曲線の特異点

パラメータの滑らかな埋め込みによって与えられない曲線上の点

幾何学において、曲線上の特異点とは、曲線がパラメータの滑らかな埋め込みによって与えられない点である。特異点の正確な定義は、研究対象となる曲線の種類によって異なる。

平面上の代数曲線

平面上の代数曲線は、次の形式の方程式を満たす点( x , y )の集合として定義できます。ここで、 fは多項式関数です。⁠ ⁠は、次のように展開されます 。原点(0, 0)が曲線上にある場合、a ₀ = 0です。b ₁ ≠ 0の場合、暗黙の関数定理により、曲線が原点の近くでy = h ( x )の形になるような滑らかな関数hが存在することが保証されます。同様に、 b ₀ ≠ 0の場合、曲線が原点の近くでx = k ( y )の形になるような滑らかな関数kが存在します。どちらの場合でも、 ⁠ ⁠から平面への滑らかな写像があり、それが原点の近傍で曲線を定義します。原点では 、 fの偏微分のうち少なくとも 1 つが 0 でない場合、曲線は原点で非特異または正則になることに注意してください。特異点とは、両方の偏微分がゼロになる曲線上の点です。 ${\displaystyle f(x,y)=0,}$ ${\displaystyle f:\mathbb {R} ^{2}\to \mathbb {R} .}$ $${\displaystyle f=a_{0}+b_{0}x+b_{1}y+c_{0}x^{2}+2c_{1}xy+c_{2}y^{2}+\cdots }$$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ $${\displaystyle b_{0}={\frac {\partial f}{\partial x}},\;b_{1}={\frac {\partial f}{\partial y}},}$$ $${\displaystyle f(x,y)={\frac {\partial f}{\partial x}}={\frac {\partial f}{\partial y}}=0.}$$

通常ポイント

曲線が原点を通り、 と書くとすると、f は次のように書くことができます。が 0 でない場合、 f = 0はx = 0で重複度 1 の解を持ち、原点は直線との単一の接点です。の場合、f = 0は重複度 2 以上の解を持ち、直線またはは曲線に接します。 この場合、が 0 でない場合、曲線は との二重接点を持ちます。x ²の係数が0 であるが、 x ³の係数が0 でない場合、原点は曲線の変曲点です。 x ²とx ³の係数が両方とも 0 の場合、原点は曲線の波動点と呼ばれます。 この分析は、座標軸を原点が特定の点になるように変換することにより、曲線上の任意の点に適用できます。^[1] ${\displaystyle y=mx.}$ $${\displaystyle f=(b_{0}+mb_{1})x+(c_{0}+2mc_{1}+c_{2}m^{2})x^{2}+\cdots .}$$ ${\displaystyle b_{0}+mb_{1}}$ ${\displaystyle y=mx.}$ ${\displaystyle b_{0}+mb_{1}=0}$ ${\displaystyle y=mx,}$ ${\displaystyle b_{0}x+b_{1}y=0,}$ ${\displaystyle c_{0}+2mc_{1}+c_{2}m^{2}}$ ${\displaystyle y=mx.}$ ${\displaystyle c_{0}+2mc_{1}+c_{2}m^{2},}$

ダブルポイント

二重点の種類を示す3つのリマソン。左の曲線を直交座標に変換すると、平面上の孤立点である原点にアクノードができます。中央の曲線（カーディオイド）は原点にカスプを持ちます。右の曲線は原点にクルノードを持ち、曲線は交差してループを形成します。 ${\displaystyle (x^{2}+y^{2}-x)^{2}=(1.5)^{2}(x^{2}+y^{2}),}$

上記の展開において、 b ₀とb _{1 が}両方とも0であるが、 c ₀、c ₁、c ₂の少なくとも1つが0でない場合、原点は曲線の二重点と呼ばれる。ここでもfを代入すると、二重点は次のように書ける 。二重点は、以下の解によって分類できる。 ${\displaystyle y=mx,}$ $${\displaystyle f=(c_{0}+2mc_{1}+c_{2}m^{2})x^{2}+(d_{0}+3md_{1}+3m^{2}d_{2}+d_{3}m^{3})x^{3}+\cdots .}$$ ${\displaystyle c_{0}+2mc_{1}+m^{2}c_{2}=0.}$

クルノデス

がmに対して2つの実解を持つ場合、つまり の場合、原点はcrunodeと呼ばれます。この場合、曲線は原点で交差し、 の2つの解に対応する2つの異なる接線を持ちます。この場合、関数fは原点に鞍点を持ちます。 ${\displaystyle c_{0}+2mc_{1}+m^{2}c_{2}=0}$ ${\displaystyle c_{0}c_{2}-c_{1}^{2}<0,}$ ${\displaystyle c_{0}+2mc_{1}+m^{2}c_{2}=0.}$

アクノデス

mに実解がない場合、つまり の場合、原点はアクノードと呼ばれます。実平面では原点は曲線上の孤立点ですが、複素曲線として考えると原点は孤立点ではなく、 の2つの複素解に対応する2つの虚接線を持ちます。この場合、関数fは原点で極値を持ちます。 ${\displaystyle c_{0}+2mc_{1}+m^{2}c_{2}=0}$ ${\displaystyle c_{0}c_{2}-c_{1}^{2}>0,}$ ${\displaystyle c_{0}+2mc_{1}+m^{2}c_{2}=0.}$

カスプ

mに対して重複度2の解が1つだけ存在する場合、つまり の場合、原点はカスプと呼ばれます。この場合、曲線は原点で方向を変え、鋭い点を形成します。曲線は原点で1本の接線を持ち、これは2本の接線が一致するとみなすことができます。 ${\displaystyle c_{0}+2mc_{1}+m^{2}c_{2}=0}$ ${\displaystyle c_{0}c_{2}-c_{1}^{2}=0,}$

さらに分類する

ノードという用語は、クルノードまたはアクノード、つまり尖点ではない二重点を指すために使用されます。曲線上のノードの数と尖点の数は、プルッカーの公式で使用される不変量の2つです。

の解の1つが の解でもある場合、曲線の対応する枝は原点に変曲点を持つ。この場合、原点は屈曲点と呼ばれる。両方の接線がこの性質を持ち、も の因数である場合、原点は双屈曲点と呼ばれる。^[2] ${\displaystyle c_{0}+2mc_{1}+m^{2}c_{2}=0}$ ${\displaystyle d_{0}+3md_{1}+3m^{2}d_{2}+m^{3}d_{3}=0,}$ ${\displaystyle c_{0}+2mc_{1}+m^{2}c_{2}}$ ${\displaystyle d_{0}+3md_{1}+3m^{2}d_{2}+m^{3}d_{3},}$

複数のポイント

原点に三重点を持つ曲線: x ( t ) = sin(2 t ) + cos( t ) , y ( t ) = sin( t ) + cos(2 t )

一般に、 fにおいてk次未満の項がすべて0 であり、かつk次以下の項の少なくとも 1 つが 0 でない場合、曲線はk次多重点、すなわちk 重点を持つといわれる。一般に、曲線は原点においてk本の接線を持つが、これらの接線の一部は虚数である可能性がある。^[3]

パラメトリック曲線

⁠ ⁠におけるパラメータ化された曲線は、関数の像として定義されます。 ⁠ ⁠特異点とは、 ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$ ${\displaystyle g:\mathbb {R} \to \mathbb {R} ^{2},}$ ${\displaystyle g(t)=(g_{1}(t),g_{2}(t)).}$ $${\displaystyle {\frac {dg_{1}}{dt}}={\frac {dg_{2}}{dt}}=0.}$$

半立方放物面の尖点 ${\displaystyle y^{2}=x^{3}}$

多くの曲線はどちらの方法でも定義できますが、2つの定義が一致しない場合があります。例えば、尖点は代数曲線上、またはパラメータ化された曲線 上で定義できます。どちらの定義も原点に特異点を与えます。しかし、原点におけるのようなノードは、代数曲線として考えた場合の曲線の特異点ですが、それをのようにパラメータ化すると⁠ ⁠は決して消滅しないため、ノードは上記で定義したパラメータ化された曲線の特異点で はありません。 ${\displaystyle x^{3}-y^{2}=0,}$ ${\displaystyle g(t)=(t^{2},t^{3}).}$ ${\displaystyle y^{2}-x^{3}-x^{2}=0}$ ${\displaystyle g(t)=(t^{2}-1,t(t^{2}-1)),}$ ${\displaystyle g'(t)}$

パラメータ化の選択には注意が必要です。例えば、直線y = 0は、原点で特異点を持つによってパラメータ化できます。 によってパラメータ化されると、特異点ではなくなります。したがって、ここでは曲線の特異点ではなく、滑らかな写像の特異点について議論する方が技術的に正確です。 ${\displaystyle g(t)=(t^{3},0),}$ ${\displaystyle g(t)=(t,0),}$

上記の定義は、滑らかな関数⁠ ⁠の零点集合として定義される暗黙曲線をカバーするように拡張することができ、代数多様体のみを考慮する必要はありません。定義は、高次元の曲線をカバーするように拡張できます。 ${\displaystyle f^{-1}(0)}$

ハスラー・ホイットニーの定理^{[4] [5]}によれば、

定理— ⁠ ⁠ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$内の任意の閉集合は、ある滑らかな関数に対する⁠ ⁠ ${\displaystyle f^{-1}(0)}$の解集合として現れる。 ${\displaystyle f:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} .}$

任意のパラメータ化された曲線は暗黙の曲線として定義することもでき、曲線の特異点の分類は代数多様体の特異点の分類として研究することができます。

特異点の種類

考えられる特異点のいくつかは次のとおりです。

• 孤立点：アクノード ${\displaystyle x^{2}+y^{2}=0,}$
• 2本の線が交差する：クルノード ${\displaystyle x^{2}-y^{2}=0,}$
• カスプ：スピノードとも呼ばれる ${\displaystyle x^{3}-y^{2}=0,}$
• タクノード：​ ${\displaystyle x^{4}-y^{2}=0}$
• 菱形骨尖： ${\displaystyle x^{5}-y^{2}=0.}$

参照

• 代数多様体の特異点
• 特異点理論
• モース理論

参考文献

1. ヒルトン第2章§1
2. ヒルトン第2章§2
3. ヒルトン第2章§3
4. Th. Bröcker, Differentiable Germs and Catastrophes , London Mathematical Society. Lecture Notes 17. Cambridge, (1975)
5. ブルースとギブリン『曲線と特異点』（1984年、1992年）ISBN 0-521-41985-9、ISBN 0-521-42999-4（ペーパーバック）

• ヒルトン、ハロルド (1920). 「第2章 特異点」. 平面代数曲線. オックスフォード.

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