次元（ベクトル空間）

Number of vectors in any basis of the vector space

フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』より

数学において、ベクトル空間Vの次元は、その基底体上のVの基底の濃度（すなわち、ベクトルの数）です。^{[1] [2]他の種類の}次元と区別するために、ハメル次元（ゲオルク・ハメルにちなんで）または代数次元と呼ばれることもあります。

すべてのベクトル空間に対して基底が存在し、^[a]ベクトル空間のすべての基底は同じ濃度を持ちます。^[b]その結果、ベクトル空間の次元は一意に定義されます。 ${\displaystyle V}$の次元が有限である場合、は有限次元、 ${\displaystyle V}$の次元が無限である場合、無限次元と呼ばれます。

体 上のベクトル空間の次元は、 と書くか、 「上の の次元」と読みます。が文脈から推測できる場合、通常は と書きます。 ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle \dim _{F}(V)}$ ${\displaystyle [V:F],}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle \dim(V)}$

例

ベクトル空間は標準基底としてを持ち、したがってより一般的に、そしてさらに一般的には、任意の体に対して ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$ $${\displaystyle \left\{{\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}0\\1\\0\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}}\right\}}$$ ${\displaystyle \dim _{\mathbb {R} }(\mathbb {R} ^{3})=3.}$ ${\displaystyle \dim _{\mathbb {R} }(\mathbb {R} ^{n})=n,}$ ${\displaystyle \dim _{F}(F^{n})=n}$ ${\displaystyle F.}$

複素数は 実ベクトル空間と複素ベクトル空間の両方であり、 と となるため、次元は基底体に依存します。 ${\displaystyle \mathbb {C} }$ ${\displaystyle \dim _{\mathbb {R} }(\mathbb {C} )=2}$ ${\displaystyle \dim _{\mathbb {C} }(\mathbb {C} )=1.}$

次元を持つベクトル空間は、その零元のみからなるベクトル空間 のみです。 ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle \{0\},}$

性質

がの線型部分空間である場合、 ${\displaystyle W}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle \dim(W)\leq \dim(V).}$

2つの有限次元ベクトル空間が等しいことを示すために、次の基準を使用できます。 が有限次元ベクトル空間であり、がの線型部分空間である場合、 ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle W}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle \dim(W)=\dim(V),}$ ${\displaystyle W=V.}$

空間は標準基底を持ち、 は対応する単位行列の 番目の列です。したがって、は次元を持ちます。 ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle \left\{e_{1},\ldots ,e_{n}\right\},}$ ${\displaystyle e_{i}}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle n.}$

同じ次元を持つ上の任意の2つの有限次元ベクトル空間は同型です。それらの基底間の任意の全単射写像は、ベクトル空間間の全単射線型写像に一意に拡張できます。 が何らかの集合である場合、上の次元を持つベクトル空間は次のように構成できます。における有限個を除くすべての に対して となるすべての関数の集合を取ります。これらの関数を の元と加算および乗算することで、目的の-ベクトル空間を取得できます ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle |B|}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle F(B)}$ ${\displaystyle f:B\to F}$ ${\displaystyle f(b)=0}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle B.}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle F}$

次元に関する重要な結果は、線型写像の階数零定理によって与えられます。

が体拡大である場合、特に は 上のベクトル空間です。さらに、すべての- ベクトル空間は - ベクトル空間でもあります。次元は式で関連付けられています。特に、 次元のすべての複素ベクトル空間は、 次元の実ベクトル空間です。 ${\displaystyle F/K}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle K.}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle K}$ $${\displaystyle \dim _{K}(V)=\dim _{K}(F)\dim _{F}(V).}$$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle 2n.}$

いくつかの式は、ベクトル空間の次元を、基本体の濃度、および空間自体の濃度と関連付けています。 が体上のベクトル空間であり、 の次元がで表されている場合、次のようになります。 ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle \dim V,}$

dimが有限である場合 ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle |V|=|F|^{\dim V}.}$

dimが無限である場合 ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle |V|=\max(|F|,\dim V).}$

一般化

ベクトル空間はマトロイドの特殊なケースと見なすことができ、後者には明確に定義された次元の概念が存在する。加群の長さとアーベル群の階数はどちらも、ベクトル空間の次元に類似したいくつかの性質を持つ。

可換環のクルル次元は、ヴォルフガング・クルル（1899–1971）にちなんで名付けられ、環内の素イデアルの増加連鎖における強包含の最大数として定義されます。

トレース

ベクトル空間の次元は、恒等作用素のトレースとして特徴付けることもできます。例えば、 これは循環的な定義 のように見えますが、有用な一般化を可能にします ${\displaystyle \operatorname {tr} \ \operatorname {id} _{\mathbb {R} ^{2}}=\operatorname {tr} \left({\begin{smallmatrix}1&0\\0&1\end{smallmatrix}}\right)=1+1=2.}$

まず、トレースはあるが自然な基底感覚がない場合に、次元の概念を定義することができます。例えば、写像（スカラーの包含、単位元と呼ばれる）と写像（トレースに対応し、余単位元と呼ばれる）を持つ代数 を持つことができます。スカラー（1次元空間上の線型作用素）の合成は「恒等写像」に対応し、抽象代数に次元の概念を与えます。実際には、双代数では、この写像は恒等写像である必要があり、余単位元を次元（ ）で割って正規化することで得られます。したがって、これらの場合、正規化定数は次元に対応します ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \eta :K\to A}$ ${\displaystyle \epsilon :A\to K}$ ${\displaystyle \epsilon \circ \eta :K\to K}$ ${\displaystyle \epsilon :=\textstyle {\frac {1}{n}}\operatorname {tr} }$

あるいは、無限次元空間上の作用素のトレースをとることも可能かもしれません。この場合、（有限）次元が存在しないにもかかわらず、（有限）トレースが定義され、「作用素の次元」という概念が与えられます。これらは、ヒルベルト空間上の「トレース類作用素」、より一般的にはバナッハ空間上の核作用素に分類されます

より微妙な一般化は、作用素族のトレースを一種の「ねじれた」次元とみなすことです。これは表現論において顕著に現れます。表現論では、表現の指標は表現のトレースであり、したがって、表現が群内の単位元を単位行列に送るため、群上 のスカラー値関数で、単位元上の値が表現の次元であるような関数が用いられます。指標の他の値は「ねじれた」次元と見なすことができ、次元に関する記述は指標または表現に関する記述に類似または一般化されます。この洗練された例は、怪物群の理論に見られます。-不変量は、怪物群の無限次元次数表現の次数次元であり、次元を指標に置き換えると、怪物群の各要素のマッケイ・トムソン級数が得られます。 ^[3] ${\displaystyle \chi :G\to K,}$ ${\displaystyle 1\in G}$ ${\displaystyle \chi (1_{G})=\operatorname {tr} \ I_{V}=\dim V.}$ ${\displaystyle \chi (g)}$ ${\displaystyle j}$

関連項目

• フラクタル次元 - スケールによる複雑さの変化の統計的指標を提供する比
• クルル次元 - 数学において、環の次元
• マトロイド階数 – マトロイドの独立集合の最大サイズ
• 階数（線型代数）  – 行列の列空間の次元
• 位相次元 – 空間の次元の位相不変な定義Pages displaying short descriptions of redirect targets。ルベーグ被覆次元とも呼ばれる

注記

1. 選択公理を仮定した場合
2. ベクトル空間の次元定理を参照

参考文献

1. Itzkov, Mikhail (2009). Tensor Algebra and Tensor Analysis for Engineers: With Applications to Continuum Mechanics. Springer. p. 4. ISBN 978-3-540-93906-1。
2. Axler (2015) p. 44, §2.36
3. Gannon, Terry (2006), Moonshine beyond the Monster: The Bridge Connecting Algebra, Modular Forms and Physics , Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-83531-2

情報源

• アクラー、シェルドン(2015).線形代数の正しいやり方.学部生向け数学テキスト（第3版）.シュプリンガー. ISBN 978-3-319-11079-0。

外部リンク

• MIT OpenCourseWareにおけるギルバート・ストラングによるMIT線形代数学講義「独立性、基底、次元」

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