除数

Integer that is a factor of another integer

キュイゼネール棒で表された10の約数：1、2、5、10

数学において、整数の約数は因数とも呼ばれ、ある整数を掛けて^[1]を生成できる整数です。この場合、 はの倍数であるとも言われます。 が の約数である場合、その整数は別の整数で割り切れる、または割り切れます。つまり、で割ると余りが残りません。 ${\displaystyle n,}$ ${\displaystyle n,}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle n.}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle m.}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle m}$

意味

整数が 0以外の整数で割り切れるとは、次の整数が存在するときである。これは次のように表される。 ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle n=km.}$

${\displaystyle m\mid n.}$

これは、 がを割り切るか、が の約数であるか、が の倍数であるかと読むことができる。が割り切れない場合、表記は^{[2] [3]となる。} ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle n,}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle n,}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle n,}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle m.}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle n,}$ ${\displaystyle m\not \mid n.}$

ゼロが許可されるかどうかによって区別される 2 つの規則があります。 ${\displaystyle m}$

• 追加の制約のない規約では、すべての整数に対して^{[2] [3]} ${\displaystyle m,}$ ${\displaystyle m\mid 0}$ ${\displaystyle m.}$
• 0でない整数^{[4] [5]}に対して、0でない整数は0でないという規則に従って ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle m\mid 0}$ ${\displaystyle m.}$

一般的な

約数は正の数だけでなく負の数も含まれますが、多くの場合、正の数に限定されます。例えば、4の約数は1、2、4、-1、-2、-4の6つですが、通常は正の数（1、2、4）のみについて言及されます。

1と-1はすべての整数を割り切れます（すべての整数の約数です）。すべての整数（およびその否定）は、それ自身の約数です。2で割り切れる整数は偶数、2で割り切れない整数は奇数と呼ばれます。

1、−1、はの自明な約数として知られています。の約数で自明でないものは非自明な約数（または厳密な約数^[6]）として知られています。少なくとも1つの非自明な約数を持つ非ゼロの整数は合成数として知られていますが、単位-1 と 1 および素数には非自明な約数は存在しません。 ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle -n}$ ${\displaystyle n.}$ ${\displaystyle n}$

数の桁からその数の特定の約数を認識できるようにする割り算の規則があります。

例

1 から 1000 までの整数の約数のプロット。素数はちょうど 2 個の約数を持ち、合成数が多い数は太字で表示されます。

• 7 は 42 の約数なので、42 は 7 で割り切れる、42 は7 の倍数である、7 で 42 が割り切れる、7 は 42 の因数である、とも言えます。 ${\displaystyle 7\times 6=42,}$ ${\displaystyle 7\mid 42.}$
• 6 の非自明な約数は 2、-2、3、-3 です。
• 42 の正の約数は 1、2、3、6、7、14、21、42 です。
• 60 のすべての正の約数を部分的に割り切れる順に並べた集合は、ハッセ図を持つ。 ${\displaystyle A=\{1,2,3,4,5,6,10,12,15,20,30,60\},}$

さらなる概念と事実

基本的なルールがいくつかあります。

• であり、したがって、割り切れるかどうかは推移的な関係です。 ${\displaystyle a\mid b}$ ${\displaystyle b\mid c,}$ ${\displaystyle a\mid c;}$
• および の場合、または（つまり、およびは関連です。） ${\displaystyle a\mid b}$ ${\displaystyle b\mid a,}$ ${\displaystyle a=b}$ ${\displaystyle a=-b.}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle b}$
• およびが成り立つ場合、^[a]も成り立ちます。ただし、およびが常に成り立つとは限りません(たとえば、およびですが、5 は 6 を割り切れません)。 ${\displaystyle a\mid b}$ ${\displaystyle a\mid c,}$ ${\displaystyle a\mid (b+c)}$ ${\displaystyle a\mid (b-c).}$ ${\displaystyle a\mid b}$ ${\displaystyle c\mid b,}$ ${\displaystyle (a+c)\mid b}$ ${\displaystyle 2\mid 6}$ ${\displaystyle 3\mid 6}$
• ${\displaystyle a\mid b\iff ac\mid bc}$非ゼロの場合。これは と書くことで直ちに分かります。 ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle ka=b\iff kac=bc}$

ならば^[b]これはユークリッドの補題と呼ばれる。 ${\displaystyle a\mid bc,}$ ${\displaystyle \gcd(a,b)=1,}$ ${\displaystyle a\mid c.}$

が素数の場合、または ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle p\mid ab}$ ${\displaystyle p\mid a}$ ${\displaystyle p\mid b.}$

の正の約数で、異なるものは ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n}$真約数または約分する（例えば、6の真の約数は1、2、3である）。割り切れないが余りが残る数は、 ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n}$一部​ ${\displaystyle n.}$

1を唯一の真約数とする整数は素数と呼ばれます。同様に、素数とは、1とそれ自身という2つの正の因数を持つ正の整数です。 ${\displaystyle n>1}$

の任意の正の約数は、あるべき乗の素約数の積である。これは算術の基本定理の帰結である。 ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n}$

ある数がその約数の和に等しい場合、その数は完全数であると言われ、その約数の和がそれより小さい場合、その数は不足数であり、その和がそれを超える場合、その数は過剰数であると言われる。 ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n,}$ ${\displaystyle n.}$

の正の約数の総数は乗法関数であり、 2 つの数と が互いに素である場合、となります。たとえば、; 42 の 8 つの約数は 1、2、3、6、7、14、21、42 です。ただし、正の約数の数は完全に乗法関数ではありません。2 つの数と が共通の約数を共有する場合、 は正しくない可能性があります。の正の約数の和も乗法関数です(たとえば、 )。これらの関数はどちらも約数関数の例です。 ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle d(n),}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle d(mn)=d(m)\times d(n).}$ ${\displaystyle d(42)=8=2\times 2\times 2=d(2)\times d(3)\times d(7)}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle d(mn)=d(m)\times d(n).}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \sigma (n)}$ ${\displaystyle \sigma (42)=96=3\times 4\times 8=\sigma (2)\times \sigma (3)\times \sigma (7)=1+2+3+6+7+14+21+42}$

の素因数分解が次のように与えられるとすると ${\displaystyle n}$

${\displaystyle n=p_{1}^{\nu _{1}}\,p_{2}^{\nu _{2}}\cdots p_{k}^{\nu _{k}}}$

の正の約数の数は ${\displaystyle n}$

${\displaystyle d(n)=(\nu _{1}+1)(\nu _{2}+1)\cdots (\nu _{k}+1),}$

そして、それぞれの約数は

${\displaystyle p_{1}^{\mu _{1}}\,p_{2}^{\mu _{2}}\cdots p_{k}^{\mu _{k}}}$

それぞれについて ${\displaystyle 0\leq \mu _{i}\leq \nu _{i}}$ ${\displaystyle 1\leq i\leq k.}$

あらゆる自然 ${\displaystyle n,}$ ${\displaystyle d(n)<2{\sqrt {n}}.}$

また、^[7]

${\displaystyle d(1)+d(2)+\cdots +d(n)=n\ln n+(2\gamma -1)n+O({\sqrt {n}}),}$

ここで、 はオイラー・マスケローニ定数です。この結果の一つの解釈は、ランダムに選ばれた正の整数n の平均約数の個数は約 であるということです。しかし、これは「異常に多い」約数 を持つ数の寄与による結果です。 ${\displaystyle \gamma }$ ${\displaystyle \ln n.}$

抽象代数学では

環理論

分割格子

0 を約数として許容する定義においては、割り切れる関係により、非負整数の集合は完全分配格子となる半順序集合となる。この格子の最大元は 0 で、最小元は 1 である。結合演算∧は最大公約数によって与えられ、結合演算∨は最小公倍数によって与えられる。この格子は、無限巡回群Z の部分群の格子の双対と同型である。 ${\displaystyle \mathbb {N} }$

参照

• 算術関数
• ユークリッドの互除法
• 分数（数学）
• 整数因数分解
• 約数表– 1～1000の素数と非素数の約数表
• 素因数表– 1～1000までの素因数表
• ユニタリ除数

注記

1. 同様に、 ${\displaystyle a\mid b,\,a\mid c}$ ${\displaystyle \Rightarrow \exists j\colon ja=b,\,\exists k\colon ka=c}$ ${\displaystyle \Rightarrow \exists j,k\colon (j+k)a=b+c}$ ${\displaystyle \Rightarrow a\mid (b+c).}$ ${\displaystyle a\mid b,\,a\mid c}$ ${\displaystyle \Rightarrow \exists j\colon ja=b,\,\exists k\colon ka=c}$ ${\displaystyle \Rightarrow \exists j,k\colon (j-k)a=b-c}$ ${\displaystyle \Rightarrow a\mid (b-c).}$
2. は最大公約数を表します。 ${\displaystyle \gcd }$

引用

1. タントン 2005, p. 185
2. ハーディ＆ライト 1960年、1ページより
3. Niven、Zuckerman、Montgomery 1991、p.4より
4. シムズ 1984、42ページ
5. ダービン（2009）、57ページ、第3章第10節
6. 「FoCaLiZe と Dedukti が証明の相互運用性を救う」、Raphael Cauderlier と Catherine Dubois 著(PDF)。
7. ハーディ＆ライト 1960、p. 264、定理320

参考文献

• ダービン、ジョン・R. (2009). 現代代数学入門（第6版）. ニューヨーク: Wiley. ISBN 978-0470-38443-5。
• ガイ、リチャード・K.（2004）、数論における未解決問題（第3版）、シュプリンガー・フェアラーク、ISBN 0-387-20860-7; セクションB
• ハーディ, GH ; ライト, EM (1960). 『数論入門』（第4版）. オックスフォード大学出版局.
• Herstein, IN (1986), Abstract Algebra , New York: Macmillan Publishing Company, ISBN 0-02-353820-1
• ニーヴン、イヴァン、ザッカーマン、ハーバート・S、モンゴメリー、ヒュー・L (1991). 『数論入門』（第5版）. John Wiley & Sons . ISBN 0-471-62546-9。
• Øystein Ore、「数論とその歴史」、McGraw-Hill、NY、1944 年（および Dover 再版）。
• シムズ、チャールズ・C.（1984）、抽象代数：計算アプローチ、ニューヨーク：ジョン・ワイリー・アンド・サンズ、ISBN 0-471-09846-9
• タントン、ジェームズ（2005年）『数学百科事典』ニューヨーク：ファクト・オン・ファイル。ISBN 0-8160-5124-0. OCLC  56057904。

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