Mathematical function
領域カラーリング を使用して視覚化された ディガンマ 関数 ψ ( z ) {\displaystyle \psi (z)} 実数直線上のディガンマ関数と次の3つのポリガンマ関数のプロット（実数直線上では実数値） 数学 では 、 ディガンマ関数は ガンマ関数 の 対数微分 として定義されます 。 [1] [2] [3]
ψ ( z ) = d d z ln Γ ( z ) = Γ ′ ( z ) Γ ( z ) . {\displaystyle \psi (z)={\frac {d}{dz}}\ln \Gamma (z)={\frac {\Gamma '(z)}{\Gamma (z)}}.} これはポリガンマ関数 の最初のものである 。この関数は に対して 厳密に増加 かつ 厳密に凹で あり、 [4] 漸近的に次 のように 振舞う [5]。 ( 0 , ∞ ) {\displaystyle (0,\infty )}
ψ ( z ) ∼ ln z − 1 2 z , {\displaystyle \psi (z)\sim \ln {z}-{\frac {1}{2z}},} 任意の に対して セクター 内の大きな係数 ( ) を持つ複素数の場合 。 | z | → ∞ {\displaystyle |z|\rightarrow \infty } | arg z | < π − ε {\displaystyle |\arg z|<\pi -\varepsilon } ε > 0 {\displaystyle \varepsilon >0}
ディガンマ関数は、しばしばまたは Ϝ [ 6] （ 二重ガンマ を意味する古代ギリシャ語の 子音 digamma の大文字形 ）と表記される。 ψ 0 ( x ) , ψ ( 0 ) ( x ) {\displaystyle \psi _{0}(x),\psi ^{(0)}(x)}
調和数との関係 ガンマ関数は次の式に従う。
Γ ( z + 1 ) = z Γ ( z ) . {\displaystyle \Gamma (z+1)=z\Gamma (z).\,} 両辺の対数を取り、対数ガンマ関数の関数方程式の特性を使用すると、次のようになります。
log Γ ( z + 1 ) = log ( z ) + log Γ ( z ) , {\displaystyle \log \Gamma (z+1)=\log(z)+\log \Gamma (z),} 両辺を z について微分すると次のようになります。
ψ ( z + 1 ) = ψ ( z ) + 1 z {\displaystyle \psi (z+1)=\psi (z)+{\frac {1}{z}}} 調和数は 正の整数 n に対して次のよう
に定義される ので、
H n = ∑ k = 1 n 1 k , {\displaystyle H_{n}=\sum _{k=1}^{n}{\frac {1}{k}},} ディガンマ関数は次のように関係している。
ψ ( n ) = H n − 1 − γ , {\displaystyle \psi (n)=H_{n-1}-\gamma ,} ここで H 0 = 0、 γ は オイラー・マスケロニ定数 である 。半整数引数の場合、ディガンマ関数は以下の値を取る。
ψ ( n + 1 2 ) = − γ − 2 ln 2 + ∑ k = 1 n 2 2 k − 1 = − γ − 2 ln 2 + 2 H 2 n − H n . {\displaystyle \psi \left(n+{\tfrac {1}{2}}\right)=-\gamma -2\ln 2+\sum _{k=1}^{n}{\frac {2}{2k-1}}=-\gamma -2\ln 2+2H_{2n}-H_{n}.}
積分表現 z の実部が正の場合、 ガウスの法則により 、ディガンマ関数は次の 積分表現を持つ。 [7]
ψ ( z ) = ∫ 0 ∞ ( e − t t − e − z t 1 − e − t ) d t . {\displaystyle \psi (z)=\int _{0}^{\infty }\left({\frac {e^{-t}}{t}}-{\frac {e^{-zt}}{1-e^{-t}}}\right)\,dt.} この式を オイラー・マスケロニ定数 の積分恒等式と組み合わせると次のようになります。 γ {\displaystyle \gamma }
ψ ( z + 1 ) = − γ + ∫ 0 1 ( 1 − t z 1 − t ) d t . {\displaystyle \psi (z+1)=-\gamma +\int _{0}^{1}\left({\frac {1-t^{z}}{1-t}}\right)\,dt.} 積分はオイラーの 調和数 なので、前の式は次のようにも書ける。 H z {\displaystyle H_{z}}
ψ ( z + 1 ) = ψ ( 1 ) + H z . {\displaystyle \psi (z+1)=\psi (1)+H_{z}.} 結果として、再帰関係は次の一般化になります。
ψ ( w + 1 ) − ψ ( z + 1 ) = H w − H z . {\displaystyle \psi (w+1)-\psi (z+1)=H_{w}-H_{z}.} ディリクレによる積分表現は次の通りである: [7]
ψ ( z ) = ∫ 0 ∞ ( e − t − 1 ( 1 + t ) z ) d t t . {\displaystyle \psi (z)=\int _{0}^{\infty }\left(e^{-t}-{\frac {1}{(1+t)^{z}}}\right)\,{\frac {dt}{t}}.} ガウスの積分表現を操作することで、漸近展開の開始点を与えることができる 。 [8] ψ {\displaystyle \psi }
ψ ( z ) = log z − 1 2 z − ∫ 0 ∞ ( 1 2 − 1 t + 1 e t − 1 ) e − t z d t . {\displaystyle \psi (z)=\log z-{\frac {1}{2z}}-\int _{0}^{\infty }\left({\frac {1}{2}}-{\frac {1}{t}}+{\frac {1}{e^{t}-1}}\right)e^{-tz}\,dt.} この式は、ガンマ関数のビネ第一積分の結果でもある。この積分は ラプラス変換 として認識される。
ビネのガンマ関数の2次積分は、 漸近展開の最初の数項を与える別の式を与える： [9] ψ {\displaystyle \psi }
ψ ( z ) = log z − 1 2 z − 2 ∫ 0 ∞ t d t ( t 2 + z 2 ) ( e 2 π t − 1 ) . {\displaystyle \psi (z)=\log z-{\frac {1}{2z}}-2\int _{0}^{\infty }{\frac {t\,dt}{(t^{2}+z^{2})(e^{2\pi t}-1)}}.} の定義 とガンマ関数の積分表現から、次の式が得られる。 ψ {\displaystyle \psi }
ψ ( z ) = 1 Γ ( z ) ∫ 0 ∞ t z − 1 ln ( t ) e − t d t , {\displaystyle \psi (z)={\frac {1}{\Gamma (z)}}\int _{0}^{\infty }t^{z-1}\ln(t)e^{-t}\,dt,} と 。 [10] ℜ z > 0 {\displaystyle \Re z>0}
無限積表現 この関数 は整関数であり [11] 、無限積で表される。 ψ ( z ) / Γ ( z ) {\displaystyle \psi (z)/\Gamma (z)}
ψ ( z ) Γ ( z ) = − e 2 γ z ∏ k = 0 ∞ ( 1 − z x k ) e z x k . {\displaystyle {\frac {\psi (z)}{\Gamma (z)}}=-e^{2\gamma z}\prod _{k=0}^{\infty }\left(1-{\frac {z}{x_{k}}}\right)e^{\frac {z}{x_{k}}}.} ここでは の k 番目の零点（下記参照） であり 、は オイラー・マスケロニ定数 です 。 x k {\displaystyle x_{k}} ψ {\displaystyle \psi } γ {\displaystyle \gamma }
注: これは、ディガンマ関数の定義により と 等しくなります 。 − d d z 1 Γ ( z ) {\displaystyle -{\frac {d}{dz}}{\frac {1}{\Gamma (z)}}} Γ ′ ( z ) Γ ( z ) = ψ ( z ) {\displaystyle {\frac {\Gamma '(z)}{\Gamma (z)}}=\psi (z)}
シリーズ表現
ガンマ関数のオイラー積公式は、関数方程式とオイラー・マスケロニ定数の恒等式と組み合わせると、複素平面上の負の整数以外の範囲で有効な、次の二ガンマ関数の式を与える（アブラモウィッツとステグン 6.3.16）： [1]
ψ ( z + 1 ) = − γ + ∑ n = 1 ∞ ( 1 n − 1 n + z ) , z ≠ − 1 , − 2 , − 3 , … , = − γ + ∑ n = 1 ∞ ( z n ( n + z ) ) , z ≠ − 1 , − 2 , − 3 , … . {\displaystyle {\begin{aligned}\psi (z+1)&=-\gamma +\sum _{n=1}^{\infty }\left({\frac {1}{n}}-{\frac {1}{n+z}}\right),\qquad z\neq -1,-2,-3,\ldots ,\\&=-\gamma +\sum _{n=1}^{\infty }\left({\frac {z}{n(n+z)}}\right),\qquad z\neq -1,-2,-3,\ldots .\end{aligned}}} 同様に、
ψ ( z ) = − γ + ∑ n = 0 ∞ ( 1 n + 1 − 1 n + z ) , z ≠ 0 , − 1 , − 2 , … , = − γ + ∑ n = 0 ∞ z − 1 ( n + 1 ) ( n + z ) , z ≠ 0 , − 1 , − 2 , … . {\displaystyle {\begin{aligned}\psi (z)&=-\gamma +\sum _{n=0}^{\infty }\left({\frac {1}{n+1}}-{\frac {1}{n+z}}\right),\qquad z\neq 0,-1,-2,\ldots ,\\&=-\gamma +\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {z-1}{(n+1)(n+z)}},\qquad z\neq 0,-1,-2,\ldots .\end{aligned}}}
有理関数の和の評価 上記の恒等式は、以下の形式の和を計算するために使用できる。
∑ n = 0 ∞ u n = ∑ n = 0 ∞ p ( n ) q ( n ) , {\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }u_{n}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {p(n)}{q(n)}},} ここで p ( n ) と q ( n )は n の多項式です 。
複素体u n の 部分分数 をとると、 q ( n ) のすべての根が単根である 場合、
u n = p ( n ) q ( n ) = ∑ k = 1 m a k n + b k . {\displaystyle u_{n}={\frac {p(n)}{q(n)}}=\sum _{k=1}^{m}{\frac {a_{k}}{n+b_{k}}}.} 級数が収束するには、
lim n → ∞ n u n = 0 , {\displaystyle \lim _{n\to \infty }nu_{n}=0,} そうでなければ、級数は 調和級数 よりも大きくなり、発散する。したがって
∑ k = 1 m a k = 0 , {\displaystyle \sum _{k=1}^{m}a_{k}=0,} そして
∑ n = 0 ∞ u n = ∑ n = 0 ∞ ∑ k = 1 m a k n + b k = ∑ n = 0 ∞ ∑ k = 1 m a k ( 1 n + b k − 1 n + 1 ) = ∑ k = 1 m ( a k ∑ n = 0 ∞ ( 1 n + b k − 1 n + 1 ) ) = − ∑ k = 1 m a k ( ψ ( b k ) + γ ) = − ∑ k = 1 m a k ψ ( b k ) . {\displaystyle {\begin{aligned}\sum _{n=0}^{\infty }u_{n}&=\sum _{n=0}^{\infty }\sum _{k=1}^{m}{\frac {a_{k}}{n+b_{k}}}\\&=\sum _{n=0}^{\infty }\sum _{k=1}^{m}a_{k}\left({\frac {1}{n+b_{k}}}-{\frac {1}{n+1}}\right)\\&=\sum _{k=1}^{m}\left(a_{k}\sum _{n=0}^{\infty }\left({\frac {1}{n+b_{k}}}-{\frac {1}{n+1}}\right)\right)\\&=-\sum _{k=1}^{m}a_{k}{\big (}\psi (b_{k})+\gamma {\big )}\\&=-\sum _{k=1}^{m}a_{k}\psi (b_{k}).\end{aligned}}} 高階ポリガンマ関数 の級数展開により、 一般化式は次のように表される。
∑ n = 0 ∞ u n = ∑ n = 0 ∞ ∑ k = 1 m a k ( n + b k ) r k = ∑ k = 1 m ( − 1 ) r k ( r k − 1 ) ! a k ψ ( r k − 1 ) ( b k ) , {\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }u_{n}=\sum _{n=0}^{\infty }\sum _{k=1}^{m}{\frac {a_{k}}{(n+b_{k})^{r_{k}}}}=\sum _{k=1}^{m}{\frac {(-1)^{r_{k}}}{(r_{k}-1)!}}a_{k}\psi ^{(r_{k}-1)}(b_{k}),} ただし、左側の級数は収束するものとする。
テイラー級数 ディガンマは 有理ゼータ級数 を持ち、これは z = 1 における テイラー級数 で与えられる。これは
ψ ( z + 1 ) = − γ − ∑ k = 1 ∞ ( − 1 ) k ζ ( k + 1 ) z k , {\displaystyle \psi (z+1)=-\gamma -\sum _{k=1}^{\infty }(-1)^{k}\,\zeta (k+1)\,z^{k},} これは | z | < 1 で収束する。ここで、 ζ ( n )は リーマンゼータ関数 である。この級数は、 フルヴィッツゼータ関数 の対応するテイラー級数から容易に導出される 。
ニュートン級数 1847年に モーリッツ・アブラハム・スターン によって導出された、二ガンマの ニュートン 級数（ スターン級数 とも呼ばれる）は、次のように 表される
。 [12] [13] [14]
ψ ( s ) = − γ + ( s − 1 ) − ( s − 1 ) ( s − 2 ) 2 ⋅ 2 ! + ( s − 1 ) ( s − 2 ) ( s − 3 ) 3 ⋅ 3 ! ⋯ , ℜ ( s ) > 0 , = − γ − ∑ k = 1 ∞ ( − 1 ) k k ( s − 1 k ) ⋯ , ℜ ( s ) > 0. {\displaystyle {\begin{aligned}\psi (s)&=-\gamma +(s-1)-{\frac {(s-1)(s-2)}{2\cdot 2!}}+{\frac {(s-1)(s-2)(s-3)}{3\cdot 3!}}\cdots ,\quad \Re (s)>0,\\&=-\gamma -\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{k}}{k}}{\binom {s-1}{k}}\cdots ,\quad \Re (s)>0.\end{aligned}}} どこ （ s k ） は二項係数 である 。これは次のように一般化することもできる。
ψ ( s + 1 ) = − γ − 1 m ∑ k = 1 m − 1 m − k s + k − 1 m ∑ k = 1 ∞ ( − 1 ) k k { ( s + m k + 1 ) − ( s k + 1 ) } , ℜ ( s ) > − 1 , {\displaystyle \psi (s+1)=-\gamma -{\frac {1}{m}}\sum _{k=1}^{m-1}{\frac {m-k}{s+k}}-{\frac {1}{m}}\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{k}}{k}}\left\{{\binom {s+m}{k+1}}-{\binom {s}{k+1}}\right\},\qquad \Re (s)>-1,} ここで m = 2, 3, 4, ... [13]
グレゴリー係数、コーシー数、第二種ベルヌーイ多項式を含む級数 有理引数のみに有理係数を含むディガンマ級数には様々な級数が存在する。特に、 グレゴリーの係数 G n を含む級数は
ψ ( v ) = ln v − ∑ n = 1 ∞ | G n | ( n − 1 ) ! ( v ) n , ℜ ( v ) > 0 , {\displaystyle \psi (v)=\ln v-\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {{\big |}G_{n}{\big |}(n-1)!}{(v)_{n}}},\qquad \Re (v)>0,} ψ ( v ) = 2 ln Γ ( v ) − 2 v ln v + 2 v + 2 ln v − ln 2 π − 2 ∑ n = 1 ∞ | G n ( 2 ) | ( v ) n ( n − 1 ) ! , ℜ ( v ) > 0 , {\displaystyle \psi (v)=2\ln \Gamma (v)-2v\ln v+2v+2\ln v-\ln 2\pi -2\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {{\big |}G_{n}(2){\big |}}{(v)_{n}}}\,(n-1)!,\qquad \Re (v)>0,} ψ ( v ) = 3 ln Γ ( v ) − 6 ζ ′ ( − 1 , v ) + 3 v 2 ln v − 3 2 v 2 − 6 v ln ( v ) + 3 v + 3 ln v − 3 2 ln 2 π + 1 2 − 3 ∑ n = 1 ∞ | G n ( 3 ) | ( v ) n ( n − 1 ) ! , ℜ ( v ) > 0 , {\displaystyle \psi (v)=3\ln \Gamma (v)-6\zeta '(-1,v)+3v^{2}\ln {v}-{\frac {3}{2}}v^{2}-6v\ln(v)+3v+3\ln {v}-{\frac {3}{2}}\ln 2\pi +{\frac {1}{2}}-3\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {{\big |}G_{n}(3){\big |}}{(v)_{n}}}\,(n-1)!,\qquad \Re (v)>0,} ここで ( v ) n は 上昇階乗 ( v ) n = v ( v +1)( v +2) ... ( v + n -1) 、 G n ( k ) は G n (1) = G n を満たす高次の グレゴリー係数 、 Γ は ガンマ関数 、 ζは フルヴィッツゼータ関数 である 。 [15] [13]第二種コーシー数 C n と同様の級数は [15] [13] である。
ψ ( v ) = ln ( v − 1 ) + ∑ n = 1 ∞ C n ( n − 1 ) ! ( v ) n , ℜ ( v ) > 1 , {\displaystyle \psi (v)=\ln(v-1)+\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {C_{n}(n-1)!}{(v)_{n}}},\qquad \Re (v)>1,} 第二種ベルヌーイ多項式 を含む級数は 次のような形をとる [13]
ψ ( v ) = ln ( v + a ) + ∑ n = 1 ∞ ( − 1 ) n ψ n ( a ) ( n − 1 ) ! ( v ) n , ℜ ( v ) > − a , {\displaystyle \psi (v)=\ln(v+a)+\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}\psi _{n}(a)\,(n-1)!}{(v)_{n}}},\qquad \Re (v)>-a,} ここで ψn ( a ) は生成方程式によって定義される 第二種ベルヌーイ多項式 である 。
z ( 1 + z ) a ln ( 1 + z ) = ∑ n = 0 ∞ z n ψ n ( a ) , | z | < 1 , {\displaystyle {\frac {z(1+z)^{a}}{\ln(1+z)}}=\sum _{n=0}^{\infty }z^{n}\psi _{n}(a)\,,\qquad |z|<1\,,} 一般化すれば
ψ ( v ) = 1 r ∑ l = 0 r − 1 ln ( v + a + l ) + 1 r ∑ n = 1 ∞ ( − 1 ) n N n , r ( a ) ( n − 1 ) ! ( v ) n , ℜ ( v ) > − a , r = 1 , 2 , 3 , … {\displaystyle \psi (v)={\frac {1}{r}}\sum _{l=0}^{r-1}\ln(v+a+l)+{\frac {1}{r}}\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}N_{n,r}(a)(n-1)!}{(v)_{n}}},\qquad \Re (v)>-a,\quad r=1,2,3,\ldots } ここで多項式 N n,r ( a ) は次の生成方程式で与えられる。
( 1 + z ) a + m − ( 1 + z ) a ln ( 1 + z ) = ∑ n = 0 ∞ N n , m ( a ) z n , | z | < 1 , {\displaystyle {\frac {(1+z)^{a+m}-(1+z)^{a}}{\ln(1+z)}}=\sum _{n=0}^{\infty }N_{n,m}(a)z^{n},\qquad |z|<1,} したがって N n,1 ( a ) = ψ n ( a ) となる。 [13] ガンマ関数の対数を用いた同様の表現には、これらの式が含まれる [13]
ψ ( v ) = 1 v + a − 1 2 { ln Γ ( v + a ) + v − 1 2 ln 2 π − 1 2 + ∑ n = 1 ∞ ( − 1 ) n ψ n + 1 ( a ) ( v ) n ( n − 1 ) ! } , ℜ ( v ) > − a , {\displaystyle \psi (v)={\frac {1}{v+a-{\tfrac {1}{2}}}}\left\{\ln \Gamma (v+a)+v-{\frac {1}{2}}\ln 2\pi -{\frac {1}{2}}+\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}\psi _{n+1}(a)}{(v)_{n}}}(n-1)!\right\},\qquad \Re (v)>-a,} そして
ψ ( v ) = 1 1 2 r + v + a − 1 { ln Γ ( v + a ) + v − 1 2 ln 2 π − 1 2 + 1 r ∑ n = 0 r − 2 ( r − n − 1 ) ln ( v + a + n ) + 1 r ∑ n = 1 ∞ ( − 1 ) n N n + 1 , r ( a ) ( v ) n ( n − 1 ) ! } , {\displaystyle \psi (v)={\frac {1}{{\tfrac {1}{2}}r+v+a-1}}\left\{\ln \Gamma (v+a)+v-{\frac {1}{2}}\ln 2\pi -{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{r}}\sum _{n=0}^{r-2}(r-n-1)\ln(v+a+n)+{\frac {1}{r}}\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}N_{n+1,r}(a)}{(v)_{n}}}(n-1)!\right\},} ここで 、および 。 ℜ ( v ) > − a {\displaystyle \Re (v)>-a} r = 2 , 3 , 4 , … {\displaystyle r=2,3,4,\ldots }
ディガンマ関数とポリガンマ関数は、 ガンマ関数 と同様の 反射公式 を満たします。
ψ ( 1 − x ) − ψ ( x ) = π cot π x {\displaystyle \psi (1-x)-\psi (x)=\pi \cot \pi x} 。 ψ ′ ( − x ) + ψ ′ ( x ) = π 2 sin 2 ( π x ) + 1 x 2 {\displaystyle \psi '(-x)+\psi '(x)={\frac {\pi ^{2}}{\sin ^{2}(\pi x)}}+{\frac {1}{x^{2}}}} 。 ψ ″ ( − x ) − ψ ″ ( x ) = 2 π 3 cot ( π x ) sin 2 ( π x ) + 2 x 3 {\displaystyle \psi ''(-x)-\psi ''(x)={\frac {2\pi ^{3}\cot(\pi x)}{\sin ^{2}(\pi x)}}+{\frac {2}{x^{3}}}} 。
ディガンマ関数は 再帰関係を満たす
ψ ( x + 1 ) = ψ ( x ) + 1 x . {\displaystyle \psi (x+1)=\psi (x)+{\frac {1}{x}}.} つまり、「望遠鏡」と言える 。 1 / × 、なぜなら、
Δ [ ψ ] ( x ) = 1 x {\displaystyle \Delta [\psi ](x)={\frac {1}{x}}} ここで Δは 前進差分演算子 である。これは 調和級数 の部分和の漸化式を満たし 、したがって次の式が成り立つ。
ψ ( n ) = H n − 1 − γ {\displaystyle \psi (n)=H_{n-1}-\gamma } ここで γ は オイラー・マスケロニ定数 です。
実際、 ψ は関数方程式の唯一の解である。
F ( x + 1 ) = F ( x ) + 1 x {\displaystyle F(x+1)=F(x)+{\frac {1}{x}}} R + に関して 単調で あり、 F (1) = − γ を満たす。この事実は、 Γ 関数の漸化式と凸制約 [ 要出典 ] を与えられた場合に、その一意性から直ちに導かれる 。これは、有用な差分方程式を意味する。
ψ ( x + N ) − ψ ( x ) = ∑ k = 0 N − 1 1 x + k {\displaystyle \psi (x+N)-\psi (x)=\sum _{k=0}^{N-1}{\frac {1}{x+k}}}
二ガンマ関数を含むいくつかの有限和 二重ガンマ関数には多数の有限和公式が存在する。例えば、
∑ r = 1 m ψ ( r m ) = − m ( γ + ln m ) , {\displaystyle \sum _{r=1}^{m}\psi \left({\frac {r}{m}}\right)=-m(\gamma +\ln m),} ∑ r = 1 m ψ ( r m ) ⋅ exp 2 π r k i m = m ln ( 1 − exp 2 π k i m ) , k ∈ Z , m ∈ N , k ≠ m {\displaystyle \sum _{r=1}^{m}\psi \left({\frac {r}{m}}\right)\cdot \exp {\dfrac {2\pi rki}{m}}=m\ln \left(1-\exp {\frac {2\pi ki}{m}}\right),\qquad k\in \mathbb {Z} ,\quad m\in \mathbb {N} ,\ k\neq m} ∑ r = 1 m − 1 ψ ( r m ) ⋅ cos 2 π r k m = m ln ( 2 sin k π m ) + γ , k = 1 , 2 , … , m − 1 {\displaystyle \sum _{r=1}^{m-1}\psi \left({\frac {r}{m}}\right)\cdot \cos {\dfrac {2\pi rk}{m}}=m\ln \left(2\sin {\frac {k\pi }{m}}\right)+\gamma ,\qquad k=1,2,\ldots ,m-1} ∑ r = 1 m − 1 ψ ( r m ) ⋅ sin 2 π r k m = π 2 ( 2 k − m ) , k = 1 , 2 , … , m − 1 {\displaystyle \sum _{r=1}^{m-1}\psi \left({\frac {r}{m}}\right)\cdot \sin {\frac {2\pi rk}{m}}={\frac {\pi }{2}}(2k-m),\qquad k=1,2,\ldots ,m-1} はガウスによるものである。 [16] [17] より複雑な式、例えば
∑ r = 0 m − 1 ψ ( 2 r + 1 2 m ) ⋅ cos ( 2 r + 1 ) k π m = m ln ( tan π k 2 m ) , k = 1 , 2 , … , m − 1 {\displaystyle \sum _{r=0}^{m-1}\psi \left({\frac {2r+1}{2m}}\right)\cdot \cos {\frac {(2r+1)k\pi }{m}}=m\ln \left(\tan {\frac {\pi k}{2m}}\right),\qquad k=1,2,\ldots ,m-1} ∑ r = 0 m − 1 ψ ( 2 r + 1 2 m ) ⋅ sin ( 2 r + 1 ) k π m = − π m 2 , k = 1 , 2 , … , m − 1 {\displaystyle \sum _{r=0}^{m-1}\psi \left({\frac {2r+1}{2m}}\right)\cdot \sin {\dfrac {(2r+1)k\pi }{m}}=-{\frac {\pi m}{2}},\qquad k=1,2,\ldots ,m-1} ∑ r = 1 m − 1 ψ ( r m ) ⋅ cot π r m = − π ( m − 1 ) ( m − 2 ) 6 {\displaystyle \sum _{r=1}^{m-1}\psi \left({\frac {r}{m}}\right)\cdot \cot {\frac {\pi r}{m}}=-{\frac {\pi (m-1)(m-2)}{6}}} ∑ r = 1 m − 1 ψ ( r m ) ⋅ r m = − γ 2 ( m − 1 ) − m 2 ln m − π 2 ∑ r = 1 m − 1 r m ⋅ cot π r m {\displaystyle \sum _{r=1}^{m-1}\psi \left({\frac {r}{m}}\right)\cdot {\frac {r}{m}}=-{\frac {\gamma }{2}}(m-1)-{\frac {m}{2}}\ln m-{\frac {\pi }{2}}\sum _{r=1}^{m-1}{\frac {r}{m}}\cdot \cot {\frac {\pi r}{m}}} ∑ r = 1 m − 1 ψ ( r m ) ⋅ cos ( 2 ℓ + 1 ) π r m = − π m ∑ r = 1 m − 1 r ⋅ sin 2 π r m cos 2 π r m − cos ( 2 ℓ + 1 ) π m , ℓ ∈ Z {\displaystyle \sum _{r=1}^{m-1}\psi \left({\frac {r}{m}}\right)\cdot \cos {\dfrac {(2\ell +1)\pi r}{m}}=-{\frac {\pi }{m}}\sum _{r=1}^{m-1}{\frac {r\cdot \sin {\dfrac {2\pi r}{m}}}{\cos {\dfrac {2\pi r}{m}}-\cos {\dfrac {(2\ell +1)\pi }{m}}}},\qquad \ell \in \mathbb {Z} } ∑ r = 1 m − 1 ψ ( r m ) ⋅ sin ( 2 ℓ + 1 ) π r m = − ( γ + ln 2 m ) cot ( 2 ℓ + 1 ) π 2 m + sin ( 2 ℓ + 1 ) π m ∑ r = 1 m − 1 ln sin π r m cos 2 π r m − cos ( 2 ℓ + 1 ) π m , ℓ ∈ Z {\displaystyle \sum _{r=1}^{m-1}\psi \left({\frac {r}{m}}\right)\cdot \sin {\dfrac {(2\ell +1)\pi r}{m}}=-(\gamma +\ln 2m)\cot {\frac {(2\ell +1)\pi }{2m}}+\sin {\dfrac {(2\ell +1)\pi }{m}}\sum _{r=1}^{m-1}{\frac {\ln \sin {\dfrac {\pi r}{m}}}{\cos {\dfrac {2\pi r}{m}}-\cos {\dfrac {(2\ell +1)\pi }{m}}}},\qquad \ell \in \mathbb {Z} } ∑ r = 1 m − 1 ψ 2 ( r m ) = ( m − 1 ) γ 2 + m ( 2 γ + ln 4 m ) ln m − m ( m − 1 ) ln 2 2 + π 2 ( m 2 − 3 m + 2 ) 12 + m ∑ ℓ = 1 m − 1 ln 2 sin π ℓ m {\displaystyle \sum _{r=1}^{m-1}\psi ^{2}\left({\frac {r}{m}}\right)=(m-1)\gamma ^{2}+m(2\gamma +\ln 4m)\ln {m}-m(m-1)\ln ^{2}2+{\frac {\pi ^{2}(m^{2}-3m+2)}{12}}+m\sum _{\ell =1}^{m-1}\ln ^{2}\sin {\frac {\pi \ell }{m}}} これらは、特定の現代作家の作品によるものである（例えば、Blagouchine（2014） [18] の付録Bを参照）。
また、 [19]
1 + 1 2 + 1 3 + . . . + 1 k − 1 − γ = 1 k ∑ n = 0 k − 1 ψ ( 1 + n k ) , k = 2 , 3 , . . . {\displaystyle 1+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}+...+{\frac {1}{k-1}}-\gamma ={\frac {1}{k}}\sum _{n=0}^{k-1}\psi \left(1+{\frac {n}{k}}\right),k=2,3,...}
ガウスのディガンマ定理 正の整数 r と m （ r < m ）に対して、ディガンマ関数はオイラー定数 と有限個の 基本関数 で表すことができる [20] [21]。
ψ ( r m ) = − γ − ln ( 2 m ) − π 2 cot ( r π m ) + 2 ∑ n = 1 ⌊ m − 1 2 ⌋ cos ( 2 π n r m ) ln sin ( π n m ) {\displaystyle \psi \left({\frac {r}{m}}\right)=-\gamma -\ln(2m)-{\frac {\pi }{2}}\cot \left({\frac {r\pi }{m}}\right)+2\sum _{n=1}^{\left\lfloor {\frac {m-1}{2}}\right\rfloor }\cos \left({\frac {2\pi nr}{m}}\right)\ln \sin \left({\frac {\pi n}{m}}\right)} これは、再帰方程式のため、すべての有理数論に対して成り立ちます。
乗法定理 -関数の乗法定理は [22] と等価である。 Γ {\displaystyle \Gamma }
ψ ( n z ) = 1 n ∑ k = 0 n − 1 ψ ( z + k n ) + ln n . {\displaystyle \psi (nz)={\frac {1}{n}}\sum _{k=0}^{n-1}\psi \left(z+{\frac {k}{n}}\right)+\ln n.}
漸近展開 ディガンマ関数は漸近展開を持つ
ψ ( z ) ∼ ln z + ∑ n = 1 ∞ ζ ( 1 − n ) z n = ln z − ∑ n = 1 ∞ B n n z n , {\displaystyle \psi (z)\sim \ln z+\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\zeta (1-n)}{z^{n}}}=\ln z-\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {B_{n}}{nz^{n}}},} ここで、 B k は k 番目の ベルヌーイ数 、 ζは リーマンゼータ関数 です 。この展開の最初の項は次のとおりです。
ψ ( z ) ∼ ln z − 1 2 z − 1 12 z 2 + 1 120 z 4 − 1 252 z 6 + 1 240 z 8 − 1 132 z 10 + 691 32760 z 12 − 1 12 z 14 + ⋯ . {\displaystyle \psi (z)\sim \ln z-{\frac {1}{2z}}-{\frac {1}{12z^{2}}}+{\frac {1}{120z^{4}}}-{\frac {1}{252z^{6}}}+{\frac {1}{240z^{8}}}-{\frac {1}{132z^{10}}}+{\frac {691}{32760z^{12}}}-{\frac {1}{12z^{14}}}+\cdots .} 無限和はどの z に対しても収束しませんが、有限部分和は z が増加するにつれて精度が増します。
展開はオイラー・マクローリンの公式 を合計に 適用することで求められる [23]
∑ n = 1 ∞ ( 1 n − 1 z + n ) {\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }\left({\frac {1}{n}}-{\frac {1}{z+n}}\right)} この展開は、ガンマ関数のビネの第二積分公式から得られる積分表現からも導出できる。 等比級数 として展開し 、ベルヌーイ数の積分表現を代入すると、上記と同じ漸近級数が得られる。さらに、級数の有限個の項のみを展開すると、明示的に誤差項を含む式が得られる。 t / ( t 2 + z 2 ) {\displaystyle t/(t^{2}+z^{2})}
ψ ( z ) = ln z − 1 2 z − ∑ n = 1 N B 2 n 2 n z 2 n + ( − 1 ) N + 1 2 z 2 N ∫ 0 ∞ t 2 N + 1 d t ( t 2 + z 2 ) ( e 2 π t − 1 ) . {\displaystyle \psi (z)=\ln z-{\frac {1}{2z}}-\sum _{n=1}^{N}{\frac {B_{2n}}{2nz^{2n}}}+(-1)^{N+1}{\frac {2}{z^{2N}}}\int _{0}^{\infty }{\frac {t^{2N+1}\,dt}{(t^{2}+z^{2})(e^{2\pi t}-1)}}.}
不平等 x > 0 の とき 、関数
ln x − 1 2 x − ψ ( x ) {\displaystyle \ln x-{\frac {1}{2x}}-\psi (x)} は完全に単調で、特に正である。これは、 ガンマ関数のビネ第一積分から導かれる積分表現に 単調関数に関するベルンシュタインの定理 を適用した結果である。さらに、凸性不等式 により、この表現における積分関数は によって上界となる 。したがって、 1 + t ≤ e t {\displaystyle 1+t\leq e^{t}} e − t z / 2 {\displaystyle e^{-tz}/2}
1 x − ln x + ψ ( x ) {\displaystyle {\frac {1}{x}}-\ln x+\psi (x)} も完全に単調である。したがって、すべての x > 0 に対して、
ln x − 1 x ≤ ψ ( x ) ≤ ln x − 1 2 x . {\displaystyle \ln x-{\frac {1}{x}}\leq \psi (x)\leq \ln x-{\frac {1}{2x}}.} これはホルスト・アルツァーの定理を再現するものである。 [24] アルツァーはまた、 s∈ (0,1) に対して、
1 − s x + s < ψ ( x + 1 ) − ψ ( x + s ) , {\displaystyle {\frac {1-s}{x+s}}<\psi (x+1)-\psi (x+s),} 関連する境界はエレゾヴィッチ、ジョルダーノ、ペカリックによって得られ、彼らは x > 0 に対して、
ln ( x + 1 2 ) − 1 x < ψ ( x ) < ln ( x + e − γ ) − 1 x , {\displaystyle \ln(x+{\tfrac {1}{2}})-{\frac {1}{x}}<\psi (x)<\ln(x+e^{-\gamma })-{\frac {1}{x}},} ここでは オイラー・マスケロニ定数 である 。 [25] これらの境界内に現れる 定数（ および ）は、可能な限り最良のものである。 [26] γ = − ψ ( 1 ) {\displaystyle \gamma =-\psi (1)} 0.5 {\displaystyle 0.5} e − γ ≈ 0.56 {\displaystyle e^{-\gamma }\approx 0.56}
平均 値定理は 、 ガウチの不等式 の次の類似を示唆する 。x > c （ただし c ≈ 1.461 はディガンマ関数の唯一の正の実根）であり、 s > 0 であれば、
exp ( ( 1 − s ) ψ ′ ( x + 1 ) ψ ( x + 1 ) ) ≤ ψ ( x + 1 ) ψ ( x + s ) ≤ exp ( ( 1 − s ) ψ ′ ( x + s ) ψ ( x + s ) ) . {\displaystyle \exp \left((1-s){\frac {\psi '(x+1)}{\psi (x+1)}}\right)\leq {\frac {\psi (x+1)}{\psi (x+s)}}\leq \exp \left((1-s){\frac {\psi '(x+s)}{\psi (x+s)}}\right).} さらに、等式はs = 1 の場合にのみ成立する 。 [27]
古典的なガンマ関数の調和平均値不等式に着想を得て、ホルツ・アルツァーとグラハム・ジェイムソンは、とりわけ二重ガンマ関数の調和平均値不等式を証明した。
− γ ≤ 2 ψ ( x ) ψ ( 1 x ) ψ ( x ) + ψ ( 1 x ) {\displaystyle -\gamma \leq {\frac {2\psi (x)\psi ({\frac {1}{x}})}{\psi (x)+\psi ({\frac {1}{x}})}}} のために x > 0 {\displaystyle x>0}
等式は の場合にのみ成立する 。 [28] x = 1 {\displaystyle x=1}
計算と近似 漸近展開は、 x の実部 が大きい場合の ψ ( x ) の計算を容易にする。x が小さい場合の ψ ( x ) を 計算するには、再帰関係
ψ ( x + 1 ) = 1 x + ψ ( x ) {\displaystyle \psi (x+1)={\frac {1}{x}}+\psi (x)} x の値を より大きな値にシフトするために使用できます。Beal [29] は、上記の再帰式を使用して xを 6より大きい値にシフトし、その後、 xが 14を 超える項を切り捨てた上記の展開を適用することを提案しています。これにより、「十分以上の精度」（ゼロ付近を除いて少なくとも12桁）が得られます。
x が無限大に近づく と 、 ψ ( x )は ln( x − 1 / 2 ) と ln x 。 x + 1から x に 下がると 、 ψ は 減少します 1 / × , ln( x − 1 / 2 ) は ln( x + 1 / 2 ) / ( x − 1 / 2 ） 、これは より大きいです 1 / × 、そして ln x は ln(1 + だけ減少する 1 / × ）は より小さい 1 / × 。このことから、 より大きい 任意の正のxに対して、 1 / 2 、
ψ ( x ) ∈ ( ln ( x − 1 2 ) , ln x ) {\displaystyle \psi (x)\in \left(\ln \left(x-{\tfrac {1}{2}}\right),\ln x\right)} あるいは、任意の正の x に対して、
exp ψ ( x ) ∈ ( x − 1 2 , x ) . {\displaystyle \exp \psi (x)\in \left(x-{\tfrac {1}{2}},x\right).} 指数関数 exp ψ ( x ) は、およそ x − 1 / 2 大きい x では ですが、 小さい xでは x に近づき、 x = 0 では 0 に近づきます。
x < 1 の場合、 1 と 2 の間で ψ ( x ) ∈ [− γ , 1 − γ ] であるという事実に基づいて極限を計算することができる ので、
ψ ( x ) ∈ ( − 1 x − γ , 1 − 1 x − γ ) , x ∈ ( 0 , 1 ) {\displaystyle \psi (x)\in \left(-{\frac {1}{x}}-\gamma ,1-{\frac {1}{x}}-\gamma \right),\quad x\in (0,1)} または
exp ψ ( x ) ∈ ( exp ( − 1 x − γ ) , e exp ( − 1 x − γ ) ) . {\displaystyle \exp \psi (x)\in \left(\exp \left(-{\frac {1}{x}}-\gamma \right),e\exp \left(-{\frac {1}{x}}-\gamma \right)\right).} 上記のψ の漸近級数から、 exp(− ψ ( x )) の漸近級数を導くことができます 。この級数は全体的な挙動とよく一致しており、大きな引数に対しても漸近的に振る舞い、原点にも無限重複の零点を持ちます。
1 exp ψ ( x ) ∼ 1 x + 1 2 ⋅ x 2 + 5 4 ⋅ 3 ! ⋅ x 3 + 3 2 ⋅ 4 ! ⋅ x 4 + 47 48 ⋅ 5 ! ⋅ x 5 − 5 16 ⋅ 6 ! ⋅ x 6 + ⋯ {\displaystyle {\frac {1}{\exp \psi (x)}}\sim {\frac {1}{x}}+{\frac {1}{2\cdot x^{2}}}+{\frac {5}{4\cdot 3!\cdot x^{3}}}+{\frac {3}{2\cdot 4!\cdot x^{4}}}+{\frac {47}{48\cdot 5!\cdot x^{5}}}-{\frac {5}{16\cdot 6!\cdot x^{6}}}+\cdots } これはy = 0 における exp(− ψ (1 / y )) のテイラー展開に似ている が、収束しない。 [30] （この関数は無限大では 解析的ではない。） exp( ψ ( x )) についても同様の級数が存在し、 これは exp ψ ( x ) ∼ x − 1 2 . {\displaystyle \exp \psi (x)\sim x-{\frac {1}{2}}.}
ψ ( x +1/2 ) の漸近級数を計算すると、 xの奇数乗は存在しない（ x −1 の項は存在しない） ことがわかります 。このことから、次のような漸近展開が得られ、偶数次の項を計算する手間が省けます。
exp ψ ( x + 1 2 ) ∼ x + 1 4 ! ⋅ x − 37 8 ⋅ 6 ! ⋅ x 3 + 10313 72 ⋅ 8 ! ⋅ x 5 − 5509121 384 ⋅ 10 ! ⋅ x 7 + ⋯ {\displaystyle \exp \psi \left(x+{\tfrac {1}{2}}\right)\sim x+{\frac {1}{4!\cdot x}}-{\frac {37}{8\cdot 6!\cdot x^{3}}}+{\frac {10313}{72\cdot 8!\cdot x^{5}}}-{\frac {5509121}{384\cdot 10!\cdot x^{7}}}+\cdots } 関数の Lanczos 近似 と精神的に似ているのが、 Spouge の近似 です 。 Γ {\displaystyle \Gamma }
もう一つの選択肢は、再帰関係式や乗法公式を使って引数を 範囲にシフトし 、そこでチェビシェフ級数を評価することである。 [31] [32] ψ ( x ) {\displaystyle \psi (x)} 1 ≤ x ≤ 3 {\displaystyle 1\leq x\leq 3}
特別な値 ガウスのディガンマ定理の結果として、ディガンマ関数は有理数に対して閉じた形で値を持ちます。以下にいくつか例を挙げます。
ψ ( 1 ) = − γ ψ ( 1 2 ) = − 2 ln 2 − γ ψ ( 1 3 ) = − π 2 3 − 3 ln 3 2 − γ ψ ( 1 4 ) = − π 2 − 3 ln 2 − γ ψ ( 1 6 ) = − π 3 2 − 2 ln 2 − 3 ln 3 2 − γ ψ ( 1 8 ) = − π 2 − 4 ln 2 − π + ln ( 2 + 1 ) − ln ( 2 − 1 ) 2 − γ . {\displaystyle {\begin{aligned}\psi (1)&=-\gamma \\\psi \left({\tfrac {1}{2}}\right)&=-2\ln {2}-\gamma \\\psi \left({\tfrac {1}{3}}\right)&=-{\frac {\pi }{2{\sqrt {3}}}}-{\frac {3\ln {3}}{2}}-\gamma \\\psi \left({\tfrac {1}{4}}\right)&=-{\frac {\pi }{2}}-3\ln {2}-\gamma \\\psi \left({\tfrac {1}{6}}\right)&=-{\frac {\pi {\sqrt {3}}}{2}}-2\ln {2}-{\frac {3\ln {3}}{2}}-\gamma \\\psi \left({\tfrac {1}{8}}\right)&=-{\frac {\pi }{2}}-4\ln {2}-{\frac {\pi +\ln \left({\sqrt {2}}+1\right)-\ln \left({\sqrt {2}}-1\right)}{\sqrt {2}}}-\gamma .\end{aligned}}} さらに、または実数値 の対数微分をとることで、次 の ように簡単に推論できる。 | Γ ( b i ) | 2 {\displaystyle |\Gamma (bi)|^{2}} | Γ ( 1 2 + b i ) | 2 {\displaystyle |\Gamma ({\tfrac {1}{2}}+bi)|^{2}} b {\displaystyle b}
Im ψ ( b i ) = 1 2 b + π 2 coth ( π b ) , {\displaystyle \operatorname {Im} \psi (bi)={\frac {1}{2b}}+{\frac {\pi }{2}}\coth(\pi b),} Im ψ ( 1 2 + b i ) = π 2 tanh ( π b ) . {\displaystyle \operatorname {Im} \psi ({\tfrac {1}{2}}+bi)={\frac {\pi }{2}}\tanh(\pi b).} ガウスのディガンマ定理を除けば、実部一般についてはそのような閉式は知られていない。例えば、 虚数単位においては、 OEIS : A248177という 数値近似式が知られている。
Re ψ ( i ) = − γ − ∑ n = 0 ∞ n − 1 n 3 + n 2 + n + 1 ≈ 0.09465. {\displaystyle \operatorname {Re} \psi (i)=-\gamma -\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {n-1}{n^{3}+n^{2}+n+1}}\approx 0.09465.}
二重ガンマ関数の根 二重ガンマ関数の根は複素ガンマ関数の鞍点である。したがって、それらはすべて 実軸上に存在する。 正の実 軸上にある唯一の根は、 R + 上 の実ガンマ関数の x 0 =における唯一の最小値である。 1.461 632 144 968 362 341 26 ... 。その他はすべて、負の軸の極の間に単独で発生します。
× 1 = −0.504 083 008 264 455 409 25 ... × 2 = −1.573 498 473 162 390 458 77 ... × 3 = −2.610 720 868 444 144 650 00 ... × 4 = −3.635 293 366 436 901 097 83 ... ⋮ {\displaystyle \vdots } すでに1881年に、 シャルル・エルミートは 次
のよう に観察している [33]。
x n = − n + 1 ln n + O ( 1 ( ln n ) 2 ) {\displaystyle x_{n}=-n+{\frac {1}{\ln n}}+O\left({\frac {1}{(\ln n)^{2}}}\right)} 漸近的に成り立つ。根の位置のより良い近似は次のように与えられる。
x n ≈ − n + 1 π arctan ( π ln n ) n ≥ 2 {\displaystyle x_{n}\approx -n+{\frac {1}{\pi }}\arctan \left({\frac {\pi }{\ln n}}\right)\qquad n\geq 2} さらに別の言葉を使うと、さらに良くなる
x n ≈ − n + 1 π arctan ( π ln n + 1 8 n ) n ≥ 1 {\displaystyle x_{n}\approx -n+{\frac {1}{\pi }}\arctan \left({\frac {\pi }{\ln n+{\frac {1}{8n}}}}\right)\qquad n\geq 1} どちらも反射式から派生しており、
0 = ψ ( 1 − x n ) = ψ ( x n ) + π tan π x n {\displaystyle 0=\psi (1-x_{n})=\psi (x_{n})+{\frac {\pi }{\tan \pi x_{n}}}} そして、 ψ ( x n ) を その収束しない漸近展開に代入する。この展開の正しい第2項は、 1 / 2 n 、ここで与えられたものは、小さな n で根を近似するのにうまく機能します。
エルミートの公式のもう一つの改良法は次の通りである: [11]
x n = − n + 1 log n − 1 2 n ( log n ) 2 + O ( 1 n 2 ( log n ) 2 ) . {\displaystyle x_{n}=-n+{\frac {1}{\log n}}-{\frac {1}{2n(\log n)^{2}}}+O\left({\frac {1}{n^{2}(\log n)^{2}}}\right).} 零点に関しては、以下の無限和恒等式がイシュトヴァン・メゾーとマイケル・ホフマンによって最近証明された [11] [34]。
∑ n = 0 ∞ 1 x n 2 = γ 2 + π 2 2 , ∑ n = 0 ∞ 1 x n 3 = − 4 ζ ( 3 ) − γ 3 − γ π 2 2 , ∑ n = 0 ∞ 1 x n 4 = γ 4 + π 4 9 + 2 3 γ 2 π 2 + 4 γ ζ ( 3 ) . {\displaystyle {\begin{aligned}\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{x_{n}^{2}}}&=\gamma ^{2}+{\frac {\pi ^{2}}{2}},\\\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{x_{n}^{3}}}&=-4\zeta (3)-\gamma ^{3}-{\frac {\gamma \pi ^{2}}{2}},\\\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{x_{n}^{4}}}&=\gamma ^{4}+{\frac {\pi ^{4}}{9}}+{\frac {2}{3}}\gamma ^{2}\pi ^{2}+4\gamma \zeta (3).\end{aligned}}} 一般的に、関数
Z ( k ) = ∑ n = 0 ∞ 1 x n k {\displaystyle Z(k)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{x_{n}^{k}}}} 決定することができ、引用された著者によって詳細に研究されています。
以下の結果 [11]
∑ n = 0 ∞ 1 x n 2 + x n = − 2 , ∑ n = 0 ∞ 1 x n 2 − x n = γ + π 2 6 γ {\displaystyle {\begin{aligned}\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{x_{n}^{2}+x_{n}}}&=-2,\\\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{x_{n}^{2}-x_{n}}}&=\gamma +{\frac {\pi ^{2}}{6\gamma }}\end{aligned}}} もまた真実である。
正規化 ディガンマ関数は発散積分の正規化に現れる
∫ 0 ∞ d x x + a , {\displaystyle \int _{0}^{\infty }{\frac {dx}{x+a}},} この積分は発散する一般調和級数で近似できるが、級数には次の値が付加される。
∑ n = 0 ∞ 1 n + a = − ψ ( a ) . {\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{n+a}}=-\psi (a).}
応用数学では 多くの著名な確率分布は、確率密度関数や質量関数の定義においてガンマ関数を用いています。そして、統計学において、このような分布を含むモデルに対して 最尤推定を 行う際には、最大値を求めるために対数尤度の微分をとる際に、二重ガンマ関数が自然に現れます。
参照 ポリガンマ関数 トリガンマ関数 Wimp, Jet (1961). 「積分変換の多項式近似」 における二重ガンマ関数の チェビシェフ展開. Math. Comp . 15 (74): 174– 178. doi : 10.1090/S0025-5718-61-99221-3 .
参考文献 ^ ab Abramowitz, M.; Stegun, IA編 (1972). 「6.3 psi (Digamma) Function.」. 数式、グラフ、表付き数学関数ハンドブック （第10版）. ニューヨーク: ドーバー. pp. 258– 259. ^ 「NIST. 数学関数のデジタルライブラリ（DLMF）、第5章」。 ^ Weisstein, Eric W. 「ディガンマ関数」 。MathWorld 。 ^ アルツァー、ホルスト;ジェイムソン、グラハム (2017)。 「ディガンマ関数の調和平均不等式と関連結果」 (PDF) 。 パドヴァのレンディコンティ デル セミナリオ マテマティコ大学 。 137 : 203–209 。 土井 :10.4171/RSMUP/137-10。 ^ 「NIST. 数学関数のデジタルライブラリ（DLMF）、5.11」。 ^ ペアマン、エレノア （1919年）『ディガンマ関数とトリガンマ関数の表』ケンブリッジ大学出版局、5ページ。 ^ ab WhittakerとWatson、12.3。 ^ WhittakerとWatson、12.31。 ^ WhittakerとWatson、12.32、例。 ^ 「NIST. 数学関数のデジタルライブラリ（DLMF）、5.9」。 ^ abcd メズー、イシュトヴァーン;ホフマン、マイケル E. (2017)。 「ディガンマ関数のゼロとそのバーンズ G 関数の類似物」。 積分変換と特殊関数 。 28 (11): 846–858 。 土井 :10.1080/10652469.2017.1376193。 S2CID 126115156。 ^ ネブラスカ州ノールランド (1924)。 Vorlesungen über Differenzenrechnung 。ベルリン：シュプリンガー。 ^ abcdefg ブラゴウシン、アイオワ州。 V. (2018)。 「ゼータ関数の Ser と Hasse の表現に関する 3 つのメモ」 (PDF) 。 INTEGERS: 組み合わせ数論の電子ジャーナル 。 18A : 1–45.arXiv : 1606.02044 。 Bibcode :2016arXiv160602044B。 土井 ：10.5281/zenodo.10581385。 ^ 「レオンハルト・オイラーの積分：ガンマ関数の歴史的概要」 （PDF） 。 2014年9月12日時点のオリジナルより アーカイブ （PDF） 。 2022年 4月11日 閲覧 。 ^ ab Blagouchine, Ia. V. (2016). 「スターリング数を含み、 π −1 に関連する特定の引数に対する有理係数のみを含むガンマ関数の対数に対する2つの級数展開 」. Journal of Mathematical Analysis and Applications . 442 : 404– 434. arXiv : 1408.3902 . Bibcode :2014arXiv1408.3902B. doi :10.1016/J.JMAA.2016.04.032. S2CID 119661147. ^ R. キャンベル。 「Les intégrales eulériennes et leurs application」 、デュノー、パリ、1966 年。 ^ HM SrivastavaとJ. Choi. ゼータと関連関数に関するシリーズ 、Kluwer Academic Publishers、オランダ、2001年。 ^ Blagouchine, Iaroslav V. (2014). 「有理数引数における第一一般化スティルチェス定数の閉形式評価に関する定理と関連するいくつかの総和」. Journal of Number Theory . 148 : 537–592 . arXiv : 1401.3724 . doi :10.1016/j.jnt.2014.08.009. ^ 複素関数理論における古典的なトピック 。p.46。 ^ Choi, Junesang; Cvijovic, Djurdje (2007). 「有理数引数におけるポリガンマ関数の値」. Journal of Physics A. 40 ( 50): 15019. Bibcode :2007JPhA...4015019C. doi :10.1088/1751-8113/40/50/007. S2CID 118527596. ^ Jensen, JLWV; Gronwall, TH (1916). 「ガンマ関数理論の初等的解説」. Ann. Math . 17 (3): 124– 166. doi :10.2307/2007272. JSTOR 2007272. ^ Gradshteyn, IS; Ryzhik, IM (2015). "8.365.5". 積分、級数、積の表 . Elsevier Science. ISBN 978-0-12-384933-5 。 LCCN 2014010276。 ^ Bernardo, José M. (1976). 「アルゴリズムAS 103 psi(digamma function) 計算」 (PDF) . 応用統計学 . 25 : 315–317 . doi :10.2307/2347257. JSTOR 2347257. ^ Alzer, Horst (1997). 「ガンマ関数とプサイ関数のいくつかの不等式について」 (PDF) . 計算数学 . 66 (217): 373– 389. doi :10.1090/S0025-5718-97-00807-7. JSTOR 2153660. ^ Elezović, Neven; Giordano, Carla; Pečarić, Josip (2000). 「ガウチの不等式における最良境界値」. Mathematical Inequalities & Applications (2): 239– 252. doi : 10.7153/MIA-03-26 . ^ 郭白尼;チー、フォン (2014)。 「psi 関数と高調波数の鋭い不等式」。 分析 。 34 (2)。 arXiv : 0902.2524 。 土井 ：10.1515/anly-2014-0001。 S2CID 16909853。 ^ Laforgia, Andrea; Natalini, Pierpaolo (2013). 「指数関数、ガンマ関数、ポリガンマ関数：古典的不等式と新しい不等式の簡単な証明」. Journal of Mathematical Analysis and Applications . 407 (2): 495– 504. doi : 10.1016/j.jmaa.2013.05.045 . ^ アルツァー、ホルスト;ジェイムソン、グラハム (2017)。 「ディガンマ関数の調和平均不等式と関連結果」 (PDF) 。 パドヴァのレンディコンティ デル セミナリオ マテマティコ大学 。 70 (201): 203–209 。 土井 :10.4171/RSMUP/137-10。 ISSN 0041-8994。 LCCN 50046633。OCLC 01761704。S2CID 41966777 。 ^ Beal, Matthew J. (2003). 近似ベイズ推論のための変分アルゴリズム (PDF) (博士論文). ユニバーシティ・カレッジ・ロンドン、ギャツビー計算神経科学ユニット. pp. 265– 266. ^ もし関数 f ( y ) に収束するならば、 ln( f ( y ) / y )は ln(1 / y ) − φ (1 / y ) と 同じ マクローリン級数を持つ。しかし、これは収束しない。なぜなら、先ほど示した φ ( x ) の級数 が収束しないからだ。 ^ Wimp, Jet (1961). 「積分変換の多項式近似」. Math. Comp . 15 (74): 174– 178. doi :10.1090/S0025-5718-61-99221-3. JSTOR 2004225. ^ Mathar, RJ (2004). 「逆多項式のチェビシェフ級数展開」. Journal of Computational and Applied Mathematics . 196 (2): 596– 607. arXiv : math/0403344 . doi :10.1016/j.cam.2005.10.013. 付録E ^ チャールズ・エルミート (1881)。 「第二の特別な世界」。 Journal für die reine und angewandte Mathematik (90): 332–338 . doi :10.1515/crll.1881.90.332。 S2CID 118866486。 ^ メズー、イシュトヴァーン (2014)。 「ディガンマ関連関数のゼロと局所極値に関するメモ」。 arXiv : 1409.2971 [数学.CV]。
外部リンク OEIS シーケンスA020759（(-1)*Gamma'(1/2)/Gamma(1/2)の10進展開。ここでGamma(x)はガンマ関数を表す）—psi(1/2) OEIS : A047787 psi(1/3)、 OEIS : A200064 psi(2/3)、 OEIS : A020777 psi(1/4)、 OEIS : A200134 psi(3/4)、 OEIS : A200135 ～ OEIS : A200138 psi(1/5) ～ psi(4/5)。 GNU Scientificライブラリへの実装 チェビシェフ級数を使ったC関数 テイラー級数を使ったJava実装 
={\frac {1}{x}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2f937d04ca5581f9bf986c18bf170bdc9b376cc8)
