方向余弦

Cosines of the angles between a vector and the coordinate axes

解析幾何学において、ベクトルの方向余弦（または方向余弦）は、ベクトルと3つの正の座標軸との間の角度の余弦です。つまり、方向余弦は、基底の各成分がその方向の単位ベクトルに及ぼす寄与です。

3次元直交座標

ベクトルv ⁠ ⁠​ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$

単位ベクトルの方向余弦と方向角 ${\displaystyle {\tfrac {\mathbf {v} }{|\mathbf {v} |}}}$

vが3次元ユークリッド空間のユークリッドベクトルである場合、⁠ ⁠ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3},}$

$${\displaystyle \mathbf {v} =v_{x}\mathbf {e} _{x}+v_{y}\mathbf {e} _{y}+v_{z}\mathbf {e} _{z},}$$

ここで、 e _x、e _y、e _zは直交座標表記の標準基底であり、方向余弦は

$${\displaystyle {\begin{alignedat}{2}\alpha &{}=\cos a={\frac {\mathbf {v} \cdot \mathbf {e} _{x}}{\Vert \mathbf {v} \Vert }}&&{}={\frac {v_{x}}{\sqrt {v_{x}^{2}+v_{y}^{2}+v_{z}^{2}}}},\\\beta &{}=\cos b={\frac {\mathbf {v} \cdot \mathbf {e} _{y}}{\Vert \mathbf {v} \Vert }}&&{}={\frac {v_{y}}{\sqrt {v_{x}^{2}+v_{y}^{2}+v_{z}^{2}}}},\\\gamma &{}=\cos c={\frac {\mathbf {v} \cdot \mathbf {e} _{z}}{\Vert \mathbf {v} \Vert }}&&{}={\frac {v_{z}}{\sqrt {v_{x}^{2}+v_{y}^{2}+v_{z}^{2}}}}.\end{alignedat}}}$$

それぞれの式を2乗して結果を足し合わせると

$${\displaystyle \cos ^{2}a+\cos ^{2}b+\cos ^{2}c=\alpha ^{2}+\beta ^{2}+\gamma ^{2}=1.}$$

ここで、 α、β、γは単位ベクトル の方向余弦と直交座標であり、a、b、cはベクトルvの方向角です。 ${\displaystyle {\tfrac {\mathbf {v} }{|\mathbf {v} |}},}$

方向角a、b、cは鋭角または鈍角、つまり0 ≤ a ≤ π、0 ≤ b ≤ π、0 ≤ c ≤ πであり、 vと単位基底ベクトルe _x、e _y、e _zの間に形成される角度を表します。

一般的な意味

より一般的には、方向余弦とは、任意の2つのベクトル間の角度の余弦を指します。これは、ある直交基底ベクトルの集合を別の基底ベクトルの集合で表現する方向余弦行列を作成したり、既知のベクトルを異なる基底ベクトルで表現したりする際に役立ちます。簡単に言えば、方向余弦は、直交座標系におけるベクトルの方向を表す簡単な方法を提供します。

アプリケーション

2つのベクトル間の角度の決定

uとvの方向余弦がそれぞれ( α _u , β _u , γ _u )と( α _v , β _v , γ _v )で、それらの間の角度がθであるとする。それぞれの単位ベクトルはそれぞれである。 $${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {\hat {u}} &={\frac {u_{x}}{\rVert \mathbf {u} \lVert }}\mathbf {e} _{x}+{\frac {u_{y}}{\rVert \mathbf {u} \lVert }}\mathbf {e} _{y}+{\frac {u_{z}}{\rVert \mathbf {u} \lVert }}\mathbf {e} _{z}=\alpha _{u}\mathbf {e} _{x}+\beta _{u}\mathbf {e} _{y}+\gamma _{u}\mathbf {e} _{z}\\\mathbf {\hat {v}} &={\frac {v_{x}}{\rVert \mathbf {v} \lVert }}\mathbf {e} _{x}+{\frac {v_{y}}{\rVert \mathbf {v} \lVert }}\mathbf {e} _{y}+{\frac {v_{z}}{\rVert \mathbf {v} \lVert }}\mathbf {e} _{z}=\alpha _{v}\mathbf {e} _{x}+\beta _{v}\mathbf {e} _{y}+\gamma _{v}\mathbf {e} _{z}\\\end{aligned}}}$$

これら 2 つの単位ベクトルのスカラー積をとると、次のようになります。これら 2 つの単位ベクトルのスカラー積の幾何学的解釈は、 1 つのベクトルを別のベクトルに投影することと同等です。2 つの定義を結び付けると、次のようになります。 $${\displaystyle \mathbf {{\hat {u}}\cdot {\hat {v}}} =\alpha _{u}\alpha _{v}+\beta _{u}\beta _{v}+\gamma _{u}\gamma _{v}.}$$

${\displaystyle \alpha _{u}\alpha _{v}+\beta _{u}\beta _{v}+\gamma _{u}\gamma _{v}=\cos \theta }$

θには2つの選択肢があります（余弦は奇数であるため）。1つは鋭角、もう1つは両者の間の鈍角です。慣例的には鋭角を選択するため、スカラー積の絶対値を取ります。 $${\displaystyle \theta =\arccos \left(\left|\alpha _{u}\alpha _{v}+\beta _{u}\beta _{v}+\gamma _{u}\gamma _{v}\right|\right).}$$

参照

• 直交テンソル
• オイラー角

参考文献

• ワシントンDC、ケイ（1988年）。テンソル微積分。シャウムの概要。マグロウヒル。18 ～ 19ページ 。ISBN 0-07-033484-6。
• シュピーゲル氏、MR。リプシュッツ、S.スペルマン、D. (2009)。ベクトル解析。シャウムの概要（第 2 版）。マグロウヒル。 15、25ページ。ISBN 978-0-07-161545-7。
• ティルデスリー, JR (1975). エンジニアと応用科学者のためのテンソル解析入門. ロングマン. p. 5. ISBN 0-582-44355-5。
• Tang, KT (2006).エンジニアと科学者のための数学的手法. 第2巻. Springer. p. 13. ISBN 3-540-30268-9。
• ワイスタイン、エリック・W.「方向余弦」。MathWorld。

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