Type of continuous map in topology
直感的に、被覆は局所的に、 開近傍 の上に「パンケーキの山」を投影します U {\displaystyle U} U {\displaystyle U} 位相幾何学 において 、 被覆 または 被覆射影とは、 位相空間 間の 写像 であり 、直感的には、 局所的には空間の複数のコピーを自身に 射影する ように作用します 。特に、被覆は 局所同相写像 の特別な型です。 が被覆である場合、は の被覆空間 または 被覆 と 呼ばれ 、は 被覆の基底 、または単に 基底 と呼ばれます 。 用語の誤用 により、、 は 被覆空間 とも呼ばれることがあります。被覆は局所同相写像であるため、被覆空間は エターレ空間 の特別な種類です 。 p : X ~ → X {\displaystyle p:{\tilde {X}}\to X} ( X ~ , p ) {\displaystyle ({\tilde {X}},p)} X {\displaystyle X} X {\displaystyle X} X ~ {\displaystyle {\tilde {X}}} p {\displaystyle p}
被覆空間は、複素解析学（特に 解析接続 の手法） の文脈において初めて登場した。 リーマンは、被覆空間を、本来 多価である 複素関数が一価となる 領域として 導入した。これらの空間は現在、 リーマン面 と呼ばれている。 [1] : 10
被覆空間は数学のいくつかの分野で重要なツールです。現代幾何 学 では、被覆空間（または条件がわずかに弱い 分岐被覆）は、 多様体 、 オービフォールド 、およびそれらの間の 射 の構築に使用されます 。 代数的位相幾何学では、被覆空間は 基本群 と密接に関連しています 。まず、すべての被覆は ホモトピーリフティング特性を持つため、被覆空間は ホモトピー群 の計算において重要なツールです。この流れの標準的な例は、 円の 基本群 を による被覆を用いて 計算することです （下記参照）。 [2] ：29 特定の条件下では、被覆空間は 基本群の部分群と ガロア対応も示します。 S 1 {\displaystyle S^{1}} R {\displaystyle \mathbb {R} }
定義 を位相空間とします。 の 被覆 は 連続写像です X {\displaystyle X} X {\displaystyle X}
π : X ~ → X {\displaystyle \pi :{\tilde {X}}\rightarrow X} 任意の に対して の 開近傍 と 離散 空間 が存在し、 は 互いに素な和 であり 、は 任意の に対して 同相写像 となる 。開集合は シート と呼ばれ、 が 連結で ある 場合、同相写像を除いて一意に決定される 。 [2] ：56 各 に対して、 離散集合 は の ファイバー と呼ばれる 。 が連結（かつ空でない場合）である場合、 は 射影的で ある ことが示され 、 の 濃度 はすべての に対して同じである。この値は 被覆の 次数 と呼ばれる。 が パス連結で ある場合 、被覆は パス連結被覆 と呼ばれる 。
この定義は、 が 局所的に自明な ファイバーバンドル であるという命題と同等である x ∈ X {\displaystyle x\in X} U x {\displaystyle U_{x}} x {\displaystyle x} D x {\displaystyle D_{x}} π − 1 ( U x ) {\displaystyle \pi ^{-1}(U_{x})} ⨆ d ∈ D x V d {\displaystyle \displaystyle \bigsqcup _{d\in D_{x}}V_{d}} π | V d : V d → U x {\displaystyle \pi |_{V_{d}}:V_{d}\rightarrow U_{x}} d ∈ D x {\displaystyle d\in D_{x}} V d {\displaystyle V_{d}} U x {\displaystyle U_{x}} x ∈ X {\displaystyle x\in X} π − 1 ( x ) {\displaystyle \pi ^{-1}(x)} x {\displaystyle x} X {\displaystyle X} X ~ {\displaystyle {\tilde {X}}} π {\displaystyle \pi } D x {\displaystyle D_{x}} x ∈ X {\displaystyle x\in X} X ~ {\displaystyle {\tilde {X}}} π : X ~ → X {\displaystyle \pi :{\tilde {X}}\rightarrow X} π {\displaystyle \pi }
一部の著者は、 連結でない 場合、が全射であることも要求しています。 [3] π {\displaystyle \pi } X {\displaystyle X}
例 任意の位相空間 に対して 、 恒等写像 は被覆です。同様に、任意の離散空間 に対して、 射影写像 は 被覆です。この種の被覆は 自明被覆 と呼ばれます。 が 有限 個（例えば 個）の元を持つ場合、被覆は の 自明 - シート被覆 と呼ばれます。 X {\displaystyle X} id : X → X {\displaystyle \operatorname {id} :X\rightarrow X} D {\displaystyle D} π : X × D → X {\displaystyle \pi :X\times D\rightarrow X} ( x , i ) ↦ x {\displaystyle (x,i)\mapsto x} D {\displaystyle D} k {\displaystyle k} k {\displaystyle k} X {\displaystyle X} 空間 は の被覆空間です 。互いに素な開集合は に同相写像されます 。 のファイバーは 点 で構成されます 。 Y = [ 0 , 1 ] × R {\displaystyle Y=[0,1]\times \mathbb {R} } X = [ 0 , 1 ] × S 1 {\displaystyle X=[0,1]\times S^{1}} S i {\displaystyle S_{i}} U {\displaystyle U} x {\displaystyle x} y i {\displaystyle y_{i}} による 写像は 単位円 の被覆です 。被覆の基底は 、被覆空間は です。 となる 任意の点 に対して 、集合 は の開近傍です 。 の基底 は です
。 r : R → S 1 {\displaystyle r:\mathbb {R} \to S^{1}} r ( t ) = ( cos ( 2 π t ) , sin ( 2 π t ) ) {\displaystyle r(t)=(\cos(2\pi t),\sin(2\pi t))} S 1 {\displaystyle S^{1}} S 1 {\displaystyle S^{1}} R {\displaystyle \mathbb {R} } x = ( x 1 , x 2 ) ∈ S 1 {\displaystyle x=(x_{1},x_{2})\in S^{1}} x 1 > 0 {\displaystyle x_{1}>0} U := { ( x 1 , x 2 ) ∈ S 1 ∣ x 1 > 0 } {\displaystyle U:=\{(x_{1},x_{2})\in S^{1}\mid x_{1}>0\}} x {\displaystyle x} U {\displaystyle U} r {\displaystyle r} r − 1 ( U ) = ⨆ n ∈ Z ( n − 1 4 , n + 1 4 ) {\displaystyle r^{-1}(U)=\displaystyle \bigsqcup _{n\in \mathbb {Z} }\left(n-{\frac {1}{4}},n+{\frac {1}{4}}\right)} 被覆のシートは に対してです 。 のファイバー は
です。 V n = ( n − 1 / 4 , n + 1 / 4 ) {\displaystyle V_{n}=(n-1/4,n+1/4)} n ∈ Z . {\displaystyle n\in \mathbb {Z} .} x {\displaystyle x} r − 1 ( x ) = { t ∈ R ∣ ( cos ( 2 π t ) , sin ( 2 π t ) ) = x } . {\displaystyle r^{-1}(x)=\{t\in \mathbb {R} \mid (\cos(2\pi t),\sin(2\pi t))=x\}.} 単位円 の別の被覆は、 のある正の に対する の写像です。 の 開近傍に対して 、次が成り立ちます。 q : S 1 → S 1 {\displaystyle q:S^{1}\to S^{1}} q ( z ) = z n {\displaystyle q(z)=z^{n}} n ∈ N . {\displaystyle n\in \mathbb {N} .} U {\displaystyle U} x ∈ S 1 {\displaystyle x\in S^{1}} q − 1 ( U ) = ⨆ i = 1 n U {\displaystyle q^{-1}(U)=\displaystyle \bigsqcup _{i=1}^{n}U} 。 局所同相 写像ではあるが単位円の被覆ではない 写像は で ある。 の開近傍シートが存在するが 、これは に同相写像されない 。 p : R + → S 1 {\displaystyle p:\mathbb {R_{+}} \to S^{1}} p ( t ) = ( cos ( 2 π t ) , sin ( 2 π t ) ) {\displaystyle p(t)=(\cos(2\pi t),\sin(2\pi t))} ( 1 , 0 ) {\displaystyle (1,0)} U {\displaystyle U} を奇数とする。 によって定義される 写像は 準同型二重被覆である。 n ≥ 1 {\displaystyle n\geq 1} p : O ( n ) → S O ( n ) {\displaystyle p:\mathrm {O} (n)\to \mathrm {SO} (n)} p ( Q ) = ( det Q ) Q {\displaystyle p(Q)=(\det Q)Q}
性質
局所同相 被覆はの互いに素な開集合のそれぞれを に同相的に 写すので 、局所同相、すなわち は 連続写像であり、任意の に対して の 開近傍が存在し 、そのような は 同相である。 π : E → X {\displaystyle \pi :E\rightarrow X} π − 1 ( U ) {\displaystyle \pi ^{-1}(U)} U {\displaystyle U} π {\displaystyle \pi } e ∈ E {\displaystyle e\in E} V ⊂ E {\displaystyle V\subset E} e {\displaystyle e} π | V : V → π ( V ) {\displaystyle \pi |_{V}:V\rightarrow \pi (V)}
したがって、被覆空間 と基底空間は 局所的に同じ性質を共有する。 E {\displaystyle E} X {\displaystyle X}
が連結かつ向き 付け不可能な多様体 である場合、 次数 の 被覆が存在し 、それによって は 連結かつ向き付け可能な多様体となる。 [2] : 234 X {\displaystyle X} π : X ~ → X {\displaystyle \pi :{\tilde {X}}\rightarrow X} 2 {\displaystyle 2} X ~ {\displaystyle {\tilde {X}}} が連結 リー群 である場合、 リー群準同型 でもあり 、 リー群で ある被覆が存在する。 [4] : 174 X {\displaystyle X} π : X ~ → X {\displaystyle \pi :{\tilde {X}}\rightarrow X} X ~ := { γ : γ is a path in X with γ ( 0 ) = 1 X modulo homotopy with fixed ends } {\displaystyle {\tilde {X}}:=\{\gamma :\gamma {\text{ is a path in X with }}\gamma (0)={\boldsymbol {1_{X}}}{\text{ modulo homotopy with fixed ends}}\}} がグラフ である 場合、これ もグラフである被覆が成り立つ。 [ 2 ] : 85 X {\displaystyle X} π : E → X {\displaystyle \pi :E\rightarrow X} E {\displaystyle E} が連結 多様体 の場合 、被覆 が存在し 、それによって は 連結 かつ単連結な 多様体となる。 [5] : 32 X {\displaystyle X} π : X ~ → X {\displaystyle \pi :{\tilde {X}}\rightarrow X} X ~ {\displaystyle {\tilde {X}}} が連結 リーマン面 の場合、 正則写像でも ある被覆 が存在し [5] : 22 、 は連結かつ単連結なリーマン面となる。 [5] : 32 X {\displaystyle X} π : X ~ → X {\displaystyle \pi :{\tilde {X}}\rightarrow X} X ~ {\displaystyle {\tilde {X}}}
因数分解 と を 経路連結かつ局所経路連結な空間とし、 と を 連続写像とすると、図は X , Y {\displaystyle X,Y} E {\displaystyle E} p , q {\displaystyle p,q} r {\displaystyle r}
通勤します。
と が 被覆である 場合、 も同様である 。 p {\displaystyle p} q {\displaystyle q} r {\displaystyle r} とが 被覆で あれば、 も同様である 。 [6] : 485 p {\displaystyle p} r {\displaystyle r} q {\displaystyle q}
被覆の積 と を 位相空間とし、と を被覆とすると、 は 被覆 となる。 [6] : 339 ただし、 の被覆は 一般にこの形式であるとは限りません。 X {\displaystyle X} X ′ {\displaystyle X'} p : E → X {\displaystyle p:E\rightarrow X} p ′ : E ′ → X ′ {\displaystyle p':E'\rightarrow X'} p × p ′ : E × E ′ → X × X ′ {\displaystyle p\times p':E\times E'\rightarrow X\times X'} ( p × p ′ ) ( e , e ′ ) = ( p ( e ) , p ′ ( e ′ ) ) {\displaystyle (p\times p')(e,e')=(p(e),p'(e'))} X × X ′ {\displaystyle X\times X'}
被覆の同値性 を位相空間とし、 を 被覆 とする。 同相 写像が存在し 、図式が X {\displaystyle X} p : E → X {\displaystyle p:E\rightarrow X} p ′ : E ′ → X {\displaystyle p':E'\rightarrow X} h : E → E ′ {\displaystyle h:E\rightarrow E'}
は可換である。そのような同相写像が存在する場合、被覆空間 と 同型は と呼ばれる。 E {\displaystyle E} E ′ {\displaystyle E'}
持ち上げ特性 すべての被覆は持ち上げ特性 を満たす。 すなわち、
を単位区間 とし 、 を被覆とする。を 連続写像とし、 を のリフト 、つまり となる連続写像とする。すると、 に対して 一意に決定される連続写像が存在し 、これは のリフト 、つまり となる 。 [2] : 60 I {\displaystyle I} p : E → X {\displaystyle p:E\rightarrow X} F : Y × I → X {\displaystyle F:Y\times I\rightarrow X} F ~ 0 : Y × { 0 } → E {\displaystyle {\tilde {F}}_{0}:Y\times \{0\}\rightarrow E} F | Y × { 0 } {\displaystyle F|_{Y\times \{0\}}} p ∘ F ~ 0 = F | Y × { 0 } {\displaystyle p\circ {\tilde {F}}_{0}=F|_{Y\times \{0\}}} F ~ : Y × I → E {\displaystyle {\tilde {F}}:Y\times I\rightarrow E} F ~ ( y , 0 ) = F ~ 0 {\displaystyle {\tilde {F}}(y,0)={\tilde {F}}_{0}} F {\displaystyle F} p ∘ F ~ = F {\displaystyle p\circ {\tilde {F}}=F}
がパス連結空間である 場合、 に対して 写像は における パス のリフトであり 、 に対しては におけるパスの ホモトピー のリフトである 。 X {\displaystyle X} Y = { 0 } {\displaystyle Y=\{0\}} F ~ {\displaystyle {\tilde {F}}} X {\displaystyle X} Y = I {\displaystyle Y=I} X {\displaystyle X}
結果として、 単位円の 基本群は 無限巡回群 であり、これはを持つ ループのホモトピー類によって生成されることを示すことができる 。 [2] : 29 π 1 ( S 1 ) {\displaystyle \pi _{1}(S^{1})} γ : I → S 1 {\displaystyle \gamma :I\rightarrow S^{1}} γ ( t ) = ( cos ( 2 π t ) , sin ( 2 π t ) ) {\displaystyle \gamma (t)=(\cos(2\pi t),\sin(2\pi t))}
をパス連結空間とし、 を 連結被覆とする。 パスで連結された任意の2点、 すなわち と とする 。 を の唯一のリフトとする と、写像は X {\displaystyle X} p : E → X {\displaystyle p:E\rightarrow X} x , y ∈ X {\displaystyle x,y\in X} γ {\displaystyle \gamma } γ ( 0 ) = x {\displaystyle \gamma (0)=x} γ ( 1 ) = y {\displaystyle \gamma (1)=y} γ ~ {\displaystyle {\tilde {\gamma }}} γ {\displaystyle \gamma }
L γ : p − 1 ( x ) → p − 1 ( y ) {\displaystyle L_{\gamma }:p^{-1}(x)\rightarrow p^{-1}(y)} とともに L γ ( γ ~ ( 0 ) ) = γ ~ ( 1 ) {\displaystyle L_{\gamma }({\tilde {\gamma }}(0))={\tilde {\gamma }}(1)} は単射で ある 。 [2] : 69
がパス連結空間で 連結被覆である 場合、誘導 群準同型は X {\displaystyle X} p : E → X {\displaystyle p:E\rightarrow X}
p # : π 1 ( E ) → π 1 ( X ) {\displaystyle p_{\#}:\pi _{1}(E)\rightarrow \pi _{1}(X)} とともに 、 p # ( [ γ ] ) = [ p ∘ γ ] {\displaystyle p_{\#}([\gamma ])=[p\circ \gamma ]} は単射 であり 、 の 部分群 は におけるループのホモトピー類から成り 、そのリフトは におけるループである 。 [2] : 61 p # ( π 1 ( E ) ) {\displaystyle p_{\#}(\pi _{1}(E))} π 1 ( X ) {\displaystyle \pi _{1}(X)} X {\displaystyle X} E {\displaystyle E}
分岐被覆
定義
リーマン面間の正則写像 と を リーマン面 、すなわち1次元 複素多様体 とし、 を 連続写像とする。が 点 において正則で ある 場合、 の任意のチャート と の チャート に対して 、 と の 任意の チャート に対して、 の写像が 正則で ある 。 X {\displaystyle X} Y {\displaystyle Y} f : X → Y {\displaystyle f:X\rightarrow Y} f {\displaystyle f} x ∈ X {\displaystyle x\in X} ϕ x : U 1 → V 1 {\displaystyle \phi _{x}:U_{1}\rightarrow V_{1}} x {\displaystyle x} ϕ f ( x ) : U 2 → V 2 {\displaystyle \phi _{f(x)}:U_{2}\rightarrow V_{2}} f ( x ) {\displaystyle f(x)} ϕ x ( U 1 ) ⊂ U 2 {\displaystyle \phi _{x}(U_{1})\subset U_{2}} ϕ f ( x ) ∘ f ∘ ϕ x − 1 : C → C {\displaystyle \phi _{f(x)}\circ f\circ \phi _{x}^{-1}:\mathbb {C} \rightarrow \mathbb {C} }
が正則である 場合 、は 正則で あるという f {\displaystyle f} x ∈ X {\displaystyle x\in X} f {\displaystyle f}
この写像は における の 局所表現 と呼ばれます 。 F = ϕ f ( x ) ∘ f ∘ ϕ x − 1 {\displaystyle F=\phi _{f(x)}\circ f\circ \phi _{x}^{-1}} f {\displaystyle f} x ∈ X {\displaystyle x\in X}
がコンパクト・リーマン面 間の非定数正則写像である 場合 、 は 射影的 であり 開写像 で ある 。 [5] : 11 すなわち、任意の開集合に対して 像 も開である。 f : X → Y {\displaystyle f:X\rightarrow Y} f {\displaystyle f} U ⊂ X {\displaystyle U\subset X} f ( U ) ⊂ Y {\displaystyle f(U)\subset Y}
分岐点と分岐点 をコンパクトリーマン面間の非定数正則写像とする。任意のに対して、 および の チャートが存在し、 一意に決定される が存在し、 における の 局所表現は の形となる 。 [5] : 10 数は における の 分岐指数 と呼ばれ、 の場合には 点は 分岐点 と呼ばれる 。 に対して で あれば、は 非分岐で ある 。分岐点の像点は 分岐点 と呼ばれる。 f : X → Y {\displaystyle f:X\rightarrow Y} x ∈ X {\displaystyle x\in X} x {\displaystyle x} f ( x ) {\displaystyle f(x)} k x ∈ N > 0 {\displaystyle k_{x}\in \mathbb {N_{>0}} } F {\displaystyle F} f {\displaystyle f} x {\displaystyle x} z ↦ z k x {\displaystyle z\mapsto z^{k_{x}}} k x {\displaystyle k_{x}} f {\displaystyle f} x {\displaystyle x} x ∈ X {\displaystyle x\in X} k x ≥ 2 {\displaystyle k_{x}\geq 2} k x = 1 {\displaystyle k_{x}=1} x ∈ X {\displaystyle x\in X} x {\displaystyle x} y = f ( x ) ∈ Y {\displaystyle y=f(x)\in Y}
正則写像の次数 をコンパクトリーマン面間の非定数正則写像とする。 の 次数は 非 分岐点のファイバーの濃度 、すなわち で
ある f : X → Y {\displaystyle f:X\rightarrow Y} deg ( f ) {\displaystyle \operatorname {deg} (f)} f {\displaystyle f} y = f ( x ) ∈ Y {\displaystyle y=f(x)\in Y} deg ( f ) := | f − 1 ( y ) | {\displaystyle \operatorname {deg} (f):=|f^{-1}(y)|}
この数は明確に定義されている。なぜなら、任意の に対して ファイバーは 離散的であり [5] : 20 であり、任意の2つの非分岐点 に対して 、次のようになるからである y ∈ Y {\displaystyle y\in Y} f − 1 ( y ) {\displaystyle f^{-1}(y)} y 1 , y 2 ∈ Y {\displaystyle y_{1},y_{2}\in Y} | f − 1 ( y 1 ) | = | f − 1 ( y 2 ) | . {\displaystyle |f^{-1}(y_{1})|=|f^{-1}(y_{2})|.}
これは次のように計算できます。
∑ x ∈ f − 1 ( y ) k x = deg ( f ) {\displaystyle \sum _{x\in f^{-1}(y)}k_{x}=\operatorname {deg} (f)} [5] : 29
分岐被覆
定義 連続写像は、 稠密 補集合 を持つ 閉集合 が存在し 、それが 被覆である
場合、 分岐 被覆と呼ばれます。 f : X → Y {\displaystyle f:X\rightarrow Y} E ⊂ Y {\displaystyle E\subset Y} f | X ∖ f − 1 ( E ) : X ∖ f − 1 ( E ) → Y ∖ E {\displaystyle f_{|X\smallsetminus f^{-1}(E)}:X\smallsetminus f^{-1}(E)\rightarrow Y\smallsetminus E}
例 とと する とき、 は 次数 の分岐被覆 であり 、 は 分岐点です。 n ∈ N {\displaystyle n\in \mathbb {N} } n ≥ 2 {\displaystyle n\geq 2} f : C → C {\displaystyle f:\mathbb {C} \rightarrow \mathbb {C} } f ( z ) = z n {\displaystyle f(z)=z^{n}} n {\displaystyle n} z = 0 {\displaystyle z=0} 次数 の コンパクトリーマン面間のすべての非定数正則写像は、 次数 の分岐被覆です 。 f : X → Y {\displaystyle f:X\rightarrow Y} d {\displaystyle d} d {\displaystyle d}
普遍被覆
定義 を単連結 被覆とします 。 が 別の単連結被覆である場合、 が一意に決定される同相写像 が存在し 、図 p : X ~ → X {\displaystyle p:{\tilde {X}}\rightarrow X} β : E → X {\displaystyle \beta :E\rightarrow X} α : X ~ → E {\displaystyle \alpha :{\tilde {X}}\rightarrow E}
可換である。 [6] : 482
これは 、同値性を除き、が一意に決定され、その 普遍的性質 のために空間の 普遍被覆 として示されることを意味する 。 p {\displaystyle p} X {\displaystyle X}
存在 普遍被覆は常に存在するわけではありません。次の定理は、ある種の基底空間に対してその存在を保証します。
を連結で 局所単連結な 位相空間とします 。すると、普遍被覆が存在する X {\displaystyle X} p : X ~ → X . {\displaystyle p:{\tilde {X}}\rightarrow X.}
集合は と定義され、は 任意 の選択された基点である。写像は [2] : 64 で定義される X ~ {\displaystyle {\tilde {X}}} X ~ = { γ : γ is a path in X with γ ( 0 ) = x 0 } / homotopy with fixed ends , {\displaystyle {\tilde {X}}=\{\gamma :\gamma {\text{ is a path in }}X{\text{ with }}\gamma (0)=x_{0}\}/{\text{homotopy with fixed ends}},} x 0 ∈ X {\displaystyle x_{0}\in X} p : X ~ → X {\displaystyle p:{\tilde {X}}\rightarrow X} p ( [ γ ] ) = γ ( 1 ) . {\displaystyle p([\gamma ])=\gamma (1).}
上の 位相 は 次のように構築されます。を を 持つ パスとします。 を の単連結な近傍とします。 すると、任意の に対して、 から へ の内部 パス が存在し、これは ホモトピー を除いて一意です 。ここで、集合 を考えます。 による 制約は 全単射であり、最終的 な 位相 を備えることができます [ さらなる説明が必要 ] X ~ {\displaystyle {\tilde {X}}} γ : I → X {\displaystyle \gamma :I\rightarrow X} γ ( 0 ) = x 0 . {\displaystyle \gamma (0)=x_{0}.} U {\displaystyle U} x = γ ( 1 ) . {\displaystyle x=\gamma (1).} y ∈ U , {\displaystyle y\in U,} σ y {\displaystyle \sigma _{y}} U {\displaystyle U} x {\displaystyle x} y {\displaystyle y} U ~ = { γ σ y : y ∈ U } / homotopy with fixed ends . {\displaystyle {\tilde {U}}=\{\gamma \sigma _{y}:y\in U\}/{\text{homotopy with fixed ends}}.} p | U ~ : U ~ → U {\displaystyle p|_{\tilde {U}}:{\tilde {U}}\rightarrow U} p ( [ γ σ y ] ) = γ σ y ( 1 ) = y {\displaystyle p([\gamma \sigma _{y}])=\gamma \sigma _{y}(1)=y} U ~ {\displaystyle {\tilde {U}}} p | U ~ . {\displaystyle p|_{\tilde {U}}.}
基本群は によって に 自由 に 作用し 、軌道空間は を通して に同相です。 π 1 ( X , x 0 ) = Γ {\displaystyle \pi _{1}(X,x_{0})=\Gamma } X ~ {\displaystyle {\tilde {X}}} ( [ γ ] , [ x ~ ] ) ↦ [ γ x ~ ] , {\displaystyle ([\gamma ],[{\tilde {x}}])\mapsto [\gamma {\tilde {x}}],} Γ ∖ X ~ {\displaystyle \Gamma \backslash {\tilde {X}}} X {\displaystyle X} [ Γ x ~ ] ↦ x ~ ( 1 ) . {\displaystyle [\Gamma {\tilde {x}}]\mapsto {\tilde {x}}(1).}
例 ハワイのイヤリング。最も大きい10個の円 p : R → S 1 {\displaystyle p:\mathbb {R} \to S^{1}} は単位円の普遍被覆です 。 p ( t ) = ( cos ( 2 π t ) , sin ( 2 π t ) ) {\displaystyle p(t)=(\cos(2\pi t),\sin(2\pi t))} S 1 {\displaystyle S^{1}} p : S n → R P n ≅ { + 1 , − 1 } ∖ S n {\displaystyle p:S^{n}\to \mathbb {R} P^{n}\cong \{+1,-1\}\backslash S^{n}} は の 射影空間 の普遍被覆です 。 p ( x ) = [ x ] {\displaystyle p(x)=[x]} R P n {\displaystyle \mathbb {R} P^{n}} n > 1 {\displaystyle n>1} p : S U ( n ) × R → U ( n ) {\displaystyle p:\mathrm {SU} (n)\times \mathbb {R} \to U(n)} はの ユニタリ群 の普遍被覆 です p ( A , t ) = exp ( 2 π i t ) A {\displaystyle p(A,t)=\exp(2\pi it)A} U ( n ) {\displaystyle U(n)} であるので、 商写像は の普遍被覆である ことがわかる 。 S U ( 2 ) ≅ S 3 {\displaystyle \mathrm {SU} (2)\cong S^{3}} p : S U ( 2 ) → S U ( 2 ) / Z 2 ≅ S O ( 3 ) {\displaystyle p:\mathrm {SU} (2)\rightarrow \mathrm {SU} (2)/\mathbb {Z_{2}} \cong \mathrm {SO} (3)} S O ( 3 ) {\displaystyle \mathrm {SO} (3)} 普遍被覆を持たない位相空間は ハワイアンイヤリング である。 原点の近傍 は単連結ではないことが示される。 [6] : 487, 例1 X = ⋃ n ∈ N { ( x 1 , x 2 ) ∈ R 2 : ( x 1 − 1 n ) 2 + x 2 2 = 1 n 2 } {\displaystyle X=\bigcup _{n\in \mathbb {N} }\left\{(x_{1},x_{2})\in \mathbb {R} ^{2}:{\Bigl (}x_{1}-{\frac {1}{n}}{\Bigr )}^{2}+x_{2}^{2}={\frac {1}{n^{2}}}\right\}} ( 0 , 0 ) {\displaystyle (0,0)}
G被覆 Gを 位相空間 X に 作用する 離散群 とする 。 これは、 G の各元 gが、 X の それ自身への同相写像 H g に関連付けられ、 G の任意の 2つの元 g と hに対して、 H g hが常に H g H h に等しいということを意味する 。（言い換えれば、群 G の空間 Xへの群作用は、群 G の X の自己同相の 群 Homeo( X ) への群準同型にすぎない。） Xから 軌道空間 X / G への 射影がどのような条件下で 被覆写像となるのかを問うのは自然なことである。作用は不動点を持つ場合があるため、これは常に真であるわけではない。その一例は、 非単位元が ( x , y ) ↦ ( y , x )によって作用するねじり作用によって積 X × X に作用する位数 2 の巡回群である。したがって、 X と X / G の基本群の関係の研究は それほど簡単ではない。 ∘ {\displaystyle \circ }
しかし、群 Gは X の 基本 群 に作用するため、群に作用する群と、対応する 軌道群 を考えることで、この研究は最もよく扱われます。この理論は、 後述する 『位相と群』 の第11章に記載されています。主な結果は、普遍被覆を許容するハウスドルフ空間 Xへの群 Gの不連続作用に対して、軌道空間 X / G の基本群は、 X の基本群の軌道群、つまり群 G の作用によるその群の商と同型であるということです 。これは、例えば空間の対称正方形の基本群の明示的な計算につながります。
滑らかな被覆 E と M を 境界 の有無にかかわらず 滑らかな多様体 とする 。 被覆 が滑らかな 写像 であり 、シートが M の対応する開部分集合に 微分同相的に写像される場合、被覆 は 滑らかな被覆 と呼ばれる 。（これは、シートが 対応する開部分集合に 同相的に写像されることのみを要求する被覆 の定義とは対照的である。） π : E → M {\displaystyle \pi :E\to M}
定義 を被覆とする。 デッキ 変換は 同相写像 であり、連続写像の図式は p : E → X {\displaystyle p:E\rightarrow X} d : E → E {\displaystyle d:E\rightarrow E}
可換である。写像の合成とともに、デッキ変換の集合は 群 を形成し、これは と同じである 。 Deck ( p ) {\displaystyle \operatorname {Deck} (p)} Aut ( p ) {\displaystyle \operatorname {Aut} (p)}
ここで、 が被覆写像であり、 （したがって も）が連結かつ局所パス連結であるとする。 各ファイバーへ の の作用は 自由 である。この作用があるファイバー上で 推移的 である場合、それはすべてのファイバー上で推移的であり、被覆 を 正則 （または 正規 もしくは ガロア ） と呼ぶ。そのようなすべての正則被覆は 主 -バンドル であり、 は 離散位相群とみなされる p : C → X {\displaystyle p:C\to X} C {\displaystyle C} X {\displaystyle X} Aut ( p ) {\displaystyle \operatorname {Aut} (p)} G {\displaystyle G} G = Aut ( p ) {\displaystyle G=\operatorname {Aut} (p)}
すべての普遍被覆は正則であり、デッキ変換群は 基本群 と同型です 。 p : D → X {\displaystyle p:D\to X} π 1 ( X ) {\displaystyle \pi _{1}(X)}
例 を何らかの の 被覆とすると 、 への 写像は デッキ変換であり、です 。 q : S 1 → S 1 {\displaystyle q:S^{1}\to S^{1}} q ( z ) = z n {\displaystyle q(z)=z^{n}} n ∈ N {\displaystyle n\in \mathbb {N} } d k : S 1 → S 1 : z ↦ z e 2 π i k / n {\displaystyle d_{k}:S^{1}\rightarrow S^{1}:z\mapsto z\,e^{2\pi ik/n}} k ∈ Z {\displaystyle k\in \mathbb {Z} } Deck ( q ) ≅ Z / n Z {\displaystyle \operatorname {Deck} (q)\cong \mathbb {Z} /n\mathbb {Z} } を被覆とすると 、 への 写像は デッキ変換であり、 です 。 r : R → S 1 {\displaystyle r:\mathbb {R} \to S^{1}} r ( t ) = ( cos ( 2 π t ) , sin ( 2 π t ) ) {\displaystyle r(t)=(\cos(2\pi t),\sin(2\pi t))} d k : R → R : t ↦ t + k {\displaystyle d_{k}:\mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R} :t\mapsto t+k} k ∈ Z {\displaystyle k\in \mathbb {Z} } Deck ( r ) ≅ Z {\displaystyle \operatorname {Deck} (r)\cong \mathbb {Z} } もう1つの重要な例として、 複素平面と原点を除いた複素平面を考えてみましょう。すると、 の 写像は 正則被覆です。デッキ変換は の乗根 を持つ乗算であり 、したがってデッキ変換群は 巡回群 と同型です。同様に、の 写像 は普遍被覆です。 C {\displaystyle \mathbb {C} } C × {\displaystyle \mathbb {C} ^{\times }} p : C × → C × {\displaystyle p:\mathbb {C} ^{\times }\to \mathbb {C} ^{\times }} p ( z ) = z n {\displaystyle p(z)=z^{n}} n {\displaystyle n} Z / n Z {\displaystyle \mathbb {Z} /n\mathbb {Z} } exp : C → C × {\displaystyle \exp :\mathbb {C} \to \mathbb {C} ^{\times }} exp ( z ) = e z {\displaystyle \exp(z)=e^{z}}
性質 をパス連結空間とし、 を 連結被覆とする。デッキ変換は 単射で あるため 、ファイバーの要素を と入れ替え 、 は単一の点をどこに送るかによって一意に決定される。特に、恒等写像のみがファイバー内の点を固定する。 [2] : 70 この性質により、すべてのデッキ変換は への 群作用 を定義する。すなわち、 を の開近傍と し、 を の開近傍とする とき、は 群作用 である 。 X {\displaystyle X} p : E → X {\displaystyle p:E\rightarrow X} d : E → E {\displaystyle d:E\rightarrow E} p − 1 ( x ) {\displaystyle p^{-1}(x)} x ∈ X {\displaystyle x\in X} E {\displaystyle E} U ⊂ X {\displaystyle U\subset X} x ∈ X {\displaystyle x\in X} U ~ ⊂ E {\displaystyle {\tilde {U}}\subset E} e ∈ p − 1 ( x ) {\displaystyle e\in p^{-1}(x)} Deck ( p ) × E → E : ( d , U ~ ) ↦ d ( U ~ ) {\displaystyle \operatorname {Deck} (p)\times E\rightarrow E:(d,{\tilde {U}})\mapsto d({\tilde {U}})}
正規被覆
定義 被覆は 、 のとき正規と呼ばれる 。これは、すべての と任意の2つに対して 、 となる デッキ変換 が存在することを意味する 。 p : E → X {\displaystyle p:E\rightarrow X} Deck ( p ) ∖ E ≅ X {\displaystyle \operatorname {Deck} (p)\backslash E\cong X} x ∈ X {\displaystyle x\in X} e 0 , e 1 ∈ p − 1 ( x ) {\displaystyle e_{0},e_{1}\in p^{-1}(x)} d : E → E {\displaystyle d:E\rightarrow E} d ( e 0 ) = e 1 {\displaystyle d(e_{0})=e_{1}}
性質 をパス連結空間とし、 を連結被覆とする。 の 部分群 とする とき、 は正規被覆であり、は の 正規部分群 である 。 X {\displaystyle X} p : E → X {\displaystyle p:E\rightarrow X} H = p # ( π 1 ( E ) ) {\displaystyle H=p_{\#}(\pi _{1}(E))} π 1 ( X ) {\displaystyle \pi _{1}(X)} p {\displaystyle p} H {\displaystyle H} π 1 ( X ) {\displaystyle \pi _{1}(X)}
が正規被覆で あり 、 であるとき、 である 。 p : E → X {\displaystyle p:E\rightarrow X} H = p # ( π 1 ( E ) ) {\displaystyle H=p_{\#}(\pi _{1}(E))} Deck ( p ) ≅ π 1 ( X ) / H {\displaystyle \operatorname {Deck} (p)\cong \pi _{1}(X)/H}
がパス連結被覆であり 、 であるとき、 であり 、ここで は の 正規化子 である 。 [2] : 71 p : E → X {\displaystyle p:E\rightarrow X} H = p # ( π 1 ( E ) ) {\displaystyle H=p_{\#}(\pi _{1}(E))} Deck ( p ) ≅ N ( H ) / H {\displaystyle \operatorname {Deck} (p)\cong N(H)/H} N ( H ) {\displaystyle N(H)} H {\displaystyle H}
を位相空間とする 。群が に 不連続に 作用すると は、 任意の が との 開近傍を持ち 、任意の に対して が成り立つことを言う 。 E {\displaystyle E} Γ {\displaystyle \Gamma } E {\displaystyle E} e ∈ E {\displaystyle e\in E} V ⊂ E {\displaystyle V\subset E} V ≠ ∅ {\displaystyle V\neq \emptyset } d 1 , d 2 ∈ Γ {\displaystyle d_{1},d_{2}\in \Gamma } d 1 V ∩ d 2 V ≠ ∅ {\displaystyle d_{1}V\cap d_{2}V\neq \emptyset } d 1 = d 2 {\displaystyle d_{1}=d_{2}}
群が 位相空間 に不連続に作用する場合 、 との 商写像 は正規被覆である。 [2] : 72 ここで は 商空間 であり 、は 群作用の 軌道 である。 Γ {\displaystyle \Gamma } E {\displaystyle E} q : E → Γ ∖ E {\displaystyle q:E\rightarrow \Gamma \backslash E} q ( e ) = Γ e {\displaystyle q(e)=\Gamma e} Γ ∖ E = { Γ e : e ∈ E } {\displaystyle \Gamma \backslash E=\{\Gamma e:e\in E\}} Γ e = { γ ( e ) : γ ∈ Γ } {\displaystyle \Gamma e=\{\gamma (e):\gamma \in \Gamma \}}
例 による 被覆は 、任意の に対して正規被覆である 。 q : S 1 → S 1 {\displaystyle q:S^{1}\to S^{1}} q ( z ) = z n {\displaystyle q(z)=z^{n}} n ∈ N {\displaystyle n\in \mathbb {N} } すべての単連結被覆は正規被覆である。
計算 を位相空間に不連続に作用する群とし 、 を 正規被覆とする。 Γ {\displaystyle \Gamma } E {\displaystyle E} q : E → Γ ∖ E {\displaystyle q:E\rightarrow \Gamma \backslash E}
がパス連結である 場合、 となる 。 [2] : 72 E {\displaystyle E} Deck ( q ) ≅ Γ {\displaystyle \operatorname {Deck} (q)\cong \Gamma } が単連結である場合 、 となる 。 [2] : 71 E {\displaystyle E} Deck ( q ) ≅ π 1 ( Γ ∖ E ) {\displaystyle \operatorname {Deck} (q)\cong \pi _{1}(\Gamma \backslash E)}
例 とします 。対蹠写像 は 、写像の合成とともに群を生成し 、群作用 を誘導します。群作用 は に不連続に作用します 。したがって 、 に対しては となり、商写像 は正規被覆となり、 は 普遍被覆となります。したがって、 となります 。 n ∈ N {\displaystyle n\in \mathbb {N} } g : S n → S n {\displaystyle g:S^{n}\rightarrow S^{n}} g ( x ) = − x {\displaystyle g(x)=-x} D ( g ) ≅ Z / 2 Z {\displaystyle D(g)\cong \mathbb {Z/2Z} } D ( g ) × S n → S n , ( g , x ) ↦ g ( x ) {\displaystyle D(g)\times S^{n}\rightarrow S^{n},(g,x)\mapsto g(x)} S n {\displaystyle S^{n}} Z 2 ∖ S n ≅ R P n {\displaystyle \mathbb {Z_{2}} \backslash S^{n}\cong \mathbb {R} P^{n}} q : S n → Z 2 ∖ S n ≅ R P n {\displaystyle q:S^{n}\rightarrow \mathbb {Z_{2}} \backslash S^{n}\cong \mathbb {R} P^{n}} n > 1 {\displaystyle n>1} Deck ( q ) ≅ Z / 2 Z ≅ π 1 ( R P n ) {\displaystyle \operatorname {Deck} (q)\cong \mathbb {Z/2Z} \cong \pi _{1}({\mathbb {R} P^{n}})} n > 1 {\displaystyle n>1} を特殊直交群 とする と 、写像 は 正規被覆となり、 のため 、 は普遍被覆となります。したがって、 となります 。 S O ( 3 ) {\displaystyle \mathrm {SO} (3)} f : S U ( 2 ) → S O ( 3 ) ≅ Z 2 ∖ S U ( 2 ) {\displaystyle f:\mathrm {SU} (2)\rightarrow \mathrm {SO} (3)\cong \mathbb {Z_{2}} \backslash \mathrm {SU} (2)} S U ( 2 ) ≅ S 3 {\displaystyle \mathrm {SU} (2)\cong S^{3}} Deck ( f ) ≅ Z / 2 Z ≅ π 1 ( S O ( 3 ) ) {\displaystyle \operatorname {Deck} (f)\cong \mathbb {Z/2Z} \cong \pi _{1}(\mathrm {SO} (3))} をへ の 群作用 とすると 、 は 半直積 となるため、 クラインの壺 の 普遍被覆 が得られます。 したがって、 となります 。 ( z 1 , z 2 ) ∗ ( x , y ) = ( z 1 + ( − 1 ) z 2 x , z 2 + y ) {\displaystyle (z_{1},z_{2})*(x,y)=(z_{1}+(-1)^{z_{2}}x,z_{2}+y)} Z 2 {\displaystyle \mathbb {Z^{2}} } R 2 {\displaystyle \mathbb {R^{2}} } ( Z 2 , ∗ ) {\displaystyle (\mathbb {Z^{2}} ,*)} Z ⋊ Z {\displaystyle \mathbb {Z} \rtimes \mathbb {Z} } f : R 2 → ( Z ⋊ Z ) ∖ R 2 ≅ K {\displaystyle f:\mathbb {R^{2}} \rightarrow (\mathbb {Z} \rtimes \mathbb {Z} )\backslash \mathbb {R^{2}} \cong K} K {\displaystyle K} Deck ( f ) ≅ Z ⋊ Z ≅ π 1 ( K ) {\displaystyle \operatorname {Deck} (f)\cong \mathbb {Z} \rtimes \mathbb {Z} \cong \pi _{1}(K)} を に埋め込まれた トーラス とし ます 。すると同相写像 が得られ 、 は不連続な群作用 を誘導します。 したがって、 となります 。 したがって、写像 は クラインの壺の正規被覆 となります。したがって、となります。 T = S 1 × S 1 {\displaystyle T=S^{1}\times S^{1}} C 2 {\displaystyle \mathbb {C^{2}} } α : T → T : ( e i x , e i y ) ↦ ( e i ( x + π ) , e − i y ) {\displaystyle \alpha :T\rightarrow T:(e^{ix},e^{iy})\mapsto (e^{i(x+\pi )},e^{-iy})} G α × T → T {\displaystyle G_{\alpha }\times T\rightarrow T} G α ≅ Z / 2 Z {\displaystyle G_{\alpha }\cong \mathbb {Z/2Z} } f : T → G α ∖ T ≅ K {\displaystyle f:T\rightarrow G_{\alpha }\backslash T\cong K} Deck ( f ) ≅ Z / 2 Z {\displaystyle \operatorname {Deck} (f)\cong \mathbb {Z/2Z} } を に埋め込むとします 。 群作用 は 不連続となるため、 は 互いに素 となるため 、写像 は レンズ空間 の普遍被覆 となります 。したがって、 となります 。 S 3 {\displaystyle S^{3}} C 2 {\displaystyle \mathbb {C^{2}} } S 3 × Z / p Z → S 3 : ( ( z 1 , z 2 ) , [ k ] ) ↦ ( e 2 π i k / p z 1 , e 2 π i k q / p z 2 ) {\displaystyle S^{3}\times \mathbb {Z/pZ} \rightarrow S^{3}:((z_{1},z_{2}),[k])\mapsto (e^{2\pi ik/p}z_{1},e^{2\pi ikq/p}z_{2})} p , q ∈ N {\displaystyle p,q\in \mathbb {N} } f : S 3 → Z p ∖ S 3 =: L p , q {\displaystyle f:S^{3}\rightarrow \mathbb {Z_{p}} \backslash S^{3}=:L_{p,q}} L p , q {\displaystyle L_{p,q}} Deck ( f ) ≅ Z / p Z ≅ π 1 ( L p , q ) {\displaystyle \operatorname {Deck} (f)\cong \mathbb {Z/pZ} \cong \pi _{1}(L_{p,q})}
ガロア対応 を連結かつ 局所単連結な 空間とする と、すべての 部分群 に対して となる経路連結な被覆が存在する 。 [ 2] : 66 X {\displaystyle X} H ⊆ π 1 ( X ) {\displaystyle H\subseteq \pi _{1}(X)} α : X H → X {\displaystyle \alpha :X_{H}\rightarrow X} α # ( π 1 ( X H ) ) = H {\displaystyle \alpha _{\#}(\pi _{1}(X_{H}))=H}
と を 2つの経路連結な被覆とすると、部分群と が互いに共役である場合に限り、それらは同値である 。 [ 6 ] : 482 p 1 : E → X {\displaystyle p_{1}:E\rightarrow X} p 2 : E ′ → X {\displaystyle p_{2}:E'\rightarrow X} H = p 1 # ( π 1 ( E ) ) {\displaystyle H=p_{1\#}(\pi _{1}(E))} H ′ = p 2 # ( π 1 ( E ′ ) ) {\displaystyle H'=p_{2\#}(\pi _{1}(E'))}
を連結かつ局所単連結な空間とすると、被覆間の同値性を除き、一対一が存在する。 X {\displaystyle X}
{ Subgroup of π 1 ( X ) } ⟷ { path-connected covering p : E → X } H ⟶ α : X H → X p # ( π 1 ( E ) ) ⟵ p { normal subgroup of π 1 ( X ) } ⟷ { normal covering p : E → X } {\displaystyle {\begin{matrix}\qquad \displaystyle \{{\text{Subgroup of }}\pi _{1}(X)\}&\longleftrightarrow &\displaystyle \{{\text{path-connected covering }}p:E\rightarrow X\}\\H&\longrightarrow &\alpha :X_{H}\rightarrow X\\p_{\#}(\pi _{1}(E))&\longleftarrow &p\\\displaystyle \{{\text{normal subgroup of }}\pi _{1}(X)\}&\longleftrightarrow &\displaystyle \{{\text{normal covering }}p:E\rightarrow X\}\end{matrix}}}
部分群の列に対しては、 被覆の列が得られる。 添え字 の 部分群に対して 、被覆の 次数は である 。 { e } ⊂ H ⊂ G ⊂ π 1 ( X ) {\displaystyle \displaystyle \{{\text{e}}\}\subset H\subset G\subset \pi _{1}(X)} X ~ ⟶ X H ≅ H ∖ X ~ ⟶ X G ≅ G ∖ X ~ ⟶ X ≅ π 1 ( X ) ∖ X ~ {\displaystyle {\tilde {X}}\longrightarrow X_{H}\cong H\backslash {\tilde {X}}\longrightarrow X_{G}\cong G\backslash {\tilde {X}}\longrightarrow X\cong \pi _{1}(X)\backslash {\tilde {X}}} H ⊂ π 1 ( X ) {\displaystyle H\subset \pi _{1}(X)} [ π 1 ( X ) : H ] = d {\displaystyle \displaystyle [\pi _{1}(X):H]=d} α : X H → X {\displaystyle \alpha :X_{H}\rightarrow X} d {\displaystyle d}
分類
定義
被覆の圏 を位相空間とする。 圏 の対象は の 被覆 と、 2つの被覆と の間の 射 は 連続写像であり 、図式は X {\displaystyle X} C o v ( X ) {\displaystyle {\boldsymbol {Cov(X)}}} p : E → X {\displaystyle p:E\rightarrow X} X {\displaystyle X} p : E → X {\displaystyle p:E\rightarrow X} q : F → X {\displaystyle q:F\rightarrow X} f : E → F {\displaystyle f:E\rightarrow F}
通勤します。
Gセット を位相群 とする 。 圏 は G集合 である集合の圏である 。射は G集合間の G写像 である。それらは任意のに対して条件を満たす 。 G {\displaystyle G} G − S e t {\displaystyle {\boldsymbol {G-Set}}} ϕ : X → Y {\displaystyle \phi :X\rightarrow Y} ϕ ( g x ) = g ϕ ( x ) {\displaystyle \phi (gx)=g\,\phi (x)} g ∈ G {\displaystyle g\in G}
同値性 を 連結かつ局所単連結な空間 とし、 をの基本群とする 。 パスを持ち上げてその端点で評価することにより、被覆のファイバーへの群作用を定義するので、 関手は カテゴリの同値 となる 。 [2] : 68–70 X {\displaystyle X} x ∈ X {\displaystyle x\in X} G = π 1 ( X , x ) {\displaystyle G=\pi _{1}(X,x)} X {\displaystyle X} G {\displaystyle G} F : C o v ( X ) ⟶ G − S e t : p ↦ p − 1 ( x ) {\displaystyle F:{\boldsymbol {Cov(X)}}\longrightarrow {\boldsymbol {G-Set}}:p\mapsto p^{-1}(x)}
応用 ジンバルロックは、 任意の写像 T 3 → RP 3 が被覆写像ではないために発生します。特に、関連する写像は、 T 3 の任意の元、つまり角度（実数 mod 2 π ）の順序付き3つ組（a,b,c）を、それぞれそれらの角度による3つの座標軸回転R x (a) R y (b) R z (c)の合成に持ち込みます。これらの回転とその合成はそれぞれ、位相的に RP 3 である回転群SO(3)の元です。このアニメーションは、 3つ の自由度を可能にするために一緒に取り付けられた3つのジンバルのセットを示しています 。3つのジンバルすべてが一列に並んでいる場合（同じ平面内）、システムはこの構成から3次元ではなく2次元にのみ移動でき、 ジンバルロック 状態になります。この場合、ピッチングまたはヨーイングは可能ですが、ロール（すべての軸が存在する平面内で回転）はできません ∘ {\displaystyle \circ } ∘ {\displaystyle \circ } 被覆空間の重要な実用的応用は、 回転群 で あるSO(3)のチャート に見られます。この群は、3次元回転が 航海 、 船舶工学 、 航空宇宙工学 など、多くの用途で頻繁に使用されているため、工学で広く用いられています。位相的には、SO(3)は 実射影空間 RP 3 であり、基本群 Z / 2を持ち、超球面 S 3 （ Spin(3) 群） のみが（非自明に）被覆空間であり 、単位 四元数 で表されます。したがって、四元数は空間回転を表すための好ましい方法です 。 四元数と空間回転を参照してください
しかし、回転をオイラー角 （多くのバリエーションがある）と呼ばれる3つの数値の集合で表すことが望ましい場合が多くあります。これは、平面回転に精通している人にとっては概念的に単純であり、3つの ジンバルを 組み合わせて 3次元の回転を生成できるためです。位相的には、これは3つの角度の3次元トーラス T 3 から回転の実射影空間 RP 3 への写像に対応し、結果として得られる写像は、この写像が被覆写像にならないために不完全性を持ちます。具体的には、特定の点で写像が局所同相写像にならないことを ジンバルロック と呼び、右のアニメーションで示されています。軸が共平面にある場合、写像の 階数 は3ではなく2であり、角度を変更することでその点から2次元の回転しか実現できないことを意味します。これは応用において問題を引き起こし、被覆空間の概念によって形式化されます。
参照
参考文献
参考文献 ^ フォースター、オットー (1981). 「第1章：被覆空間」. リーマン面講義 . GTM. ブルース・ジリアン訳. ニューヨーク：シュプリンガー. ISBN 9781461259633 。 ^ abcdefghijklmnop ハッチャー、アレン (2001). 代数的位相幾何学 . ケンブリッジ: ケンブリッジ大学出版局. ISBN 0-521-79160-X 。 ^ ローランド、トッド. 「被覆写像」. MathWorld（Wolfram Webリソース、Eric W. Weisstein作成）より. https://mathworld.wolfram.com/CoveringMap.html ^ Kühnel, Wolfgang (2010年12月6日). Matrizen und Lie-Gruppen . シュトゥットガルト: Springer Fachmedien Wiesbaden GmbH. ISBN 978-3-8348-9905-7 。 ^ abcdefg Forster, Otto (1991). Lectures on Riemann faces . ミュンヘン: Springer Berlin. ISBN 978-3-540-90617-9 。 ^ abcde Munkres, James (2000). Topology . Upper Saddle River, NJ: Prentice Hall, Inc. ISBN 978-0-13-468951-7 。 
![{\displaystyle Y=[0,1]\times \mathbb{R} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b566709fb62d0c99d75506726ea4f22fc3f98078)
![{\displaystyle X=[0,1]\times S^{1}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3ecfebcfe87fcb8d16f87d9f6dfecca71bf16af1)
![{\displaystyle p_{\#}([\gamma])=[p\circ\gamma]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d0da1f32b69d662c4ca704e03c7f6665cc4c2bbe)
![{\displaystyle p([\gamma ])=\gamma (1).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/88161f80c6b7485988e4316566ca3403a07d3120)
![{\displaystyle p([\gamma \sigma _{y}])=\gamma \sigma _{y}(1)=y}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6fde7cec13ae9d68141ad43a3b98b5826e0e59e4)
![{\displaystyle ([\gamma ],[{\tilde {x}}])\mapsto [\gamma {\tilde {x}}],}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ce4233e45b128ca2c7c9da8172d420335be02fba)
![{\displaystyle [\Gamma {\tilde {x}}]\mapsto {\tilde {x}}(1).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8013d086e999f585e622aefa4be8eb7e915a07c1)
![{\displaystyle p(x)=[x]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/24b8773dff8ad19fc5a8f33134a4da367b04fc0c)
![{\displaystyle S^{3}\times \mathbb{Z/pZ} \rightarrow S^{3}:((z_{1},z_{2}),[k])\mapsto (e^{2\pi ik/p}z_{1},e^{2\pi ikq/p}z_{2})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/72ebd3752fc18f7e53cc92a583d04ac1b95a75ac)
![{\displaystyle \displaystyle [\pi _{1}(X):H]=d}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2b9159dd8a0e29ba795fe865ddb5140ae95fd675)
