Description of continuous random distribution
任意の単峰性確率密度関数 の最頻値 、 中央値 、 平均 の幾何学的視覚化。 [ 1 任意の単峰性確率密度関数の 最頻値 、 中央値 、 平均 の幾何学的視覚化 [1] 確率論 において 、 確率密度関数 （ PDF ）、 密度関数 、または 絶対連続確率変数 の 密度は 、 標本空間 （確率変数が取る可能性のある値の集合）内の任意の標本（または点）におけるその値が、 確率変数の値がその標本と等しくなる 相対的な尤度 を提供すると解釈できる 関数です。 [2] [3] 言い換えれば、確率密度は単位長さあたりの確率です。連続 確率変数 が特定の値を取る 絶対尤度は ゼロですが、そもそも取り得る値は無限にあります。したがって、2つの異なる標本におけるPDFの値を使用して、確率変数の特定の抽出において、確率変数が一方の標本に、もう一方の標本と比較してどれだけ近づく可能性が高いかを推測することができます
より正確には、PDFは、 ランダム変数 が特定の値を取るのではなく、 特定の値の範囲内に 収まる確率を指定するために使用されます。この確率は、連続変数のPDFをその範囲で 積分する ことによって与えられます。ここで、積分は、範囲の最小値と最大値の間の密度関数の下の非負の領域です。PDFはどこでも非負であり、曲線全体の下面積は1に等しいため、ランダム変数が可能な値の集合内に収まる確率は100%です
確率分布関数 および 確率関数 という用語は 、確率密度関数を指すこともあります。しかし、この用法は確率論者や統計学者の間では標準的ではありません。他の情報源では、「確率分布関数」は、 確率分布 が一般的な値の集合に対する関数として定義されている場合に使用される場合や、 累積分布関数 （CDF）を指す場合、あるいは 密度ではなく 確率質量関数（PMF）を指す場合もあります。 密度関数 自体も確率質量関数に使用されるため、さらに混乱が生じます。 [4]一般に、PMFは 離散確率変数（ 可算集合 上の値を取る確率変数） の文脈で使用され 、PDFは連続確率変数の文脈で使用されます。
例 4つの連続確率密度関数の例 ある種の細菌が通常20～30時間生きると仮定します。細菌が ちょうど 5時間生きる確率はゼロです。多くの細菌は約5時間生きますが、特定の細菌がちょうど5.00時間で死ぬ可能性はありません。しかし、細菌が5時間から5.01時間の間に死ぬ確率は定量化可能です。答えが0.02（つまり2%）だとします。すると、細菌が5時間から5.001時間の間に死ぬ確率は約0.002になるはずです。なぜなら、この時間間隔は前の10分の1だからです。細菌が5時間から5.0001時間の間に死ぬ確率は約0.0002になるはずです。以下同様に続きます
この例では、（区間中の生存確率）/（区間の持続時間）の比率はほぼ一定で、1時間あたり2（または2時間 -1 ）に等しくなります。例えば、5時間から5.01時間までの0.01時間区間で死亡する確率は0.02であり、（0.02確率/0.01時間）=2時間 -1 です。この2時間 -1 という量は、約5時間で死亡する確率密度と呼ばれます。したがって、細菌が5時間で死亡する確率は、（2時間 -1 ） dt と表すことができます。これは、細菌が約5時間の微小な時間枠内で死亡する確率であり、 dt はこの時間枠の持続時間です。例えば、細菌が5時間より長く、（5時間 + 1ナノ秒）より短く生存する確率は、（2時間 -1 ）×（1ナノ秒）≈です 6 × 10 −13 （ 単位変換を使用） 3.6 × 10 12 ナノ秒 = 1時間）
f (5時間) = 2時間 −1 となる確率密度関数 f が存在する 。任意の時間枠（微小時間枠だけでなく、大きな時間枠も含む）にわたる f の 積分は 、その時間枠内で細菌が死ぬ確率である。
絶対連続単変量分布 確率密度関数は、絶対連続 単変量分布 に最もよく関連付けられている 。 確率変数の 密度は であり 、 は非負の ルベーグ積分 関数である場合、次の
条件を満たす X {\displaystyle X} f X {\displaystyle f_{X}} f X {\displaystyle f_{X}} Pr [ a ≤ X ≤ b ] = ∫ a b f X ( x ) d x . {\displaystyle \Pr[a\leq X\leq b]=\int _{a}^{b}f_{X}(x)\,dx.}
したがって、 が の 累積分布関数 である場合 、 となり 、（ が で連続である場合 ） F X {\displaystyle F_{X}} X {\displaystyle X} F X ( x ) = ∫ − ∞ x f X ( u ) d u , {\displaystyle F_{X}(x)=\int _{-\infty }^{x}f_{X}(u)\,du,} f X {\displaystyle f_{X}} x {\displaystyle x} f X ( x ) = d d x F X ( x ) . {\displaystyle f_{X}(x)={\frac {d}{dx}}F_{X}(x).}
直感的には、
は 無限小 区間 内に入る確率と 考えることができます f X ( x ) d x {\displaystyle f_{X}(x)\,dx} X {\displaystyle X} [ x , x + d x ] {\displaystyle [x,x+dx]}
（この定義は 、確率の 測度論的 定義を用いて任意の確率分布に拡張することができる 。 ）
測定空間 （通常、測定可能な部分集合として ボレル集合を 持つ） に値を持つ 確率変数 は 、確率分布 として、 上の プッシュフォワード測度 X ∗ P を 持つ。 上の 参照測度に関する の 密度は 、ラドン・ニコディム微分 である 。 X {\displaystyle X} ( X , A ) {\displaystyle ({\mathcal {X}},{\mathcal {A}})} R n {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}} ( X , A ) {\displaystyle ({\mathcal {X}},{\mathcal {A}})} X {\displaystyle X} μ {\displaystyle \mu } ( X , A ) {\displaystyle ({\mathcal {X}},{\mathcal {A}})} f = d X ∗ P d μ . {\displaystyle f={\frac {dX_{*}P}{d\mu }}.}
つまり、 f は、任意の測定可能な集合に対して 、以下の性質を持つ任意の測定可能な関数である。 Pr [ X ∈ A ] = ∫ X − 1 A d P = ∫ A f d μ {\displaystyle \Pr[X\in A]=\int _{X^{-1}A}\,dP=\int _{A}f\,d\mu } A ∈ A . {\displaystyle A\in {\mathcal {A}}.}
考察 上記の連続一変数の場合、参照測度は ルベーグ測度 である。 離散確率変数 の 確率質量関数は、標本空間（通常は 整数 の集合 、またはその部分集合）
上の 計数測度 に関する密度である。
任意の測度を参照して密度を定義することはできません（例えば、連続確率変数の基準として計数測度を選択することはできません）。さらに、密度が存在する場合、その密度はほぼ一意であり、任意の2つの密度は ほぼすべての場所で 一致することを意味します。
詳細 確率とは異なり、確率密度関数は1より大きい値を取ることができます。例えば、 区間 [0, 1/2]上の 連続一様分布は、 0 ≤ x ≤ 1/2 の場合に 確率密度 f ( x ) = 2 を持ち、それ以外の場合は f ( x ) = 0 を 持ちます。
標準 正規分布の 確率密度は f ( x ) = 1 2 π e − x 2 / 2 . {\displaystyle f(x)={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\,e^{-x^{2}/2}.}
確率変数 X が与えられ、その分布が確率密度関数 f を許容する場合、 X の 期待値 （期待値が存在する場合）は次のように計算できます E [ X ] = ∫ − ∞ ∞ x f ( x ) d x . {\displaystyle \operatorname {E} [X]=\int _{-\infty }^{\infty }x\,f(x)\,dx.}
すべての確率分布が密度関数を持つわけではありません。 離散ランダム変数 の分布は密度関数を持ちません。また、 カントール分布は 離散要素を持たない（つまり、個々の点に正の確率を割り当てない）にもかかわらず、密度関数を持ちません。
分布の 累積分布関数 F ( x )が 絶対的に連続で ある場合、その分布は密度関数を持ちます 。 [5] この場合、 F は ほぼすべての点で 微分可能で あり、その導関数は確率密度として使用できます d d x F ( x ) = f ( x ) . {\displaystyle {\frac {d}{dx}}F(x)=f(x).}
確率分布が密度を許容する場合、すべての1点集合{ a } の確率は 0である。有限集合と可算集合についても同様である。
2つの確率密度 f と g は、ルベーグ 測度が0の 集合においてのみ異なる場合、正確に 同じ 確率分布 を表す。
統計物理学 の分野では 、累積分布関数の導関数と確率密度関数の関係を非形式的に再定式化したもの（非公式な定義）が、確率密度関数の定義として一般的に使用される。この代替定義は以下のとおりである。
dt が 無限に小さい数である場合、 X が区間 ( t , t + dt ) 内に含まれる確率は f ( t ) dt に等しい 。つまり、 Pr ( t < X < t + d t ) = f ( t ) d t . {\displaystyle \Pr(t<X<t+dt)=f(t)\,dt.}
離散分布と連続分布の関連 ディラックのデルタ関数 を用いた 一般化 確率密度関数では、特定の離散確率変数、および連続部分と離散部分の両方を含む確率変数を表すことができます 。（これは、上で定義した意味での確率密度関数では不可能ですが、 分布 では可能です。）例えば、 ラーデマッハ分布 、つまり、値が-1または1をとり、それぞれの確率が 1 ⁄ 2 である2値の離散 確率変数を 考えます。この変数に関連付けられた確率密度は次のとおりです。 f ( t ) = 1 2 ( δ ( t + 1 ) + δ ( t − 1 ) ) . {\displaystyle f(t)={\frac {1}{2}}(\delta (t+1)+\delta (t-1)).}
より一般的には、離散変数が 実数の中で n 個の異なる値をとることができる場合、関連付けられた確率密度関数は次のとおりです。
ここで 、は変数にアクセスできる離散値であり、 はこれらの値に関連付けられた確率です f ( t ) = ∑ i = 1 n p i δ ( t − x i ) , {\displaystyle f(t)=\sum _{i=1}^{n}p_{i}\,\delta (t-x_{i}),} x 1 , … , x n {\displaystyle x_{1},\ldots ,x_{n}} p 1 , … , p n {\displaystyle p_{1},\ldots ,p_{n}}
これにより、離散確率分布と連続確率分布の扱いが実質的に統一されます。上記の式により、確率の連続分布に与えられた公式から出発して、そのような離散変数の統計的特性（ 平均 、 分散 、 尖度 など）を決定することができます。
密度族 確率密度関数（および 確率質量関数 ）は、パラメータ化、つまり未指定の パラメータ によって特徴付けられることが一般的です。例えば、 正規分布は 平均 と 分散 でパラメータ化され 、それぞれとで表され 、 密度族を与えます。 パラメータの異なる値は、 同じ 標本空間（変数のすべての可能な値の同じ集合）上の異なる 確率変数 の異なる分布を記述します。この標本空間は、この分布族が記述する確率変数族の定義域です。与えられたパラメータの集合は、密度の関数形を共有する族内の単一の分布を記述します。与えられた分布の観点から見ると、パラメータは定数であり、密度関数においてパラメータのみを含み変数を含まない項は、分布の 正規化係数（密度の下の面積（定義域内で 何か が発生する確率）が1になることを保証する乗法係数）の一部です。この正規化係数は、 分布の 核 の外側にあります μ {\displaystyle \mu } σ 2 {\displaystyle \sigma ^{2}} f ( x ; μ , σ 2 ) = 1 σ 2 π e − 1 2 ( x − μ σ ) 2 . {\displaystyle f(x;\mu ,\sigma ^{2})={\frac {1}{\sigma {\sqrt {2\pi }}}}e^{-{\frac {1}{2}}\left({\frac {x-\mu }{\sigma }}\right)^{2}}.}
パラメータは定数であるため、族内の異なる確率変数の特性を与えるために、異なるパラメータで密度を再パラメータ化することは、単に新しいパラメータ値を古い値の代わりに式に代入することを意味します。
複数の変数に関連付けられた密度 連続 確率変数 X 1 , ..., X n に対して、集合全体に関連する確率密度関数を定義することも可能であり、これはしばしば 結合確率密度関数と呼ばれる。この密度関数は n個 の変数の関数として定義され 、 変数 X 1 , ..., X n の値のn 次元空間内の任意の領域 Dについて、集合変数の実現が領域 D 内に含まれる確率 は、 Pr ( X 1 , … , X n ∈ D ) = ∫ D f X 1 , … , X n ( x 1 , … , x n ) d x 1 ⋯ d x n . {\displaystyle \Pr \left(X_{1},\ldots ,X_{n}\in D\right)=\int _{D}f_{X_{1},\ldots ,X_{n}}(x_{1},\ldots ,x_{n})\,dx_{1}\cdots dx_{n}.}
F ( x 1 , ..., x n ) = Pr( X 1 ≤ x 1 , ..., X n ≤ x n ) がベクトル ( X 1 , ..., X n )の 累積分布関数 である 場合 、結合確率密度関数は偏微分として計算できます。 f ( x ) = ∂ n F ∂ x 1 ⋯ ∂ x n | x {\displaystyle f(x)=\left.{\frac {\partial ^{n}F}{\partial x_{1}\cdots \partial x_{n}}}\right|_{x}}
周辺密度 i = 1, 2, ..., n に対して、f X i ( x i ) を変数 X i のみに関連付けられた確率密度関数とします。これは周辺密度関数と呼ばれ、確率変数 X 1 , ..., X n に 関連付け られ た 確率 密度 から 、 他 の n − 1 個 の 変数 のすべての値にわたって積分することで 導出 でき ます。 f X i ( x i ) = ∫ f ( x 1 , … , x n ) d x 1 ⋯ d x i − 1 d x i + 1 ⋯ d x n . {\displaystyle f_{X_{i}}(x_{i})=\int f(x_{1},\ldots ,x_{n})\,dx_{1}\cdots dx_{i-1}\,dx_{i+1}\cdots dx_{n}.}
独立性 結合密度を許容する 連続確率変数 X 1 , ..., X n は 、次の条件を満たす場合、すべて互いに 独立です。 f X 1 , … , X n ( x 1 , … , x n ) = f X 1 ( x 1 ) ⋯ f X n ( x n ) . {\displaystyle f_{X_{1},\ldots ,X_{n}}(x_{1},\ldots ,x_{n})=f_{X_{1}}(x_{1})\cdots f_{X_{n}}(x_{n}).}
系 n 個の確率変数のベクトルの結合確率密度関数が、 1変数の n 個の関数の積に因数分解できる場合 （各 f i は 必ずしも密度関数ではない）、 その集合内の n個の変数はすべて互いに 独立して おり、それぞれの周辺確率密度関数は次のように与えられます。 f X 1 , … , X n ( x 1 , … , x n ) = f 1 ( x 1 ) ⋯ f n ( x n ) , {\displaystyle f_{X_{1},\ldots ,X_{n}}(x_{1},\ldots ,x_{n})=f_{1}(x_{1})\cdots f_{n}(x_{n}),} f X i ( x i ) = f i ( x i ) ∫ f i ( x ) d x . {\displaystyle f_{X_{i}}(x_{i})={\frac {f_{i}(x_{i})}{\int f_{i}(x)\,dx}}.}
例 この基本的な例は、2変数の集合の関数という単純なケースにおける多次元確率密度関数の定義を示しています。座標 ( X , Y ) の2次元ランダムベクトルを次のように呼びます。正の x と y の1/4平面で 得られる確率は R → {\displaystyle {\vec {R}}} R → {\displaystyle {\vec {R}}} Pr ( X > 0 , Y > 0 ) = ∫ 0 ∞ ∫ 0 ∞ f X , Y ( x , y ) d x d y . {\displaystyle \Pr \left(X>0,Y>0\right)=\int _{0}^{\infty }\int _{0}^{\infty }f_{X,Y}(x,y)\,dx\,dy.}
確率変数の 確率変数（またはベクトル） X の確率密度関数が f X ( x ) と与えられた場合 、ある変数 Y = g ( X ) の確率密度関数を計算することが可能です（ただし、多くの場合、計算は不要です。下記参照） 。これは「変数変換」とも呼ばれ、実際には既知 の（例えば、一様）乱数生成器を用いて
任意の形状の確率変数 f g ( X ) = f Yを生成するために使用されます。
期待値E( g ( X )) を求めるには、まず 新しい確率変数 Y = g ( X ) の確率密度 f g ( X ) を求めなければならないと考えがちです。しかし、計算する代わりに、 E ( g ( X ) ) = ∫ − ∞ ∞ y f g ( X ) ( y ) d y , {\displaystyle \operatorname {E} {\big (}g(X){\big )}=\int _{-\infty }^{\infty }yf_{g(X)}(y)\,dy,} E ( g ( X ) ) = ∫ − ∞ ∞ g ( x ) f X ( x ) d x . {\displaystyle \operatorname {E} {\big (}g(X){\big )}=\int _{-\infty }^{\infty }g(x)f_{X}(x)\,dx.}
The values of the two integrals are the same in all cases in which both X g (X )g one-to-one function . In some cases the latter integral is computed much more easily than the former. See Law of the unconscious statistician .
Scalar to scalar Let g : R → R {\displaystyle g:\mathbb {R} \to \mathbb {R} } monotonic function , then the resulting density function is[6] f Y ( y ) = f X ( g − 1 ( y ) ) | d d y ( g − 1 ( y ) ) | . {\displaystyle f_{Y}(y)=f_{X}{\big (}g^{-1}(y){\big )}\left|{\frac {d}{dy}}{\big (}g^{-1}(y){\big )}\right|.}
Here g −1 inverse function .
This follows from the fact that the probability contained in a differential area must be invariant under change of variables. That is, | f Y ( y ) d y | = | f X ( x ) d x | , {\displaystyle \left|f_{Y}(y)\,dy\right|=\left|f_{X}(x)\,dx\right|,} f Y ( y ) = | d x d y | f X ( x ) = | d d y ( x ) | f X ( x ) = | d d y ( g − 1 ( y ) ) | f X ( g − 1 ( y ) ) = | ( g − 1 ) ′ ( y ) | ⋅ f X ( g − 1 ( y ) ) . {\displaystyle f_{Y}(y)=\left|{\frac {dx}{dy}}\right|f_{X}(x)=\left|{\frac {d}{dy}}(x)\right|f_{X}(x)=\left|{\frac {d}{dy}}{\big (}g^{-1}(y){\big )}\right|f_{X}{\big (}g^{-1}(y){\big )}={\left|\left(g^{-1}\right)'(y)\right|}\cdot f_{X}{\big (}g^{-1}(y){\big )}.}
For functions that are not monotonic, the probability density function for y is ∑ k = 1 n ( y ) | d d y g k − 1 ( y ) | ⋅ f X ( g k − 1 ( y ) ) , {\displaystyle \sum _{k=1}^{n(y)}\left|{\frac {d}{dy}}g_{k}^{-1}(y)\right|\cdot f_{X}{\big (}g_{k}^{-1}(y){\big )},} n (y )x for the equation g ( x ) = y {\displaystyle g(x)=y} g k − 1 ( y ) {\displaystyle g_{k}^{-1}(y)}
Vector to vector x が n 次元確率変数で、 結合密度が f であるとする 。y = G ( x ) （ただし G は 全単射で 微分 可能な関数 ）とする と 、 y の 密度は p Y :
となる。 ここで、微分は G (⋅) の逆関数の ヤコビアンとして扱われ、 y で評価される 。 [7] p Y ( y ) = f ( G − 1 ( y ) ) | det [ d G − 1 ( z ) d z | z = y ] | {\displaystyle p_{Y}(\mathbf {y} )=f{\Bigl (}G^{-1}(\mathbf {y} ){\Bigr )}\left|\det \left[\left.{\frac {dG^{-1}(\mathbf {z} )}{d\mathbf {z} }}\right|_{\mathbf {z} =\mathbf {y} }\right]\right|}
例えば、2 次元の場合、 x = ( x 1 , x 2 ) で、変換 Gが y 1 = G 1 ( x 1 , x 2 ) 、 y 2 = G 2 ( x 1 , x 2 ) と与えられ、 逆関数が x 1 = G 1 −1 ( y 1 , y 2 ) 、 x 2 = G 2 −1 ( y 1 , y 2 ) であるとする。y = ( y 1 , y 2 )の結合分布の 密度は [8]となる 。 p Y 1 , Y 2 ( y 1 , y 2 ) = f X 1 , X 2 ( G 1 − 1 ( y 1 , y 2 ) , G 2 − 1 ( y 1 , y 2 ) ) | ∂ G 1 − 1 ∂ y 1 ∂ G 2 − 1 ∂ y 2 − ∂ G 1 − 1 ∂ y 2 ∂ G 2 − 1 ∂ y 1 | . {\displaystyle p_{Y_{1},Y_{2}}(y_{1},y_{2})=f_{X_{1},X_{2}}{\big (}G_{1}^{-1}(y_{1},y_{2}),G_{2}^{-1}(y_{1},y_{2}){\big )}\left\vert {\frac {\partial G_{1}^{-1}}{\partial y_{1}}}{\frac {\partial G_{2}^{-1}}{\partial y_{2}}}-{\frac {\partial G_{1}^{-1}}{\partial y_{2}}}{\frac {\partial G_{2}^{-1}}{\partial y_{1}}}\right\vert .}
ベクトルからスカラーへ を 微分可能関数、 を に値を取るランダムベクトル 、 を の確率密度関数 、を ディラックのデルタ 関数 とします 。上記の式を用いて を決定することができ 、 の確率密度関数は 次のように与えられます。 V : R n → R {\displaystyle V:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} } X {\displaystyle X} R n {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}} f X {\displaystyle f_{X}} X {\displaystyle X} δ ( ⋅ ) {\displaystyle \delta (\cdot )} f Y {\displaystyle f_{Y}} Y = V ( X ) {\displaystyle Y=V(X)} f Y ( y ) = ∫ R n f X ( x ) δ ( y − V ( x ) ) d x . {\displaystyle f_{Y}(y)=\int _{\mathbb {R} ^{n}}f_{X}(\mathbf {x} )\delta {\big (}y-V(\mathbf {x} ){\big )}\,d\mathbf {x} .}
この結果は、 無意識の統計学者の法則 につながります。 E Y [ Y ] = ∫ R y f Y ( y ) d y = ∫ R y ∫ R n f X ( x ) δ ( y − V ( x ) ) d x d y = ∫ R n ∫ R y f X ( x ) δ ( y − V ( x ) ) d y d x = ∫ R n V ( x ) f X ( x ) d x = E X [ V ( X ) ] . {\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {E} _{Y}[Y]&=\int _{\mathbb {R} }yf_{Y}(y)\,dy\\&=\int _{\mathbb {R} }y\int _{\mathbb {R} ^{n}}f_{X}(\mathbf {x} )\delta {\big (}y-V(\mathbf {x} ){\big )}\,d\mathbf {x} \,dy\\&=\int _{{\mathbb {R} }^{n}}\int _{\mathbb {R} }yf_{X}(\mathbf {x} )\delta {\big (}y-V(\mathbf {x} ){\big )}\,dy\,d\mathbf {x} \\&=\int _{\mathbb {R} ^{n}}V(\mathbf {x} )f_{X}(\mathbf {x} )\,d\mathbf {x} =\operatorname {E} _{X}[V(X)].\end{aligned}}}
証明：
を確率密度関数（つまり、定数がゼロ）を持つ崩壊したランダム変数とします 。 ランダムベクトル と変換を 次のように定義します Z {\displaystyle Z} p Z ( z ) = δ ( z ) {\displaystyle p_{Z}(z)=\delta (z)} X ~ {\displaystyle {\tilde {X}}} H {\displaystyle H} H ( Z , X ) = [ Z + V ( X ) X ] = [ Y X ~ ] . {\displaystyle H(Z,X)={\begin{bmatrix}Z+V(X)\\X\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}Y\\{\tilde {X}}\end{bmatrix}}.}
は全単射写像であることは明らかであり 、 のヤコビアンは 次のように与えられます。 これは 主対角線 上に1を持つ上 三角行列 であるため、その行列式は1です。前のセクションの変数変換定理を適用すると、 が得られ、 これを 上で周辺化すると、 目的の確率密度関数が得られます。 H {\displaystyle H} H − 1 {\displaystyle H^{-1}} d H − 1 ( y , x ~ ) d y d x ~ = [ 1 − d V ( x ~ ) d x ~ 0 n × 1 I n × n ] , {\displaystyle {\frac {dH^{-1}(y,{\tilde {\mathbf {x} }})}{dy\,d{\tilde {\mathbf {x} }}}}={\begin{bmatrix}1&-{\frac {dV({\tilde {\mathbf {x} }})}{d{\tilde {\mathbf {x} }}}}\\\mathbf {0} _{n\times 1}&\mathbf {I} _{n\times n}\end{bmatrix}},} f Y , X ( y , x ) = f X ( x ) δ ( y − V ( x ) ) , {\displaystyle f_{Y,X}(y,x)=f_{X}(\mathbf {x} )\delta {\big (}y-V(\mathbf {x} ){\big )},} x {\displaystyle x}
独立確率変数の和 それぞれ確率密度関数を持つ2つの 独立 確率変数 U と V の 和の確率密度関数は、 それらの個別の密度関数の 畳み込みです。 f U + V ( x ) = ∫ − ∞ ∞ f U ( y ) f V ( x − y ) d y = ( f U ∗ f V ) ( x ) {\displaystyle f_{U+V}(x)=\int _{-\infty }^{\infty }f_{U}(y)f_{V}(x-y)\,dy=\left(f_{U}*f_{V}\right)(x)}
前述の関係を、密度が U 1 、…、 U N である N 個の独立確率変数の和に一般化することができます。 f U 1 + ⋯ + U ( x ) = ( f U 1 ∗ ⋯ ∗ f U N ) ( x ) {\displaystyle f_{U_{1}+\cdots +U}(x)=\left(f_{U_{1}}*\cdots *f_{U_{N}}\right)(x)}
これは、独立確率変数の商に関する以下の例と同様に、 Y = U + V と Z = V を含む双方向変数変換から導くことができます。
独立確率変数の積と商 それぞれ確率密度関数を持つ2つの独立した確率変数 U と V が与えられた場合、積 Y = UV と商 Y = U / V の密度は変数変換によって計算できます。
例：商分布 2つの独立した確率変数 U と V の商 Y = U / V を計算するには、次の変換を定義します。 Y = U / V Z = V {\displaystyle {\begin{aligned}Y&=U/V\\[1ex]Z&=V\end{aligned}}}
次に、結合密度 p ( y , z )は、変数を U 、 Vから Y 、 Z に 変換することで計算でき 、結合密度から Z を周辺化することで Y を 導出できます 。
逆変換は U = Y Z V = Z {\displaystyle {\begin{aligned}U&=YZ\\V&=Z\end{aligned}}}
この変換の ヤコビ行列 式 の絶対値は次の通りです。 J ( U , V ∣ Y , Z ) {\displaystyle J(U,V\mid Y,Z)} | det [ ∂ u ∂ y ∂ u ∂ z ∂ v ∂ y ∂ v ∂ z ] | = | det [ z y 0 1 ] | = | z | . {\displaystyle \left|\det {\begin{bmatrix}{\frac {\partial u}{\partial y}}&{\frac {\partial u}{\partial z}}\\{\frac {\partial v}{\partial y}}&{\frac {\partial v}{\partial z}}\end{bmatrix}}\right|=\left|\det {\begin{bmatrix}z&y\\0&1\end{bmatrix}}\right|=|z|.}
したがって、 p ( y , z ) = p ( u , v ) J ( u , v ∣ y , z ) = p ( u ) p ( v ) J ( u , v ∣ y , z ) = p U ( y z ) p V ( z ) | z | . {\displaystyle p(y,z)=p(u,v)\,J(u,v\mid y,z)=p(u)\,p(v)\,J(u,v\mid y,z)=p_{U}(yz)\,p_{V}(z)\,|z|.}
Y の分布は Z を周辺化する ことで計算でき ます p ( y ) = ∫ − ∞ ∞ p U ( y z ) p V ( z ) | z | d z {\displaystyle p(y)=\int _{-\infty }^{\infty }p_{U}(yz)\,p_{V}(z)\,|z|\,dz}
この方法では、 U 、 Vから Y 、 Z への 変換が 全単調で あることが決定的に重要です 。上記の変換は、 Zを V に直接写像でき、与えられた V に対して 商 U / V が単調で あるため、この要件を満たしています。これは、和 U + V 、差 U - V 、積 UV についても同様に当てはまります 。
全く同じ方法を使用して、複数の独立した確率変数を持つ他の関数の分布を計算することもできます
例：2つの標準正規分布の商 2つの 標準正規分布 変数 U と V が与えられた場合、商は次のように計算できます。まず、変数は次の密度関数を持ちます。 p ( u ) = 1 2 π e − u 2 / 2 p ( v ) = 1 2 π e − v 2 / 2 {\displaystyle {\begin{aligned}p(u)&={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}e^{-{u^{2}}/{2}}\\[1ex]p(v)&={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}e^{-{v^{2}}/{2}}\end{aligned}}}
上記のように変換します。 Y = U / V Z = V {\displaystyle {\begin{aligned}Y&=U/V\\[1ex]Z&=V\end{aligned}}}
これは次のようになります。 p ( y ) = ∫ − ∞ ∞ p U ( y z ) p V ( z ) | z | d z = ∫ − ∞ ∞ 1 2 π e − 1 2 y 2 z 2 1 2 π e − 1 2 z 2 | z | d z = ∫ − ∞ ∞ 1 2 π e − 1 2 ( y 2 + 1 ) z 2 | z | d z = 2 ∫ 0 ∞ 1 2 π e − 1 2 ( y 2 + 1 ) z 2 z d z = ∫ 0 ∞ 1 π e − ( y 2 + 1 ) u d u u = 1 2 z 2 = − 1 π ( y 2 + 1 ) e − ( y 2 + 1 ) u | u = 0 ∞ = 1 π ( y 2 + 1 ) {\displaystyle {\begin{aligned}p(y)&=\int _{-\infty }^{\infty }p_{U}(yz)\,p_{V}(z)\,|z|\,dz\\[5pt]&=\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}e^{-{\frac {1}{2}}y^{2}z^{2}}{\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}e^{-{\frac {1}{2}}z^{2}}|z|\,dz\\[5pt]&=\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {1}{2\pi }}e^{-{\frac {1}{2}}\left(y^{2}+1\right)z^{2}}|z|\,dz\\[5pt]&=2\int _{0}^{\infty }{\frac {1}{2\pi }}e^{-{\frac {1}{2}}\left(y^{2}+1\right)z^{2}}z\,dz\\[5pt]&=\int _{0}^{\infty }{\frac {1}{\pi }}e^{-\left(y^{2}+1\right)u}\,du&&u={\tfrac {1}{2}}z^{2}\\[5pt]&=\left.-{\frac {1}{\pi \left(y^{2}+1\right)}}e^{-\left(y^{2}+1\right)u}\right|_{u=0}^{\infty }\\[5pt]&={\frac {1}{\pi \left(y^{2}+1\right)}}\end{aligned}}}
これは標準コーシー分布 の密度です 。
参照 密度推定 - 観測不可能な基礎確率密度関数の推定 カーネル密度推定 - 推定量 Pages displaying short descriptions with no spaces 尤度関数 - 統計および確率論に関連する関数 確率分布の一覧 確率振幅 – 絶対値の2乗が確率となる複素数 確率質量関数 – 離散変数確率分布 二次測度 – 数学における概念 位置確率密度 としての用途 ： 原子軌道 – 原子内の電子を記述する関数 行動圏 – 動物が生息し、移動する領域
参考文献 ^ 「AP統計レビュー - 密度曲線と正規分布」。2015年4月2日時点のオリジナルからアーカイブ。 2015年 3月16日 閲覧 。 ^ Grinstead, Charles M.; Snell, J. Laurie (2009). 「条件付き確率 - 離散条件付き」 (PDF) . Grinstead & Snell's Introduction to Probability . Orange Grove Texts. ISBN 978-1616100469 2003年4月25日時点のオリジナルから アーカイブ (PDF) . 2019年7月25日 閲覧 。 ^ 「確率 - 実数直線上の一様乱数は有効な分布か？」。 Cross Validated . 2021年10月6日 閲覧 ^ Ord, JK (1972) 頻度分布の族 、グリフィン。ISBN 0-85264-137-0 （例えば、表5.1と例5.4） ^ Scalas, Enrico (2025). 経済学者のための確率論入門 (PDF) . 自費出版. p. 28. 2024年12月10日時点のオリジナルからアーカイブ (PDF) . 2025年 7月30日 閲覧 . ^ Siegrist, Kyle (2020年5月5日). 「確率変数の変換」. LibreTexts Statistics . 2023年 12月22日 閲覧 . ^ Devore, Jay L.; Berk, Kenneth N. (2007). 現代数理統計とその応用. Cengage. p. 263. ISBN 978-0-534-40473-4 。 ^ David, Stirzaker (2007-01-01). Elementary Probability . Cambridge University Press. ISBN 978-0521534284 OCLC 851313783.
参考文献
外部リンク
![{\displaystyle \Pr[a\leq X\leq b]=\int _{a}^{b}f_{X}(x)\,dx.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/45fd7691b5fbd323f64834d8e5b8d4f54c73a6f8)
![{\displaystyle [x,x+dx]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f07271dbe3f8967834a2eaf143decd7e41c61d7a)
![{\displaystyle \Pr[X\in A]=\int _{X^{-1}A}\,dP=\int _{A}f\,d\mu}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/591b4a96fefea18b28fe8eb36d3469ad6b33a9db)
![{\displaystyle \operatorname {E} [X]=\int _{-\infty}^{\infty}x\,f(x)\,dx.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/00ce7a00fac378eafc98afb88de88d619e15e996)
![{\displaystyle p_{Y}(\mathbf {y})=f{\Bigl (}G^{-1}(\mathbf {y}){\Bigr )}\left|\det \left[\left.{\frac {dG^{-1}(\mathbf {z})}{d\mathbf {z} }}\right|_{\mathbf {z} =\mathbf {y} }\right]\right|}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/48cc1c800c9d64079df336d91594f175aa00dfa0)
![{\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {E} _{Y}[Y]&=\int _{\mathbb {R} }yf_{Y}(y)\,dy\\&=\int _{\mathbb {R} }y\int _{\mathbb {R} ^{n}}f_{X}(\mathbf {x} )\delta {\big (}yV(\mathbf {x} ){\big )}\,d\mathbf {x} \,dy\\&=\int _{{\mathbb {R} }^{n}}\int _{\mathbb {R} }yf_{X}(\mathbf {x} )\delta {\big (}yV(\mathbf {x} ){\big )}\,dy\,d\mathbf {x} \\&=\int _{\mathbb {R} ^{n}}V(\mathbf {x} )f_{X}(\mathbf {x} )\,d\mathbf {x} =\operatorname {E} _{X}[V(X)].\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/58c30855928bdd65fba2414df1e5aa755e204602)
![{\displaystyle {\begin{aligned}Y&=U/V\\[1ex]Z&=V\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/878eef546b1fb56d8cd6843edf0d6666642a77e2)
![{\displaystyle {\begin{aligned}p(u)&={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}e^{-{u^{2}}/{2}}\\[1ex]p(v)&={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}e^{-{v^{2}}/{2}}\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ad1edf70beff1658f6db7cafd4dd84111b4d3c0c)
![{\displaystyle {\begin{aligned}p(y)&=\int _{-\infty }^{\infty }p_{U}(yz)\,p_{V}(z)\,|z|\,dz\\[5pt]&=\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}e^{-{\frac {1}{2}}y^{2}z^{2}}{\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}e^{-{\frac {1}{2}}z^{2}}|z|\,dz\\[5pt]&=\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {1}{2}e^{-{\frac {1}{2}}\left(y^{2}+1\right)z^{2}}|z|\,dz\\[5pt]&=2\int _{0}^{\infty }{\frac {1}{2\pi }}e^{-{\frac {1}{2}}\left(y^{2}+1\right)z^{2}}z\,dz\\[5pt]&=\int _{0}^{\infty }{\frac {1}{\pi }}e^{-\left(y^{2}+1\right)u}\,du&&u={\tfrac {1}{2}}z^{2}\\[5pt]&=\left.-{\frac {1}{\pi \left(y^{2}+1\right)}}e^{-\left(y^{2}+1\right)u}\right|_{u=0}^{\infty }\\[5pt]&={\frac {1}{\pi \left(y^{2}+1\right)}}\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/63983efb2501c35f094487a9c6473a30e9405551)
