Any mathematical model describing semiconductor diodes
電子工学 において 、 ダイオードモデリングと は、実際のダイオードの実際の動作を近似し、計算や回路解析を可能にするために用いられる数学モデルを指します。 ダイオード の I - V 曲線は 非線形 です。
非常に正確だが複雑な物理モデルは、わずかに異なる急峻さ（つまり 理想係数 ）を持つ3つの 指数関数 からIV曲線を構成します。これらの指数関数は、 デバイス内の異なる 再結合メカニズムに対応しています。 [1] 非常に大きい電流と非常に小さい電流では、曲線は線形セグメント（つまり抵抗動作）で継続できます。
ダイオードは、比較的良好な近似として、単指数 ショックレーのダイオード則 によってモデル化されます。しかし、この非線形性はダイオードを含む回路の計算を依然として複雑にするため、より単純なモデルが用いられることがよくあります。
この記事ではpn 接合 ダイオードのモデリングについて説明しますが、この手法は他の 固体 ダイオードにも一般化できます 。
大信号モデリング
ショックレーダイオードモデル ショック レー・ダイオードの式は、 PN接合 ダイオード の ダイオード電流 とダイオード電圧を関連付けます 。この関係がダイオードの IV特性 です。 I {\displaystyle I} V D {\displaystyle V_{D}}
I = I S ( e V D n V T − 1 ) {\displaystyle I=I_{S}\left(e^{\frac {V_{D}}{nV_{\text{T}}}}-1\right)} 、 ここで 、 は ダイオードの 飽和電流 または スケール電流 （負の電圧に対して数 A 、典型的には10 −12 Aを超えて流れる電流の大きさ）です。スケール電流はダイオードの断面積に比例します。記号の説明を続けると、 は 熱電圧 （ 、常温で約26 mV） です。 I S {\displaystyle I_{S}} V D {\displaystyle V_{D}} V T {\displaystyle V_{\text{T}}} V T {\displaystyle V_{\text{T}}} k T / q {\displaystyle kT/q} これ はダイオードの理想係数として知られています (シリコン ダイオードの場合は 約 1 ～ 2)。 n {\displaystyle n} n {\displaystyle n}
式を次の ように簡略化できます。 V D ≫ n V T {\displaystyle V_{D}\gg nV_{\text{T}}}
I ≈ I S ⋅ e V D n V T {\displaystyle I\approx I_{S}\cdot e^{\frac {V_{D}}{nV_{\text{T}}}}} 。 しかし、この式はより複雑なIV特性の近似値に過ぎません。より優れた解析モデルが存在する超浅い接合の場合、その適用範囲は特に限定されます。 [2]
ダイオード抵抗回路の例 この法則を使用する際の複雑さを説明するために、図 1 のダイオードの両端の電圧を求める問題を考えてみましょう。
図 1: 抵抗負荷を備えたダイオード回路。 ダイオードを流れる電流は回路全体に流れる電流と同じなので、別の式を立てることができます。 キルヒホッフの法則 によれば、回路に流れる電流は
I = V S − V D R {\displaystyle I={\frac {V_{S}-V_{D}}{R}}} 。 これらの2つの方程式は、ダイオードの電流とダイオードの電圧を決定します。これらの2つの方程式を解くには、 2番目の方程式の電流を1番目の方程式に代入し、得られた方程式を変形して について を得ます。この方法の難点は、ダイオードの法則が非線形であることです。しかし、 の 逆関数である ランバートの W 関数 を 用いることで、 を使わず に について直接 表す式を 得ることができます 。 この解法については次に説明します。 I {\displaystyle I} V D {\displaystyle V_{D}} V S {\displaystyle V_{S}} I {\displaystyle I} V S {\displaystyle V_{S}} V D {\displaystyle V_{D}} f ( w ) = w e w {\displaystyle f(w)=we^{w}} w = W ( f ) {\displaystyle w=W(f)}
明示的な解 ダイオード電流の明示的な表現は、ランベルト W 関数 （オメガ関数とも呼ばれる） を用いて得られる。 [3] これらの操作の手引きは以下の通りである。新しい変数 を導入する
。 w {\displaystyle w}
w = I S R n V T ( I I S + 1 ) {\displaystyle w={\frac {I_{S}R}{nV_{\text{T}}}}\left({\frac {I}{I_{S}}}+1\right)} 。 置換後 ： I / I S = e V D / n V T − 1 {\displaystyle I/I_{S}=e^{V_{D}/nV_{\text{T}}}-1}
w e w = I S R n V T e V D n V T e I S R n V T ( I I S + 1 ) {\displaystyle we^{w}={\frac {I_{S}R}{nV_{\text{T}}}}e^{\frac {V_{D}}{nV_{\text{T}}}}e^{{\frac {I_{S}R}{nV_{\text{T}}}}\left({\frac {I}{I_{S}}}+1\right)}} そして ： V D = V S − I R {\displaystyle V_{D}=V_{S}-IR}
w e w = I S R n V T e V S n V T e − I R n V T e I R I S n V T I S e I S R n V T {\displaystyle we^{w}={\frac {I_{S}R}{nV_{\text{T}}}}e^{\frac {V_{S}}{nV_{\text{T}}}}e^{\frac {-IR}{nV_{\text{T}}}}e^{\frac {IRI_{S}}{nV_{\text{T}}I_{S}}}e^{\frac {I_{S}R}{nV_{\text{T}}}}} ダイオードの法則を w の観点から整理すると次のようになります。
w e w = I S R n V T e V s + I s R n V T {\displaystyle we^{w}={\frac {I_{S}R}{nV_{\text{T}}}}e^{\frac {V_{s}+I_{s}R}{nV_{\text{T}}}}} 、 ランバート 関数を用いると次のようになる。 W {\displaystyle W}
w = W ( I S R n V T e V s + I s R n V T ) {\displaystyle w=W\left({\frac {I_{S}R}{nV_{\text{T}}}}e^{\frac {V_{s}+I_{s}R}{nV_{\text{T}}}}\right)} 。 最終的な明確な解決策は
I = n V T R W ( I S R n V T e V s + I s R n V T ) − I S {\displaystyle I={\frac {nV_{\text{T}}}{R}}W\left({\frac {I_{S}R}{nV_{\text{T}}}}e^{\frac {V_{s}+I_{s}R}{nV_{\text{T}}}}\right)-I_{S}} 。 （最も一般的なパラメータ値に有効な）近似値とを用いると 、 この解は次のようになる。 I s R ≪ V S {\displaystyle I_{s}R\ll V_{S}} I / I S ≫ 1 {\displaystyle I/I_{S}\gg 1}
I ≈ n V T R W ( I S R n V T e V s n V T ) {\displaystyle I\approx {\frac {nV_{\text{T}}}{R}}W\left({\frac {I_{S}R}{nV_{\text{T}}}}e^{\frac {V_{s}}{nV_{\text{T}}}}\right)} 。 電流が決定されると、他のいずれかの式を使用してダイオード電圧を求めることができます。
xが大きい場合、 は で近似できます 。一般的な物理パラメータと抵抗値の場合、は10 40 程度になります 。 W ( x ) {\displaystyle W(x)} W ( x ) = ln x − ln ln x + o ( 1 ) {\displaystyle W(x)=\ln x-\ln \ln x+o(1)} I S R n V T e V s n V T {\displaystyle {\frac {I_{S}R}{nV_{\text{T}}}}e^{\frac {V_{s}}{nV_{\text{T}}}}}
反復的な解決 ダイオードの電圧は、 計算機やコンピュータを用いた 反復法 によって、任意の特定の値の組み合わせ について で求めることができます。 [4] ダイオードの法則は で割り 、1を加えることで整理されます。ダイオードの法則は次のようになります
。 V D {\displaystyle V_{D}} V S {\displaystyle V_{S}} I S {\displaystyle I_{S}}
e V D n V T = I I S + 1 {\displaystyle e^{\frac {V_{D}}{nV_{\text{T}}}}={\frac {I}{I_{S}}}+1} 。 両辺の自然対数をとると指数関数が除去され、方程式は次のようになる。
V D n V T = ln ( I I S + 1 ) {\displaystyle {\frac {V_{D}}{nV_{\text{T}}}}=\ln \left({\frac {I}{I_{S}}}+1\right)} 。 任意の に対して 、この式は を決定します 。しかし、 は上記のキルヒホッフの法則も満たす必要があります。この式を に代入すると 、 I {\displaystyle I} V D {\displaystyle V_{D}} I {\displaystyle I} I {\displaystyle I}
V D n V T = ln ( V S − V D R I S + 1 ) {\displaystyle {\frac {V_{D}}{nV_{\text{T}}}}=\ln \left({\frac {V_{S}-V_{D}}{RI_{S}}}+1\right)} 、 または
V D = n V T ln ( V S − V D R I S + 1 ) {\displaystyle V_{D}=nV_{\text{T}}\ln \left({\frac {V_{S}-V_{D}}{RI_{S}}}+1\right)} 。 電源の電圧は 既知の値ですが、 方程式の両辺に があるため、反復解法が必要になります。 の初期値を 推測し、方程式の右辺に代入します。右辺で様々な演算を実行することで、 の新しい値が得られます 。この新しい値を右辺に代入し、これを繰り返します。この反復が 収束する と、の値は 処理が進むにつれて次第に近づいていきます。十分な精度に達した時点で反復を停止できます。 が 求まれば、 は キルヒホッフの法則の式から求めることができます。 V S {\displaystyle V_{S}} V D {\displaystyle V_{D}} V D {\displaystyle V_{D}} V D {\displaystyle V_{D}} V D {\displaystyle V_{D}} V D {\displaystyle V_{D}} I {\displaystyle I}
反復手順は、最初の推定値に大きく依存することがあります。この例では、最初の推定値はほとんど何でも構いません 。例えば です。反復手順が全く収束しない場合もあります。この問題では、指数関数に基づく反復法は収束しません。そのため、方程式は対数を用いるように再構成されました。収束する反復定式化を見つけるのは一種の芸術であり、問題はそれぞれ異なります。 V D = 600 mV {\displaystyle V_{D}=600\,{\text{mV}}}
グラフィカルソリューション ダイオード特性と抵抗負荷線の交点を通じて動作点をグラフィカルに決定します。 グラフィカル解析は、 ダイオードを記述する 超越 方程式の数値解を導く簡単な方法です。他の多くのグラフィカル手法と同様に、視覚化が容易であるという利点があります。I - V 曲線をプロットすることで、任意の精度で近似解を得ることができます。このプロセスは、前述の2つのアプローチのグラフィカル版であり、コンピュータによる実装に適しています。
この方法では、2つの電流-電圧方程式をグラフ上にプロットし、2つの曲線の交点が両方の方程式を満たす点を求め、回路を流れる電流値とダイオード両端の電圧値を求めます。図はこの方法を示しています。
区分線形モデル ダイオード特性の区分線形近似。 実際には、グラフィカルな手法は複雑で、複雑な回路には実用的ではありません。ダイオードをモデル化する別の方法は、 区分線形 （PWL） モデリング と呼ばれます。数学的には、これは関数を複数の線形セグメントに分割することを意味します。この手法は、ダイオードの特性曲線を一連の線形セグメントとして近似するために使用されます。実際のダイオードは、理想ダイオード、 電圧源 、 抵抗器の 3つの部品を直列に接続してモデル化されます。
この図は、実際のダイオードのIV曲線を2つのセグメントからなる区分線形モデルで近似した例です。通常、傾斜した線分は、ダイオードの Q点 における曲線に接するように選択されます。この線分の傾きは、Q点におけるダイオードの 小信号 抵抗の逆数で表されます。
数学的に理想化されたダイオード 理想ダイオードのIV特性。 まず、数学的に理想的なダイオードを考えてみましょう。このような理想ダイオードでは、ダイオードに逆バイアスがかかっている場合、流れる電流はゼロになります。この理想ダイオードは0Vで導通を開始し、任意の正電圧に対して無限大の電流が流れ、ダイオードは短絡のように動作します。理想ダイオードのIV特性を以下に示します。
電圧源と直列の理想ダイオード ここで、以下に示す形式でダイオードと直列に電圧源を追加する場合を考えてみましょう。
直列電圧源を備えた理想的なダイオード。 順方向バイアスの場合、理想ダイオードは単なる短絡回路となり、逆方向バイアスの場合、開回路となります。
ダイオードの アノード を0 Vに接続すると、 カソード の電圧は Vt となり 、カソードの電位はアノードの電位よりも高くなり、ダイオードは逆バイアスされます。ダイオードを導通させるには、アノードの電圧を Vt まで上げる必要があります。この回路は、実際のダイオードに存在するカットイン電圧を近似しています。この回路の総合的なIV特性を以下に示します。
直列電圧源を備えた理想ダイオードの IV 特性。 ショックレーダイオードモデルを使用して、 のおおよその値を予測できます 。 V t {\displaystyle V_{t}}
I = I S ( e V D n ⋅ V T − 1 ) ⇔ ln ( 1 + I I S ) = V D n ⋅ V T ⇔ V D = n ⋅ V T ln ( 1 + I I S ) ≈ n ⋅ V T ln ( I I S ) ⇔ V D ≈ n ⋅ V T ⋅ ln 10 ⋅ log 10 ( I I S ) {\displaystyle {\begin{aligned}&I=I_{S}\left(e^{\frac {V_{D}}{n\cdot V_{\text{T}}}}-1\right)\\\Leftrightarrow {}&\ln \left(1+{\frac {I}{I_{S}}}\right)={\frac {V_{D}}{n\cdot V_{\text{T}}}}\\\Leftrightarrow {}&V_{D}=n\cdot V_{\text{T}}\ln \left(1+{\frac {I}{I_{S}}}\right)\approx n\cdot V_{\text{T}}\ln \left({\frac {I}{I_{S}}}\right)\\\Leftrightarrow {}&V_{D}\approx n\cdot V_{\text{T}}\cdot \ln {10}\cdot \log _{10}{\left({\frac {I}{I_{S}}}\right)}\end{aligned}}} と の 使用 : n = 1 {\displaystyle n=1} T = 25 °C {\displaystyle T=25\,{\text{°C}}}
V D ≈ 0.05916 ⋅ log 10 ( I I S ) {\displaystyle V_{D}\approx 0.05916\cdot \log _{10}{\left({\frac {I}{I_{S}}}\right)}} 室温 での 飽和電流 の標準的な値は 次のとおりです。
I S = 10 − 12 A {\displaystyle I_{S}=10^{-12}{\text{A}}} シリコンダイオード用 I S = 10 − 6 A {\displaystyle I_{S}=10^{-6}{\text{A}}} ゲルマニウムダイオード用。 の変化は 比の対数に比例するため 、比が大きく変化してもその値はほとんど変化しません。10を底とする対数を使うと、桁単位で考えやすくなります。 V D {\displaystyle V_{D}} I I S {\displaystyle {\frac {I}{I_{S}}}}
電流1.0mAの場合 ：
V D ≈ 0.53 V {\displaystyle V_{D}\approx 0.53\,{\text{V}}} シリコンダイオードの場合（9桁） V D ≈ 0.18 V {\displaystyle V_{D}\approx 0.18\,{\text{V}}} ゲルマニウムダイオードの場合（3桁）。 電流100mAの場合 ：
V D ≈ 0.65 V {\displaystyle V_{D}\approx 0.65\,{\text{V}}} シリコンダイオードの場合（11桁） V D ≈ 0.30 V {\displaystyle V_{D}\approx 0.30\,{\text{V}}} ゲルマニウムダイオードの場合（5桁）。 シリコンダイオードでは0.6ボルトまたは0.7ボルトの値が一般的に使用されます。 [5]
電圧源と電流制限抵抗を備えたダイオード 最後に必要なのは、以下に示すように、電流を制限する抵抗器です。
直列の電圧源と抵抗器を備えた理想的なダイオード。 最終回路の IV 特性は次のようになり ます 。
直列電圧源と抵抗器を備えた理想ダイオードの IV 特性。 実際のダイオードは、理想ダイオード、電圧源、抵抗を組み合わせたものに置き換えることができ、回路は線形要素のみでモデル化されます。傾斜線分が Q点 において実際のダイオードの曲線に接する場合、この近似回路はQ点において実際のダイオードと 同じ 小信号回路を持ちます。
デュアルPWLダイオードまたは3ラインPWLモデル 上述の標準PWLモデル（赤三角でマーク）のIV特性。参考までに、標準ショックレーダイオードモデル（青ひし形でマーク）も示します。ショックレーパラメータは、 I s = 1e - 12 A、 V t = 0.0258 Vです。 ダイオードのターンオン特性をより正確にモデル化する必要がある場合、標準的なPWLモデルを2倍にすることでモデルを拡張できます。このモデルでは、2つの区分線形ダイオードを並列に接続することで、1つのダイオードをより正確にモデル化します。
2つの分岐を持つPWLダイオードモデル。上側の分岐は順方向電圧が低く、抵抗が高い。これによりダイオードはより緩やかにオンになり、この点で実際のダイオードをより正確にモデル化している。下側の分岐は順方向電圧が高く、抵抗が低いため、高電圧で大電流を流すことができる。 このモデル（赤三角）のIV特性を、標準的なショックレーダイオードモデル（青ひし形）と比較したグラフ。ショックレーパラメータは、 I s = 1e - 12 A、 V t = 0.0258 Vである。
小信号モデリング
抵抗 ショックレーの式を用いると、ダイオードの 小信号抵抗は、 DCバイアス電流が Q点印加電圧である動作点（ Q点 ）付近で導出することができる。 [6] まず、ダイオードの 小信号コンダクタンス 、すなわちダイオード両端の電圧の小さな変化によって生じるダイオードの電流変化をこの電圧変化で割った値を求める。すなわち、 r D {\displaystyle r_{D}} I Q {\displaystyle I_{Q}} V Q {\displaystyle V_{Q}} g D {\displaystyle g_{D}}
g D = d I d V | Q = I s n ⋅ V T e V Q n ⋅ V T ≈ I Q n ⋅ V T {\displaystyle g_{D}=\left.{\frac {dI}{dV}}\right|_{Q}={\frac {I_{s}}{n\cdot V_{\text{T}}}}e^{\frac {V_{Q}}{n\cdot V_{\text{T}}}}\approx {\frac {I_{Q}}{n\cdot V_{\text{T}}}}} 。 後者の近似では、バイアス電流が 十分に大きく、ショックレー・ダイオードの式の括弧内の係数1を無視できると仮定しています。この近似は、 300 Kでの 熱電圧が 大きくなる傾向があるため、比較的低い電圧でも正確であり、指数関数が非常に大きくなります。 I Q {\displaystyle I_{Q}} V T ≈ 25 mV {\displaystyle V_{\text{T}}\approx 25\,{\text{mV}}} V Q / V T {\displaystyle V_{Q}/V_{\text{T}}}
小信号抵抗は 先ほど求めた小信号コンダクタンスの逆数であることに注意すると、ダイオード抵抗は交流電流とは無関係ですが、直流電流に依存し、次のように表されます。 r D {\displaystyle r_{D}}
r D = n ⋅ V T I Q {\displaystyle r_{D}={\frac {n\cdot V_{\text{T}}}{I_{Q}}}} 。
キャパシタンス ダイオードに流れる電流の電荷 は、 I Q {\displaystyle I_{Q}}
Q = I Q τ F + Q J {\displaystyle Q=I_{Q}\tau _{F}+Q_{J}} 、 ここで 、電荷キャリアの順方向走行時間です。 [6] 電荷の最初の項は、電流が 流れているときにダイオードを通過する電荷です。2番目の項は、接合部を単純な コンデンサ 、つまり互いに反対の電荷を持つ一対の電極と見なしたときに、接合部自体に蓄積される電荷です。これは、ダイオードに流れる電流に関係なく、ダイオードに電圧がかかっているだけで蓄積される電荷です。 τ F {\displaystyle \tau _{F}} I Q {\displaystyle I_{Q}}
以前と同様に、ダイオードの静電容量はダイオードの電圧によるダイオードの電荷の変化です。
C D = d Q d V Q = d I Q d V Q τ F + d Q J d V Q ≈ I Q V T τ F + C J {\displaystyle C_{D}={\frac {dQ}{dV_{Q}}}={\frac {dI_{Q}}{dV_{Q}}}\tau _{F}+{\frac {dQ_{J}}{dV_{Q}}}\approx {\frac {I_{Q}}{V_{\text{T}}}}\tau _{F}+C_{J}} 、 ここで は接合容量であり、最初の項は 接合部を拡散する電流に関連しているため、 拡散容量と呼ばれます。 C J = d Q J d V Q {\displaystyle C_{J}={\frac {dQ_{J}}{dV_{Q}}}}
温度による順方向電圧の変化 ショックレー・ダイオードの式は の指数関数を持つため 、温度とともに順方向電圧が増加すると予想されます。しかし、実際にはそうではありません。温度が上昇すると飽和電流が 増加し、この効果が支配的になります。そのため、ダイオードの温度が 上昇 するにつれて、（所定の電流値に対する）順方向電圧は 減少します 。 V D / ( k T / q ) {\displaystyle V_{D}/(kT/q)} I S {\displaystyle I_{S}}
1N4005シリコンダイオードを用いた詳細な実験データ [7] は、このことを示しています。実際、一部のシリコンダイオードは温度センサーとして利用されており、例えばOMEGAのCY7シリーズは、 液体窒素 （77 K） 中では順方向電圧が1.02 V 、 室温では 0.54 V、 100 °Cでは0.29 Vです。 [8]
さらに、材料パラメータであるバンドギャップは温度によってわずかに変化します。LEDの場合、このバンドギャップの変化によって色も変化します。冷却すると、スペクトルの青色側へと移動します。
ダイオードの順方向電圧は温度が上昇すると低下するため、 バイポーラ トランジスタ回路に並列接続すると、電流が集中して 熱暴走を引き起こす可能性があります ( BJT のベース エミッタ接合はダイオードとして機能するため)。この場合、ベース エミッタ順方向電圧の低下によりコレクタの電力消費が増加し、必要なベース エミッタ順方向電圧がさらに低下します。
参照
参考文献 ^ B. Van Zeghbroeck (2011). 「PN接合：実PNダイオードのIV特性」。2021年6月15日時点のオリジナルよりアーカイブ。 2020年11月2日 閲覧 。 ^ . Popadic, Miloš; Lorito, Gianpaolo; Nanver, Lis K. (2009). 「任意の浅いpn接合のI-V特性の解析モデル」. IEEE Transactions on Electron Devices . 56 (1): 116– 125. Bibcode :2009ITED...56..116P. doi :10.1109/TED.2008.2009028. ^ Banwell, TC; Jayakumar, A. (2000). 「直列抵抗を持つダイオードを流れる電流の正確な解析解」. Electronics Letters . 36 (4): 291. Bibcode :2000ElL....36..291B. doi :10.1049/el:20000301. ^ AS SedraとKC Smith (2004). Microelectronic Circuits (Fifth ed.). New York: Oxford. Example 3.4 p. 154. ISBN 978-0-19-514251-8 。 ^ Kal, Santiram (2004). 「第2章」. 『基礎エレクトロニクス：デバイス、回路、ITの基礎』 （第2.5節：PN接合ダイオードの回路モデル、編）. Prentice-Hall of India Pvt.Ltd. ISBN 978-81-203-1952-3 。 ^ ab RC Jaeger、T.N. Blalock (2004). Microelectronic Circuit Design (第2版). McGraw-Hill. ISBN 978-0-07-232099-2 。 ^ 「1n400xダイオードファミリーの順方向電圧」 www.cliftonlaboratories.com . Clifton Laboratories. 2009年4月14日. 2013年9月6日時点のオリジナルよりアーカイブ 。 2019年2月10日 閲覧。 ^ http://www.omega.com/Temperature/pdf/CY7.pdf データシート 
