Vector differential operator
デル演算子は ナブラ 記号 で表されます Del または ナブラは 、 数学 (特に ベクトル計算 )で ベクトル 微分演算子として使用される 演算子 であり、通常は ∇ ( ナブラ記号 ) で表されます。1 次元 領域で定義された 関数に適用された場合、 微積分 で定義されている関数の 標準 導関数 を表します。 体 (多次元領域で定義された関数) に適用された場合、適用方法に応じて、スカラー場 (または ナビエ-ストークス方程式 のように ベクトル場 の場合もある) の 勾配 または (局所的に) 最も急な傾斜、ベクトル場の 発散 、または ベクトル場の 回転(回転) の 3 つの操作の いずれかを表します。
Del は、 3 つの演算 (勾配、発散、回転) に対する非常に便利な 数学表記法であり、多くの方程式の記述と記憶を容易にします。del 記号 (またはナブラ) は、対応する 偏微分 演算子を要素とするベクトル演算子として 正式に 定義できます。ベクトル演算子として、スカラー場とベクトル場に対して 3 つの異なる方法で作用し、3 つの異なる微分演算を生じます。まず、形式的なスカラー乗算によってスカラー場に作用して、勾配と呼ばれるベクトル場を生成します。次に、形式的な ドット積 によってベクトル場に作用して、発散と呼ばれるスカラー場を生成します。最後に、形式的な 外積によってベクトル場に作用して、回転と呼ばれるベクトル場を生成します。これらの形式的な積は、他の演算子や積と必ずしも 交換 可能ではありません 。これら 3 つの用途は、次のようにまとめられます。
勾配： grad f = ∇ f {\displaystyle \operatorname {grad} f=\nabla f} 発散： div v = ∇ ⋅ v {\displaystyle \operatorname {div} \mathbf {v} =\nabla \cdot \mathbf {v} } カール： curl v = ∇ × v {\displaystyle \operatorname {curl} \mathbf {v} =\nabla \times \mathbf {v} }
意味 座標 と 標準基底を持つ 直交座標系 では、delは 偏微分 演算子を 成分とする ベクトル演算子である 。つまり、 R n {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}} ( x 1 , … , x n ) {\displaystyle (x_{1},\dots ,x_{n})} { e 1 , … , e n } {\displaystyle \{\mathbf {e} _{1},\dots ,\mathbf {e} _{n}\}} x 1 , … , x n {\displaystyle x_{1},\dots ,x_{n}} ∂ ∂ x 1 , … , ∂ ∂ x n {\displaystyle {\partial \over \partial x_{1}},\dots ,{\partial \over \partial x_{n}}}
∇ = ∑ i = 1 n e i ∂ ∂ x i = ( ∂ ∂ x 1 , … , ∂ ∂ x n ) {\displaystyle \nabla =\sum _{i=1}^{n}\mathbf {e} _{i}{\partial \over \partial x_{i}}=\left({\partial \over \partial x_{1}},\ldots ,{\partial \over \partial x_{n}}\right)} ここで、括弧内の式は行ベクトルです。 座標 と軸の標準基底ベクトルまたは単位ベクトルを持つ 3次元 直交座標系では 、delは次のように表されます。 R 3 {\displaystyle \mathbb {R} ^{3}} ( x , y , z ) {\displaystyle (x,y,z)} { e x , e y , e z } {\displaystyle \{\mathbf {e} _{x},\mathbf {e} _{y},\mathbf {e} _{z}\}}
∇ = e x ∂ ∂ x + e y ∂ ∂ y + e z ∂ ∂ z = ( ∂ ∂ x , ∂ ∂ y , ∂ ∂ z ) {\displaystyle \nabla =\mathbf {e} _{x}{\partial \over \partial x}+\mathbf {e} _{y}{\partial \over \partial y}+\mathbf {e} _{z}{\partial \over \partial z}=\left({\partial \over \partial x},{\partial \over \partial y},{\partial \over \partial z}\right)} ベクトル演算子として、 del は スカラー乗算 を介してスカラー フィールドに自然に作用し、ドット積とクロス積を介してベクトル フィールドに自然に作用します。
より具体的には、任意のスカラー場と 任意 のベクトル場に対して 、 f {\displaystyle f} F = ( F x , F y , F z ) {\displaystyle \mathbf {F} =(F_{x},F_{y},F_{z})}
( e i ∂ ∂ x i ) f := ∂ ∂ x i ( e i f ) = ∂ f ∂ x i e i {\displaystyle \left(\mathbf {e} _{i}{\partial \over \partial x_{i}}\right)f:={\partial \over \partial x_{i}}(\mathbf {e} _{i}f)={\partial f \over \partial x_{i}}\mathbf {e} _{i}} ( e i ∂ ∂ x i ) ⋅ F := ∂ ∂ x i ( e i ⋅ F ) = ∂ F i ∂ x i {\displaystyle \left(\mathbf {e} _{i}{\partial \over \partial x_{i}}\right)\cdot \mathbf {F} :={\partial \over \partial x_{i}}(\mathbf {e} _{i}\cdot \mathbf {F} )={\partial F_{i} \over \partial x_{i}}} ( e x ∂ ∂ x ) × F := ∂ ∂ x ( e x × F ) = ∂ ∂ x ( 0 , − F z , F y ) {\displaystyle \left(\mathbf {e} _{x}{\partial \over \partial x}\right)\times \mathbf {F} :={\partial \over \partial x}(\mathbf {e} _{x}\times \mathbf {F} )={\partial \over \partial x}(0,-F_{z},F_{y})} ( e y ∂ ∂ y ) × F := ∂ ∂ y ( e y × F ) = ∂ ∂ y ( F z , 0 , − F x ) {\displaystyle \left(\mathbf {e} _{y}{\partial \over \partial y}\right)\times \mathbf {F} :={\partial \over \partial y}(\mathbf {e} _{y}\times \mathbf {F} )={\partial \over \partial y}(F_{z},0,-F_{x})} ( e z ∂ ∂ z ) × F := ∂ ∂ z ( e z × F ) = ∂ ∂ z ( − F y , F x , 0 ) , {\displaystyle \left(\mathbf {e} _{z}{\partial \over \partial z}\right)\times \mathbf {F} :={\partial \over \partial z}(\mathbf {e} _{z}\times \mathbf {F} )={\partial \over \partial z}(-F_{y},F_{x},0),} の上記の定義を用いると 、 ∇ {\displaystyle \nabla }
∇ f = ( e x ∂ ∂ x ) f + ( e y ∂ ∂ y ) f + ( e z ∂ ∂ z ) f = ∂ f ∂ x e x + ∂ f ∂ y e y + ∂ f ∂ z e z {\displaystyle \nabla f=\left(\mathbf {e} _{x}{\partial \over \partial x}\right)f+\left(\mathbf {e} _{y}{\partial \over \partial y}\right)f+\left(\mathbf {e} _{z}{\partial \over \partial z}\right)f={\partial f \over \partial x}\mathbf {e} _{x}+{\partial f \over \partial y}\mathbf {e} _{y}+{\partial f \over \partial z}\mathbf {e} _{z}} そして
∇ ⋅ F = ( e x ∂ ∂ x ⋅ F ) + ( e y ∂ ∂ y ⋅ F ) + ( e z ∂ ∂ z ⋅ F ) = ∂ F x ∂ x + ∂ F y ∂ y + ∂ F z ∂ z {\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {F} =\left(\mathbf {e} _{x}{\partial \over \partial x}\cdot \mathbf {F} \right)+\left(\mathbf {e} _{y}{\partial \over \partial y}\cdot \mathbf {F} \right)+\left(\mathbf {e} _{z}{\partial \over \partial z}\cdot \mathbf {F} \right)={\partial F_{x} \over \partial x}+{\partial F_{y} \over \partial y}+{\partial F_{z} \over \partial z}} そして
∇ × F = ( e x ∂ ∂ x × F ) + ( e y ∂ ∂ y × F ) + ( e z ∂ ∂ z × F ) = ∂ ∂ x ( 0 , − F z , F y ) + ∂ ∂ y ( F z , 0 , − F x ) + ∂ ∂ z ( − F y , F x , 0 ) = ( ( 4 p t ) ∂ F z ∂ y − ∂ F y ∂ z ) e x + ( ( 4 p t ) ∂ F x ∂ z − ∂ F z ∂ x ) e y + ( ( 4 p t ) ∂ F y ∂ x − ∂ F x ∂ y ) e z {\displaystyle {\begin{aligned}\nabla \times \mathbf {F} &=\left(\mathbf {e} _{x}{\partial \over \partial x}\times \mathbf {F} \right)+\left(\mathbf {e} _{y}{\partial \over \partial y}\times \mathbf {F} \right)+\left(\mathbf {e} _{z}{\partial \over \partial z}\times \mathbf {F} \right)\\&={\partial \over \partial x}(0,-F_{z},F_{y})+{\partial \over \partial y}(F_{z},0,-F_{x})+{\partial \over \partial z}(-F_{y},F_{x},0)\\&=\left((4pt){\text{ }}{\frac {\partial F_{z}}{\partial y}}-{\frac {\partial F_{y}}{\partial z}}\right)\mathbf {e} _{x}+\left((4pt){\text{ }}{\frac {\partial F_{x}}{\partial z}}-{\frac {\partial F_{z}}{\partial x}}\right)\mathbf {e} _{y}+\left((4pt){\text{ }}{\frac {\partial F_{y}}{\partial x}}-{\frac {\partial F_{x}}{\partial y}}\right)\mathbf {e} _{z}\end{aligned}}} 例： f ( x , y , z ) = x + y + z {\displaystyle f(x,y,z)=x+y+z} ∇ f = e x ∂ f ∂ x + e y ∂ f ∂ y + e z ∂ f ∂ z = ( 1 , 1 , 1 ) {\displaystyle \nabla f=\mathbf {e} _{x}{\partial f \over \partial x}+\mathbf {e} _{y}{\partial f \over \partial y}+\mathbf {e} _{z}{\partial f \over \partial z}=\left(1,1,1\right)} Del は他の座標系でも表現できます。たとえば、 円筒座標と球座標の del を 参照してください。
表記法の使用 Del は、多くの長い数式を簡略化するための省略形として用いられます。最もよく用いられるのは、 勾配 、 発散 、 回転 、 方向微分 、 ラプラシアン などの式を簡略化する場合です。
勾配 スカラー場 のベクトル微分は 勾配 と呼ばれ 、次のように表すことができます。 f {\displaystyle f}
grad f = ∂ f ∂ x x ^ + ∂ f ∂ y y ^ + ∂ f ∂ z z ^ = ∇ f {\displaystyle \operatorname {grad} f={\partial f \over \partial x}{\hat {\mathbf {x} }}+{\partial f \over \partial y}{\hat {\mathbf {y} }}+{\partial f \over \partial z}{\hat {\mathbf {z} }}=\nabla f} これは常に の最大増加 方向 を指し 、その 大きさは 点における最大増加率に等しくなります。これは標準的な微分と同じです。特に、丘が 平面 上の 高さ関数 として定義されている場合、特定の位置における勾配は、xy平面上のベクトル（地図上の矢印として視覚化できます）で、最も急な方向を指します。勾配の大きさは、この最も急な傾斜の値です。 f {\displaystyle f} h ( x , y ) {\displaystyle h(x,y)}
特に、この表記法は、勾配 積則が 1 次元微分の場合と非常に似ているため、強力です。
∇ ( f g ) = f ∇ g + g ∇ f {\displaystyle \nabla (fg)=f\nabla g+g\nabla f} しかし、ドット積 の規則は 次のように単純ではありません。
∇ ( u ⋅ v ) = ( u ⋅ ∇ ) v + ( v ⋅ ∇ ) u + u × ( ∇ × v ) + v × ( ∇ × u ) {\displaystyle \nabla (\mathbf {u} \cdot \mathbf {v} )=(\mathbf {u} \cdot \nabla )\mathbf {v} +(\mathbf {v} \cdot \nabla )\mathbf {u} +\mathbf {u} \times (\nabla \times \mathbf {v} )+\mathbf {v} \times (\nabla \times \mathbf {u} )}
発散 ベクトル場 の 発散 は 次のように表される スカラー場 です。 v ( x , y , z ) = v x x ^ + v y y ^ + v z z ^ {\displaystyle \mathbf {v} (x,y,z)=v_{x}{\hat {\mathbf {x} }}+v_{y}{\hat {\mathbf {y} }}+v_{z}{\hat {\mathbf {z} }}}
div v = ∂ v x ∂ x + ∂ v y ∂ y + ∂ v z ∂ z = ∇ ⋅ v {\displaystyle \operatorname {div} \mathbf {v} ={\partial v_{x} \over \partial x}+{\partial v_{y} \over \partial y}+{\partial v_{z} \over \partial z}=\nabla \cdot \mathbf {v} } 発散は、大まかに言うと、ベクトル場が指し示す方向の増加の尺度ですが、より正確には、その場が一点に向かって収束する傾向、または一点から発散する傾向の尺度です。
del 表記の威力は次の積の規則によって示されます。
∇ ⋅ ( f v ) = ( ∇ f ) ⋅ v + f ( ∇ ⋅ v ) {\displaystyle \nabla \cdot (f\mathbf {v} )=(\nabla f)\cdot \mathbf {v} +f(\nabla \cdot \mathbf {v} )} ベクトル積 の式は、 可換ではないため、少し直感的ではありません。
∇ ⋅ ( u × v ) = ( ∇ × u ) ⋅ v − u ⋅ ( ∇ × v ) {\displaystyle \nabla \cdot (\mathbf {u} \times \mathbf {v} )=(\nabla \times \mathbf {u} )\cdot \mathbf {v} -\mathbf {u} \cdot (\nabla \times \mathbf {v} )}
カール ベクトル場の 回転 は 次のように表すことができる ベクトル 関数です。 v ( x , y , z ) = v x x ^ + v y y ^ + v z z ^ {\displaystyle \mathbf {v} (x,y,z)=v_{x}{\hat {\mathbf {x} }}+v_{y}{\hat {\mathbf {y} }}+v_{z}{\hat {\mathbf {z} }}}
curl v = ( ∂ v z ∂ y − ∂ v y ∂ z ) x ^ + ( ∂ v x ∂ z − ∂ v z ∂ x ) y ^ + ( ∂ v y ∂ x − ∂ v x ∂ y ) z ^ = ∇ × v {\displaystyle \operatorname {curl} \mathbf {v} =\left({\partial v_{z} \over \partial y}-{\partial v_{y} \over \partial z}\right){\hat {\mathbf {x} }}+\left({\partial v_{x} \over \partial z}-{\partial v_{z} \over \partial x}\right){\hat {\mathbf {y} }}+\left({\partial v_{y} \over \partial x}-{\partial v_{x} \over \partial y}\right){\hat {\mathbf {z} }}=\nabla \times \mathbf {v} } ある点におけるカールの大きさは、小さな風車がその点を中心とした場合に受ける軸上のトルクに比例します。
ベクトル積演算は擬似 行列式 として視覚化できます。
∇ × v = | x ^ y ^ z ^ ∂ ∂ x ∂ ∂ y ∂ ∂ z v x v y v z | {\displaystyle \nabla \times \mathbf {v} =\left|{\begin{matrix}{\hat {\mathbf {x} }}&{\hat {\mathbf {y} }}&{\hat {\mathbf {z} }}\\[2pt]{\frac {\partial }{\partial x}}&{\frac {\partial }{\partial y}}&{\frac {\partial }{\partial z}}\\[2pt]v_{x}&v_{y}&v_{z}\end{matrix}}\right|} この表記法の威力は、積の法則によって再び示されます。
∇ × ( f v ) = ( ∇ f ) × v + f ( ∇ × v ) {\displaystyle \nabla \times (f\mathbf {v} )=(\nabla f)\times \mathbf {v} +f(\nabla \times \mathbf {v} )} ベクトル積の規則は単純ではありません。
∇ × ( u × v ) = u ( ∇ ⋅ v ) − v ( ∇ ⋅ u ) + ( v ⋅ ∇ ) u − ( u ⋅ ∇ ) v {\displaystyle \nabla \times (\mathbf {u} \times \mathbf {v} )=\mathbf {u} \,(\nabla \cdot \mathbf {v} )-\mathbf {v} \,(\nabla \cdot \mathbf {u} )+(\mathbf {v} \cdot \nabla )\,\mathbf {u} -(\mathbf {u} \cdot \nabla )\,\mathbf {v} }
方向微分 方向の スカラー場の 方向 微分 は次のように定義されます。 f ( x , y , z ) {\displaystyle f(x,y,z)} a ( x , y , z ) = a x x ^ + a y y ^ + a z z ^ {\displaystyle \mathbf {a} (x,y,z)=a_{x}{\hat {\mathbf {x} }}+a_{y}{\hat {\mathbf {y} }}+a_{z}{\hat {\mathbf {z} }}}
( a ⋅ ∇ ) f = lim h → 0 f ( x + a x h , y + a y h , z + a z h ) − f ( x , y , z ) h . {\displaystyle (\mathbf {a} \cdot \nabla )f=\lim _{h\to 0}{\frac {f(x+a_{x}h,y+a_{y}h,z+a_{z}h)-f(x,y,z)}{h}}.} 勾配が存在する場合、これは次の式と等しい。
a ⋅ grad f = a x ∂ f ∂ x + a y ∂ f ∂ y + a z ∂ f ∂ z = a ⋅ ( ∇ f ) {\displaystyle \mathbf {a} \cdot \operatorname {grad} f=a_{x}{\partial f \over \partial x}+a_{y}{\partial f \over \partial y}+a_{z}{\partial f \over \partial z}=\mathbf {a} \cdot (\nabla f)} これは、の方向における 場の変化率を の大きさでスケールしたものになります 。演算子表記では、括弧内の要素は単一の一貫した単位と見なすことができます。 流体力学 ではこの表記法が広く用いられており、これを 対流微分 （流体の「移動する」微分）と呼びます。 f {\displaystyle f} a {\displaystyle \mathbf {a} } a {\displaystyle \mathbf {a} }
はスカラーをスカラーに写像する演算子であることに注意してください 。この演算子をベクトルの各要素に要素ごとに適用することで、ベクトル場にも作用するように拡張できます。 ( a ⋅ ∇ ) {\displaystyle (\mathbf {a} \cdot \nabla )}
ラプラシアン ラプラス 演算子 は、ベクトル場またはスカラー場のどちらにも適用できるスカラー演算子です。直交座標系の場合は次のように定義されます。
Δ = ∂ 2 ∂ x 2 + ∂ 2 ∂ y 2 + ∂ 2 ∂ z 2 = ∇ ⋅ ∇ = ∇ 2 {\displaystyle \Delta ={\partial ^{2} \over \partial x^{2}}+{\partial ^{2} \over \partial y^{2}}+{\partial ^{2} \over \partial z^{2}}=\nabla \cdot \nabla =\nabla ^{2}} より一般的な座標系の定義は ベクトルラプラシアン で与えられます。
ラプラシアンは現代の 数理物理学 のいたるところに見られ、たとえば ラプラス方程式 、 ポアソン方程式 、 熱方程式 、 波動方程式 、 シュレーディンガー方程式 などに登場します。
ヘッセ行列 は通常 ラプラシアン を表しますが 、 ヘッセ行列 を表すこともあります 。前者は の内積を表し 、後者は の 二項積 を表します。 ∇ 2 {\displaystyle \nabla ^{2}} ∇ 2 {\displaystyle \nabla ^{2}} ∇ {\displaystyle \nabla } ∇ {\displaystyle \nabla }
∇ 2 = ∇ ⋅ ∇ T {\displaystyle \nabla ^{2}=\nabla \cdot \nabla ^{T}} 。 したがって、 ラプラシアン行列を指すのか、ヘッセ行列を指すのかはコンテキストによって異なります。 ∇ 2 {\displaystyle \nabla ^{2}}
テンソル微分 Del はベクトル場にも適用でき、結果は テンソル となります。 ベクトル場（3次元）の テンソル微分は 、9項の2階テンソル、つまり3×3行列ですが、単に と表記することもできます。 ここで は 2項積 を表します。この量は、ベクトル場の ヤコビ行列 の空間に関する転置に相当します 。ベクトル場の発散は、 この行列の トレースとして表すことができます。 v {\displaystyle \mathbf {v} } ∇ ⊗ v {\displaystyle \nabla \otimes \mathbf {v} } ⊗ {\displaystyle \otimes }
小さな変位の場合 、ベクトル場の変化は次のように表されます。 δ r {\displaystyle \delta \mathbf {r} }
δ v = ( ∇ ⊗ v ) T ⋅ δ r {\displaystyle \delta \mathbf {v} =(\nabla \otimes \mathbf {v} )^{T}\cdot \delta \mathbf {r} }
製品ルール ベクトル計算 の場合 ：
∇ ( f g ) = f ∇ g + g ∇ f ∇ ( u ⋅ v ) = u × ( ∇ × v ) + v × ( ∇ × u ) + ( u ⋅ ∇ ) v + ( v ⋅ ∇ ) u ∇ ⋅ ( f v ) = f ( ∇ ⋅ v ) + v ⋅ ( ∇ f ) ∇ ⋅ ( u × v ) = v ⋅ ( ∇ × u ) − u ⋅ ( ∇ × v ) ∇ × ( f v ) = ( ∇ f ) × v + f ( ∇ × v ) ∇ × ( u × v ) = u ( ∇ ⋅ v ) − v ( ∇ ⋅ u ) + ( v ⋅ ∇ ) u − ( u ⋅ ∇ ) v {\displaystyle {\begin{aligned}\nabla (fg)&=f\nabla g+g\nabla f\\\nabla (\mathbf {u} \cdot \mathbf {v} )&=\mathbf {u} \times (\nabla \times \mathbf {v} )+\mathbf {v} \times (\nabla \times \mathbf {u} )+(\mathbf {u} \cdot \nabla )\mathbf {v} +(\mathbf {v} \cdot \nabla )\mathbf {u} \\\nabla \cdot (f\mathbf {v} )&=f(\nabla \cdot \mathbf {v} )+\mathbf {v} \cdot (\nabla f)\\\nabla \cdot (\mathbf {u} \times \mathbf {v} )&=\mathbf {v} \cdot (\nabla \times \mathbf {u} )-\mathbf {u} \cdot (\nabla \times \mathbf {v} )\\\nabla \times (f\mathbf {v} )&=(\nabla f)\times \mathbf {v} +f(\nabla \times \mathbf {v} )\\\nabla \times (\mathbf {u} \times \mathbf {v} )&=\mathbf {u} \,(\nabla \cdot \mathbf {v} )-\mathbf {v} \,(\nabla \cdot \mathbf {u} )+(\mathbf {v} \cdot \nabla )\,\mathbf {u} -(\mathbf {u} \cdot \nabla )\,\mathbf {v} \end{aligned}}} 行列計算 （ と 書くことができる ） の場合： u ⋅ v {\displaystyle \mathbf {u} \cdot \mathbf {v} } u T v {\displaystyle \mathbf {u} ^{\text{T}}\mathbf {v} }
( A ∇ ) T u = ∇ T ( A T u ) − ( ∇ T A T ) u {\displaystyle {\begin{aligned}\left(\mathbf {A} \nabla \right)^{\text{T}}\mathbf {u} &=\nabla ^{\text{T}}\left(\mathbf {A} ^{\text{T}}\mathbf {u} \right)-\left(\nabla ^{\text{T}}\mathbf {A} ^{\text{T}}\right)\mathbf {u} \end{aligned}}} もう一つの興味深い関係（例えば、 オイラー方程式を 参照）は次のようになります。ここで、は 外積 テンソルです 。 u ⊗ v {\displaystyle \mathbf {u} \otimes \mathbf {v} }
∇ ⋅ ( u ⊗ v ) = ( ∇ ⋅ u ) v + ( u ⋅ ∇ ) v {\displaystyle {\begin{aligned}\nabla \cdot (\mathbf {u} \otimes \mathbf {v} )=(\nabla \cdot \mathbf {u} )\mathbf {v} +(\mathbf {u} \cdot \nabla )\mathbf {v} \end{aligned}}}
2次導関数 DCGチャート：2次導関数に関するすべての規則を示すシンプルなチャートです。D、C、G、L、CCはそれぞれ、発散、回転、勾配、ラプラシアン、回転の回転を表します。矢印は2次導関数の存在を示します。中央の青い円は回転の回転を表し、他の2つの赤い円（破線）はDDとGGが存在しないことを意味します。 del をスカラーまたはベクトルに作用させると、スカラーまたはベクトルが返されます。ベクトル積（スカラー、ドット、クロス）の多様性により、 del を一度適用するだけで、勾配（スカラー積）、発散（ドット積）、回転（クロス積）という3つの主要な微分が得られます。これら3種類の微分を再度適用すると、スカラー場 f またはベクトル場 v に対して5種類の2次微分が得られます。スカラーラプラシアン と ベクトルラプラシアン を用いると、 さらに2つの微分が得られます。
div ( grad f ) = ∇ ⋅ ( ∇ f ) = ∇ 2 f curl ( grad f ) = ∇ × ( ∇ f ) grad ( div v ) = ∇ ( ∇ ⋅ v ) div ( curl v ) = ∇ ⋅ ( ∇ × v ) curl ( curl v ) = ∇ × ( ∇ × v ) Δ f = ∇ 2 f Δ v = ∇ 2 v {\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {div} (\operatorname {grad} f)&=\nabla \cdot (\nabla f)=\nabla ^{2}f\\\operatorname {curl} (\operatorname {grad} f)&=\nabla \times (\nabla f)\\\operatorname {grad} (\operatorname {div} \mathbf {v} )&=\nabla (\nabla \cdot \mathbf {v} )\\\operatorname {div} (\operatorname {curl} \mathbf {v} )&=\nabla \cdot (\nabla \times \mathbf {v} )\\\operatorname {curl} (\operatorname {curl} \mathbf {v} )&=\nabla \times (\nabla \times \mathbf {v} )\\\Delta f&=\nabla ^{2}f\\\Delta \mathbf {v} &=\nabla ^{2}\mathbf {v} \end{aligned}}} これらは、必ずしも一意ではない、あるいは互いに独立ではないという点が主な関心事です。関数が適切に動作している限り（ ほとんどの場合）、これらのうち2つは常にゼロになります。 C ∞ {\displaystyle C^{\infty }}
curl ( grad f ) = ∇ × ( ∇ f ) = 0 div ( curl v ) = ∇ ⋅ ( ∇ × v ) = 0 {\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {curl} (\operatorname {grad} f)&=\nabla \times (\nabla f)=0\\\operatorname {div} (\operatorname {curl} \mathbf {v} )&=\nabla \cdot (\nabla \times \mathbf {v} )=0\end{aligned}}} そのうちの 2 つは常に等しいです。
div ( grad f ) = ∇ ⋅ ( ∇ f ) = ∇ 2 f = Δ f {\displaystyle \operatorname {div} (\operatorname {grad} f)=\nabla \cdot (\nabla f)=\nabla ^{2}f=\Delta f} 残りの 3 つのベクトル導関数は次の式で関係します。
∇ × ( ∇ × v ) = ∇ ( ∇ ⋅ v ) − ∇ 2 v {\displaystyle \nabla \times \left(\nabla \times \mathbf {v} \right)=\nabla (\nabla \cdot \mathbf {v} )-\nabla ^{2}\mathbf {v} } そして、関数が適切に動作していれば、そのうちの 1 つはテンソル積で表現することもできます。
∇ ( ∇ ⋅ v ) = ∇ ⋅ ( v ⊗ ∇ ) {\displaystyle \nabla (\nabla \cdot \mathbf {v} )=\nabla \cdot (\mathbf {v} \otimes \nabla )}
予防 上記のベクトルの性質のほとんどは（積の法則など、delの微分性質に明示的に依存するものを除く）、記号の並べ替えのみに依存しており、del記号を他のベクトルに置き換えても必ず成立する。これは、この演算子をベクトルとして表記することで得られる価値の一部である。
多くの場合、del をベクトルに置き換えてベクトル恒等式を取得し、それらの恒等式を記憶しやすくすることができますが、del は一般に可換ではないため、その逆は必ずしも信頼できる とは限りません 。
発散演算子( )と 移流演算子 ( )が可換ではないこと を示す反例: ∇ ⋅ v {\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {v} } v ⋅ ∇ {\displaystyle \mathbf {v} \cdot \nabla }
( u ⋅ v ) f ≡ ( v ⋅ u ) f ( ∇ ⋅ v ) f = ( ∂ v x ∂ x + ∂ v y ∂ y + ∂ v z ∂ z ) f = ∂ v x ∂ x f + ∂ v y ∂ y f + ∂ v z ∂ z f ( v ⋅ ∇ ) f = ( v x ∂ ∂ x + v y ∂ ∂ y + v z ∂ ∂ z ) f = v x ∂ f ∂ x + v y ∂ f ∂ y + v z ∂ f ∂ z ⇒ ( ∇ ⋅ v ) f ≠ ( v ⋅ ∇ ) f {\displaystyle {\begin{aligned}(\mathbf {u} \cdot \mathbf {v} )f&\equiv (\mathbf {v} \cdot \mathbf {u} )f\\(\nabla \cdot \mathbf {v} )f&=\left({\frac {\partial v_{x}}{\partial x}}+{\frac {\partial v_{y}}{\partial y}}+{\frac {\partial v_{z}}{\partial z}}\right)f={\frac {\partial v_{x}}{\partial x}}f+{\frac {\partial v_{y}}{\partial y}}f+{\frac {\partial v_{z}}{\partial z}}f\\(\mathbf {v} \cdot \nabla )f&=\left(v_{x}{\frac {\partial }{\partial x}}+v_{y}{\frac {\partial }{\partial y}}+v_{z}{\frac {\partial }{\partial z}}\right)f=v_{x}{\frac {\partial f}{\partial x}}+v_{y}{\frac {\partial f}{\partial y}}+v_{z}{\frac {\partial f}{\partial z}}\\\Rightarrow (\nabla \cdot \mathbf {v} )f&\neq (\mathbf {v} \cdot \nabla )f\\\end{aligned}}} del の微分特性を利用した反例:
( ∇ x ) × ( ∇ y ) = ( e x ∂ x ∂ x + e y ∂ x ∂ y + e z ∂ x ∂ z ) × ( e x ∂ y ∂ x + e y ∂ y ∂ y + e z ∂ y ∂ z ) = ( e x ⋅ 1 + e y ⋅ 0 + e z ⋅ 0 ) × ( e x ⋅ 0 + e y ⋅ 1 + e z ⋅ 0 ) = e x × e y = e z ( u x ) × ( u y ) = x y ( u × u ) = x y 0 = 0 {\displaystyle {\begin{aligned}(\nabla x)\times (\nabla y)&=\left(\mathbf {e} _{x}{\frac {\partial x}{\partial x}}+\mathbf {e} _{y}{\frac {\partial x}{\partial y}}+\mathbf {e} _{z}{\frac {\partial x}{\partial z}}\right)\times \left(\mathbf {e} _{x}{\frac {\partial y}{\partial x}}+\mathbf {e} _{y}{\frac {\partial y}{\partial y}}+\mathbf {e} _{z}{\frac {\partial y}{\partial z}}\right)\\&=(\mathbf {e} _{x}\cdot 1+\mathbf {e} _{y}\cdot 0+\mathbf {e} _{z}\cdot 0)\times (\mathbf {e} _{x}\cdot 0+\mathbf {e} _{y}\cdot 1+\mathbf {e} _{z}\cdot 0)\\&=\mathbf {e} _{x}\times \mathbf {e} _{y}\\&=\mathbf {e} _{z}\\(\mathbf {u} x)\times (\mathbf {u} y)&=xy(\mathbf {u} \times \mathbf {u} )\\&=xy\mathbf {0} \\&=\mathbf {0} \end{aligned}}} これらの違いの中核となるのは、del が単なるベクトルではなく、ベクトル演算子 であるという事実です 。ベクトルは大きさと方向の両方を持つオブジェクトですが、del は関数に作用するまでは大きさも方向も持ちません。
そのため、del を含む恒等式は、ベクトル恒等式と積の法則などの微分恒等式の両方を使用して、慎重に導出する必要があり ます 。
参照
参考文献
外部リンク Tai, Chen-To (1994). ベクトル解析における∇の不適切な使用に関する調査（報告書）. ミシガン大学放射線研究所. hdl : 2027.42/7869 . 
![{\displaystyle \nabla \times \mathbf {v} =\left|{\begin{matrix}{\hat {\mathbf {x} }}&{\hat {\mathbf {y} }}&{\hat {\mathbf {z} }}\\[2pt]{\frac {\partial }{\partial x}}&{\frac {\partial }{\partial y}}&{\frac {\partial }{\partial z}}\\[2pt]v_{x}&v_{y}&v_{z}\end{matrix}}\right|}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2c22add6c547b447848574525afdfe35578f1f62)
