連続写像の次数

Concept in topology

球面から球自体への 2 次写像。

位相幾何学において、同じ次元の2つのコンパクト有向多様体間の連続写像の次数とは、写像のもとで領域多様体が値域多様体を包む回数を表す数値である。次数は常に整数であるが、向きによって正または負の値をとる場合がある。

一般多様体間の写像の次数は、ブラウワー^[1]によって初めて定義されました。彼は次数がホモトピー不変であることを示し、それを用いてブラウワーの不動点定理を証明しました。この概念のより一般性の低い形式は、ブラウワー以前にも存在しており、例えば、巻き数やクロネッカー標数（またはクロネッカー積分）などが挙げられます。^[2]

現代数学において、写像の次数は位相幾何学と幾何学において重要な役割を果たします。物理学においては、連続写像（例えば、空間からある秩序パラメータ集合への写像）の次数は位相量子数の一例です。

学位の定義

からSⁿにSⁿ

最も単純かつ最も重要なケースは、 -球面からそれ自身への連続写像の次数である（ の場合、これは巻き数と呼ばれる）。 ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle S^{n}}$ ${\displaystyle n=1}$

を連続写像とする。すると、は番目のホモロジー群であるプッシュフォワード準同型を誘導する。 という事実を考慮すると、 は固定された に対して の形をとる必要があることがわかる。これはの次数と呼ばれる。 ${\displaystyle f\colon S^{n}\to S^{n}}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f_{*}\colon H_{n}\left(S^{n}\right)\to H_{n}\left(S^{n}\right)}$ ${\displaystyle H_{n}\left(\cdot \right)}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle H_{n}\left(S^{n}\right)\cong \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle f_{*}}$ ${\displaystyle f_{*}\colon x\mapsto \alpha x}$ ${\displaystyle \alpha \in \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle f}$

多様体間

代数的位相幾何学

XとYを閉連結な向き 付けられた m次元多様体とする。ポアンカレ双対性は、多様体のトップホモロジー群がZと同型であることを意味する。向きを選択することは、トップホモロジー群の生成元を選択することを意味する。

連続写像f  : X → Y は、 H _m ( X )から H _m ( Y )への準同型写像f _{∗ を誘導する。[} X ] と [ Y ] をそれぞれH _m ( X ) とH _m ( Y ) （あるいはX , Yの基本類）の生成元とする。このとき、fの次数はf _* ([ X ] )と定義される。言い換えれば、

${\displaystyle f_{*}([X])=\deg(f)[Y]\,.}$

yがYに含まれ、f ⁻¹ ( y ) が有限集合である場合、 fの次数はf ⁻¹ ( y )の各点におけるXのm番目の局所ホモロジー群を考慮することで計算できます。つまり、の 場合、 ${\displaystyle f^{-1}(y)=\{x_{1},\dots ,x_{m}\}}$

${\displaystyle \deg(f)=\sum _{i=1}^{m}\deg(f|_{x_{i}})\,.}$

微分位相幾何学

微分位相幾何学の言語では、滑らかな写像の次数は次のように定義できる。fがコンパクト多様体である滑らかな写像であり、pがfの正規な値である場合、有限集合を考える。

${\displaystyle f^{-1}(p)=\{x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n}\}\,.}$

pが正規の値であるとき、各x _iの近傍において、写像fは局所微分同相写像となる。微分同相写像は、向きを保存するか向きを反転するかのいずれかである。fが向きを保存する点x _iの数をrとし、向きを反転する点の数をsとする。fの余域が連結である場合、数r  −  sはpの選択に依存しない（ただしnは独立である！）。そして、fの次数はr  −  sと定義される。この定義は、上記の代数的位相定義と一致する。

同じ定義は境界を持つコンパクト多様体にも適用できますが、その場合、f はXの境界をYの境界に送る必要があります。

2を法とする次数（deg ₂ ( f )）を、前述と同じ方法で定義することもできますが、 Z ₂ホモロジーの基本類を用います。この場合、deg ₂ ( f ) はZ ₂（2つの元を持つ体）の元であり、多様体は向き付け可能である必要はなく、nが前述と同様にpの逆像の数である場合、deg ₂ ( f ) はn を法とする 2 です。

微分形式の積分は、 (C ^∞ -)特異ホモロジーとド・ラーム・コホモロジーの対となる。ここで、はサイクルで表されるホモロジー類であり、ド・ラーム・コホモロジー類を表す閉形式である。向き付け可能なm-多様体間の滑らかな写像f : X → Yに対して、 ${\textstyle \langle c,\omega \rangle =\int _{c}\omega }$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle \omega }$

${\displaystyle \left\langle f_{*}[c],[\omega ]\right\rangle =\left\langle [c],f^{*}[\omega ]\right\rangle ,}$

ここでf _∗とf ^∗_はそれぞれ鎖と形式上の誘導写像である。f ∗ [ X ] = deg f · [ Y ]なので、

${\displaystyle \deg f\int _{Y}\omega =\int _{X}f^{*}\omega \,}$

Y上の任意のm形式ωに対して。

閉鎖地域の地図

が有界領域で滑らかで、正規の値で、次数が次の式で定義される。 ${\displaystyle \Omega \subset \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle f:{\bar {\Omega }}\to \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle p\notin f(\partial \Omega )}$ ${\displaystyle \deg(f,\Omega ,p)}$

${\displaystyle \deg(f,\Omega ,p):=\sum _{y\in f^{-1}(p)}\operatorname {sgn} \det(Df(y))}$

ここで、のヤコビ行列です。 ${\displaystyle Df(y)}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle y}$

この次数の定義は、がに近い点であるような非正規な値に対しても自然に拡張できる。位相次数はの境界上の面積分を用いて計算することもできる。 [ ^3]また、 が連結なn次元多面体である場合、次数はその面の特定の区分における行列式の和として表すことができる。^[4] ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle \deg(f,\Omega ,p)=\deg \left(f,\Omega ,p'\right)}$ ${\displaystyle p'}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle \Omega }$ ${\displaystyle \Omega }$

この度合いは以下の性質を満たす: ^[5]

• ならば、 となるような が存在する。 ${\displaystyle \deg \left(f,{\bar {\Omega }},p\right)\neq 0}$ ${\displaystyle x\in \Omega }$ ${\displaystyle f(x)=p}$
• ${\displaystyle \deg(\operatorname {id} ,\Omega ,y)=1}$すべてのために。 ${\displaystyle y\in \Omega }$
• 分解プロパティ:がおよびの互いに素な部分である場合。 $${\displaystyle \deg(f,\Omega ,y)=\deg(f,\Omega _{1},y)+\deg(f,\Omega _{2},y),}$$ ${\displaystyle \Omega _{1},\Omega _{2}}$ ${\displaystyle \Omega =\Omega _{1}\cup \Omega _{2}}$ ${\displaystyle y\not \in f{\left({\overline {\Omega }}\setminus \left(\Omega _{1}\cup \Omega _{2}\right)\right)}}$
• ホモトピー不変性:および となるホモトピーを介して、およびがホモトピー同値である場合、 となります。 ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle F(t)}$ ${\displaystyle F(0)=f,\,F(1)=g}$ ${\displaystyle p\notin F(t)(\partial \Omega )}$ ${\displaystyle \deg(f,\Omega ,p)=\deg(g,\Omega ,p)}$
• 関数は 上で局所的に一定です。 ${\displaystyle p\mapsto \deg(f,\Omega ,p)}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}-f(\partial \Omega )}$

これらの特性は次数を一意に特徴づけ、次数はそれらによって公理的に定義することができます。

同様に、境界を持つコンパクト有向多様体間の写像の次数を定義できます。

プロパティ

写像の次数はホモトピー不変量です。さらに、球面からそれ自身への連続写像の場合、次数は完全なホモトピー不変量です。つまり、2 つの写像がホモトピー的である場合は、次の式が成り立ちます。 ${\displaystyle f,g:S^{n}\to S^{n}\,}$ ${\displaystyle \deg(f)=\deg(g)}$

言い換えれば、次数はとの間の同型です。 ${\displaystyle \left[S^{n},S^{n}\right]=\pi _{n}S^{n}}$ ${\displaystyle \mathbf {Z} }$

さらにホップの定理によれば、任意の -次元閉有向多様体Mに対して、2つの写像がホモトピックとなるのは、 ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle f,g:M\to S^{n}}$ ${\displaystyle \deg(f)=\deg(g).}$

n球面の自己写像がn+1球面からn球面への写像に拡張可能であるのは、 の場合に限ります。(ここで、関数Fは、 fがFの への制限であるという意味でfを拡張します。) ${\displaystyle f:S^{n}\to S^{n}}$ ${\displaystyle F:B_{n+1}\to S^{n}}$ ${\displaystyle \deg(f)=0}$ ${\displaystyle S^{n}}$

度数の計算

n次元ボックスB （ n個の区間の積）からへの連続関数fの位相次数deg( f , B ,0)を計算するアルゴリズムがある。ここでfは算術式の形で与えられる。^[6]このアルゴリズムの実装は、次数を計算するソフトウェアツールTopDeg（LGPL-3）で利用できる。 ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$

参照

• 被覆数（covering number）は、似た名前の用語である。これは巻き数を一般化するものではなく、ボールによる集合の被覆を表すものであることに注意されたい。
• 密度（多面体）、多面体の類似物
• 位相次数理論

注記

1. ブラウワー、LEJ (1911)。 「マニヒファルティッヒケイテンの魅力」。数学アンナレン。71 (1): 97–115 .土井:10.1007/bf01456931。S2CID  177796823。
2. Siegberg, Hans Willi (1981). 「次数理論に関する歴史的考察」.アメリカ数学月刊誌. 88 (2): 125– 139. doi :10.2307/2321135. JSTOR  2321135.
3. Polymilis, C.; Servizi, G.; Turchetti, G.; Skokos, Ch.; Vrahatis, MN (2003年5月). 「位相次数理論による周期軌道の特定」Libration Point Orbits and Applications : 665– 676. arXiv : nlin/0211044 . doi :10.1142/9789812704849_0031. ISBN 978-981-238-363-1。
4. マーティン、スタインズ (1979 年 6 月)。 「Stenger のトポロジカル次数式の簡略化」(PDF)。数学数学。33 (2): 147–155。土井:10.1007/BF01399550 。2024 年9 月 21 日に取得。
5. ダンサー, EN (2000).変分法と偏微分方程式. シュプリンガー・フェアラーク. pp.  185– 225. ISBN 3-540-64803-8。
6. Franek, Peter; Ratschan, Stefan (2015). 「区間演算に基づく効果的な位相次数計算」.計算数学. 84 (293): 1265–1290 . arXiv : 1207.6331 . doi :10.1090/S0025-5718-2014-02877-9. ISSN  0025-5718. S2CID  17291092.

参考文献

• フランダース、H. (1989).微分形式とその物理科学への応用. ドーバー.
• ヒルシュ, M. (1976).微分位相幾何学. シュプリンガー・フェアラーク. ISBN 0-387-90148-5。
• ミルナー、JW (1997).微分可能視点からの位相幾何学. プリンストン大学出版局. ISBN 978-0-691-04833-8。
• Outerelo, E.; Ruiz, JM (2009).マッピング次数理論. アメリカ数学会. ISBN 978-0-8218-4915-6。

外部リンク

• 「ブラウワー度」、数学百科事典、EMSプレス、2001 [1994]
• Rade T. Zivaljevic によるマッピング学位について詳しく見ていきましょう。

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