微分（微分代数）

Algebraic generalization of the derivative

数学において、微分とは、代数上の関数であり、微分作用素の特定の特徴を一般化したものである。具体的には、環または体K上の代数Aが与えられたとき、K微分はライプニッツの法則を満たすK線型写像D  : A → Aである。

${\displaystyle D(ab)=aD(b)+D(a)b.}$

より一般的には、MがA 双加群である場合、ライプニッツの法則を満たすK線型写像D  : A → Mは微分とも呼ばれる。A からそれ自身へのすべてのK微分の総和はDer _K ( A )と表記される。A からA加群MへのK微分の総和はDer _K ( A , M )と表記される。

微分は数学の様々な分野において、様々な文脈で発生します。変数に関する偏微分は、 R ⁿ上の実数値微分可能関数の代数上のR微分です。ベクトル場に関するリー微分は、微分可能多様体上の微分可能関数の代数上のR微分です。より一般的には、多様体のテンソル代数上の微分です。したがって、リー代数の随伴表現はその代数上の微分です。ピンチャール微分は抽象代数における微分の一例です。代数Aが非可換である場合、代数Aの元に関する交換子は、 A自身への線型自己準同型を定義し、これはK上の微分です。つまり、

${\displaystyle [FG,N]=[F,N]G+F[G,N],}$

ここで、 は に関する交換子である。優れた微分dを備えた代数A は微分代数を形成し、それ自体が微分ガロア理論などの分野における重要な研究対象となっている。 ${\displaystyle [\cdot ,N]}$ ${\displaystyle N}$

プロパティ

AがK代数で、Kが環であり、D : A → AがK微分であるとき、

• Aに単位1がある場合、 D (1) = D (1 ² ) = 2 D (1) となり、D (1) = 0 となります。したがって、 K線形性により、すべてのk ∈ Kに対してD ( k ) = 0 となります。
• Aが可換であれば、ライプニッツの定理により、 D ( x2 )= xD ( x )+ D ( x ) 、 x = 2xD ( x )、D ( xn )= nxn ^{− 1D} ( x )^が成立します。
• より一般的には、任意のx ₁ , x ₂ , …, x _n ∈ Aに対して、帰納法により次の式が成り立つ。

  ${\displaystyle D(x_{1}x_{2}\cdots x_{n})=\sum _{i}x_{1}\cdots x_{i-1}D(x_{i})x_{i+1}\cdots x_{n}}$

つまり、すべてのiに対して、D ( x _i )が と可換であるということです。 ${\textstyle \sum _{i}D(x_{i})\prod _{j\neq i}x_{j}}$ ${\displaystyle x_{1},x_{2},\ldots ,x_{i-1}}$

• n > 1の場合、D ^{n は}微分ではなく、高階ライプニッツ則を満たします。

${\displaystyle D^{n}(uv)=\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}\cdot D^{n-k}(u)\cdot D^{k}(v).}$

さらに、MがA-双加群ならば、

${\displaystyle \operatorname {Der} _{K}(A,M)}$

AからMまでのK導出の集合について。

• Der _K ( A , M )はK上のモジュールです。
• Der _K ( A ) は、交換子によって定義されるリー括弧を持つリー代数です。

${\displaystyle [D_{1},D_{2}]=D_{1}\circ D_{2}-D_{2}\circ D_{1}.}$

2 つの微分が交換可能な場合も微分であることが容易に検証できるからです。

• A加群Ω _{A / K}（ケーラー微分と呼ばれる）にはK微分d : A →ΩA _{/ Kが}あり、これを通して任意の微分D : A → Mが因数分解できる。つまり、任意の微分Dに対して、A加群写像φが存在し、

${\displaystyle D:A{\stackrel {d}{\longrightarrow }}\Omega _{A/K}{\stackrel {\varphi }{\longrightarrow }}M}$

この対応はA加群の同型である。 ${\displaystyle D\leftrightarrow \varphi }$

${\displaystyle \operatorname {Der} _{K}(A,M)\simeq \operatorname {Hom} _{A}(\Omega _{A/K},M)}$

• k ⊂ Kが部分環ならば、Aはk -代数構造を継承するので、包含が存在する。

${\displaystyle \operatorname {Der} _{K}(A,M)\subset \operatorname {Der} _{k}(A,M),}$

なぜなら、任意のK微分は、さらにk微分であるからです。

段階的導出

次数付き代数 Aと、 A上の次数| D |の同次線型写像Dが与えられたとき、Dが同次微分となるのは、

${\displaystyle {D(ab)=D(a)b+\varepsilon ^{|a||D|}aD(b)}}$

交換子因子ε = ±1に対して、Aの任意の同次元aと任意の元bに対して、次数付き微分は同じεを持つ同次微分の総和である。

ε = 1の場合には、この定義は通常の場合と同じになる。しかし、 ε = −1の場合には、

${\displaystyle {D(ab)=D(a)b+(-1)^{|a||D|}aD(b)}}$

奇数 | D | の場合、Dは反微分と呼ばれます。

反微分の例としては、微分形式に作用する外微分と内積が挙げられる。

超代数の次数付き微分（つまり、Z ₂次代数）は、しばしば超微分と呼ばれます。

関連する概念

ハッセ・シュミット導出はK代数準同型である

${\displaystyle A\to A[[t]].}$

さらに、正式な冪級数を 係数に送る写像と組み合わせると、微分が得られます。 ${\displaystyle \sum a_{n}t^{n}}$ ${\displaystyle a_{1}}$

参照

• 微分幾何学では、微分は接線ベクトルである。
• ケーラー微分
• ハッセ導関数
• p導出
• ヴィルティンガー導関数
• 指数写像の微分

参考文献

• ブルバキ、ニコラ（1989）、代数I、数学の要素、シュプリンガー・フェアラーク、ISBN 3-540-64243-9。
• アイゼンバッド、デイヴィッド（1999年）『代数幾何学への視点から見た可換代数』（第3版）、シュプリンガー・フェアラーク、ISBN 978-0-387-94269-8。
• 松村英之 (1970)、可換代数、数学講義ノートシリーズ、WA Benjamin、ISBN 978-0-8053-7025-6。
• コラージュ、イヴァン; スロヴァク、ヤン; ミコル、ピーター W. (1993)、微分幾何学における自然演算、シュプリンガー・フェアラーグ。

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