変位演算子

Mathematical operator in quantum optics

光位相空間の量子力学の研究では、1つのモードの変位演算子は量子光学 におけるシフト演算子であり、

${\displaystyle {\hat {D}}(\alpha )=\exp \left(\alpha {\hat {a}}^{\dagger }-\alpha ^{\ast }{\hat {a}}\right)}$、

ここで、 は光位相空間における変位量、 はその変位の複素共役、 およびはそれぞれ下降演算子と上昇演算子です。 ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle \alpha ^{*}}$ ${\displaystyle {\hat {a}}}$ ${\displaystyle {\hat {a}}^{\dagger }}$

この演算子の名前は、位相空間における局在状態を大きさ だけ変位させる能力に由来しています。また、真空状態をコヒーレント状態に変位させることによっても作用します。具体的には、はコヒーレント状態であり、これは消滅（低下）演算子の固有状態です。この演算子は、1951年にリチャード・ファインマンとロイ・J・グラウバーによって独立に導入されました。^{[1] [2] [3]} ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle {\hat {D}}(\alpha )|0\rangle =|\alpha \rangle }$ ${\displaystyle |\alpha \rangle }$

プロパティ

変位演算子はユニタリ演算子であり、したがって に従う 。ここでは恒等演算子である。 であるため、変位演算子のエルミート共役は、大きさが反対の変位 ( ) としても解釈できる。この演算子をラダー演算子の相似変換に適用すると、それらの変位が得られる。 ${\displaystyle {\hat {D}}(\alpha ){\hat {D}}^{\dagger }(\alpha )={\hat {D}}^{\dagger }(\alpha ){\hat {D}}(\alpha )={\hat {1}}}$ ${\displaystyle {\hat {1}}}$ ${\displaystyle {\hat {D}}^{\dagger }(\alpha )={\hat {D}}(-\alpha )}$ ${\displaystyle -\alpha }$

${\displaystyle {\hat {D}}^{\dagger }(\alpha ){\hat {a}}{\hat {D}}(\alpha )={\hat {a}}+\alpha }$

${\displaystyle {\hat {D}}(\alpha ){\hat {a}}{\hat {D}}^{\dagger }(\alpha )={\hat {a}}-\alpha }$

2つの変位演算子の積は、位相係数を除いた総変位が2つの個々の変位の和となる別の変位演算子である。これは、ベイカー・キャンベル・ハウスドルフの式を用いることでわかる。

${\displaystyle e^{\alpha {\hat {a}}^{\dagger }-\alpha ^{*}{\hat {a}}}e^{\beta {\hat {a}}^{\dagger }-\beta ^{*}{\hat {a}}}=e^{(\alpha +\beta ){\hat {a}}^{\dagger }-(\beta ^{*}+\alpha ^{*}){\hat {a}}}e^{(\alpha \beta ^{*}-\alpha ^{*}\beta )/2}.}$

これは次のことを示しています:

${\displaystyle {\hat {D}}(\alpha ){\hat {D}}(\beta )=e^{(\alpha \beta ^{*}-\alpha ^{*}\beta )/2}{\hat {D}}(\alpha +\beta )}$

固有ケットに作用すると、位相因子は結果の状態の各項に現れ、物理的には無関係になります。^[4] ${\displaystyle e^{(\alpha \beta ^{*}-\alpha ^{*}\beta )/2}}$

さらに、編み込み関係につながる。

${\displaystyle {\hat {D}}(\alpha ){\hat {D}}(\beta )=e^{\alpha \beta ^{*}-\alpha ^{*}\beta }{\hat {D}}(\beta ){\hat {D}}(\alpha )}$

代替表現

Kermack–McCrea 恒等式 ( William Ogilvy KermackとWilliam McCreaにちなんで名付けられました) は、変位演算子を表現する 2 つの方法を提供します。

${\displaystyle {\hat {D}}(\alpha )=e^{-{\frac {1}{2}}|\alpha |^{2}}e^{+\alpha {\hat {a}}^{\dagger }}e^{-\alpha ^{*}{\hat {a}}}}$

${\displaystyle {\hat {D}}(\alpha )=e^{+{\frac {1}{2}}|\alpha |^{2}}e^{-\alpha ^{*}{\hat {a}}}e^{+\alpha {\hat {a}}^{\dagger }}}$

マルチモード変位

変位演算子は多モード変位にも一般化できる。多モード生成演算子は次のように定義できる。

${\displaystyle {\hat {A}}_{\psi }^{\dagger }=\int d\mathbf {k} \psi (\mathbf {k} ){\hat {a}}^{\dagger }(\mathbf {k} )}$、

ここでは波数ベクトルであり、その大きさはに従って周波数と関係している。この定義を用いると、マルチモード変位演算子は次のように書ける。 ${\displaystyle \mathbf {k} }$ ${\displaystyle \omega _{\mathbf {k} }}$ ${\displaystyle |\mathbf {k} |=\omega _{\mathbf {k} }/c}$

${\displaystyle {\hat {D}}_{\psi }(\alpha )=\exp \left(\alpha {\hat {A}}_{\psi }^{\dagger }-\alpha ^{\ast }{\hat {A}}_{\psi }\right)}$、

マルチモードコヒーレント状態を次のように定義する。

${\displaystyle |\alpha _{\psi }\rangle \equiv {\hat {D}}_{\psi }(\alpha )|0\rangle }$。

参照

• 光位相空間

参考文献

1. Dodonov, VV (2002). 「量子光学における『非古典的』状態：最初の75年間の『絞り込み』レビュー」Journal of Optics B: Quantum and Semiclassical Optics . 4 (1).
2. ファインマン, リチャード・P. (1951-10-01). 「量子電気力学への応用を持つ作用素計算」 .フィジカル・レビュー. 84 (1): 108– 128. doi :10.1103/PhysRev.84.108.
3. Glauber, Roy J. (1951-11-01). 「多重ボソン過程に関するいくつかのノート」 . Physical Review . 84 (3): 395– 400. doi :10.1103/PhysRev.84.395.
4. Christopher Gerry、Peter Knight著『量子光学入門』ケンブリッジ（イギリス）：ケンブリッジ大学出版局、2005年。

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