Model of hyperbolic geometry
双曲平行線を持つポアンカレ円板 切頂三七角形タイル張り のポアンカレ円板モデル 。 幾何学 において 、 ポアンカレ円板モデルは 共形円板モデル とも呼ばれ 、すべての 点が 単位円板の 内側にあり 、 直線は 円板内に含まれる単位円に 直交する 円弧 か 、 単位円の 直径 である 2 次元双曲幾何学の モデルです。
ディスクモデルの向きを保存する等長変換群は、射影特殊ユニタリー群 PSU(1,1) 、すなわち特殊ユニタリー群 SU(1,1) をその中心 { I 、−I } で 割った値で与えられる。
クライン模型 および ポアンカレ半空間模型 とともに、この表現は エウジェニオ・ベルトラミ によって提唱され、 彼はこれらの模型を用いて双曲幾何学が ユークリッド幾何学 と 等価であることを示した。この表現は アンリ ・ポアンカレにちなんで名付けられている。 14年後、彼がこの表現を再発見したことが、ベルトラミの元の研究よりも広く知られるようになったためである。 [1]
ポアンカレ 球モデル は、幾何学の点が n 次元 単位球内にある 3 次元 または n 次元双曲幾何学の類似モデルです 。
歴史 ディスクモデルは、 ベルンハルト・リーマン が1854年の講義（1868年に出版）で初めて説明し、 エウジェニオ・ベルトラミ の1868年の論文に影響を与えました。 [2] アンリ・ポアンカレは、1882年に双曲型、放物型、楕円型関数を扱う際にこれを採用しましたが、 [3] 広く知られるようになったのは、ポアンカレが1905年に哲学論文「 科学と仮説」 で発表した後のことです。 [4] そこで彼は、現在ポアンカレディスクとして知られる世界を説明しています。この世界では空間はユークリッド空間ですが、そこに住む人々には双曲幾何学の公理を満たしているように見えます。
例えば、大きな球体に囲まれ、以下の法則に従う世界を想像してください。温度は均一ではなく、中心で最大となり、球体の円周に向かって徐々に低下し、円周で絶対 零度 となります。この温度の法則は次のとおりです。 球体の半径を 、 中心からの距離を とすると、絶対温度は に比例します 。さらに、この世界ではすべての物体が同じ 膨張係数 を 持つと仮定します。したがって、どの物体の線形膨張もその絶対温度に比例します。最後に、ある点から異なる温度の別の点に移動した物体は、瞬時に新しい環境と熱平衡状態にあると仮定します。…彼らが幾何学を構築するとすれば、それは私たちの幾何学、つまり不変の固体の運動を研究するものではなく、彼らが区別した位置の変化を研究するものであり、「非ユークリッド変位」であり、 これは…非ユークリッド幾何学 。そのため、そのような世界で教育を受けた私たちのような存在は、私たちと同じ幾何学を持つことはないだろう。」 [4] (pp.65-68) R {\displaystyle R} r {\displaystyle r} R 2 − r 2 {\displaystyle R^{2}-r^{2}}
ポアンカレの円板は、空間幾何学の選択は事実ではなく慣習であるという仮説の重要な証拠であり、特に ルドルフ・カルナップ [5] と ハンス・ライヘンバッハ [6] の影響力のある哲学的議論において重要な役割を果たした。
線と距離 3本の超平行 （双曲）直線 を持つポアンカレ円板 双曲 直線 または 測地線 は、ディスク内に含まれるユークリッド円の 、ディスクの境界に 直交するすべての弧と、ディスクのすべての直径で構成されます。
このモデルにおける距離は ケーリー・クライン計量 です。円板内部の 2つの異なる点 p と q が与えられたとき、それらを結ぶ唯一の双曲線線は、 2つの 理想的な点 a と b で境界と交差します。これらの点に、順に a 、 p 、 q 、 b 、つまり | aq | > | ap | かつ | pb | > | qb | となるようにラベルを付けます 。
p と q の間の双曲線距離 は [7]
d ( p , q ) = ln | a q | | p b | | a p | | q b | . {\displaystyle d(p,q)=\ln {\frac {\left|aq\right|\,\left|pb\right|}{\left|ap\right|\,\left|qb\right|}}.}
縦棒は、モデル内の点と点を結ぶ線分のユークリッド長さを示します（円弧に沿ったものではありません）。ln は 自然対数 です。
同様に、 u と vが通常のユークリッドノルムを持つ実 n 次元ベクトル空間 R n 上の2つのベクトルで 、両者のノルムが1未満である場合、 等長不変量を 次のように
定義できる。
δ ( u , v ) = 2 ‖ u − v ‖ 2 ( 1 − ‖ u ‖ 2 ) ( 1 − ‖ v ‖ 2 ) , {\displaystyle \delta (u,v)=2{\frac {\lVert u-v\rVert ^{2}}{(1-\lVert u\rVert ^{2})(1-\lVert v\rVert ^{2})}}\,,} ここで 、通常のユークリッドノルムを表す。距離関数は ‖ ⋅ ‖ {\displaystyle \lVert \cdot \rVert }
d ( u , v ) = arcosh ( 1 + δ ( u , v ) ) = 2 arsinh δ ( u , v ) 2 = 2 ln ‖ u − v ‖ + ‖ u ‖ 2 ‖ v ‖ 2 − 2 u ⋅ v + 1 ( 1 − ‖ u ‖ 2 ) ( 1 − ‖ v ‖ 2 ) . {\displaystyle {\begin{aligned}d(u,v)&=\operatorname {arcosh} (1+\delta (u,v))\\&=2\operatorname {arsinh} {\sqrt {\frac {\delta (u,v)}{2}}}\\\,&=2\ln {\frac {\lVert u-v\rVert +{\sqrt {\lVert u\rVert ^{2}\lVert v\rVert ^{2}-2u\cdot v+1}}}{\sqrt {(1-\lVert u\rVert ^{2})(1-\lVert v\rVert ^{2})}}}.\end{aligned}}} このような距離関数は、ノルムが1未満の任意の2つのベクトルに対して定義され、そのようなベクトルの集合を、定曲率-1の双曲空間のモデルである計量空間にする。このモデルは、双曲空間における2つの交差曲線間の角度が、モデルにおける角度と同じであるという共形性を持つ。
点の1つが原点であり、点間のユークリッド距離が r である場合に特化すると、双曲線距離は次のように表されます。 ここで、は 双曲線正接 の 逆双曲線関数 です 。2点が同じ半径上にあり、点が 原点と点の間にある場合 、それらの双曲線距離は次のように表されます。 これは、 の場合、前述の特殊なケースに帰着します 。 ln ( 1 + r 1 − r ) = 2 artanh r {\displaystyle \ln \left({\frac {1+r}{1-r}}\right)=2\operatorname {artanh} r} artanh {\displaystyle \operatorname {artanh} } x ′ = ( r ′ , θ ) {\displaystyle x'=(r',\theta )} x = ( r , θ ) {\displaystyle x=(r,\theta )} ln ( 1 + r 1 − r ⋅ 1 − r ′ 1 + r ′ ) = 2 ( artanh r − artanh r ′ ) . {\displaystyle \ln \left({\frac {1+r}{1-r}}\cdot {\frac {1-r'}{1+r'}}\right)=2(\operatorname {artanh} r-\operatorname {artanh} r').} r ′ = 0 {\displaystyle r'=0}
メトリックと曲率 双曲正二十面体ハニカム のポアンカレ「 球 」モデル図 、{3,5,3} ポアンカレ円板模型の 関連する 計量テンソルは [8]で与えられる。
d s 2 = 4 ∑ i d x i 2 ( 1 − ∑ i x i 2 ) 2 = 4 ‖ d x ‖ l 2 ( 1 − ‖ x ‖ l 2 ) 2 {\displaystyle ds^{2}=4{\frac {\sum _{i}dx_{i}^{2}}{\left(1-\sum _{i}x_{i}^{2}\right)^{2}}}={\frac {4\,\lVert d\mathbf {x} \rVert {\vphantom {l}}^{2}}{{\bigl (}1-\lVert \mathbf {x} \rVert {\vphantom {l}}^{2}{\bigr )}^{2}}}} ここで、 x i は周囲のユークリッド空間の直交座標です。（比較すると、単位球面の立体射影 の対応する計量の式は 、分母の符号の違いを除けば同等に見えます。）
このリーマン計量に関する直交座標系は次のように与えられる。
e i = 1 2 ( 1 − | x | 2 ) ∂ ∂ x i , {\displaystyle e_{i}={\frac {1}{2}}{\Bigl (}1-|\mathbf {x} |^{2}{\Bigr )}{\frac {\partial }{\partial x^{i}}},} 1-形式の双対コフレームを持つ
θ i = 2 1 − | x | l 2 d x i . {\displaystyle \theta ^{i}={\frac {2}{1-|\mathbf {x} |{\vphantom {l}}^{2}}}\,dx^{i}.}
2次元では 2次元では、これらのフレームとレヴィ・チヴィタ接続 に関して 、接続形式は、ねじれのない、つまり行列方程式を満たす、1形式の唯一の歪対称行列によって与えられる 。 この 方程式 を解くと 、 ω {\displaystyle \omega } 0 = d θ + ω ∧ θ {\displaystyle 0=d\theta +\omega \wedge \theta } ω {\displaystyle \omega }
ω = 2 ( y d x − x d y ) 1 − | x | l 2 ( 0 1 − 1 0 ) , {\displaystyle \omega ={\frac {2(y\,dx-x\,dy)}{1-|\mathbf {x} |{\vphantom {l}}^{2}}}{\begin{pmatrix}0&1\\-1&0\end{pmatrix}},} ここで曲率行列は
Ω = d ω + ω ∧ ω = d ω + 0 = − 4 d x ∧ d y ( 1 − | x | l 2 ) 2 ( 0 1 − 1 0 ) . {\displaystyle \Omega =d\omega +\omega \wedge \omega =d\omega +0={\frac {-4\,dx\wedge dy}{{\bigl (}1-|\mathbf {x} |{\vphantom {l}}^{2}{\bigr )}^{2}}}{\begin{pmatrix}0&1\\-1&0\end{pmatrix}}.} したがって、双曲円板の曲率は
K = Ω 2 1 ( e 1 , e 2 ) = − 1. {\displaystyle K=\Omega _{2}^{1}(e_{1},e_{2})=-1.}
線の構築
コンパスと定規で 境界円の直径上ではなく 、 2 点を通る唯一の双曲線は、次のように 作成 できます。 P {\displaystyle P} Q {\displaystyle Q}
点の境界円 における 反転 を P ′ {\displaystyle P'} P {\displaystyle P} 点の境界円における反転 を Q ′ {\displaystyle Q'} Q {\displaystyle Q} を 線分の 中点と する M {\displaystyle M} P P ′ {\displaystyle PP'} を線分の中点と する N {\displaystyle N} Q Q ′ {\displaystyle QQ'} 線分に 垂直な 線 を引く m {\displaystyle m} M {\displaystyle M} P P ′ {\displaystyle PP'} 線分に垂直な 線 を引く n {\displaystyle n} N {\displaystyle N} Q Q ′ {\displaystyle QQ'} 線 と線が交差するところを とします 。 C {\displaystyle C} m {\displaystyle m} n {\displaystyle n} 中心から (および) を通る 円を描きます 。 c {\displaystyle c} C {\displaystyle C} P {\displaystyle P} Q {\displaystyle Q} 円盤の内側にある円の部分 は双曲線です。 c {\displaystyle c} P と Q が境界円の直径上にある場合、その直径は双曲線になります。
別の方法は次のとおりです。
を 線分の 中点と する M {\displaystyle M} P Q {\displaystyle PQ} 線分に 垂直な 線分mを引く M {\displaystyle M} P Q {\displaystyle PQ} 点の境界円 における 反転 を P ′ {\displaystyle P'} P {\displaystyle P} を線分の中点と する N {\displaystyle N} P P ′ {\displaystyle PP'} 線分に垂直な 線 を引く n {\displaystyle n} N {\displaystyle N} P P ′ {\displaystyle PP'} 線 と線が交差するところを とします 。 C {\displaystyle C} m {\displaystyle m} n {\displaystyle n} 中心から (および) を通る 円を描きます 。 c {\displaystyle c} C {\displaystyle C} P {\displaystyle P} Q {\displaystyle Q} 円盤の内側にある円の部分 は双曲線です。 c {\displaystyle c}
解析幾何学により 解析幾何学 の基本的な構成は 、与えられた2点を通る直線を見つけることである。ポアンカレ円板モデルでは、平面上の直線は、以下の形式の方程式を持つ円の部分によって定義される。
x 2 + y 2 + a x + b y + 1 = 0 , {\displaystyle x^{2}+y^{2}+ax+by+1=0\,,} これは単位円に直交する円の一般的な形、あるいは直径によって表される。円板上の直径上にない2点 u = (u 1 ,u 2 ) と v = (v 1 ,v 2 ) が与えられたとき、この形の円を解くと、両点を通る円が得られる。
x 2 + y 2 + u 2 ( v 1 2 + v 2 2 + 1 ) − v 2 ( u 1 2 + u 2 2 + 1 ) u 1 v 2 − u 2 v 1 x + v 1 ( u 1 2 + u 2 2 + 1 ) − u 1 ( v 1 2 + v 2 2 + 1 ) u 1 v 2 − u 2 v 1 y + 1 = 0 . {\displaystyle {\begin{aligned}x^{2}+y^{2}&{}+{\frac {u_{2}(v_{1}^{2}+v_{2}^{2}+1)-v_{2}(u_{1}^{2}+u_{2}^{2}+1)}{u_{1}v_{2}-u_{2}v_{1}}}x\\[8pt]&{}+{\frac {v_{1}(u_{1}^{2}+u_{2}^{2}+1)-u_{1}(v_{1}^{2}+v_{2}^{2}+1)}{u_{1}v_{2}-u_{2}v_{1}}}y+1=0\,.\end{aligned}}} 点 u と vが 円板の境界上の点であり、直径の端点に位置していない場合、上記の式は次のように簡略化される。
x 2 + y 2 + 2 ( u 2 − v 2 ) u 1 v 2 − u 2 v 1 x + 2 ( v 1 − u 1 ) u 1 v 2 − u 2 v 1 y + 1 = 0 . {\displaystyle x^{2}+y^{2}+{\frac {2(u_{2}-v_{2})}{u_{1}v_{2}-u_{2}v_{1}}}x+{\frac {2(v_{1}-u_{1})}{u_{1}v_{2}-u_{2}v_{1}}}y+1=0\,.}
角度 単位ベクトルu と v を端点（ 理想点 ）とする 円弧 と、端点が s と t である円弧との間の角度は 、公式を用いて計算できます。クライン模型とポアンカレ円板模型では理想点が同じなので、それぞれの模型で計算式は同一です。
両方のモデルの線が直径で、 v = − u かつ t = − s となる場合 、単に2つの単位ベクトル間の角度を求めているだけであり、角度θの式は次のようになる。
cos ( θ ) = u ⋅ s . {\displaystyle \cos(\theta )=u\cdot s\,.} v = − u だが t = − s ではない場合 、式は ウェッジ積 （ ）を用いて次のように表される。 ∧ {\displaystyle \wedge }
cos 2 ( θ ) = P 2 Q R , {\displaystyle \cos ^{2}(\theta )={\frac {P^{2}}{QR}},} どこ
P = u ⋅ ( s − t ) , {\displaystyle P=u\cdot (s-t)\,,} Q = u ⋅ u , {\displaystyle Q=u\cdot u\,,} R = ( s − t ) ⋅ ( s − t ) − ( s ∧ t ) ⋅ ( s ∧ t ) . {\displaystyle R=(s-t)\cdot (s-t)-(s\wedge t)\cdot (s\wedge t)\,.} 両方の弦が直径でない場合は、一般式は次のようになる。
cos 2 ( θ ) = P 2 Q R , {\displaystyle \cos ^{2}(\theta )={\frac {P^{2}}{QR}}\,,} どこ
P = ( u − v ) ⋅ ( s − t ) − ( u ∧ v ) ⋅ ( s ∧ t ) , {\displaystyle P=(u-v)\cdot (s-t)-(u\wedge v)\cdot (s\wedge t)\,,} Q = ( u − v ) ⋅ ( u − v ) − ( u ∧ v ) ⋅ ( u ∧ v ) , {\displaystyle Q=(u-v)\cdot (u-v)-(u\wedge v)\cdot (u\wedge v)\,,} R = ( s − t ) ⋅ ( s − t ) − ( s ∧ t ) ⋅ ( s ∧ t ) . {\displaystyle R=(s-t)\cdot (s-t)-(s\wedge t)\cdot (s\wedge t)\,.} ビネ・コーシー恒等式 とこれらが単位ベクトルであるという事実を用いて、上記の式を純粋に ドット積 で書き直すと 、
P = ( u − v ) ⋅ ( s − t ) + ( u ⋅ t ) ( v ⋅ s ) − ( u ⋅ s ) ( v ⋅ t ) . {\displaystyle P=(u-v)\cdot (s-t)+(u\cdot t)(v\cdot s)-(u\cdot s)(v\cdot t)\,.} Q = ( 1 − u ⋅ v ) 2 , {\displaystyle Q=(1-u\cdot v)^{2}\,,} R = ( 1 − s ⋅ t ) 2 . {\displaystyle R=(1-s\cdot t)^{2}\,.}
サイクル ユークリッド平面では、 一般化された円 （曲率一定曲線）は直線と円です。球面上では 、 大円と小円 です。双曲平面では、一般化された円または 円環 には4つの異なる種類があります 。円、ホロサイクル、ハイパーサイクル、測地線（または「双曲線」）です。ポアンカレ円板モデルでは、これらすべてが直線または円で表されます。
ユークリッド円:
円板の内側に完全に収まっている円は 双曲円 です。 円板の内側にあり、境界に接する円は ホロサイクル です。 境界線と直交する直線 は 双曲線 であり 、 境界と非直交に交差する曲線は 超周期曲線 である。 境界円の ユークリッド 弦:
中心を通る直線は双曲線であり、 中心を通らないものはハイパーサイクルです。
サークル 円（平面上の点から与えられた距離にあるすべての点の集合、つまり円の中心）は、円板 の 境界に接したり交差したりすることなく、円板の内側に完全に収まる円です。このモデルにおける円の双曲中心は、一般に円のユークリッド中心とは一致しませんが、ポアンカレ円板の同じ半径上にあります。（ユークリッド中心は常に双曲中心よりも円板の中心に近いです。）
ハイパーサイクル ハイパー サイクル （平面上の点のうち、与えられた直線（軸）から片側かつ与えられた距離にあるすべての点の集合）とは、境界円のユークリッド円弧または弦であり、境界円と正の角度で交わるが直角ではない角度を持つ 。その軸は、同じ2つの 理想点 を共有する双曲線である 。これは等距離曲線とも呼ばれる。
ホロサイクル ポアンカレ円板モデルにおける青いホロサイクルといくつかの赤い法線。法線は上側中心 イデアル点 に漸近収束する。 ホロ サイクル （ 法線 または 垂直 測地線が 極限平行線 であり、すべてが漸近的に同一の 理想点 に収束する曲線）は、円板内部の円であり、円板の境界円に接する。境界円に接する点はホロサイクルの一部ではない。その点は理想点であり、ホロサイクルの双曲中心である。また、すべての垂直測地線が収束する点でもある。
ポアンカレ円板モデルでは、ホロサイクルの両端を表すユークリッド点は境界円上で中心に収束しますが、双曲平面ではホロサイクルの各点は中心から無限に離れており、ホロサイクルの両端は接続されていません。（モデルのスケールが境界円で無限に増加するため、ユークリッドの直感は誤解を招く可能性があります。）
双曲幾何学の他のモデルとの関係 ポアンカレ円板モデル（線 P ）と他の モデルとの関係
クラインディスクモデルとの関係 ベルトラミ ・クラインモデル （またはクライン円板モデル）とポアンカレ円板はどちらも、双曲面全体を 円板 に投影するモデルです。この2つのモデルは、 半球モデル への、または半球モデルからの投影によって 関連しています 。クライン円板モデルは 半球モデルへの 正射影であり、ポアンカレ円板モデルは 立体射影 です。
クライン円板モデルの利点は、このモデル内の直線がユークリッド直線 弦 であることです。欠点は、クライン円板モデルが 共形で はない（円と角度が歪んでいる）ことです。
両モデルの同じ線を 1 つのディスク上に投影すると、両方の線は同じ 2 つの 理想点 を通過します(理想点は同じ場所にあります)。また、クラインのディスク モデルの弦の 極は、ポアンカレのディスク モデルの 弧 を含む円の中心です 。
ポアンカレ円板モデル内の 点 ( x , y ) は、クラインのモデル内の点にマッピングされます。 ( 2 x 1 + x 2 + y 2 , 2 y 1 + x 2 + y 2 ) {\textstyle \left({\frac {2x}{1+x^{2}+y^{2}}}\ ,\ {\frac {2y}{1+x^{2}+y^{2}}}\right)}
クラインのモデルにおける 点 ( x , y ) は、ポアンカレ円板のモデルでは にマッピングされます。 ( x 1 + 1 − x 2 − y 2 , y 1 + 1 − x 2 − y 2 ) {\textstyle \left({\frac {x}{1+{\sqrt {1-x^{2}-y^{2}}}}}\ ,\ \ {\frac {y}{1+{\sqrt {1-x^{2}-y^{2}}}}}\right)}
理想的な点 と式では 、点が固定されます。 x 2 + y 2 = 1 {\displaystyle x^{2}+y^{2}=1} x = x , y = y {\displaystyle x=x\ ,\ y=y}
がポアンカレ円板モデルの点を表す 1 未満のノルムのベクトルである 場合、対応するクライン円板モデルの点は次のように与えられます。 u {\displaystyle u} s = 2 u 1 + u ⋅ u . {\displaystyle s={\frac {2u}{1+u\cdot u}}.}
逆に、ベルトラミ・クラインモデルの点を表すノルムが1未満の ベクトルから、ポアンカレディスクモデルの対応する点は次のように与えられます。 s {\displaystyle s} u = s 1 + 1 − s ⋅ s = ( 1 − 1 − s ⋅ s ) s s ⋅ s . {\displaystyle u={\frac {s}{1+{\sqrt {1-s\cdot s}}}}={\frac {\left(1-{\sqrt {1-s\cdot s}}\right)s}{s\cdot s}}.}
ポアンカレ半平面モデルとの関係 ポアンカレ円板モデルと ポアンカレ半平面モデルは、 メビウス変換 によって関連付けられています 。 がポアンカレ円板モデルの点を表すノルムが1未満の複素数である場合、対応する 上半平面の点はケーリー変換 の逆変換によって与えられます 。 の下では 、点は に写像されます 。 u ∈ D {\displaystyle u\in \mathbb {D} } z ∈ H {\displaystyle z\in \mathbb {H} } C : H → D {\textstyle C:\mathbb {H} \to \mathbb {D} } C − 1 ( u ) = z = i 1 + u 1 − u . {\displaystyle C^{-1}(u)=z=i{\frac {1+u}{1-u}}.} C − 1 {\displaystyle C^{-1}} { 0 , 1 , − i , i } ∈ D {\displaystyle \{0,1,-i,i\}\in \mathbb {D} } { i , ∞ , 1 , − 1 } ∈ H {\displaystyle \{i,\infty ,1,-1\}\in \mathbb {H} }
実座標で言えば、ディスク モデル内の 点 ( x 、 y )は半平面モデル内の点にマッピングされます。 ( 2 x x 2 + ( 1 − y ) 2 , 1 − x 2 − y 2 x 2 + ( 1 − y ) 2 ) {\textstyle \left({\frac {2x}{x^{2}+(1-y)^{2}}}\ ,\ {\frac {1-x^{2}-y^{2}}{x^{2}+(1-y)^{2}}}\right)\,}
半平面モデル内の 点 ( x 、 y ) は、ディスク モデル内の点にマッピングされます。 ( 2 x x 2 + ( 1 + y ) 2 , x 2 + y 2 − 1 x 2 + ( 1 + y ) 2 ) {\textstyle \left({\frac {2x}{x^{2}+(1+y)^{2}}}\ ,\ {\frac {x^{2}+y^{2}-1}{x^{2}+(1+y)^{2}}}\right)\,}
双曲面モデルとの関係 ポアンカレ円板モデルは、ベルトラミ・クラインモデル と同様に、 双曲面モデルと 射影的 に関連付けられている。 双曲面モデルの上面上に 点 [ t , x 1 , ..., x n ] があり、それによって双曲面モデル内の点が定義されている場合、その点を [−1, 0, ..., 0] を通る直線と交差させることで、超平面t = 0 に射影することができる。その結果が、ポアンカレ円板モデルの対応する点である。
双曲面上の 直交座標 （ t 、 x i ）と平面上の
直交座標（ y i ）の場合、変換式は次のようになります。 y i = x i 1 + t {\displaystyle y_{i}={\frac {x_{i}}{1+t}}} ( t , x i ) = ( 1 + ∑ y i 2 , 2 y i ) 1 − ∑ y i 2 . {\displaystyle (t,x_{i})={\frac {\left(1+\sum {y_{i}^{2}},\,2y_{i}\right)}{1-\sum {y_{i}^{2}}}}\,.}
球と平面の間の 立体投影 の公式を比較します。
芸術的実現 MCエッシャー にインスピレーションを与えた （6,4,2）三角形の 双曲タイル MCエッシャーは、 無限を二次元平面上に表現するという概念を探求しました。 1956年頃、カナダの数学者 ハロルド・スコット・マクドナルド・コクセターとの議論がきっかけとなり、エッシャーは双曲平面を規則的に並べる 双曲タイル張り に興味を持ちました。エッシャーの木版画 「円の極限I～IV」 は1958年から1960年にかけて制作され、最後の作品は 1960年の 「円の極限IV：天国と地獄」です。 [9] ブルーノ・エルンストによると、最も優れた作品は 「円の極限III」 です。
ローグライク ゲームのHyperRogue では 、世界幾何学に双曲面を使用し、ポアンカレ ディスク モデルも使用します。
参照
参考文献 ^ ペンローズ、ロジャー（2004年） 『現実への道：宇宙の法則完全ガイド』 イギリス：ジョナサン・ケープ、p.45、 ISBN 0-224-04447-8 。 ^ ミルナー、ジョン・W.「双曲幾何学：最初の150年」アメリカ数学会報6巻1号（1982年）：9-24。
B. リーマン、「Ueber die Hypothesen welche der Geometrie zu Grunde liegen」、Abh。 KGウィス。ゲッティンゲン 13 (1854 年の就任演説より)。
エウジェニオ・ベルトラミ。 「Teoria Fondamentale degli spazii di curvaturacostante」、Annali di mat。さん。 II 2、232-255 (Op. Mat. 1、406-429; Ann. École Norm. Sup. 6 (1869)、345-375)。
^ ポアンカレ、H. (1882-12-01)。 「テオリ・デ・グループ・フクシアン」。 Acta Mathematica (フランス語)。 1 (1): 1–62 . 土井 : 10.1007/BF02592124 。 ISSN 1871-2509。 S2CID 120406828。 ^ ab ポアンカレ, アンリ (1905). 科学と仮説. ロバートス - トロント大学. ロンドン W. スコット. ^ Carus, AW; Friedman, Michael; Kienzler, Wolfgang; Richardson, Alan; Schlotter, Sven (2019-06-25). ルドルフ・カルナップ：初期著作集（ルドルフ・カルナップ全集第1巻）. オックスフォード大学出版局. ISBN 978-0-19-106526-2 。 ^ ライヘンバッハ、ハンス（2012年3月13日）『空間と時間の哲学』クーリエ社、 ISBN 978-0-486-13803-9 。 ^ Berger, Marcel (1987) [1977]. 「9.6 ポアンカレモデル」. Geometry II . Cole, M.; Levy, S. Springer訳. p. 339. ^ 「双曲幾何学のポアンカレ円板モデルとクライン円板モデルの計量テンソルの比較」 Stack Exchange . 2015年5月23日. ^ エッシャーの円極限探究
さらに読む James W. Anderson、 「双曲幾何学」 、第 2 版、Springer、2005 年。 エウジェニオ・ベルトラミ、 テオリア・フォンダメンタル・デグリ・スパジイ・ディ・カーヴァトゥーラ・ コスタンテ、アンナリ。 di Mat.、シリーズ II 2 (1868)、232–255。 ソール・スタール 『ポアンカレ半平面』 、ジョーンズ＆バートレット社、1993年。
外部リンク ウィキメディア・コモンズのポアンカレ円板モデルに関連するメディア 
![{\displaystyle {\begin{aligned}x^{2}+y^{2}&{}+{\frac {u_{2}(v_{1}^{2}+v_{2}^{2}+1)-v_{2}(u_{1}^{2}+u_{2}^{2}+1)}{u_{1}v_{2}-u_{2}v_{1}}}x\\[8pt]&{}+{\frac {v_{1}(u_{1}^{2}+u_{2}^{2}+1)-u_{1}(v_{1}^{2}+v_{2}^{2}+1)}{u_{1}v_{2}-u_{2}v_{1}}}y+1=0\,.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/16afa80f4b34b6bd195672537bd9b6844fad533c)
