派生スキーム

代数幾何学において、導出スキームは、古典的な可換環を微分次数代数、可換単体環、または可換環スペクトルなどの導出バージョンに置き換えたスキームのホモトピー理論的一般化です。

点の関数の観点から見ると、導出されるスキームは、開アフィン被覆を許容する単体可換環のカテゴリ上の層Xです。 ${\displaystyle \{Spec(A_{i})\to X\}}$

局所環空間の観点から見ると、導来スキームとは位相空間XとX上の単体可換環または可換環スペクトル[1]の層から^なるペアであり、(1)ペアはスキームであり、 (2)は準コヒーレントな-モジュールである。 ${\displaystyle (X,{\mathcal {O}})}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}}$ ${\displaystyle (X,\pi _{0}{\mathcal {O}})}$ ${\displaystyle \pi _{k}{\mathcal {O}}}$ ${\displaystyle \pi _{0}{\mathcal {O}}}$

派生スタックは、派生スキームのスタック一般化です。

差別化段階制度

特性零の体上では、この理論は微分次数スキームの理論と密接に関連している。^[2] 定義によれば、微分次数スキームは、エタール位相に関して、アフィン微分次数スキームを接着することによって得られる。^{[3]これは、}マキシム・コンツェビッチ^[4]によって「導来代数幾何学への最初のアプローチ」として導入され、^[5]ミハイル・カプラノフとイオヌート・チオカン＝フォンタニンによってさらに発展させられた。

微分級環との関連と例

アフィン代数幾何学が（圏論的な意味で）可換環（一般に可換代数と呼ばれる）の理論と同値であるのと同様に、標数零上のアフィン導来代数幾何学は可換微分次数環の理論と同値である。導来スキームの主な例の一つは、スキームの部分スキームの導来交差から得られ、コシュル複体が得られる。例えば、 とすると、導来スキームが得られる。 ${\displaystyle f_{1},\ldots ,f_{k}\in \mathbb {C} [x_{1},\ldots ,x_{n}]=R}$

${\displaystyle (X,{\mathcal {O}}_{\bullet })=\mathbf {RSpec} \left(R/(f_{1})\otimes _{R}^{\mathbf {L} }\cdots \otimes _{R}^{\mathbf {L} }R/(f_{k})\right)}$

どこ

${\displaystyle {\textbf {RSpec}}:({\textbf {dga}}_{\mathbb {C} })^{op}\to {\textbf {DerSch}}}$

はエタールスペクトルである。^[要出典]解像度を構築できるので

${\displaystyle {\begin{matrix}0\to &R&{\xrightarrow {\cdot f_{i}}}&R&\to 0\\&\downarrow &&\downarrow &\\0\to &0&\to &R/(f_{i})&\to 0\end{matrix}}}$

導来環 は導来テンソル積であり、コシュル複体 である。この導来スキームを振幅に切断することで、導来代数幾何学の根拠となる古典的なモデルが得られる。射影スキームが ${\displaystyle R/(f_{1})\otimes _{R}^{\mathbf {L} }\cdots \otimes _{R}^{\mathbf {L} }R/(f_{k})}$ ${\displaystyle K_{R}(f_{1},\ldots ,f_{k})}$ ${\displaystyle [-1,0]}$

${\displaystyle \operatorname {Proj} \left({\frac {\mathbb {Z} [x_{0},\ldots ,x_{n}]}{(f_{1},\ldots ,f_{k})}}\right)}$

ここで、導出されたスキームを構築することができる。 ${\displaystyle \deg(f_{i})=d_{i}}$ ${\displaystyle (\mathbb {P} ^{n},{\mathcal {E}}^{\bullet },(f_{1},\ldots ,f_{k}))}$

${\displaystyle {\mathcal {E}}^{\bullet }=[{\mathcal {O}}(-d_{1})\oplus \cdots \oplus {\mathcal {O}}(-d_{k}){\xrightarrow {(\cdot f_{1},\ldots ,\cdot f_{k})}}{\mathcal {O}}]}$

振幅あり ${\displaystyle [-1,0]}$

余接複素数

工事

を特性 の体上に定義された固定微分次数代数とする。このとき、以下の条件が成立するとき、 -微分次数代数は半自由と呼ばれる。 ${\displaystyle (A_{\bullet },d)}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle A_{\bullet }}$ ${\displaystyle (R_{\bullet },d_{R})}$

1. 基礎となる次数代数は上の多項式代数であり、これは と同型である。 ${\displaystyle R_{\bullet }}$ ${\displaystyle A_{\bullet }}$ ${\displaystyle A_{\bullet }[\{x_{i}\}_{i\in I}]}$
2. 任意の に対して となるインデックスセット上にフィルタリングが存在します。 ${\displaystyle \varnothing =I_{0}\subseteq I_{1}\subseteq \cdots }$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle \cup _{n\in \mathbb {N} }I_{n}=I}$ ${\displaystyle s(x_{i})\in A_{\bullet }[\{x_{j}\}_{j\in I_{n}}]}$ ${\displaystyle x_{i}\in I_{n+1}}$

あらゆる微分次数代数は、半自由微分次数代数からの射影的準同型、いわゆる半自由分解を許容することが判明している。これは、適切なモデル圏におけるホモトピー同値性を除き、一意である。-微分次数代数の（相対）コタンジェント複体は、半自由分解を用いて構成することができ、以下のように定義される 。 ${\displaystyle A_{\bullet }}$ ${\displaystyle (A_{\bullet },d)}$ ${\displaystyle (A_{\bullet },d)}$ ${\displaystyle (B_{\bullet },d_{B})}$ ${\displaystyle (R_{\bullet },d_{R})\to (B_{\bullet },d_{B})}$

${\displaystyle \mathbb {L} _{B_{\bullet }/A_{\bullet }}:=\Omega _{R_{\bullet }/A_{\bullet }}\otimes _{R_{\bullet }}B_{\bullet }}$

多くの例は、標数 0 の体上の多様体を表す代数を取り、多項式代数の商として の表現を求め、この表現に関連付けられた Koszul 複体を取ることで構築できます。Koszul 複体は、次数 0 に非自明な次数部分を持つ次数代数である微分次数代数の半自由分解として機能します。 ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle (B_{\bullet },0)}$ ${\displaystyle B_{\bullet }}$

例

超曲面のコタンジェント複素数は簡単に計算できる。の導出拡張を表すdgaがあるので、コタンジェント複素数は次のように計算できる。 ${\displaystyle X=\mathbb {V} (f)\subset \mathbb {A} _{\mathbb {C} }^{n}}$ ${\displaystyle K_{R}(f)}$ ${\displaystyle X}$

${\displaystyle 0\to R\cdot ds{\xrightarrow {\Phi }}\bigoplus _{i}R\cdot dx_{i}\to 0}$

ここで、とは通常の普遍導出である。完全交差をとると、コズル複体は ${\displaystyle \Phi (gds)=g\cdot df}$ ${\displaystyle d}$

${\displaystyle R^{\bullet }={\frac {\mathbb {C} [x_{1},\ldots ,x_{n}]}{(f_{1})}}\otimes _{\mathbb {C} [x_{1},\ldots ,x_{n}]}^{\mathbf {L} }\cdots \otimes _{\mathbb {C} [x_{1},\ldots ,x_{n}]}^{\mathbf {L} }{\frac {\mathbb {C} [x_{1},\ldots ,x_{n}]}{(f_{k})}}}$

は複素数と準同型である

${\displaystyle {\frac {\mathbb {C} [x_{1},\ldots ,x_{n}]}{(f_{1},\ldots ,f_{k})}}[+0].}$

これは、導出環のコタンジェント複体を各 について上記のコタンジェント複体のテンソル積として構築できることを意味します。 ${\displaystyle R^{\bullet }}$ ${\displaystyle f_{i}}$

備考

導来幾何学におけるコタンジェント複体は、古典的なスキームにおけるコタンジェント複体とは異なることに注意してください。つまり、 によって定義される超曲面に特異点がある場合、コタンジェント複体は無限大の振幅を持ちます。これらの観察は、有限長の複体を扱っているため、導来幾何学における隠れた滑らかさの哲学の根拠となります。 ${\displaystyle f}$

接線複体

多項式関数

多項式関数が与えられたとき、（ホモトピー）プルバック図を考える。 ${\displaystyle f:\mathbb {A} ^{n}\to \mathbb {A} ^{m},}$

${\displaystyle {\begin{matrix}Z&\to &\mathbb {A} ^{n}\\\downarrow &&\downarrow f\\\{pt\}&{\xrightarrow {0}}&\mathbb {A} ^{m}\end{matrix}}}$

ここで、下の矢印は原点への点の包含である。すると、導出されたスキームは複素接線を持ち、その複素接線は射影によって与えられる。 ${\displaystyle Z}$ ${\displaystyle x\in Z}$

${\displaystyle \mathbf {T} _{x}=T_{x}\mathbb {A} ^{n}{\xrightarrow {df_{x}}}T_{0}\mathbb {A} ^{m}}$

ここで、複素数の振幅は です。接空間はを用いて復元でき、は滑らかな点からどれだけ離れているかを測る尺度であることに注意してください。 ${\displaystyle [-1,0]}$ ${\displaystyle H^{0}}$ ${\displaystyle H^{-1}}$ ${\displaystyle x\in Z}$

スタック商

スタックが与えられれば、接線複素数のわかりやすい説明が得られます。 ${\displaystyle [X/G]}$

${\displaystyle \mathbf {T} _{x}={\mathfrak {g}}_{x}\to T_{x}X}$

射が単射でない場合、 は空間がどの程度特異であるかを再び測る尺度となる。さらに、この複体のオイラー標数は、商スタックの正しい（仮想）次元を与える。特に、主 -バンドルのモジュライスタックを見ると、接複体は となる。 ${\displaystyle H^{-1}}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}[+1]}$

複素モース理論における導出スキーム

導出スキームはアフィン多様体の位相的性質を解析するために用いることができる。例えば、滑らかなアフィン多様体を考える。正則関数をとり、その切断を考える。 ${\displaystyle M\subset \mathbb {A} ^{n}}$ ${\displaystyle f:M\to \mathbb {C} }$ ${\displaystyle \Omega _{M}}$

${\displaystyle {\begin{cases}\Gamma _{df}:M\to \Omega _{M}\\x\mapsto (x,df(x))\end{cases}}}$

次に、導出されたプルバック図を見てみましょう。

${\displaystyle {\begin{matrix}X&\to &M\\\downarrow &&\downarrow 0\\M&{\xrightarrow {\Gamma _{df}}}&\Omega _{M}\end{matrix}}}$

ここで、 は零セクションであり、正規関数 の導出臨界軌跡を構築します。 ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle f}$

例

アフィン多様体を考える

${\displaystyle M=\operatorname {Spec} (\mathbb {C} [x,y])}$

と正規関数で与えられる。すると、 ${\displaystyle f(x,y)=x^{2}+y^{3}}$

${\displaystyle \Gamma _{df}(a,b)=(a,b,2a,3b^{2})}$

ここで、最後の2つの座標は として扱う。導出された臨界軌跡は、導出されたスキーム ${\displaystyle dx,dy}$

${\displaystyle {\textbf {RSpec}}\left({\frac {\mathbb {C} [x,y,dx,dy]}{(dx,dy)}}\otimes _{\mathbb {C} [x,y,dx,dy]}^{\mathbf {L} }{\frac {\mathbb {C} [x,y,dx,dy]}{(2x-dx,3y^{2}-dy)}}\right)}$

導来交差の左項は完全交差なので、導来環を表す複素数を次のように計算できることに注意されたい。

${\displaystyle K_{dx,dy}^{\bullet }(\mathbb {C} [x,y,dx,dy])\otimes _{\mathbb {C} [x,y,dx,dy]}{\frac {\mathbb {C} [x,y,dx,dy]}{(2-dx,3y^{2}-dy)}}}$

コズル複合施設はどこですか？ ${\displaystyle K_{dx,dy}^{\bullet }(\mathbb {C} [x,y,dx,dy])}$

派生した臨界軌跡

が滑らかな関数を考える。導出された臨界軌跡である導出された拡張は、微分次数スキームによって与えられ、ここで基礎となる次数環はポリベクトル場である。 ${\displaystyle f:M\to \mathbb {C} }$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle \operatorname {Crit} (f)}$ ${\displaystyle (M,{\mathcal {A}}^{\bullet },Q)}$

${\displaystyle {\mathcal {A}}^{-i}=\wedge ^{i}T_{M}}$

そして、微分はによる収縮によって定義されます。 ${\displaystyle Q}$ ${\displaystyle df}$

例

例えば、

${\displaystyle {\begin{cases}f:\mathbb {C} ^{2}\to \mathbb {C} \\f(x,y)=x^{2}+y^{3}\end{cases}}}$

私たちは複雑な

${\displaystyle R\cdot \partial x\wedge \partial y{\xrightarrow {2xdx+3y^{2}dy}}R\cdot \partial x\oplus R\cdot \partial y{\xrightarrow {2xdx+3y^{2}dy}}R}$

の導出された強化を表します。 ${\displaystyle \operatorname {Crit} (f)}$

注記

1. リングスペクトルとも呼ばれる ${\displaystyle E_{\infty }}$
2. Eugster, J.; Pridham, JP (2021-10-25). 「導来（代数）幾何学入門」第1.2節. arXiv : 2109.14594 [math.AG].
3. Behrend, Kai (2002-12-16). 「微分次数スキームI：完全解決代数」. arXiv : math/0212225 .
4. Kontsevich, M. (1994-05-05). 「トーラス作用による有理曲線の列挙」arXiv : hep-th/9405035 .
5. 「Dgスキーム」。

参考文献

• 導出代数幾何学への到達 - Mathoverflow
• M. アネル『曖昧さの幾何学』
• K. Behrend、仮想基礎クラスについて
• P. Goerss, Topological Modular Forms [Hopkins, Miller, Lurie に倣って]
• B. トーエン『導来代数幾何学入門』
• M. マネッティ、特性 0 のコタンジェント複素数
• G. ヴェッツォージ、導出臨界軌跡 I - 基礎

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