除数関数

Arithmetic function related to the divisors of an integer

約数関数σ ₀ ( n ) （ n  = 250まで）

シグマ関数σ ₁ ( n ) （ n  = 250まで）

約数の平方和σ ₂ ( n )、 n  = 250まで

約数の立方の合計、σ ₃ ( n )、 n  = 250まで

数学、特に数論において、約数関数（しゃくすうかん、英: divisor function）は、整数の約数に関する算術関数である。約数関数と呼ばれる場合、それは整数の約数の数（1と数自身を含む）を数える。約数関数は、リーマンゼータ関数やアイゼンシュタイン級数のモジュラー形式における関係など、多くの注目すべき恒等式に現れる。約数関数はラマヌジャンによって研究され、彼は多くの重要な合同式や恒等式を与えた。これらはラマヌジャンの和に関する記事で別途扱われている。

関連する関数として、除数合計関数があります。これは、名前が示すように、除数関数の合計です。

意味

実数または複素数zに対する正の約数の和関数 σ _z ( n ) は、 nの正の約数のz乗の和として定義されます。シグマ表記では次のように表すことができます。

${\displaystyle \sigma _{z}(n)=\sum _{d\mid n}d^{z}\,\!,}$

ここでは「 dはnを割る」の略記である。d ( n )、ν ( n )、τ ( n )（ドイツ語Teiler = 約数）という表記は_、σ0 ( n )、つまり約数関数^{[1] [2]}（OEIS : A000005）を表すのにも用いられる。zが1のとき、この関数はシグマ関数または約数和関数^{[1] [3]}と呼ばれ、添え字は省略されることが多いため、σ ( n )はσ1 ₍ n )（OEIS : A000203 ）と同じである。 ${\displaystyle {d\mid n}}$

nのアリコート和 s ( n )は真約数（つまり、n自身を除く約数、OEIS :A001065 ）の合計であり、σ1 ( n )  −nに等しい。nのアリコートシーケンスは_、アリコート和関数を繰り返し適用することによって形成される。

例

例えば、σ ₀ (12)は12の約数の個数です。

${\displaystyle {\begin{aligned}\sigma _{0}(12)&=1^{0}+2^{0}+3^{0}+4^{0}+6^{0}+12^{0}\\&=1+1+1+1+1+1=6,\end{aligned}}}$

σ ₁ (12)はすべての約数の合計です。

${\displaystyle {\begin{aligned}\sigma _{1}(12)&=1^{1}+2^{1}+3^{1}+4^{1}+6^{1}+12^{1}\\&=1+2+3+4+6+12=28,\end{aligned}}}$

そして真約数の約数和s(12)は次式で表される。

${\displaystyle {\begin{aligned}s(12)&=1^{1}+2^{1}+3^{1}+4^{1}+6^{1}\\&=1+2+3+4+6=16.\end{aligned}}}$

σ ₋₁ ( n ) はnの豊富さ指数と呼ばれることもあり、次の式が成り立ちます。

${\displaystyle {\begin{aligned}\sigma _{-1}(12)&=1^{-1}+2^{-1}+3^{-1}+4^{-1}+6^{-1}+12^{-1}\\[6pt]&={\tfrac {1}{1}}+{\tfrac {1}{2}}+{\tfrac {1}{3}}+{\tfrac {1}{4}}+{\tfrac {1}{6}}+{\tfrac {1}{12}}\\[6pt]&={\tfrac {12}{12}}+{\tfrac {6}{12}}+{\tfrac {4}{12}}+{\tfrac {3}{12}}+{\tfrac {2}{12}}+{\tfrac {1}{12}}\\[6pt]&={\tfrac {12+6+4+3+2+1}{12}}={\tfrac {28}{12}}={\tfrac {7}{3}}={\tfrac {\sigma _{1}(12)}{12}}\end{aligned}}}$

値の表

x = 2 から 5 のケースはOEIS : A001157からOEIS : A001160にリストされており、x = 6 から 24 のケースはOEIS : A013954からOEIS : A013972にリストされています。

n	素因数分解	𝜎 0 ( n )	𝜎 1 ( n )	𝜎 2 ( n )	𝜎 3 ( n )	𝜎 4 ( n )
1	1	1	1	1	1	1
2	2	2	3	5	9	17
3	3	2	4	10	28	82
4	2 2	3	7	21	73	273
5	5	2	6	26	126	626
6	2×3	4	12	50	252	1394
7	7	2	8	50	344	2402
8	2 3	4	15	85	585	4369
9	3 2	3	13	91	757	6643
10	2×5	4	18	130	1134	10642
11	11	2	12	122	1332	14642
12	2 2 ×3	6	28	210	2044	22386
13	13	2	14	170	2198	28562
14	2×7	4	24	250	3096	40834
15	3×5	4	24	260	3528	51332
16	2 4	5	31	341	4681	69905
17	17	2	18	290	4914	83522
18	2×3 2	6	39	455	6813	112931
19	19	2	20	362	6860	130322
20	2 2 ×5	6	42	546	9198	170898
21	3×7	4	32	500	9632	196964
22	2×11	4	36	610	11988	248914
23	23	2	24	530	12168	279842
24	2 3 ×3	8	60	850	16380	358258
25	5 2	3	31	651	15751	391251
26	2×13	4	42	850	19782	485554
27	3 3	4	40	820	20440	538084
28	2 2 ×7	6	56	1050	25112	655746
29	29	2	30	842	24390	707282
30	2×3×5	8	72	1300	31752	872644
31	31	2	32	962	29792	923522
32	2 5	6	63	1365	37449	1118481
33	3×11	4	48	1220	37296	1200644
34	2×17	4	54	1450	44226	1419874
35	5×7	4	48	1300	43344	1503652
36	2 2 ×3 2	9	91	1911	55261	1813539
37	37	2	38	1370	50654	1874162
38	2×19	4	60	1810	61740	2215474
39	3×13	4	56	1700	61544	2342084
40	2 3 ×5	8	90	2210	73710	2734994
41	41	2	42	1682	68922	2825762
42	2×3×7	8	96	2500	86688	3348388
43	43	2	44	1850	79508	3418802
44	2 2 ×11	6	84	2562	97236	3997266
45	3 2 ×5	6	78	2366	95382	4158518
46	2×23	4	72	2650	109512	4757314
47	47	2	48	2210	103824	4879682
48	2 4 ×3	10	124	3410	131068	5732210
49	7 2	3	57	2451	117993	5767203
50	2×5 2	6	93	3255	141759	6651267

プロパティ

素数の累乗の公式

素数 pに対して、

${\displaystyle {\begin{aligned}\sigma _{0}(p)&=2\\\sigma _{0}(p^{n})&=n+1\\\sigma _{1}(p)&=p+1\end{aligned}}}$

定義により、素数の因数は1とそれ自身であるからである。また、p _n # は原始数を表す。

${\displaystyle \sigma _{0}(p_{n}\#)=2^{n}}$

n個の素因数により、形成される各真約数に対してn個の項から2項（または1）を選択することができるためである。しかし、これらは一般に、約数の数が2のべき乗となる最小の数ではない。その代わりに、そのような最小の数は、指数が2のべき乗となる最初のn個のフェルミ・ディラック素数を掛け合わせることで得られる。 ^[4] ${\displaystyle p_{i}}$

明らかに、すべての に対してであり、すべての に対してです。 ${\displaystyle 1<\sigma _{0}(n)<n}$ ${\displaystyle n>2}$ ${\displaystyle \sigma _{x}(n)>n}$ ${\displaystyle n>1}$ ${\displaystyle x>0}$

除数関数は乗法関数です（積mnの各約数cはmの約数aとnの約数bに明確に対応しているため）が、完全に乗法関数ではありません。 ${\displaystyle \gcd(m,n)=1}$

${\displaystyle \gcd(a,b)=1\Longrightarrow \sigma _{x}(ab)=\sigma _{x}(a)\sigma _{x}(b).}$

この結果、次のように書くと、

${\displaystyle n=\prod _{i=1}^{r}p_{i}^{a_{i}}}$

ここで、r =  ω  ( n )はnの異なる素因数の数、pi_はi番目の素因数、ai_はnを割り切れるp _iの最大べき乗である。すると、次式が得られる。^[5]

${\displaystyle \sigma _{x}(n)=\prod _{i=1}^{r}\sum _{j=0}^{a_{i}}p_{i}^{jx}=\prod _{i=1}^{r}\left(1+p_{i}^{x}+p_{i}^{2x}+\cdots +p_{i}^{a_{i}x}\right).}$

これはx ≠0のとき 、次の式と等価である: ^[5]

${\displaystyle \sigma _{x}(n)=\prod _{i=1}^{r}{\frac {p_{i}^{(a_{i}+1)x}-1}{p_{i}^{x}-1}}.}$

x  = 0のとき、次の式が成り立ちます。^[5] ${\displaystyle \sigma _{0}(n)}$

${\displaystyle \sigma _{0}(n)=\prod _{i=1}^{r}(a_{i}+1).}$

この結果は、 のすべての約数が の異なる整数の組によって一意に決定される（つまり、ごとに独立した選択）という事実から直接推測できます。 ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle (x_{1},x_{2},...,x_{i},...,x_{r})}$ ${\displaystyle 0\leq x_{i}\leq a_{i}}$ ${\displaystyle a_{i}+1}$ ${\displaystyle x_{i}}$

たとえば、nが 24 の場合、2 つの素因数（p ₁は 2、p _{2は 3）があります。24 は 2} ³ ×3 ¹の積であり、a ₁は 3、a ₂は 1 です。したがって、次のように計算できます。 ${\displaystyle \sigma _{0}(24)}$

${\displaystyle \sigma _{0}(24)=\prod _{i=1}^{2}(a_{i}+1)=(3+1)(1+1)=4\cdot 2=8.}$

この式で数えられる 8 つの約数は、1、2、4、8、3、6、12、24 です。

その他の特性とアイデンティティ

オイラーはこの驚くべき再帰性を証明した：^{[6] [7] [8]}

${\displaystyle {\begin{aligned}\sigma _{1}(n)&=\sigma _{1}(n-1)+\sigma _{1}(n-2)-\sigma _{1}(n-5)-\sigma _{1}(n-7)+\sigma _{1}(n-12)+\sigma _{1}(n-15)+\cdots \\[12mu]&=\sum _{i\in \mathbb {N} }(-1)^{i+1}\left(\sigma _{1}\left(n-{\frac {1}{2}}\left(3i^{2}-i\right)\right)+\sigma _{1}\left(n-{\frac {1}{2}}\left(3i^{2}+i\right)\right)\right),\end{aligned}}}$

ここで、 が成り立つ場合、に対して となり、 とは一般化五角数（OEIS : A001318 、オフセット1から始まる）の連続するペアである。実際、オイラーは五角数定理において、恒等式の対数微分によってこれを証明した。 ${\displaystyle \sigma _{1}(0)=n}$ ${\displaystyle \sigma _{1}(x)=0}$ ${\displaystyle x<0}$ ${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}\left(3i^{2}\mp i\right)}$

非平方整数nの場合、 nのすべての約数dはnの約数n / dと対になって偶数となる。平方整数の場合、1つの約数（すなわち）は異なる約数と対になっておらず、奇数となる。同様に、数が奇数となるのは、 n が平方数であるか、平方数の2倍である場合に限る。 ^[9] ${\displaystyle \sigma _{0}(n)}$ ${\displaystyle {\sqrt {n}}}$ ${\displaystyle \sigma _{0}(n)}$ ${\displaystyle \sigma _{1}(n)}$

また、 s ( n ) = σ ( n ) −  nであることにも留意してください。ここでs ( n ) はnの真約数、つまりn自身を除くnの約数の和を表します。この関数は完全数を認識するために用いられます。完全数とは、s ( n ) =  nとなるnです。s ( n ) > nの場合、nは過剰数であり、s ( n ) < nの場合、nは不足数です。

nが 2 の累乗である場合、となり、nはほぼ完全なになります。 ${\displaystyle n=2^{k}}$ ${\displaystyle \sigma (n)=2\cdot 2^{k}-1=2n-1}$ ${\displaystyle s(n)=n-1}$

例えば、2つの素数 に対して、 ${\displaystyle p,q:p<q}$

${\displaystyle n=p\,q}$。

それから

${\displaystyle \sigma (n)=(p+1)(q+1)=n+1+(p+q),}$

${\displaystyle \varphi (n)=(p-1)(q-1)=n+1-(p+q),}$

そして

${\displaystyle n+1=(\sigma (n)+\varphi (n))/2,}$

${\displaystyle p+q=(\sigma (n)-\varphi (n))/2,}$

ここで、 はオイラーのトーティエント関数です。 ${\displaystyle \varphi (n)}$

そして、

${\displaystyle (x-p)(x-q)=x^{2}-(p+q)x+n=x^{2}-[(\sigma (n)-\varphi (n))/2]x+[(\sigma (n)+\varphi (n))/2-1]=0}$

pとqをσ ( n )とφ ( n )のみで表すと、 nやの知識は必要なくなります。 ${\displaystyle p+q}$

${\displaystyle p=(\sigma (n)-\varphi (n))/4-{\sqrt {[(\sigma (n)-\varphi (n))/4]^{2}-[(\sigma (n)+\varphi (n))/2-1]}},}$

${\displaystyle q=(\sigma (n)-\varphi (n))/4+{\sqrt {[(\sigma (n)-\varphi (n))/4]^{2}-[(\sigma (n)+\varphi (n))/2-1]}}.}$

また、nと または、あるいはとまたは のいずれかが分かれば、 pとqを簡単に復元できます。 ${\displaystyle \sigma (n)}$ ${\displaystyle \varphi (n)}$ ${\displaystyle p+q}$ ${\displaystyle \sigma (n)}$ ${\displaystyle \varphi (n)}$

1984年、ロジャー・ヒース・ブラウンは、

${\displaystyle \sigma _{0}(n)=\sigma _{0}(n+1)}$

はnの値が無限にある場合に当てはまります。OEIS :A005237を参照してください。

ディリクレ畳み込み

定義により：メビウス反転により： $${\displaystyle \sigma =\operatorname {Id} *\mathbf {1} }$$ $${\displaystyle \operatorname {Id} =\sigma *\mu }$$

系列関係

除数関数を含む2つのディリクレ級数は以下である: ^[10]

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\sigma _{a}(n)}{n^{s}}}=\zeta (s)\zeta (s-a)\quad {\text{for}}\quad s>1,s>a+1,}$

ここではリーマンゼータ関数である。d ( n ) =  σ ₀ ( n )の級数は次式で表される: ^[10] ${\displaystyle \zeta }$

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {d(n)}{n^{s}}}=\zeta ^{2}(s)\quad {\text{for}}\quad s>1,}$

ラマヌジャン恒等式^[11]

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\sigma _{a}(n)\sigma _{b}(n)}{n^{s}}}={\frac {\zeta (s)\zeta (s-a)\zeta (s-b)\zeta (s-a-b)}{\zeta (2s-a-b)}},}$

これはRankin–Selberg 畳み込みの特殊なケースです。

除数関数を含むランバート級数は^{[12]である。}

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }q^{n}\sigma _{a}(n)=\sum _{n=1}^{\infty }\sum _{j=1}^{\infty }n^{a}q^{j\,n}=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {n^{a}q^{n}}{1-q^{n}}}=\sum _{n=1}^{\infty }\operatorname {Li} _{-a}(q^{n})}$

任意の複素数| q | ≤ 1 かつ a (は多重対数)に対して、この和はアイゼンシュタイン級数のフーリエ級数やワイエルシュトラスの楕円関数の不変量としても現れる。 ${\displaystyle \operatorname {Li} }$

に対して、ラマヌジャン和による明示的な級数表現が存在する：^[13] ${\displaystyle k>0}$ ${\displaystyle c_{m}(n)}$

${\displaystyle \sigma _{k}(n)=\zeta (k+1)n^{k}\sum _{m=1}^{\infty }{\frac {c_{m}(n)}{m^{k+1}}}.}$

の最初の項の計算は、「平均値」の周りでの振動を示しています。 ${\displaystyle c_{m}(n)}$ ${\displaystyle \zeta (k+1)n^{k}}$

${\displaystyle \sigma _{k}(n)=\zeta (k+1)n^{k}\left[1+{\frac {(-1)^{n}}{2^{k+1}}}+{\frac {2\cos {\frac {2\pi n}{3}}}{3^{k+1}}}+{\frac {2\cos {\frac {\pi n}{2}}}{4^{k+1}}}+\cdots \right]}$

成長率

小文字のo表記では、除数関数は次の不等式を満たす: ^{[14] [15]}

${\displaystyle {\mbox{for all }}\varepsilon >0,\quad d(n)=o(n^{\varepsilon }).}$

より正確には、セヴェリン・ヴィゲルトは次のことを示しました。^[15]

${\displaystyle \limsup _{n\to \infty }{\frac {\log d(n)}{\log n/\log \log n}}=\log 2.}$

一方、素数は無限に存在するので、^[15]

${\displaystyle \liminf _{n\to \infty }d(n)=2.}$

ビッグO記法では、ピーター・グスタフ・ルジューン・ディリクレは、除数関数の平均位数が次の不等式を満たすことを示した。 ^{[16] [17]}

${\displaystyle {\mbox{for all }}x\geq 1,\sum _{n\leq x}d(n)=x\log x+(2\gamma -1)x+O({\sqrt {x}}),}$

ここではオイラーのガンマ定数です。この式の境界値を改善することは、ディリクレの約数問題として知られています。 ${\displaystyle \gamma }$ ${\displaystyle O({\sqrt {x}})}$

シグマ関数の挙動は不規則である。シグマ関数の漸近的増加率は次のように表される。^[18]

${\displaystyle \limsup _{n\rightarrow \infty }{\frac {\sigma (n)}{n\,\log \log n}}=e^{\gamma },}$

ここで、lim sup はsuper の極限である。この結果は、1913年に発表されたグロンヴァルの定理である（Grönwall 1913）。彼の証明には、メルテンスの第三定理が用いられており、それは以下のことを意味する。

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {1}{\log n}}\prod _{p\leq n}{\frac {p}{p-1}}=e^{\gamma },}$

ここで、p は素数を表します。

1915年、ラマヌジャンはリーマン予想の仮定の下でロビンの不等式が成り立つことを証明した。

${\displaystyle \ \sigma (n)<e^{\gamma }n\log \log n}$（ここでγはオイラー・マスケロニ定数）

十分に大きいnに対して不等式が成り立つ(Ramanujan 1997)。不等式に反する既知の最大の値はn = 5040である。1984 年に Guy Robin は、不等式がn > 5040 のすべての場合に成立する場合、かつその場合に限りリーマン予想が成立することを証明した (Robin 1984)。これがRobin の定理であり、この不等式は彼の後に知られるようになった。Robin はさらに、リーマン予想が偽であれば不等式に反するnの値は無限個存在し、そのようなn > 5040 の最小の値は過剰でなければならないことも示した (Akbary & Friggstad 2009)。この不等式は大きな奇数および平方でない整数に対して成立すること、およびリーマン予想はnが素数の 5 乗で割り切れる場合のみ不等式と等価であることが示されている(Choie et al. 2007)。

ロビンはまた、次の不等式を無条件に証明しました。

${\displaystyle \ \sigma (n)<e^{\gamma }n\log \log n+{\frac {0.6483\ n}{\log \log n}}}$

n ≥ 3 のすべての場合に成立します。

関連する境界は2002 年にJeffrey Lagariasによって示され、彼はリーマン予想が次の命題と同等であることを証明しました。

${\displaystyle \sigma (n)<H_{n}+e^{H_{n}}\log(H_{n})}$

すべての自然数 n > 1に対して、 n番目の調和数です（Lagarias 2002）。 ${\displaystyle H_{n}}$

参照

• 除数和畳み込み、除数関数を含むいくつかの恒等式を列挙する
• オイラーのトーティエント関数、オイラーのファイ関数
• リファクタリング可能な数
• 約数表
• ユニタリ除数

注記

1. Long (1972, p. 46)
2. ペットフレッツォ＆ビルキット（1970年、63ページ）
3. ペットフレッツォ＆ビルキット（1970年、58ページ）
4. ラマヌジャン, S. (1915)、「高度合成数」、ロンドン数学会報、s2-14 (1): 347– 409、doi :10.1112/plms/s2_14.1.347; 第47節、405～406ページを参照。シュリニヴァーサ・ラマヌジャン著作集、ケンブリッジ大学出版、2015年、124～125ページより転載。
5. Hardy & Wright (2008)、310ページ以降、§16.7。
6. オイラー、レオンハルト、ベル、ジョーダン (2004). 「約数の和に関する考察」arXiv : math/0411587 .
7. https://scholarlycommons.pacific.edu/euler-works/175/, Découverte d'une loi tout extraordinaire des nombres par rapport à la somme de leurs diviseurs
8. https://scholarlycommons.pacific.edu/euler-works/542/、ミラビリス・プロプリエタティブ・ヌメロラム・ペンタゴナリウム
9. Gioia & Vaidya (1967).
10. ハーディ＆ライト（2008年）、326-328頁、§17.5。
11. ハーディ＆ライト（2008年）、334-337頁、§17.8。
12. ハーディ＆ライト（2008年）、338-341頁、§17.10。
13. E. クレッツェル (1981)。ザーレンテオリー。ベルリン: VEB Deutscher Verlag der Wissenschaften。 p. 130.（ドイツ語）
14. アポストル（1976年）、296ページ。
15. Hardy & Wright (2008)、342–347頁、§18.1。
16. Apostol（1976）、定理3.3。
17. ハーディ＆ライト（2008年）、347-350頁、§18.2。
18. ハーディ＆ライト（2008年）、469-471頁、§22.9。

参考文献

• Akbary, Amir; Friggstad, Zachary (2009)、「過剰数とリーマン仮説」(PDF)、American Mathematical Monthly、116 (3): 273– 275、doi :10.4169/193009709X470128、 2014年4月11日時点のオリジナル(PDF)からアーカイブ。
• アポストル、トム・M.（1976）「解析的数論入門」、数学の学部テキスト、ニューヨーク・ハイデルベルク：シュプリンガー・フェアラーク、ISBN 978-0-387-90163-3、MR  0434929、Zbl  0335.10001
• バッハ、エリック、シャリット、ジェフリー、『アルゴリズム的数論』第1巻、1996年、MIT出版 。ISBN 0-262-02405-5セクション8.8の234ページを参照してください。
• Caveney, Geoffrey; Nicolas, Jean-Louis ; Sondow, Jonathan (2011)「ロビンの定理、素数、そしてリーマン予想の新しい基本的な再定式化」（PDF） , INTEGERS: The Electronic Journal of Combinatorial Number Theory , 11 : A33, arXiv : 1110.5078 , Bibcode :2011arXiv1110.5078C
• チェ・ヨンジュ;リヒアルドポル、ニコラス。モリー、ピーター。 Solé, Patrick (2007)、「リーマン仮説に対するロビンの基準について」、Journal de théorie des nombres de Bordeaux、19 (2): 357–372、arXiv : math.NT/0604314、doi :10.5802/jtnb.591、ISSN  1246-7405、MR  2394891、S2CID  3207238、Zbl  1163.11059
• Gioia, AA; Vaidya, AM (1967)、「逆パリティを持つ友好的な数」、アメリカ数学月刊誌、74 (8): 969– 973、doi :10.2307/2315280、JSTOR  2315280、MR  0220659
• グロンヴァル、トーマス・ハーコン（1913）「数論におけるいくつかの漸近的表現」アメリカ数学会誌、14（1）：113-122、doi：10.1090/S0002-9947-1913-1500940-6
• ハーディ、GH ;ライト、EM (2008) [1938]、『数論入門』 、 DRヒース＝ブラウンとJHシルバーマン改訂。アンドリュー・ワイルズによる序文。（第6版）、オックスフォード：オックスフォード大学出版局、ISBN 978-0-19-921986-5、MR  2445243、Zbl  1159.11001
• イヴィッチ、アレクサンダル（1985）『リーマンゼータ関数の理論とその応用』、ワイリー・インターサイエンス出版、ニューヨーク他：ジョン・ワイリー・アンド・サンズ、pp.  385– 440、ISBN 0-471-80634-X、Zbl  0556.10026
• ラガリアス, ジェフリー・C. (2002)、「リーマン予想と等価な初等問題」、アメリカ数学月刊誌、109 (6): 534– 543、arXiv : math/0008177、doi :10.2307/2695443、ISSN  0002-9890、JSTOR  2695443、MR  1908008、S2CID  15884740
• ロング、カルビン・T.（1972）、初等数論入門（第2版）、レキシントン：DCヒース・アンド・カンパニー、LCCN  77171950
• ペットフレッツォ、アンソニー・J.; バーキット、ドナルド・R. (1970) 『数論の要素』、エングルウッド・クリフス：プレンティス・ホール、LCCN  77081766
• ラマヌジャン、シュリニヴァサ（1997）「ジャン＝ルイ・ニコラとギィ・ロバンによる高次合成数注釈」『ラマヌジャン・ジャーナル』 1 （ 2）：119-153、doi：10.1023/A：1009764017495、ISSN  1382-4090、MR  1606180、S2CID  115619659
• Robin, Guy (1984)、「リーマンの論理的価値と仮説」、Journal de Mathématiques Pures et Appliquées、Neuvième Série、63 (2): 187–213、ISSN  0021-7824、MR  0774171
• ウィリアムズ、ケネス・S.（2011）「リウヴィル精神の数論」、ロンドン数学会学生テキスト、第76巻、ケンブリッジ：ケンブリッジ大学出版局、ISBN 978-0-521-17562-3、Zbl  1227.11002

外部リンク

• ワイススタイン、エリック・W.「約数関数」。MathWorld。
• ワイスタイン、エリック・W.「ロビンの定理」。MathWorld。
• 約数関数を含む特定の畳み込み和の基本的評価 Huard、Ou、Spearman、Williamsによる論文のPDF。約数和畳み込みの基本的な（つまり、モジュラー形式理論に依拠しない）証明、三角数の和として数を表す方法の数の公式、および関連する結果が含まれています。

Retrieved from "https://en.wikipedia.org/w/index.php?title=Divisor_function&oldid=1320708357"