行列式直線束

微分幾何学において、行列式直線束（けいしきせんせんぶん）とは、パラコンパクト空間上のすべてのベクトル束に直線束を割り当てる構成である。その名称は、それらの分類空間に行列式を用いることに由来する。行列式直線束は4次元スピン構造において自然に生じるため、ザイバーグ・ウィッテン理論において中心的な重要性を持つ。

意味

をパラコンパクト空間とすると、実普遍ベクトル束との単射が存在する。^[1]実行列式は群準同型であり、したがって分類空間上にO(n) の連続写像を誘導する。したがって、後合成が存在する。 $X$ $[X,\operatorname {BO} (n)]\xrightarrow {\cong } \operatorname {Vect} _{\mathbb {R} }^{n}(X),[f]\mapsto f^{*}\gamma _{\mathbb {R} }^{n}$ $\gamma _{\mathbb {R} }^{n}$ $\det \colon \operatorname {O} (n)\rightarrow \operatorname {O} (1)$ ${\mathcal {B}}\det \colon \operatorname {BO} (n)\rightarrow \operatorname {BO} (1)\cong \mathbb {R} P^{\infty }$

\det \colon \operatorname {Vect} _{\mathbb {R} }^{n}(X)\cong [X,\operatorname {BO} (n)]\xrightarrow {{\mathcal {B}}\det _{*}} [X,\operatorname {BO} (1)]\cong \operatorname {Vect} _{\mathbb {R} }^{1}(X).

をパラコンパクト空間とすると、複素普遍ベクトル束との単射が存在する。^[1]複素行列式は群準同型であり、したがってU(n)の分類空間上に連続写像を誘導する。したがって、後合成が存在する。 $X$ $[X,\operatorname {BU} (n)]\xrightarrow {\cong } \operatorname {Vect} _{\mathbb {C} }^{n}(X),[f]\mapsto f^{*}\gamma _{\mathbb {C} }^{n}$ $\gamma _{\mathbb {C} }^{n}$ $\det \colon \operatorname {U} (n)\rightarrow \operatorname {U} (1)$ ${\mathcal {B}}\det \colon \operatorname {BU} (n)\rightarrow \operatorname {BU} (1)\cong \mathbb {C} P^{\infty }$

\det \colon \operatorname {Vect} _{\mathbb {C} }^{n}(X)\cong [X,\operatorname {BU} (n)]\xrightarrow {{\mathcal {B}}\det _{*}} [X,\operatorname {BU} (1)]\cong \operatorname {Vect} _{\mathbb {C} }^{1}(X).

あるいは、行列式直線束は、最後の非自明な外積として定義することもできる。ベクトル束をベクトル束とすると、次のようになる^。[2] $E\twoheadrightarrow X$

\det(E):=\Lambda ^{\operatorname {rk} (E)}(E).

プロパティ

実行列式直線束は第一スティフェル・ホイットニー類を保存する。これは、CW複体のホモトピー型を持つ位相空間上の実直線束に対して群同型となる。^[3]この場合、第一スティフェル・ホイットニー類が消滅するのは実直線束が向き付け可能である場合のみであるため、^[4]両方の条件は自明な行列式直線束と同値となる。^[5]
複素行列式直線束は第一チャーン類を保存する。これはCW複体のホモトピー型を持つ位相空間上の複素直線束に対して群同型である。^[3]
プルバックバンドルは行列式直線バンドルと可換である。パラコンパクト空間とベクトルバンドル間の連続写像については、次式が成り立つ。 $f\colon X\rightarrow Y$ $X$ $Y$ $E\twoheadrightarrow Y$
$\det(f^{*}E)\cong f^{*}\det(E).$

証明:が実ベクトル束であり、がその分類写像であるとすると、次のようになります。

E\twoheadrightarrow Y

g\colon Y\rightarrow \operatorname {BO} (n)

E=g^{*}\gamma _{\mathbb {R} }^{n}

\det(f^{*}E)\cong \det(f^{*}g^{*}\gamma _{\mathbb {R} }^{n})\cong \det((g\circ f)^{*}\gamma _{\mathbb {R} }^{n})\cong ({\mathcal {B}}\det \circ g\circ f)^{*}\gamma _{\mathbb {R} }^{1}\cong f^{*}({\mathcal {B}}\det \circ g)^{*}\gamma _{\mathbb {R} }^{1}\cong f^{*}\det(g^{*}\gamma _{\mathbb {R} }^{n})\cong f^{*}\det(E).

複素ベクトル束の場合も、証明は完全に同様です。

ベクトル束（ファイバーと同じフィールドを持つ）の場合、次のようになります。 $E,F\twoheadrightarrow X$
$\det(E\otimes F)\cong \det(E)^{\operatorname {rk} (F)}\otimes \det(F)^{\operatorname {rk} (E)}.$

文学

ボット、ラウル、トゥ、ローリング・W. (1982).代数的位相幾何学における微分形式.シュプリンガー. doi :10.1007/978-1-4757-3951-0. ISBN 978-1-4757-3951-0。
フリード, ダニエル(1987-03-10). 「行列式直線束について」(PDF) .
Nicolaescu, Liviu I. (2000), 「Seiberg-Witten理論に関するノート」（PDF） , Graduate Studies in Mathematics , vol. 28, Providence, RI: American Mathematical Society, doi :10.1090/gsm/028, ISBN 978-0-8218-2145-9、MR 1787219
ハッチャー、アレン(2003).「ベクトル束とK理論」

参考文献

^ ab Hatcher 2017、定理1.16。
^ Nicolaescu 2000、演習 1.1.4。
^ ハッチャー 2017、命題3.10より。
^ ハッチャー 2017、命題3.11。
^ Bott & Tu 1982、命題 11.4。

外部リンク

n ラボの行列式線束

[:0-1] Hatcher 2017、定理1.16。

[2] Nicolaescu 2000、演習 1.1.4。

[:1-3] ハッチャー 2017、命題3.10より。

[4] ハッチャー 2017、命題3.11。

[5] Bott & Tu 1982、命題 11.4。