質点は、その後のどの瞬間にも常に閉曲線を形成します。 ある瞬間に閉面を形成する質点は、その後のどの瞬間にも常に閉面を形成し、閉面内の物質は常にその中に留まります。
アフィン 変形は、 アフィン変換 によって完全に記述できる変形です。このような変換は、 線形変換 （回転、せん断、伸長、圧縮など）と剛体の並進で構成されます。アフィン変形は、 同次変形 とも呼ばれます 。 [3]
したがって、アフィン変形は次の形式を持ちます
。 ここで、 x は変形された構成における点の位置、 X は基準構成における位置、 t は時間的パラメータ、 F は線形変換器、 c は並進運動です。行列形式では、成分は直交基底を基準とします。 x ( X , t ) = F ( t ) ⋅ X + c ( t ) {\displaystyle \mathbf {x} (\mathbf {X} ,t)={\boldsymbol {F}}(t)\cdot \mathbf {X} +\mathbf {c} (t)} [ x 1 ( X 1 , X 2 , X 3 , t ) x 2 ( X 1 , X 2 , X 3 , t ) x 3 ( X 1 , X 2 , X 3 , t ) ] = [ F 11 ( t ) F 12 ( t ) F 13 ( t ) F 21 ( t ) F 22 ( t ) F 23 ( t ) F 31 ( t ) F 32 ( t ) F 33 ( t ) ] [ X 1 X 2 X 3 ] + [ c 1 ( t ) c 2 ( t ) c 3 ( t ) ] {\displaystyle {\begin{bmatrix}x_{1}(X_{1},X_{2},X_{3},t)\\x_{2}(X_{1},X_{2},X_{3},t)\\x_{3}(X_{1},X_{2},X_{3},t)\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}F_{11}(t)&F_{12}(t)&F_{13}(t)\\F_{21}(t)&F_{22}(t)&F_{23}(t)\\F_{31}(t)&F_{32}(t)&F_{33}(t)\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}X_{1}\\X_{2}\\X_{3}\end{bmatrix}}+{\begin{bmatrix}c_{1}(t)\\c_{2}(t)\\c_{3}(t)\end{bmatrix}}}
上記の変形は、 F = F ( X , t ) または c = c ( X , t ) の場合、 非アフィン または 非同次に なります。
剛体運動 剛体運動は、せん断、伸長、圧縮を伴わない特殊なアフィン変形です。変換行列 F は 、回転は許容しますが反射は 許容しないために、 真に直交 です
剛体の運動は、 行列形式で 次のよう
に記述できます。 x ( X , t ) = Q ( t ) ⋅ X + c ( t ) {\displaystyle \mathbf {x} (\mathbf {X} ,t)={\boldsymbol {Q}}(t)\cdot \mathbf {X} +\mathbf {c} (t)} Q ⋅ Q T = Q T ⋅ Q = 1 {\displaystyle {\boldsymbol {Q}}\cdot {\boldsymbol {Q}}^{T}={\boldsymbol {Q}}^{T}\cdot {\boldsymbol {Q}}={\boldsymbol {\mathit {1}}}} [ x 1 ( X 1 , X 2 , X 3 , t ) x 2 ( X 1 , X 2 , X 3 , t ) x 3 ( X 1 , X 2 , X 3 , t ) ] = [ Q 11 ( t ) Q 12 ( t ) Q 13 ( t ) Q 21 ( t ) Q 22 ( t ) Q 23 ( t ) Q 31 ( t ) Q 32 ( t ) Q 33 ( t ) ] [ X 1 X 2 X 3 ] + [ c 1 ( t ) c 2 ( t ) c 3 ( t ) ] {\displaystyle {\begin{bmatrix}x_{1}(X_{1},X_{2},X_{3},t)\\x_{2}(X_{1},X_{2},X_{3},t)\\x_{3}(X_{1},X_{2},X_{3},t)\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}Q_{11}(t)&Q_{12}(t)&Q_{13}(t)\\Q_{21}(t)&Q_{22}(t)&Q_{23}(t)\\Q_{31}(t)&Q_{32}(t)&Q_{33}(t)\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}X_{1}\\X_{2}\\X_{3}\end{bmatrix}}+{\begin{bmatrix}c_{1}(t)\\c_{2}(t)\\c_{3}(t)\end{bmatrix}}}
背景：変位 図1. 連続体の運動 連続体の構成の変化は、 変位 をもたらします。物体の変位には、剛体変位と変形という2つの要素があります。剛体変位は、物体の形状や大きさを変えずに、同時に並進と回転を行うことで構成されます。変形とは、物体の形状および／または大きさが、初期または変形されていない構成 κ 0 ( B ) から現在のまたは変形された構成 κ t ( B ) に変化することを指します（図1）。
連続体の変位後に粒子間の相対変位が生じた場合、変形が発生したと判断されます。一方、連続体の変位後に粒子間の相対変位が現在の配置においてゼロになった場合、変形は発生しておらず、剛体変位が発生したと判断されます。
変形前の配置と変形後の配置における粒子 P の位置を結ぶベクトルは 、ラグランジュ記述では 変位ベクトル u ( X , t )= u i e i 、オイラー記述ではU ( x , t )= U J E J と呼ばれます。
変位 場 とは、物体内のすべての粒子のすべての変位ベクトルのベクトル場であり、変形後の配置と変形前の配置を関連付けます。連続体の変形または運動の解析は、変位場を用いて行うと便利です。一般に、変位場は物質座標系では次のように、 空間座標系では次のよう
に表されます。 ここで、 αJi は 、 それぞれ単位ベクトルEJ と e i を持つ物質座標系と空間座標系間の方向余弦です 。したがって
、 u i と U J の関係は 次のように表されます
。 u ( X , t ) = b ( X , t ) + x ( X , t ) − X or u i = α i J b J + x i − α i J X J {\displaystyle \mathbf {u} (\mathbf {X} ,t)=\mathbf {b} (\mathbf {X} ,t)+\mathbf {x} (\mathbf {X} ,t)-\mathbf {X} \qquad {\text{or}}\qquad u_{i}=\alpha _{iJ}b_{J}+x_{i}-\alpha _{iJ}X_{J}} U ( x , t ) = b ( x , t ) + x − X ( x , t ) or U J = b J + α J i x i − X J {\displaystyle \mathbf {U} (\mathbf {x} ,t)=\mathbf {b} (\mathbf {x} ,t)+\mathbf {x} -\mathbf {X} (\mathbf {x} ,t)\qquad {\text{or}}\qquad U_{J}=b_{J}+\alpha _{Ji}x_{i}-X_{J}} E J ⋅ e i = α J i = α i J {\displaystyle \mathbf {E} _{J}\cdot \mathbf {e} _{i}=\alpha _{Ji}=\alpha _{iJ}} u i = α i J U J or U J = α J i u i {\displaystyle u_{i}=\alpha _{iJ}U_{J}\qquad {\text{or}}\qquad U_{J}=\alpha _{Ji}u_{i}}
次式
が 成り立つことを知っていると e i = α i J E J {\displaystyle \mathbf {e} _{i}=\alpha _{iJ}\mathbf {E} _{J}} u ( X , t ) = u i e i = u i ( α i J E J ) = U J E J = U ( x , t ) {\displaystyle \mathbf {u} (\mathbf {X} ,t)=u_{i}\mathbf {e} _{i}=u_{i}(\alpha _{iJ}\mathbf {E} _{J})=U_{J}\mathbf {E} _{J}=\mathbf {U} (\mathbf {x} ,t)}
変形前の構成と変形後の構成の座標系を重ね合わせるのがよく行われ、その結果 b = 0 となり、方向余弦は クロネッカーのデルタ になります。 E J ⋅ e i = δ J i = δ i J {\displaystyle \mathbf {E} _{J}\cdot \mathbf {e} _{i}=\delta _{Ji}=\delta _{iJ}}
したがって、 空間座標では次のように
表されます。 u ( X , t ) = x ( X , t ) − X or u i = x i − δ i J X J = x i − X i {\displaystyle \mathbf {u} (\mathbf {X} ,t)=\mathbf {x} (\mathbf {X} ,t)-\mathbf {X} \qquad {\text{or}}\qquad u_{i}=x_{i}-\delta _{iJ}X_{J}=x_{i}-X_{i}} U ( x , t ) = x − X ( x , t ) or U J = δ J i x i − X J = x J − X J {\displaystyle \mathbf {U} (\mathbf {x} ,t)=\mathbf {x} -\mathbf {X} (\mathbf {x} ,t)\qquad {\text{or}}\qquad U_{J}=\delta _{Ji}x_{i}-X_{J}=x_{J}-X_{J}}
変位勾配テンソル 変位ベクトルを材料座標で偏微分すると、 材料変位勾配テンソル ∇ X u が得られます。したがって、次のように表されます。 または、 ここで F は変形勾配テンソル です 。 u ( X , t ) = x ( X , t ) − X ∇ X u = ∇ X x − I ∇ X u = F − I {\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {u} (\mathbf {X} ,t)&=\mathbf {x} (\mathbf {X} ,t)-\mathbf {X} \\\nabla _{\mathbf {X} }\mathbf {u} &=\nabla _{\mathbf {X} }\mathbf {x} -\mathbf {I} \\\nabla _{\mathbf {X} }\mathbf {u} &=\mathbf {F} -\mathbf {I} \end{aligned}}} u i = x i − δ i J X J = x i − X i ∂ u i ∂ X K = ∂ x i ∂ X K − δ i K {\displaystyle {\begin{aligned}u_{i}&=x_{i}-\delta _{iJ}X_{J}=x_{i}-X_{i}\\{\frac {\partial u_{i}}{\partial X_{K}}}&={\frac {\partial x_{i}}{\partial X_{K}}}-\delta _{iK}\end{aligned}}}
同様に、変位ベクトルを空間座標で偏微分すると、 空間変位勾配テンソル ∇ x U が得られます。したがって、次のように
表されます。 または U ( x , t ) = x − X ( x , t ) ∇ x U = I − ∇ x X ∇ x U = I − F − 1 {\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {U} (\mathbf {x} ,t)&=\mathbf {x} -\mathbf {X} (\mathbf {x} ,t)\\\nabla _{\mathbf {x} }\mathbf {U} &=\mathbf {I} -\nabla _{\mathbf {x} }\mathbf {X} \\\nabla _{\mathbf {x} }\mathbf {U} &=\mathbf {I} -\mathbf {F} ^{-1}\end{aligned}}} U J = δ J i x i − X J = x J − X J ∂ U J ∂ x k = δ J k − ∂ X J ∂ x k {\displaystyle {\begin{aligned}U_{J}&=\delta _{Ji}x_{i}-X_{J}=x_{J}-X_{J}\\{\frac {\partial U_{J}}{\partial x_{k}}}&=\delta _{Jk}-{\frac {\partial X_{J}}{\partial x_{k}}}\end{aligned}}}
例 均質変形（またはアフィン変形）は、材料の挙動を解明するのに役立ちます。対象となる均質変形には、
梁や繊維などの長い物体の線形または縦方向の変形は、伸び または 短縮 と呼ばれます 。 導出される量は、 相対伸び と 伸長率です
平面変形もまた、特に実験の文脈において興味深いものです。
体積変形は、等方性 圧縮 による均一なスケーリングです。相対的な体積変形は 体積ひずみ と呼ばれます 。
平面変形（ 平面ひずみ とも呼ばれる）は、変形が基準配置の平面の1つに制限される変形です。変形が基底ベクトル e 1 、 e 2 で記述される平面に制限される場合、 変形勾配は 行列形式で 次の形になります
。 極分解定理 から 、座標変更までの変形勾配は、伸張と回転に分解できます。すべての変形は平面内で行われるため、 [3] のように書くことができます。
ここで 、θ は回転角、 λ 1 、 λ 2 は主伸張 です 。 F = F 11 e 1 ⊗ e 1 + F 12 e 1 ⊗ e 2 + F 21 e 2 ⊗ e 1 + F 22 e 2 ⊗ e 2 + e 3 ⊗ e 3 {\displaystyle {\boldsymbol {F}}=F_{11}\mathbf {e} _{1}\otimes \mathbf {e} _{1}+F_{12}\mathbf {e} _{1}\otimes \mathbf {e} _{2}+F_{21}\mathbf {e} _{2}\otimes \mathbf {e} _{1}+F_{22}\mathbf {e} _{2}\otimes \mathbf {e} _{2}+\mathbf {e} _{3}\otimes \mathbf {e} _{3}} F = [ F 11 F 12 0 F 21 F 22 0 0 0 1 ] {\displaystyle {\boldsymbol {F}}={\begin{bmatrix}F_{11}&F_{12}&0\\F_{21}&F_{22}&0\\0&0&1\end{bmatrix}}} F = R ⋅ U = [ cos θ sin θ 0 − sin θ cos θ 0 0 0 1 ] [ λ 1 0 0 0 λ 2 0 0 0 1 ] {\displaystyle {\boldsymbol {F}}={\boldsymbol {R}}\cdot {\boldsymbol {U}}={\begin{bmatrix}\cos \theta &\sin \theta &0\\-\sin \theta &\cos \theta &0\\0&0&1\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\lambda _{1}&0&0\\0&\lambda _{2}&0\\0&0&1\end{bmatrix}}}
変形が等容積（体積保存）の場合、 det( F ) = 1 となり、次の式が成り立ちます。あるいは 、 F 11 F 22 − F 12 F 21 = 1 {\displaystyle F_{11}F_{22}-F_{12}F_{21}=1} λ 1 λ 2 = 1 {\displaystyle \lambda _{1}\lambda _{2}=1}
単純せん断 単純 せん断 変形は、変形中に長さと方向が変化しない、与えられた基準方向を持つ線要素の集合が存在する等容積平面変形として定義されます。 [3]
線要素が変形中に変形しない固定基準方向を e 1 とすると、 λ 1 = 1 、 F · e 1 = e 1 となります。したがって、 変形は等容積であるため、
次のように 定義します 。すると、単純せん断における変形勾配は 次のように表すことができます。
変形勾配は次の よう にも書けます
。 F 11 e 1 + F 21 e 2 = e 1 ⟹ F 11 = 1 ; F 21 = 0 {\displaystyle F_{11}\mathbf {e} _{1}+F_{21}\mathbf {e} _{2}=\mathbf {e} _{1}\quad \implies \quad F_{11}=1~;~~F_{21}=0} F 11 F 22 − F 12 F 21 = 1 ⟹ F 22 = 1 {\displaystyle F_{11}F_{22}-F_{12}F_{21}=1\quad \implies \quad F_{22}=1} γ := F 12 {\displaystyle \gamma :=F_{12}} F = [ 1 γ 0 0 1 0 0 0 1 ] {\displaystyle {\boldsymbol {F}}={\begin{bmatrix}1&\gamma &0\\0&1&0\\0&0&1\end{bmatrix}}} F ⋅ e 2 = F 12 e 1 + F 22 e 2 = γ e 1 + e 2 ⟹ F ⋅ ( e 2 ⊗ e 2 ) = γ e 1 ⊗ e 2 + e 2 ⊗ e 2 {\displaystyle {\boldsymbol {F}}\cdot \mathbf {e} _{2}=F_{12}\mathbf {e} _{1}+F_{22}\mathbf {e} _{2}=\gamma \mathbf {e} _{1}+\mathbf {e} _{2}\quad \implies \quad {\boldsymbol {F}}\cdot (\mathbf {e} _{2}\otimes \mathbf {e} _{2})=\gamma \mathbf {e} _{1}\otimes \mathbf {e} _{2}+\mathbf {e} _{2}\otimes \mathbf {e} _{2}} e i ⊗ e i = 1 {\displaystyle \mathbf {e} _{i}\otimes \mathbf {e} _{i}={\boldsymbol {\mathit {1}}}} F = 1 + γ e 1 ⊗ e 2 {\displaystyle {\boldsymbol {F}}={\boldsymbol {\mathit {1}}}+\gamma \mathbf {e} _{1}\otimes \mathbf {e} _{2}}
参照
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