直接製品

Generalization of the Cartesian product

数学において、既知のオブジェクトの直積は、しばしば新たな直積を与えることによって定義できる。これは、寄与するオブジェクトの直積から、基礎となる集合の直積に構造を誘導する。圏論的積は、圏論の文脈においてこれらの概念を抽象化したものである。

例としては、集合、群（後述）、環、その他の代数構造の積が挙げられます。位相空間の積も別の例です。

直和は、直積と一致する場合もありますが、すべての場合に一致するわけではありません。

例

• をそれ以上の構造を持たない実数の集合として考えると、直積は単に直積である。 ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} \times \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \{(x,y):x,y\in \mathbb {R} \}.}$
• を加法のもとでの実数群と考えると、直積は依然としてその基礎集合として持つ。これと前例との違いは、 が群になったため、その要素をどのように加算するかも明示する必要がある点である。これは次のように定義される。 ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} \times \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \{(x,y):x,y\in \mathbb {R} \}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} \times \mathbb {R} }$ ${\displaystyle (a,b)+(c,d)=(a+c,b+d).}$
• を実数環と考えると、直積は再びその基礎集合となる。環構造は、によって定義される加法と、によって定義される乗法から構成される。 ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} \times \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \{(x,y):x,y\in \mathbb {R} \}}$ ${\displaystyle (a,b)+(c,d)=(a+c,b+d)}$ ${\displaystyle (a,b)(c,d)=(ac,bd).}$
• 環は体ですが、非ゼロ元には逆元がないので ではありません。 ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} \times \mathbb {R} }$ ${\displaystyle (1,0)}$

同様に、有限個の代数構造の直積についても論じることができる。例えば、は、同型性まで結合的であることに依存している。つまり、同種の任意の代数構造と に対してである。また、同型性 まで可換的であることも、同型性 まで可換であることに依存する。つまり、同種の任意の代数構造とに対してである。無限個の代数構造の直積についても論じることができる。例えば、 の可算個数の直積は、次のように書ける。 ${\displaystyle \mathbb {R} \times \mathbb {R} \times \mathbb {R} \times \mathbb {R} .}$ ${\displaystyle (A\times B)\times C\cong A\times (B\times C)}$ ${\displaystyle A,}$ ${\displaystyle B,}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle A\times B\cong B\times A}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ,}$ ${\displaystyle \mathbb {R} \times \mathbb {R} \times \mathbb {R} \times \dotsb .}$

グループの直積

群論では、2つの群の直積を定義し、次のように表記することができます。加法的に記述されるアーベル群の場合、これは2つの群の直和とも呼ばれ、次のように表記されます。 ${\displaystyle (G,\circ )}$ ${\displaystyle (H,\cdot ),}$ ${\displaystyle G\times H.}$ ${\displaystyle G\oplus H.}$

次のように定義されます。

• 新しい群の元の集合は、次の群の元の集合の直積である。 ${\displaystyle G{\text{ and }}H,}$ ${\displaystyle \{(g,h):g\in G,h\in H\};}$
• これらの要素に、要素ごとに定義された演算を実行します。 $${\displaystyle (g,h)\times \left(g',h'\right)=\left(g\circ g',h\cdot h'\right)}$$

同じかもしれないことに注意してください ${\displaystyle (G,\circ )}$ ${\displaystyle (H,\cdot ).}$

この構成により、 （形式 の要素によって与えられる）と同型の正規部分群と（要素 を含む） と同型の正規部分群を持つ新しい群が得られます。 ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle (g,1)}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle (1,h)}$

認識定理においては逆も成り立つ。群が2つの正規部分群を含み、かつの共通部分が恒等部分群のみを含む場合、 はと同型である。これらの条件を緩和し、正規部分群が1つだけであればよいとすると、半直積 が得られる。 ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle G{\text{ and }}H,}$ ${\displaystyle K=GH}$ ${\displaystyle G{\text{ and }}H}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle G\times H.}$

例えば、位数2の一意な（同型を除いて）群の2つのコピーとして、とすると、要素ごとに演算を行う。例えば、 ${\displaystyle G{\text{ and }}H}$ ${\displaystyle C^{2}:}$ ${\displaystyle \{1,a\}{\text{ and }}\{1,b\}.}$ ${\displaystyle C_{2}\times C_{2}=\{(1,1),(1,b),(a,1),(a,b)\},}$ ${\displaystyle (1,b)^{*}(a,1)=\left(1^{*}a,b^{*}1\right)=(a,b),}$ ${\displaystyle (1,b)^{*}(1,b)=\left(1,b^{2}\right)=(1,1).}$

直積を用いると、いくつかの自然な群準同型が無料で得られます。 によって定義される射影マップは座標関数と呼ばれます。 $${\displaystyle {\begin{aligned}\pi _{1}:G\times H\to G,\ \ \pi _{1}(g,h)&=g\\\pi _{2}:G\times H\to H,\ \ \pi _{2}(g,h)&=h\end{aligned}}}$$

また、直積への準同型性は、その成分関数によって完全に決定される。 ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f_{i}=\pi _{i}\circ f.}$

任意の群と任意の整数に対して直積を繰り返し適用すると、すべての-組の群が得られます（これは自明な群です）。たとえば、 ${\displaystyle (G,\circ )}$ ${\displaystyle n\geq 0,}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle G^{n}}$ ${\displaystyle n=0,}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} ^{n}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}.}$

モジュールの直積

加群の直積（テンソル積と混同しないように）は、加法を成分ごとに行い、スカラー乗法をすべての成分に分配する直積を用いることで、上で定義した群の直積と非常によく似ている。 から出発して、実数次元ベクトル空間の典型的な例であるユークリッド空間が得られる。との直積は ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{m}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{m+n}.}$

有限添字の直積は直和と正準同型である。直和の要素が有限個を除いてすべてゼロとなる無限添字については、直和と直積は同型ではない。これらは圏論の意味で双対である。すなわち、直和は余積であり、直積は積である。 ${\textstyle \prod _{i=1}^{n}X_{i}}$ ${\textstyle \bigoplus _{i=1}^{n}X_{i}.}$

例えば、 とは実数の無限直積および直和である。有限個の非零元を持つ数列のみが に含まれる。例えば、は に含まれるが はではない。どちらの数列も の直積に含まれる。実際、は の真部分集合である（つまり）。^{[1] [2]} ${\textstyle X=\prod _{i=1}^{\infty }\mathbb {R} }$ ${\textstyle Y=\bigoplus _{i=1}^{\infty }\mathbb {R} ,}$ ${\displaystyle Y.}$ ${\displaystyle (1,0,0,0,\ldots )}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle (1,1,1,1,\ldots )}$ ${\displaystyle X;}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y\subset X}$

位相空間直積

あるインデックス集合における位相空間 の集合の直積は、再び直積を利用する。 ${\displaystyle X_{i}}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle I,}$ $${\displaystyle \prod _{i\in I}X_{i}.}$$

位相を定義するのは少し難しい。有限個の因子の場合、それは明白で自然なやり方である。つまり、各因子の開集合のすべての直積の集合を開集合の基底としてとればよい。 $${\displaystyle {\mathcal {B}}=\left\{U_{1}\times \cdots \times U_{n}\ :\ U_{i}\ \mathrm {open\ in} \ X_{i}\right\}.}$$

この位相は積位相と呼ばれます。例えば、 （開区間の互いに素な和集合）の開集合によって上の積位相を直接定義すると、その位相の基底は平面上の開長方形の互いに素な和集合すべてから構成されます（結果として、これは通常の計量位相と一致することになります）。 ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$

無限積の積位相にはひねりがあり、これは、すべての射影写像を連続にすることができ、かつ、積のすべての関数を連続にすることができるのは、そのすべての成分関数が連続である場合（つまり、積の圏論的定義を満たすため：ここでの射影は連続関数である）に限るという点に関係している。開集合の基底は、前述のように、各因子からの開部分集合のすべての直積の集合とされるが、有限個を除くすべての開部分集合が因子全体となるという条件が課される。 $${\displaystyle {\mathcal {B}}=\left\{\prod _{i\in I}U_{i}\ :\ (\exists j_{1},\ldots ,j_{n})(U_{j_{i}}\ \mathrm {open\ in} \ X_{j_{i}})\ \mathrm {and} \ (\forall i\neq j_{1},\ldots ,j_{n})(U_{i}=X_{i})\right\}.}$$

この場合、より自然な位相は、前述のように無限個の開集合の積をとることであり、これはやや興味深い位相、すなわちボックス位相を生み出す。しかし、連続成分関数の束でありながら積関数が連続ではない例を見つけるのはそれほど難しくない（例などについては、別項ボックス位相を参照）。このねじれが必要となる問題は、位相の定義において、開集合の交差が有限個の集合に対してのみ開であることが保証されているという事実に究極的に起因する。

積（積位相を持つ）は、その因子の性質を保存するという点で良好である。例えば、ハウスドルフ空間の積はハウスドルフであり、連結空間の積は連結であり、コンパクト空間の積はコンパクトである。最後のコンパクト空間の積はティコノフの定理と呼ばれ、選択公理と同値である。

その他のプロパティと同等の定式化については、製品トポロジを参照してください。

二項関係の直積

二項関係 を持つ2つの集合の直積を と定義する。 が反射的、非反射的、推移的、対称的、反対称的のいずれかである場合、も となる。^[3]同様に、の全体性は から継承される。の性質が組み合わされている場合、 が前順序関係であることと同値関係であることにも適用される。ただし、が連結関係である場合、は連結されている必要はない。例えば、との直積はそれ自体とは関係がない。 ${\displaystyle R{\text{ and }}S,}$ ${\displaystyle (a,b)T(c,d)}$ ${\displaystyle aRc{\text{ and }}bSd.}$ ${\displaystyle R{\text{ and }}S}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle R{\text{ and }}S.}$ ${\displaystyle R{\text{ and }}S}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle \,\leq \,}$ ${\displaystyle \mathbb {N} }$ ${\displaystyle (1,2){\text{ and }}(2,1).}$

普遍代数における直積

が固定の署名、が任意の（おそらく無限の）インデックス セット、がインデックス付き代数族である場合、直積は次のように定義される代数です。 ${\displaystyle \Sigma }$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle \left(\mathbf {A} _{i}\right)_{i\in I}}$ ${\displaystyle \Sigma }$ ${\textstyle \mathbf {A} =\prod _{i\in I}\mathbf {A} _{i}}$ ${\displaystyle \Sigma }$

• の宇宙集合は、正式には の宇宙集合の直積です。 ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \mathbf {A} }$ ${\displaystyle A_{i}}$ ${\displaystyle \mathbf {A} _{i},}$ ${\textstyle A=\prod _{i\in I}A_{i}.}$
• 各項演算記号について、その解釈は成分ごとに形式的に定義される。すべてのおよび各項について、の 番目の成分は次のように定義される。 ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle f\in \Sigma ,}$ ${\displaystyle f^{\mathbf {A} }}$ ${\displaystyle \mathbf {A} }$ ${\displaystyle a_{1},\dotsc ,a_{n}\in A}$ ${\displaystyle i\in I,}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle f^{\mathbf {A} }\!\left(a_{1},\dotsc ,a_{n}\right)}$ ${\displaystyle f^{\mathbf {A} _{i}}\!\left(a_{1}(i),\dotsc ,a_{n}(i)\right).}$

それぞれに対して番目の射影は次のように定義される。これは代数間の射影準同型である^[4] ${\displaystyle i\in I,}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle \pi _{i}:A\to A_{i}}$ ${\displaystyle \pi _{i}(a)=a(i).}$ ${\displaystyle \Sigma }$ ${\displaystyle \mathbf {A} {\text{ and }}\mathbf {A} _{i}.}$

特殊なケースとして、インデックス セットの場合、 2 つの代数の直積が得られ、これは次のように表されます。2項演算を 1 つだけ含む場合は、上記のグループの直積の定義は、表記法を使用して得られます。同様に、モジュールの直積の定義もここに包含されます。 ${\displaystyle I=\{1,2\},}$ ${\displaystyle \Sigma }$ ${\displaystyle \mathbf {A} _{1}{\text{ and }}\mathbf {A} _{2}}$ ${\displaystyle \mathbf {A} =\mathbf {A} _{1}\times \mathbf {A} _{2}.}$ ${\displaystyle \Sigma }$ ${\displaystyle f,}$ ${\displaystyle A_{1}=G,A_{2}=H,}$ ${\displaystyle f^{A_{1}}=\circ ,\ f^{A_{2}}=\cdot ,\ {\text{ and }}f^{A}=\times .}$

カテゴリカル積

直積は任意のカテゴリに抽象化できます。カテゴリでは、集合 でインデックス付けされたオブジェクトのコレクションが与えられた場合、それらのオブジェクトの積は、すべての に対する射を伴うオブジェクトであり、 がすべての に対する射を伴う他の任意のオブジェクトである場合、任意の に対してとの合成が等しい唯一の射が存在します。このようなと は常に存在するとは限りません。もしそれらが存在する場合、 は同型性を除いて一意であり、 と表記されます。 ${\displaystyle (A_{i})_{i\in I}}$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle p_{i}\colon A\to A_{i}}$ ${\displaystyle i\in I}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle f_{i}\colon B\to A_{i}}$ ${\displaystyle i\in I}$ ${\displaystyle B\to A}$ ${\displaystyle p_{i}}$ ${\displaystyle f_{i}}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle (p_{i})_{i\in I}}$ ${\displaystyle (A,(p_{i})_{i\in I})}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \prod _{i\in I}A_{i}}$

群の圏の特殊なケースでは、積が常に存在する。 の基礎集合はの基礎集合の直積であり、群演算は成分ごとの乗算であり、(準)同型写像は各組をその 番目の座標に写す射影である。 ${\displaystyle \prod _{i\in I}A_{i}}$ ${\displaystyle A_{i}}$ ${\displaystyle p_{i}\colon A\to A_{i}}$ ${\displaystyle i}$

内部直接製品と外部直接製品

一部の著者は、内直積と外直積を区別しています。例えば、と が加法アーベル群の部分群で と となる場合、はとの内直積であると言われます。曖昧さを避けるため、この集合はとの外直積とも呼ばれます。 ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle A+B=G}$ ${\displaystyle A\cap B=\{0\}}$ ${\displaystyle A\times B\cong G,}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle \{\,(a,b)\mid a\in A,\,b\in B\,\}}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$

参照

• 直和 – 抽象代数におけるオブジェクトを「より複雑な」オブジェクトに合成する演算
• デカルト積 – 与えられた2つの集合から形成される数学的集合
• 共積 – 圏論的構成
• 無料製品 – グループを組み合わせる操作
• 半直積 – 群論における演算
• Zappa-Szep 積 – 数学の概念Pages displaying short descriptions of redirect targets
• グラフのテンソル積 – グラフ理論における演算
• 全順序集合の直積上の順序 – 全ての要素が比較可能な順序
• テンソル積とクロネッカー積も、より大きな空間を生成するために記号⊗を使用する。

注記

1. Weisstein, Eric W. 「Direct Product」. mathworld.wolfram.com . 2018年2月10日閲覧。
2. Weisstein, Eric W. 「Group Direct Product」. mathworld.wolfram.com . 2018年2月10日閲覧。
3. 「同値性と順序」（PDF） .
4. スタンレー・N・バリスとH・P・サンカッパナヴァール、1981年。『普遍代数学講座』 シュプリンガー・フェアラーク、 ISBN 3-540-90578-2. 参照: 定義7.8、53ページ（PDFでは67ページ）

参考文献

• ラング、セルジュ（2002）、代数学、大学院数学テキスト、第211巻（改訂第3版）、ニューヨーク：シュプリンガー・フェアラーク、ISBN 978-0-387-95385-4、MR  1878556

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