Summatory function of the divisor-counting function
先頭の用語を取り除いた要約関数は、 x < 10 4 {\displaystyle x<10^{4}} 先頭の用語を取り除いた要約関数は、 x < 10 7 {\displaystyle x<10^{7}} 主要項を除いた、 の要約関数を 分布またはヒストグラムとしてグラフ化したもの。縦軸のスケールは左右で一定ではありません。詳細な説明については画像をクリックしてください。 x < 10 7 {\displaystyle x<10^{7}} 数論 において 、 因子和関数（せいかくかんげん、divisor summatory function）とは、 因子関数 の和となる関数である。 リーマンゼータ関数 の漸近挙動の研究において頻繁に登場する 。因子関数の挙動に関する様々な研究は、 因子問題 と呼ばれることもある。
意味 除数総和関数は次のように定義される。
D ( x ) = ∑ n ≤ x d ( n ) = ∑ j , k j k ≤ x 1 {\displaystyle D(x)=\sum _{n\leq x}d(n)=\sum _{j,k \atop jk\leq x}1} どこ
d ( n ) = σ 0 ( n ) = ∑ j , k j k = n 1 {\displaystyle d(n)=\sigma _{0}(n)=\sum _{j,k \atop jk=n}1} は除数関数 である 。除数関数は、整数 nが 2つの整数の積として表される方法の数を数える。より一般的には、
D k ( x ) = ∑ n ≤ x d k ( n ) = ∑ m ≤ x ∑ m n ≤ x d k − 1 ( n ) {\displaystyle D_{k}(x)=\sum _{n\leq x}d_{k}(n)=\sum _{m\leq x}\sum _{mn\leq x}d_{k-1}(n)} ここで 、d k ( n ) は、 n を k 個の数の積として表すことができる 方法の数を数えます。この量は、 k 次元の双曲面で囲まれた格子点の数として視覚化できます 。したがって、 k = 2 の場合、 D ( x ) = D 2 ( x ) は、左側に垂直軸、下部に水平軸、右上に双曲線 jk = x で囲まれた正方格子上の点の数を数えます。おおまかに言うと、この形状は双曲 単体 として考えることができます。これにより、 D ( x ) の別の表現と、それを時間内に計算する簡単な方法を 提供できます 。 O ( x ) {\displaystyle O({\sqrt {x}})}
D ( x ) = ∑ k = 1 x ⌊ x k ⌋ = 2 ∑ k = 1 u ⌊ x k ⌋ − u 2 {\displaystyle D(x)=\sum _{k=1}^{x}\left\lfloor {\frac {x}{k}}\right\rfloor =2\sum _{k=1}^{u}\left\lfloor {\frac {x}{k}}\right\rfloor -u^{2}} 、 どこ u = ⌊ x ⌋ {\displaystyle u=\left\lfloor {\sqrt {x}}\right\rfloor } この文脈における双曲線を円に置き換えた場合、結果として得られる関数の値を決定することは、 ガウス円問題 として知られています。
D ( n ) の配列( OEIS の配列 A006218 ): 0、1、3、5、8、10、14、16、20、23、27、29、35、37、41、45、50、52、58、60、66、70、74、76、84、87、91、95、101、103、111、...
ディリクレの約数問題 この和の表現の閉じた形を見つけることは、現在利用可能な技術の範囲を超えているように思われますが、近似値を与えることは可能です。この級数の主要挙動は次のように与えられます。
D ( x ) = x log x + x ( 2 γ − 1 ) + Δ ( x ) {\displaystyle D(x)=x\log x+x(2\gamma -1)+\Delta (x)\ } ここで 、は オイラー・マスケロニ定数 であり、誤差項は γ {\displaystyle \gamma }
Δ ( x ) = O ( x ) . {\displaystyle \Delta (x)=O\left({\sqrt {x}}\right).} ここで、は Big-O記法 を表す。この推定値は ディリクレ双曲線法 を用いて証明することができ 、 1849年に ディリクレによって初めて確立された。 [1] :37–38,69 ディリクレ の因子問題 とは、正確 に言えば、この誤差限界を改善するために、 O {\displaystyle O} θ {\displaystyle \theta }
Δ ( x ) = O ( x θ + ϵ ) {\displaystyle \Delta (x)=O\left(x^{\theta +\epsilon }\right)} はすべての に対して成り立つ 。今日まで、この問題は未解決のままである。進展は遅い。この問題と、別の格子点数え上げ問題である ガウスの円問題に対して、同じ手法の多くが適用できる。 『数論における未解決問題』 [2] のセクションF1では、 これらの問題について何が分かっていて、何が分かっていないかを概説している。 ϵ > 0 {\displaystyle \epsilon >0}
1904年に G.ボロノイは 誤差項を次のように改善できることを証明した [3] :381 O ( x 1 / 3 log x ) . {\displaystyle O(x^{1/3}\log x).} 1916年、 GHハーディは であることを示した 。特に、ある定数 に対して、 となる x の値と と なる x の値が存在することを証明した 。 [1] : 69 inf θ ≥ 1 / 4 {\displaystyle \inf \theta \geq 1/4} K {\displaystyle K} Δ ( x ) > K x 1 / 4 {\displaystyle \Delta (x)>Kx^{1/4}} Δ ( x ) < − K x 1 / 4 {\displaystyle \Delta (x)<-Kx^{1/4}} 1922年、 J. van der Corputは ディリクレの境界を まで改良した 。 [3] : 381 inf θ ≤ 33 / 100 = 0.33 {\displaystyle \inf \theta \leq 33/100=0.33} 1928年にファン・デル・コープトは [3] を 証明した。381 inf θ ≤ 27 / 82 = 0.3 29268 ¯ {\displaystyle \inf \theta \leq 27/82=0.3{\overline {29268}}} 1950年にChih Tsung-taoが、1953年に HE Richertが 独立して証明した 。 [3] : 381 inf θ ≤ 15 / 46 = 0.32608695652... {\displaystyle \inf \theta \leq 15/46=0.32608695652...} 1969 年に、グリゴリ コレスニクは次のことを実証しました 。 [3] : 381 inf θ ≤ 12 / 37 = 0. 324 ¯ {\displaystyle \inf \theta \leq 12/37=0.{\overline {324}}} 1973年にコレスニクは [3] を 証明した。381 inf θ ≤ 346 / 1067 = 0.32427366448... {\displaystyle \inf \theta \leq 346/1067=0.32427366448...} 1982年にコレスニクは [3] を 証明した。381 inf θ ≤ 35 / 108 = 0.32 407 ¯ {\displaystyle \inf \theta \leq 35/108=0.32{\overline {407}}} 1988年に H. Iwaniec とCJ Mozzochiはそれを証明した 。 [4] inf θ ≤ 7 / 22 = 0.3 18 ¯ {\displaystyle \inf \theta \leq 7/22=0.3{\overline {18}}} 2003年に MN Huxleyは これを改良し、次のことを示しました 。 [5] inf θ ≤ 131 / 416 = 0.31490384615... {\displaystyle \inf \theta \leq 131/416=0.31490384615...} したがって、 は1/4と131/416（約0.3149）の間のどこかに存在します。1/4であると広く推測されています。 は（非ガウス分布）極限分布に従うため、理論的証拠はこの推測を裏付けています。 [6] 1/4という値は、 指数ペア に関する推測からも導かれます 。 [7] inf θ {\displaystyle \inf \theta } Δ ( x ) / x 1 / 4 {\displaystyle \Delta (x)/x^{1/4}}
ピルツの除数問題 一般化されたケースでは、
D k ( x ) = x P k ( log x ) + Δ k ( x ) {\displaystyle D_{k}(x)=xP_{k}(\log x)+\Delta _{k}(x)\,} ここでは 次数 の多項式 である 。簡単な推定値を用いると、次の式が容易に示される。 P k {\displaystyle P_{k}} k − 1 {\displaystyle k-1}
Δ k ( x ) = O ( x 1 − 1 / k log k − 2 x ) {\displaystyle \Delta _{k}(x)=O\left(x^{1-1/k}\log ^{k-2}x\right)} 整数 に対して となる 。この場合と同様に 、 のいかなる値に対しても、境界の最小値は不明である。これらの最小値を計算する問題は、ドイツの数学者 アドルフ・ピルツ （ドイツ語版のページも参照）にちなんで、ピルツ因子問題として知られている。 が成り立つ 最小の値として 順序を定義すると 、任意の に対して 、次の結果が得られる（は 前節の で あることに注意）。 k ≥ 2 {\displaystyle k\geq 2} k = 2 {\displaystyle k=2} k {\displaystyle k} α k {\displaystyle \alpha _{k}} Δ k ( x ) = O ( x α k + ε ) {\displaystyle \Delta _{k}(x)=O\left(x^{\alpha _{k}+\varepsilon }\right)} ε > 0 {\displaystyle \varepsilon >0} α 2 {\displaystyle \alpha _{2}} θ {\displaystyle \theta }
α 2 ≤ 131 416 , {\displaystyle \alpha _{2}\leq {\frac {131}{416}}\ ,} [5]
α 3 ≤ 43 96 , {\displaystyle \alpha _{3}\leq {\frac {43}{96}}\ ,} [8] と [9]
α k ≤ 3 k − 4 4 k ( 4 ≤ k ≤ 8 ) α 9 ≤ 35 54 , α 10 ≤ 41 60 , α 11 ≤ 7 10 α k ≤ k − 2 k + 2 ( 12 ≤ k ≤ 25 ) α k ≤ k − 1 k + 4 ( 26 ≤ k ≤ 50 ) α k ≤ 31 k − 98 32 k ( 51 ≤ k ≤ 57 ) α k ≤ 7 k − 34 7 k ( k ≥ 58 ) {\displaystyle {\begin{aligned}\alpha _{k}&\leq {\frac {3k-4}{4k}}\quad (4\leq k\leq 8)\\[6pt]\alpha _{9}&\leq {\frac {35}{54}}\ ,\quad \alpha _{10}\leq {\frac {41}{60}}\ ,\quad \alpha _{11}\leq {\frac {7}{10}}\\[6pt]\alpha _{k}&\leq {\frac {k-2}{k+2}}\quad (12\leq k\leq 25)\\[6pt]\alpha _{k}&\leq {\frac {k-1}{k+4}}\quad (26\leq k\leq 50)\\[6pt]\alpha _{k}&\leq {\frac {31k-98}{32k}}\quad (51\leq k\leq 57)\\[6pt]\alpha _{k}&\leq {\frac {7k-34}{7k}}\quad (k\geq 58)\end{aligned}}} ECティッチマーシュは 次のように推測している。 α k = k − 1 2 k . {\displaystyle \alpha _{k}={\frac {k-1}{2k}}\ .}
両方の部分はメリン変換 として表現できます 。
D ( x ) = 1 2 π i ∫ c − i ∞ c + i ∞ ζ 2 ( w ) x w w d w {\displaystyle D(x)={\frac {1}{2\pi i}}\int _{c-i\infty }^{c+i\infty }\zeta ^{2}(w){\frac {x^{w}}{w}}\,dw} である 。ここで、 は リーマンゼータ関数 である。同様に、 c > 1 {\displaystyle c>1} ζ ( s ) {\displaystyle \zeta (s)}
Δ ( x ) = 1 2 π i ∫ c ′ − i ∞ c ′ + i ∞ ζ 2 ( w ) x w w d w {\displaystyle \Delta (x)={\frac {1}{2\pi i}}\int _{c^{\prime }-i\infty }^{c^{\prime }+i\infty }\zeta ^{2}(w){\frac {x^{w}}{w}}\,dw} となる 。の主項は、 における二重極を越える曲線をずらすことで得られる 。主項は コーシーの積分公式 より 留数 となる。一般に、 0 < c ′ < 1 {\displaystyle 0<c^{\prime }<1} D ( x ) {\displaystyle D(x)} w = 1 {\displaystyle w=1}
D k ( x ) = 1 2 π i ∫ c − i ∞ c + i ∞ ζ k ( w ) x w w d w {\displaystyle D_{k}(x)={\frac {1}{2\pi i}}\int _{c-i\infty }^{c+i\infty }\zeta ^{k}(w){\frac {x^{w}}{w}}\,dw} 、について も同様です 。 Δ k ( x ) {\displaystyle \Delta _{k}(x)} k ≥ 2 {\displaystyle k\geq 2}
注記 ^ ab モンゴメリー、ヒュー 、 RCヴォーン (2007). 『乗法数論I：古典理論 』ケンブリッジ：ケンブリッジ大学出版局. ISBN 978-0-521-84903-6 。 ^ ガイ、リチャード・K. (2004). 数論における未解決問題 （第3版）. ベルリン: シュプリンガー. ISBN 978-0-387-20860-2 。 ^ abcdefg イヴィッチ、アレクサンダー (2003). リーマンのゼータ関数 。ニューヨーク: ドーバー出版。 ISBN 0-486-42813-3 。 ^ Iwaniec, H. ; CJ Mozzochi (1988). 「約数と円周問題について」. 数論ジャーナル . 29 : 60–93 . doi : 10.1016/0022-314X(88)90093-5 . ^ ab Huxley, MN (2003). 「指数和と格子点III」. Proc. London Math. Soc . 87 (3): 591– 609. doi :10.1112/S0024611503014485. ISSN 0024-6115. Zbl 1065.11079. ^ Heath-Brown, DR (1992). 「ディリクレ因子問題における誤差項の分布とモーメント」. Acta Arithmetica . 60 (4): 389– 415. doi : 10.4064/aa-60-4-389-415 . ISSN 0065-1036. S2CID 59450869. 定理1 関数は分布関数を持つ ^ モンゴメリー, ヒュー・L. (1994). 解析的数論と調和解析のインターフェースに関する10の講義 . 数学地域会議シリーズ. 第84巻. プロビデンス, ロードアイランド州: アメリカ数学会 . p. 59. ISBN 0-8218-0737-4 . Zbl 0814.11001。 ^ G. Kolesnik. 多重指数和の推定について, "Recent Progress in Analytic Number Theory", Symposium Durham 1979 (Vol. 1), Academic, London, 1981, pp. 231–246. ^ アレクサンダル・イヴィッチ . リーマンゼータ関数の理論とその応用（定理13.2）. ジョン・ワイリー・アンド・サンズ, 1985.
参考文献 
![{\displaystyle {\begin{aligned}\alpha _{k}&\leq {\frac {3k-4}{4k}}\quad (4\leq k\leq 8)\\[6pt]\alpha _{9}&\leq {\frac {35}{54}}\ ,\quad \alpha _{10}\leq {\frac {41}{60}}\ ,\quad \alpha _{11}\leq {\frac {7}{10}}\\[6pt]\alpha _{k}&\leq {\frac {k-2}{k+2}}\quad (12\leq k\leq 25)\\[6pt]\alpha _{k}&\leq {\frac {k-1}{k+4}}\quad (26\leq k\leq 50)\\[6pt]\alpha _{k}&\leq {\frac {31k-98}{32k}}\quad (51\leq k\leq 57)\\[6pt]\alpha _{k}&\leq {\frac {7k-34}{7k}}\quad (k\geq 58)\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/545186088f52e5786cfc1d510f792bb6dfa1f2a2)
