微分可能曲線

曲線の微分幾何学は、微分積分法によって平面およびユークリッド空間内の滑らかな曲線を扱う幾何学の分野です。

多くの特定の曲線は、合成的アプローチを用いて徹底的に研究されてきました。微分幾何学は別のアプローチを採用しています。曲線はパラメータ化された形式で表現され、その幾何学的特性と、曲率や弧長といった曲線に関連する様々な量は、ベクトル解析を用いた微分と積分によって表現されます。曲線を解析する上で最も重要なツールの一つは、フレネ座標系です。これは、曲線の各点において、その点近傍の曲線に「最も適合した」座標系を提供する移動座標系です。

曲線理論は、曲面理論やその高次元一般化よりもはるかに単純で、その適用範囲も狭い。これは、ユークリッド空間における正則曲線には固有の幾何学的性質がないためである。任意の正則曲線は、弧長によって媒介変数化することができる（自然媒介変数化）。周囲の空間について何も知らない曲線上の理論上の点粒子の観点から見ると、すべての曲線は同じに見える。異なる空間曲線は、曲線がどのように曲がり、ねじれるかによってのみ区別される。定量的には、これは曲線の曲率とねじれと呼ばれる微分幾何学的不変量によって測定される。曲線の基本定理は、これらの不変量の知識が曲線を完全に決定することを主張する。

定義

パラメトリック $C$ $r$ 曲線または $C$ $r$ パラメータ化は、 $r$ 回連続的に微分可能な（つまり、 $γ$ の成分関数が連続的に微分可能な）ベクトル値関数です。ここで、、、 $I は$ 実数の空でない区間です。パラメトリック曲線の像はです。の特定のサブセットは多くの異なるパラメトリック曲線の像になることができるため、パラメトリック曲線 $γ$ とその像 $γ$ $[$ $I$ $]は区別する必要があります。$ $γ$ $($ $t$ $)$ のパラメータ $tは時間を表し、$ $γ は$ 空間内を移動する点の軌跡を表すものと考えることができます。 I が閉区間 [ a , b ] のとき、γ ( $a$ ) $は$ $開始$ $点$ $、$ $γ$ ( $b$ $)$ $は$ $終点$ と呼ばれます $。$ $開始$ $点$ $と$ 終点 $が$ 一致する場合（つまり、 $γ$ $($ $a$ $) =$ $γ$ $($ $b$ $)$ ）、 $γ$ は閉曲線またはループです。 $C$ $r$ ループであるためには、関数 $γ$ $はr$ 回連続的に微分可能で、 $0 \leq$ $k$ $\leq$ $r$ に対して $γ$ $($ $k$ $)$ $($ $a$ $) =$ $γ$ $($ $k$ $)$ $($ $b$ $)$ を満たす必要があります。 $\gamma :I\to \mathbb {R} ^{n}$ $n\in \mathbb {N}$ $r\in \mathbb {N} \cup \{\infty \}$ $\gamma [I]\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ $\mathbb {R} ^{n}$

パラメトリック曲線は、が単射であるとき単純である。 $γ$ の各成分関数が解析関数であるとき、すなわち $C$ $ω$ クラスであるとき解析的である。 $\gamma |_{(a,b)}:(a,b)\to \mathbb {R} ^{n}$

曲線 $γ が$ $m$ 次（ただし $m$ $\leq$ $r$ ）の正則曲線 であるとは、任意の $t$ $\in$ $I$ に対して⁠ ⁠の線形独立な部分集合となる場合である。特に、パラメトリック $C$ $1$ 曲線 $γ$ が正則曲線となるのは、任意の $t$ $\in$ $I$ に対して $γ$ $'($ $t$ $) \neq$ $0$ となる場合のみである。 $\left\{\gamma '(t),\gamma ''(t),\ldots ,{\gamma ^{(m)}}(t)\right\}$ $\mathbb {R} ^{n}$

再パラメータ化と同値関係

パラメトリック曲線のイメージが与えられた場合、パラメトリック曲線には複数の異なるパラメトリゼーションが存在します。微分幾何学は、特定の再パラメトリゼーションに対して不変であるパラメトリック曲線の特性を記述することを目的としています。そのためには、すべてのパラメトリック曲線の集合に対して適切な同値関係を定義する必要があります。パラメトリック曲線の微分幾何学的特性（長さ、フレネフレーム、一般化曲率など）は再パラメトリゼーションに対して不変であり、したがって同値類自体の特性でもあります。同値類は $C r$ 曲線と呼ばれ、曲線の微分幾何学において研究される中心的な対象です。

2 つのパラメトリック $C r$ 曲線およびは、となる単射 $C$ $r$ マップ $φ$ $:$ $I$ $1$ $\to$ $I$ $2$ が存在する場合にのみ同等であるとされ、その場合 $γ$ $2は$ $γ$ $1$ の再パラメトリック化であるといわれます。 $\gamma _{1}:I_{1}\to \mathbb {R} ^{n}$ $\gamma _{2}:I_{2}\to \mathbb {R} ^{n}$ $\forall t\in I_{1}:\quad \varphi '(t)\neq 0$ $\forall t\in I_{1}:\quad \gamma _{2}{\bigl (}\varphi (t){\bigr )}=\gamma _{1}(t).$

$再パラメータ化は、クラスC$ $r$ $のすべてのパラメータC r$ 曲線の集合上に同値関係を定義します。この関係の同値類は、単に $C$ $r$ 曲線です。

有向パラメトリック $C$ $r$ 曲線のさらに細かい同値関係は、 $φ が$ $φ$ $'($ $t$ $) > 0$ を満たすことを要求することによって定義できます。

同等のパラメトリック $C r$ 曲線は同じイメージを持ち、同等の方向付けされたパラメトリック $C r$ 曲線は同じ方向にイメージを横断します。

長さと自然なパラメータ化

パラメトリック $C$ $1$ 曲線の長さ $ℓ$ は次のように定義されます。パラメトリック曲線の長さは再パラメータ化に対して不変であるため、パラメトリック曲線の微分幾何学的特性です。 $\gamma :[a,b]\to \mathbb {R} ^{n}$ $\ell ~{\stackrel {\text{def}}{=}}~\int _{a}^{b}\left\|\gamma '(t)\right\|\,\mathrm {d} {t}.$

$同様に、 γ (a)から$ $γ (t)$ までの曲線の長さは $t$ の関数として表すことができ、 $s :[a, b]\to[0, ℓ]$ は次のように定義される。

$s(t)~{\stackrel {\text{def}}{=}}~\int _{a}^{t}\left\|\gamma '(x)\right\|\,\mathrm {d} {x}.$

微積分学の基本定理の第一部によれば、

$s'(t)~{=}~\left\|\gamma '(t)\right\|$

$γ$ が正規な $C 1$ 曲線、すなわち $γ'$ がどこでも非ゼロであるとき、 $s (t)$ は厳密に増加し、したがって逆関数 $t (s)$ が存在する。この逆関数は次のように定義できる。 $- γ$ $γ$ の再パラメータ化：

${\bar {\gamma }}(s)~{\stackrel {\text{def}}{=}}~\gamma (t(s))$

すると連鎖律と逆関数則により、各 $s$ とそれに対応する $t = t (s)$ について、 $- γ$ $はγ$ の1次導関数と同じ方向を指す単位ベクトルである。

${\bar {\gamma }}'(s)~=~{\frac {\gamma '(t)}{\left\|\gamma '(t)\right\|}}$

$幾何学的には、これはs$ の任意の2つの値、 $s 0 < s 1に対して、$ $sが$ $s 0から$ $s 1$ まで移動する距離は、sの弧長距離と同じであることを意味します。 $- γ$ から旅行 $- γ (s 0)$ から $- γ (s 1) 。あるいは、$ $t$ と $sを$ 時間パラメータとして考えると、 $γ (t)$ と $- γ （ s ）は$ 同じ経路に沿った動きを記述しますが、 $- γ (s)$ は一定の単位速度です。

このため、 $- γ$ は弧長パラメータ化、 自然パラメータ化、単位速度パラメータ化。パラメータ $s (t)$ $はγ$ の自然パラメータと呼ばれる。

与えられたパラメトリック曲線 $γ$ に対して、自然なパラメータ化はパラメータのシフトまで一意です。

$γ$ も $C 2$ 関数であれば、 $s$ もC 2関数であり、 $- γ$ 連鎖律と逆関数則を用いると、それらの2次導関数も $γ$ の導関数で表すことができる。

$s''(t)~{=}~{\frac {\gamma '(t)\cdot \gamma ''(t)\;}{\left\|\gamma '(t)\right\|}}$ ${\bar {\gamma }}''(s)~=~{\frac {\gamma ''(t)}{\left\|\gamma '(t)\right\|^{2}}}-\left({\frac {\gamma ''(t)}{\left\|\gamma '(t)\right\|^{2}}}\cdot {\frac {\gamma '(t)}{\left\|\gamma '(t)\right\|}}\right){\frac {\gamma '(t)}{\left\|\gamma '(t)\right\|}}$

したがって、 $- γ 「(s)$ は、 $接線$ ベクトル $γ$ $'( t )に対する$ $γ$ $"($ $t$ $) / ‖$ $γ$ $'($ $t$ $)$ $‖$ $2$ $の$ 垂直成分であり、したがって $- γ 「(s)$ は垂直である $- γ'(s)$ 。

弧長パラメータ化を表現することは困難であったり不可能であったりすることが多い。 $- γ$ $γ$ が閉形式で与えられている場合でも、閉形式で表現できます。これは通常、 $s$ $($ $t$ $)$ またはその逆関数 $t$ $($ $s$ $)$ を閉形式で表現することが困難または不可能な場合に当てはまります。ただし、弧長パラメータ化の1次および2次導関数は、一般パラメータ化の1次および2次導関数によってのみ表現できます。これにより、弧長パラメータ化で定義される曲率などの微分幾何学的特性は、一般パラメータ化が閉形式で表現できる場合でも、閉形式で表現できることがよくあります。

この量は曲線のエネルギーまたは作用と呼ばれることもあります。測地線方程式がこの作用のオイラー・ラグランジュの運動方程式であるため、この名前は正当です。 $E(\gamma )~{\stackrel {\text{def}}{=}}~{\frac {1}{2}}\int _{a}^{b}\left\|\gamma '(t)\right\|^{2}~\mathrm {d} {t}$

対数螺旋の例

対数螺旋は、次のようにパラメータ化できます。右の最初のグラフは、 $tの値が0から13（$ $4π$ を少し超える）で、パラメータ $a$ $= 1$ 、 $k$ $=$ $ln 2$ $⁄$ $2π$ $の場合の対数螺旋を示しています。tが2π$ ずつ変化するごとに、螺旋は1回転し、原点から2倍の距離を移動します。 ${\boldsymbol {\gamma }}(t)=ae^{kt}(\cos {t},\sin {t}).$ $.mw-parser-output .frac{white-space:nowrap}.mw-parser-output .frac .num,.mw-parser-output .frac .den{font-size:80%;line-height:0;vertical-align:super}.mw-parser-output .frac .den{vertical-align:sub}.mw-parser-output .sr-only{border:0;clip:rect(0,0,0,0);clip-path:polygon(0px 0px,0px 0px,0px 0px);height:1px;margin:-1px;overflow:hidden;padding:0;position:absolute;width:1px}$

螺旋は青と赤の線分が交互に現れ、各線分は $tの単位スパンに対応しています。したがって、螺旋が1回転するには$ $2π$ 、つまり6線分強かかります。線分は $t が$ 長くなるにつれて長くなります。

グラフには、 $tの$ $π$ 増分における $γ$ の1次および2次導関数ベクトルも示されています。

${\boldsymbol {\gamma }}'(t)=ae^{kt}\left(k(\cos {t},\sin {t})+(-\sin {t},\cos {t})\right)$ ${\boldsymbol {\gamma }}''(t)=ae^{kt}\left((k^{2}-1)(\cos {t},\sin {t})+2k(-\sin {t},\cos {t})\right).$

オレンジ色の 1 次導関数ベクトルは螺旋に接しており、ラジアルベクトル $γ (t)$ と約 83.7047 度の角度を形成します。これは、約 6.2953 度のピッチ角度の補角です。

緑色の2階微分ベクトルも、1階微分ベクトルと約83.7047度の角度をなしています。螺旋が1回転するごとに、1階微分ベクトルと2階微分ベクトルの長さはどちらも2倍になります。

2番目のグラフは、同じ螺旋を弧長パラメータで表したものである。 $- γ (s)$ 。最初の1回転の弧の長さは約9.1197です。2回転目の弧の長さは約18.2394で、ちょうど2倍の長さになります。

最初のグラフとの違いは次のとおりです。

一次微分接線ベクトルはすべて単位ベクトルである $。 - γ'(s) ‖ = 1$ 。
螺旋の赤と青のセグメントは単位スパン $s$ を表し、すべて同じ長さで、弧の長さは 1 です。
2 次導関数ベクトルは接線ベクトルに対して垂直です。
2 次導関数ベクトル (曲率ベクトル)はs の値が増加するにつれて短くなり、螺旋が 1 回転するごとに長さが半分になります。

標準媒介変数化 $γ (t)$ から弧長媒介変数化を求めるには、第1導関数の大きさは、参照点 $γ$ $($ $t$ $0$ $)$ からの弧長関数であり、その導関数は、 $s$ $($ $t$ $)$ の逆関数とその導関数は、 $\left\|{\boldsymbol {\gamma }}'(t)\right\|=\left|a\right|e^{kt}{\sqrt {k^{2}+1}},$ ${\begin{aligned}s(t)&={\frac {\left|a\right|{\sqrt {k^{2}+1}}}{k}}(e^{kt}-e^{kt_{0}})\\s'(t)&=\left|a\right|e^{kt}{\sqrt {k^{2}+1}}=\left\|{\boldsymbol {\gamma }}'(t)\right\|\\s''(t)&=\left|a\right|e^{kt}k{\sqrt {k^{2}+1}}=k\left\|{\boldsymbol {\gamma }}'(t)\right\|.\\\end{aligned}}$ ${\begin{aligned}t(s)&={\frac {1}{k}}\ln {\left({\frac {sk}{|a|{\sqrt {k^{2}+1}}}}+e^{kt_{0}}\right)}\\t'(s)&={\frac {1}{sk+e^{kt_{0}}|a|{\sqrt {k^{2}+1}}}}={\frac {1}{e^{kt(s)}|a|{\sqrt {k^{2}+1}}}}={\frac {1}{\left\|{\boldsymbol {\gamma }}'(t(s))\right\|}}\\t''(s)&={\frac {-k}{\left\|{\boldsymbol {\gamma }}'(t(s))\right\|^{2}}}.\\\end{aligned}}$

すると、螺旋の弧長パラメータ化は、 $s$ に関する1次および2次導関数で表され、 ${\begin{aligned}{\boldsymbol {\bar {\gamma }}}(s)&={\boldsymbol {\gamma }}(t(s))=ae^{kt(s)}(\cos {(t(s))},\sin {(t(s))})\\&=\mathrm {sign{(a)}} {\left({\frac {sk}{\sqrt {k^{2}+1}}}+e^{kt_{0}}\right)}\\&\quad \quad \left(\cos {\left({\frac {1}{k}}\ln {\left({\frac {sk}{|a|{\sqrt {k^{2}+1}}}}+e^{kt_{0}}\right)}\right)},\right.\\&\quad \quad \quad \left.\sin {\left({\frac {1}{k}}\ln {\left({\frac {sk}{|a|{\sqrt {k^{2}+1}}}}+e^{kt_{0}}\right)}\right)}\right),\\\end{aligned}}$ ${\begin{aligned}{\boldsymbol {\bar {\gamma }}}'(s)&={\boldsymbol {\gamma }}'(t(s))~t'(s)={\frac {{\boldsymbol {\gamma }}'(t(s))}{\left\|{\boldsymbol {\gamma }}'(t(s))\right\|}}\\{\boldsymbol {\bar {\gamma }}}''(s)&={\boldsymbol {\gamma }}''(t(s))~t'(s)^{2}+{\boldsymbol {\gamma }}'(t(s))~t''(s)\\&={\frac {a\left(-(\cos {t(s)},\sin {t(s)})+k(-\sin {t(s)},\cos {t(s)})\right)}{\left|a\right|^{2}e^{kt(s)}(k^{2}+1)}}~.\\\end{aligned}}$

2階微分は螺旋の曲率ベクトルであり、その大きさである曲率 $κ$ は ${\begin{aligned}\kappa (s)&=\left\|{\boldsymbol {\bar {\gamma }}}''(s)\right\|\\&={\frac {1}{\left|a\right|e^{kt(s)}{\sqrt {k^{2}+1}}}}~.\\\end{aligned}}$

フレネフレーム

フレネ座標系は、 $n個の$ 直交ベクトル $e$ $i$ $($ $t$ $)$ の移動座標系であり、各点 $γ$ $($ $t$ $)$ において曲線を局所的に記述するために使用される。これは、ユークリッド座標系のような大域的な座標系を用いるよりも、局所的な特性（曲率、ねじれなど）を局所的な座標系で記述する方がはるかに容易かつ自然であるため、曲線の微分幾何学的処理において主要なツールとなる。

$n$ 次正則な $C n +1$ 曲線 $γ$ が与えられたとき、その曲線のフレネフレームはフレネベクトルと呼ばれる直交ベクトルの集合である。これらは、 $γ$ $($ $t$ $)の導関数から$ グラム・シュミット直交化アルゴリズムを用いて構築される。 $\mathbb {R} ^{n}$ $\mathbf {e} _{1}(t),\ldots ,\mathbf {e} _{n}(t)$ ${\begin{aligned}\mathbf {e} _{1}(t)&={\frac {{\boldsymbol {\gamma }}'(t)}{\left\|{\boldsymbol {\gamma }}'(t)\right\|}}\\[1ex]\mathbf {e} _{j}(t)&={\frac {\mathbf {\overline {e}} _{j}(t)}{\left\|{\overline {\mathbf {e} _{j}}}(t)\right\|}},&\mathbf {\overline {e}} _{j}(t)&={\boldsymbol {\gamma }}^{(j)}(t)-\sum _{i=1}^{j-1}\left\langle {\boldsymbol {\gamma }}^{(j)}(t),\,\mathbf {e} _{i}(t)\right\rangle \,\mathbf {e} _{i}(t){\vphantom {\Bigg \langle }}\end{aligned}}$

実数値関数 $χ i (t)$ は一般化曲率と呼ばれ、次のように定義される。 $\chi _{i}(t)={\frac {{\bigl \langle }\mathbf {e} _{i}'(t),\mathbf {e} _{i+1}(t){\bigr \rangle }}{\left\|{\boldsymbol {\gamma }}^{'}(t)\right\|}}$

フレネフレームと一般化曲率は再パラメータ化に対して不変であり、したがって曲線の微分幾何学的性質である。⁠ ⁠内 $\mathbb {R} ^{3}$ の曲線の場合、 $χ 1 (t)$ は曲率、 $χ 2 (t)$ はねじれ角である。

特殊フレネベクトルと一般化曲率

最初の3つのフレネベクトルと一般化曲率は、3次元空間で視覚化できます。これらには追加の名称と、より詳細な意味情報が付与されています。

接線ベクトル

曲線 $γ$ が粒子の時間経過を表す場合、与えられた位置 $P$ における粒子の瞬間速度はベクトルで表され、これは $P$ における曲線の接線ベクトルと呼ばれます。パラメータ化された $C$ $1$ 曲線 $γ$ $=$ $γ$ $($ $t$ $)$ が与えられた場合、時間パラメータの任意の値 $t$ $=$ $t$ $0$ に対して、ベクトルは点 $P$ $=$ $γ$ $($ $t$ $0$ $)$ における接線ベクトルです。一般的に、接線ベクトルはゼロになる場合があります。接線ベクトルの大きさは、時刻 $t$ $0$ における速度です。 ${\boldsymbol {\gamma }}'(t_{0})=\left.{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}{\boldsymbol {\gamma }}(t)\right|_{t=t_{0}}$ $\left\|{\boldsymbol {\gamma }}'(t_{0})\right\|$

最初のフレネベクトル $e 1 (t)は、$ $γ$ の各正則点で定義される、同じ方向の単位接線ベクトル（単に接線方向と呼ばれる）です。時間パラメータを弧長 $t$ $=$ $s$ に置き換えると、接線ベクトルの長さは単位となり、式は次のように簡略化されます。ただし、粒子の速度（長さ/時間）による解釈は適用できなくなります。接線方向は、パラメータの増加値に応じて、曲線の向き、つまり前方向を決定します。曲線として捉えられた接線方向は、元の曲線の球面像を描きます。 $\mathbf {e} _{1}(t)={\frac {{\boldsymbol {\gamma }}'(t)}{\left\|{\boldsymbol {\gamma }}'(t)\right\|}}.$ $\mathbf {e} _{1}(s)={\boldsymbol {\gamma }}'(s).$

法線ベクトル

ベクトル $- e 2 (t)$ は単位接線ベクトル $e 1 (t)に垂直であり、$ 曲率ベクトルと同じ方向を向いています、粒子の加速度を接線方向からベクトル的に除去したものとして定義されますここで、加速度は位置の時間に関する2階微分として定義されます。 $\mathbf {\overline {e}} _{2}(t)={\boldsymbol {\gamma }}''(t)-{\bigl \langle }{\boldsymbol {\gamma }}''(t),\mathbf {e} _{1}(t){\bigr \rangle }\,\mathbf {e} _{1}(t),$ ${\boldsymbol {\gamma }}''(t_{0})=\left.{\frac {\mathrm {d} ^{2}}{\mathrm {d} t^{2}}}{\boldsymbol {\gamma }}(t)\right|_{t=t_{0}}$

この文脈では、法線ベクトルは第2のフレネベクトル $e 2 (t)$ を指し、これは単位法線ベクトルであり、次のように定義されます。 $\mathbf {e} _{2}(t)={\frac {{\overline {\mathbf {e} }}_{2}(t)}{\left\|{\overline {\mathbf {e} }}_{2}(t)\right\|}}.$

$点t$ における接線と法線ベクトルは、点 $t$ における接触面を定義します。

次のようなことが証明できる。 $- e 2 (t) \propto e' 1 (t)$ 。したがって、 $\mathbf {e} _{2}(t)={\frac {\mathbf {e} _{1}'(t)}{\left\|\mathbf {e} _{1}'(t)\right\|}}.$

曲率

第一の一般化曲率 $χ 1 (t)は曲率と呼ばれ、接触面に対する$ $γ$ の直線からのずれを測る尺度である。これはと定義され、点 $tにおける$ $γ$ の曲率と呼ばれる。 $\kappa (t)=\chi _{1}(t)={\frac {{\bigl \langle }\mathbf {e} _{1}'(t),\mathbf {e} _{2}(t){\bigr \rangle }}{\left\|{\boldsymbol {\gamma }}'(t)\right\|}}$ $\kappa (t)={\frac {\left\|\mathbf {e} _{1}'(t)\right\|}{\left\|{\boldsymbol {\gamma }}'(t)\right\|}}.$

曲率の逆数は曲率半径と呼ばれます。 ${\frac {1}{\kappa (t)}}$

$半径r$ の円は一定の曲率を持ちますが、直線は曲率が 0 です。 $\kappa (t)={\frac {1}{r}}$

従法線ベクトル

単位従法線ベクトルは、3番目のフレネベクトル $e 3 (t)である。これは、$ $t$ における単位接線ベクトルおよび法線ベクトルと常に直交する。これは次のように定義される。

$\mathbf {e} _{3}(t)={\frac {{\overline {\mathbf {e} }}_{3}(t)}{\left\|{\overline {\mathbf {e} }}_{3}(t)\right\|}},\quad {\overline {\mathbf {e} }}_{3}(t)={\boldsymbol {\gamma }}'''(t)-{\bigr \langle }{\boldsymbol {\gamma }}'''(t),\mathbf {e} _{1}(t){\bigr \rangle }\,\mathbf {e} _{1}(t)-{\bigl \langle }{\boldsymbol {\gamma }}'''(t),\mathbf {e} _{2}(t){\bigr \rangle }\,\mathbf {e} _{2}(t)$

3 次元空間では、この式はまたはに簡略化されます。どちらの符号も発生する可能性があることは、右巻きのらせんと左巻きのらせんの例で説明されます。 $\mathbf {e} _{3}(t)=\mathbf {e} _{1}(t)\times \mathbf {e} _{2}(t)$ $\mathbf {e} _{3}(t)=-\mathbf {e} _{1}(t)\times \mathbf {e} _{2}(t).$

ねじり

第二の一般化曲率 $χ 2 (t)は$ 捩れ度と呼ばれ、 $γ$ が平面曲線であることからの逸脱度合いを測る。言い換えれば、捩れ度がゼロの場合、曲線は完全に同一の接触平面上にある（各点 $t$ に対して接触平面は1つしかない）。これはと定義され、点 $tにおける$ $γ$ の捩れ度と呼ばれる。 $\tau (t)=\chi _{2}(t)={\frac {{\bigl \langle }\mathbf {e} _{2}'(t),\mathbf {e} _{3}(t){\bigr \rangle }}{\left\|{\boldsymbol {\gamma }}'(t)\right\|}}$

異常性

3次導関数は、曲線の非円形度の指標である異常性を定義するために使用できます。 ^[1]^[2]^[3]

曲線理論の主要定理

$n - 1 個の$ 関数が与えられたとき、次数 $n$ の正則で次の特性を持つ唯一の (ユークリッド群を使用した変換を除く) $C$ $n$ $+1$ 曲線 $γ$ が存在する: ここで、集合は曲線のフレネフレームである。 $\chi _{i}\in C^{n-i}([a,b],\mathbb {R} ^{n}),\quad \chi _{i}(t)>0,\quad 1\leq i\leq n-1$ ${\begin{aligned}\|\gamma '(t)\|&=1&t\in [a,b]\\\chi _{i}(t)&={\frac {\langle \mathbf {e} _{i}'(t),\mathbf {e} _{i+1}(t)\rangle }{\|{\boldsymbol {\gamma }}'(t)\|}}\end{aligned}}$ $\mathbf {e} _{1}(t),\ldots ,\mathbf {e} _{n}(t)$

$さらに、 I$ に開始 $t 0$ 、開始点 $p$ $0$ 、および初期の正の直交フレネフレーム ${$ $e$ $1$ $、...、$ $e$ $n$ $-1$ $}$ を与えると、ユークリッド変換が除去され、一意の曲線 $γ$ が得られます。 $\mathbb {R} ^{n}$ ${\begin{aligned}{\boldsymbol {\gamma }}(t_{0})&=\mathbf {p} _{0}\\\mathbf {e} _{i}(t_{0})&=\mathbf {e} _{i},\quad 1\leq i\leq n-1\end{aligned}}$

フレネ・セレ式

フレネ・セレ公式は、一階の常微分方程式の集合である。解は、一般化曲率関数 $χ i$ によって指定される曲線を記述するフレネベクトルの集合である。

2次元

${\begin{bmatrix}\mathbf {e} _{1}'(t)\\\mathbf {e} _{2}'(t)\end{bmatrix}}=\left\Vert \gamma '(t)\right\Vert {\begin{bmatrix}0&\kappa (t)\\-\kappa (t)&0\\\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\mathbf {e} _{1}(t)\\\mathbf {e} _{2}(t)\end{bmatrix}}$

3次元

${\begin{bmatrix}\mathbf {e} _{1}'(t)\\[0.75ex]\mathbf {e} _{2}'(t)\\[0.75ex]\mathbf {e} _{3}'(t)\end{bmatrix}}=\left\Vert \gamma '(t)\right\Vert {\begin{bmatrix}0&\kappa (t)&0\\[1ex]-\kappa (t)&0&\tau (t)\\[1ex]0&-\tau (t)&0\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\mathbf {e} _{1}(t)\\[1ex]\mathbf {e} _{2}(t)\\[1ex]\mathbf {e} _{3}(t)\end{bmatrix}}$

$n$ 寸法（一般式）

${\begin{bmatrix}\mathbf {e} _{1}'(t)\\[1ex]\mathbf {e} _{2}'(t)\\[1ex]\vdots \\[1ex]\mathbf {e} _{n-1}'(t)\\[1ex]\mathbf {e} _{n}'(t)\\[1ex]\end{bmatrix}}=\left\Vert \gamma '(t)\right\Vert {\begin{bmatrix}0&\chi _{1}(t)&\cdots &0&0\\[1ex]-\chi _{1}(t)&0&\cdots &0&0\\[1ex]\vdots &\vdots &\ddots &\vdots &\vdots \\[1ex]0&0&\cdots &0&\chi _{n-1}(t)\\[1ex]0&0&\cdots &-\chi _{n-1}(t)&0\\[1ex]\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\mathbf {e} _{1}(t)\\[1ex]\mathbf {e} _{2}(t)\\[1ex]\vdots \\[1ex]\mathbf {e} _{n-1}(t)\\[1ex]\mathbf {e} _{n}(t)\\[1ex]\end{bmatrix}}$

ベルトラン曲線

ベルトラン曲線は、における正則曲線であり、に別の曲線が存在し、その2つの曲線への主法線ベクトルが各対応点で一致するという追加の特性を持つ。言い換えれば、における2つの曲線 $γ$ $1$ $($ $t$ $)$ と $γ$ $2$ $($ $t$ $)$ で、任意の $t$ に対して2つの主法線 $N$ $1$ $($ $t$ $)、$ $N$ $2$ $($ $t$ $)$ が等しい場合、 $γ$ $1$ と $γ$ $2$ はベルトラン曲線であり、 $γ$ $2は$ $γ$ $1$ のベルトランメイトと呼ばれる。ある定数 $rに対して、$ $γ$ $2$ $($ $t$ $) =$ $γ$ $1$ $($ $t$ $) +$ $r$ $N$ $1$ $($ $t$ $)$ と書くことができる。^[4] $\mathbb {R} ^{3}$ $\mathbb {R} ^{3}$ $\mathbb {R} ^{3}$

キューネルの『微分幾何学　曲線・曲面・多様体』の問題25によれば、同じ二次元平面上にない2つのベルトラン曲線は、線形関係 $a κ (t) + b τ (t) = 1$ が存在するという特徴も持つ。ここで、 $κ (t)$ と $τ (t)は$ $γ 1 (t)$ の曲率とねじれ角であり、 $a$ と $b は$ $a \neq 0$ となる実定数である。^[5]さらに、ベルトラン曲線のペアのねじれ角の積は定数である。^[6] $γ 1$ に複数のベルトラン曲線が存在する場合、そのベルトラン曲線は無限に存在する。これは、 $γ 1 が$ 円螺旋である場合にのみ発生する。^[4]

参照

曲線トピックのリスト

参考文献

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^ ab do Carmo, Manfredo P. (2016).曲線と曲面の微分幾何学（改訂・更新第2版）. ミネオラ, NY: Dover Publications, Inc. pp. 27– 28. ISBN 978-0-486-80699-0。
^ キューネル、ヴォルフガング (2005). 『微分幾何学：曲線、曲面、多様体』プロビデンス: AMS. p. 53. ISBN 0-8218-3988-8。
^ ワイスタイン、エリック・W.「ベルトラン・カーブス」。mathworld.wolfram.com。

さらに読む

クレイジグ、エルウィン（1991年）『微分幾何学』ニューヨーク：ドーバー出版、ISBN 0-486-66721-9。第 2 章は、 3 次元の曲線理論の古典的な扱いです。

[1] ショット、スティーブン（1978年11月）「異常性：三階微分幾何学」数学雑誌51 (5): 259-275 . doi :10.2307 / 2690245. JSTOR 2690245.

[2] Cameron Byerley; Russell a. Gordon (2007). 「異常性の尺度」. Real Analysis Exchange . 32 (1). ミシガン州立大学出版局: 233. doi : 10.14321/realanalexch.32.1.0233 . ISSN 0147-1937.

[3] Gordon, Russell A. (2004). 「平面曲線の異常性」. The Mathematical Gazette . 89 (516). Cambridge University Press (CUP): 424– 436. doi :10.1017/s0025557200178271. ISSN 0025-5572. S2CID 118533002.

[do_Carmo-4] Carmo, Manfredo P. (2016).曲線と曲面の微分幾何学（改訂・更新第2版）. ミネオラ, NY: Dover Publications, Inc. pp. 27– 28. ISBN 978-0-486-80699-0。

[5] キューネル、ヴォルフガング (2005). 『微分幾何学：曲線、曲面、多様体』プロビデンス: AMS. p. 53. ISBN 0-8218-3988-8。

[6] ワイスタイン、エリック・W.「ベルトラン・カーブス」。mathworld.wolfram.com。

v t e 平面曲線の微分変換
単項演算	縮閉インボリュートデュアルカーブ逆曲線平行曲線等角投影
点によって定義される単項演算	ペダルと対ペダルの曲線ネガティブペダルカーブ追跡曲線苛性
2点によって定義される単項演算	ストロフォイド
点によって定義される二項演算	ルーレットシソイド
曲線族上の演算	封筒

v t e 微分幾何学で定義された曲率の様々な概念
曲線の微分幾何学	曲率曲線のねじれフレネ・セレ式曲率半径アフィン曲率全曲率絶対曲率合計
曲面の微分幾何学	主曲率ガウス曲率平均曲率ダルブーフレームガウス・コダッツィ方程式最初の基本形第二基本形第三基本形態
リーマン幾何学	リーマン多様体の曲率リーマン曲率テンソルリッチ曲率スカラー曲率断面曲率
接続の曲率	曲率形式ねじりテンソル共曲率ホロノミー