離散測定

ディラック測度を矢印の付いた直線で模式的に表したもの。ディラック測度は、点0を台とする離散測度である。0を含む任意の集合のディラック測度は1であり、0を含まない任意の集合のディラック測度は0である。

数学、より正確には測度論において、 実数直線 上の測度は、それが高々可算集合に集中している場合、ルベーグ測度に関して離散測度と呼ばれる。台は必ずしも離散集合である必要はない。幾何学的には、ルベーグ測度に関して実数直線上の離散測度は質点の集合である。

定義と特性

2つの（正の）σ有限測度 と可測空間が与えられる。が に関して離散的であるとは、に 最大可算な部分集合が存在し、その部分 集合が ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle \nu }$ ${\displaystyle (X,\Sigma )}$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle \nu }$ ${\displaystyle S\subset X}$ ${\displaystyle \Sigma }$

1. を持つすべてのシングルトン は測定可能（これは の任意の部分集合が測定可能であることを意味する） ${\displaystyle \{s\}}$ ${\displaystyle s\in S}$ ${\displaystyle S}$
2. ${\displaystyle \nu (S)=0\,}$
3. ${\displaystyle \mu (X\setminus S)=0.\,}$

上の測度が（ に関して）離散的であるとは、次の式が成り立つ場合のみである。 ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle (X,\Sigma )}$ ${\displaystyle \nu }$ ${\displaystyle \mu }$

${\displaystyle \mu =\sum _{i=1}^{\infty }a_{i}\delta _{s_{i}}}$

と定義される集合上のディラック測度 ${\displaystyle a_{i}\in \mathbb {R} _{>0}}$ ${\displaystyle \delta _{s_{i}}}$ ${\displaystyle S=\{s_{i}\}_{i\in \mathbb {N} }}$

${\displaystyle \delta _{s_{i}}(X)={\begin{cases}1&{\mbox{ if }}s_{i}\in X\\0&{\mbox{ if }}s_{i}\not \in X\\\end{cases}}}$

すべてのために。 ${\displaystyle i\in \mathbb {N} }$

符号付き測度の離散性の概念を定義することもできる。その場合、上記の条件2と3の代わりに、のすべての測定可能な部分集合上で がゼロであり、の測定可能な部分集合上で がゼロであることを求めるべきである^{[説明が必要]} ${\displaystyle \nu }$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle X\backslash S.}$

例R

実数直線上のルベーグ測定可能集合上に定義され、その値が である測度は、 （おそらく有限の）数列が存在するとき、離散的であると言われる。 ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle [0,\infty ]}$

${\displaystyle s_{1},s_{2},\dots \,}$

そういう

${\displaystyle \mu (\mathbb {R} \backslash \{s_{1},s_{2},\dots \})=0.}$

前のセクションの最初の 2 つの要件は、 がルベーグ測度である場合、実数直線のせいぜい可算な部分集合に対して常に満たされることに注意してください。 ${\displaystyle \nu }$

実数直線上の離散測度の最も単純な例はディラックのデルタ関数 で ある。 ${\displaystyle \delta .}$ ${\displaystyle \delta (\mathbb {R} \backslash \{0\})=0}$ ${\displaystyle \delta (\{0\})=1.}$

より一般的には、実数直線上の任意の離散測度は次の形をとることが証明できる。

${\displaystyle \mu =\sum _{i}a_{i}\delta _{s_{i}}}$

適切に選択された（おそらく有限の）実数列と、同じ長さの内の数列に対して。 ${\displaystyle s_{1},s_{2},\dots }$ ${\displaystyle a_{1},a_{2},\dots }$ ${\displaystyle [0,\infty ]}$

参照

• 孤立点 - 部分集合 S の点であり、その周囲に S の他の点が存在しない点
• ルベーグの分解定理
• シングルトン（数学）  – ちょうど1つの要素を持つ集合
• 特異な測定

参考文献

• 「なぜ離散的原子測度はディラック測度への分解を許さなければならないのか？さらに、『原子クラス』とは何なのか？」math.stackexchange.com 2022年2月24日
• Kurbatov, VG (1999).関数微分作用素と方程式. Kluwer Academic Publishers. ISBN 0-7923-5624-1。

外部リンク

• APテレキン（2001）[1994]、「離散測度」、数学百科事典、EMSプレス

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