倍加時間

量を2倍にするために必要な時間

倍加時間とは、人口規模／価値が倍増するのにかかる時間です。人口増加、インフレ、資源採掘、財の消費、複利、悪性腫瘍の発生量など、時間の経過とともに増加する傾向のある多くのものに適用されます。相対成長率（絶対成長率ではない）が一定の場合、量は指数関数的に増加し、倍加時間または倍加期間は一定となります。これは成長率から直接計算できます。

この時間は、2の自然対数を成長の指数で割ることで計算できます。または、70をパーセンテージ成長率で割ることで概算できます^[1]（より大まかですが、概算するには72で割ります。この公式の詳細と導出については、72の法則を参照してください）。

倍加時間は指数関数的増加方程式の特性単位（自然なスケールの単位）であり、指数関数的減少の逆は半減期です。

例えば、カナダの2022年の純人口増加率は2.7%です。72を2.7で割ると、人口倍増にかかる時間はおよそ27年となります。したがって、この増加率が一定であれば、カナダの人口は2023年の約3,900万人から2050年には約7,800万人へと倍増することになります。 ^[2]

歴史

倍増時間の概念は、バビロニア数学における貸付利子に遡ります。紀元前2000年頃の粘土板には、「月利1/60（複利なし）の場合、倍増時間はどうなるか」という問題が記されています。これは年利12/60 = 20%となり、したがって倍増時間は100%増加/年20%増加 = 5年となります。^{[3] [4]}さらに、一定期間後に元本の2倍の金額を返済することは、当時の一般的な商慣習でした。紀元前1900年のアッシリアにおける一般的な貸付は、金2ミナを貸し付け、5年で4ミナを返済することでした。^[3]また、当時のエジプトの諺には、「富は利子を生む場所に置けば、倍増して戻ってくる」というものがあります。^{[3] [5]}

検査

倍増時間を調べると、単にパーセンテージ成長率を見るよりも、成長の長期的な影響をより直感的に理解できます。

時間t内でr  %の一定成長率の場合、倍加時間T _dの式は  次のように表される。

${\displaystyle T_{d}=t{\frac {\ln(2)}{\ln(1+{\frac {r}{100}})}}}$

一般的な経験則は、高次の項を無視して、x=0 の分母 ln(1+x) をテイラー級数展開することで導き出すことができます(これは という仮定に対応するため、r が小さい場合はより近似値になります)。 ${\displaystyle ln(1+x)\approx x}$ ${\displaystyle r/100\ll 1}$

${\displaystyle T_{d}=t{\frac {ln{2}}{\frac {r}{100}}}=t{\frac {100*ln{2}}{r}}}$

${\displaystyle \approx t{\frac {69.3}{r}}\approx t{\frac {70}{r}}}$

この「70の法則」は、成長率が25%未満の場合は10%以内、成長率が60%未満の場合は20%以内の正確な倍加時間を予測します。成長率が大きいほど、この法則は倍加時間をより大きく過小評価することになります。

この式で計算されたいくつかの倍加時間をこの表に示します。

単純な倍加時間の公式:

${\displaystyle N(t)=N_{0}2^{t/T_{d}}}$

どこ

• N ( t ) = 時刻tにおけるオブジェクトの数
• T _d = 倍加期（物体の数が2倍になるまでの時間）
• N ₀ = オブジェクトの初期数
• t = 時間

r % 成長が一定である場合の倍加時間T _d

r % T d  0.1 693.49  0.2 346.92  0.3 231.40  0.4 173.63  0.5 138.98  0.6 115.87  0.7 99.36  0.8 86.99  0.9 77.36  1.0 69.66

r % T d  1.1 63.64  1.2 58.11  1.3 53.66  1.4 49.86  1.5 46.56  1.6 43.67  1.7 41.12  1.8 38.85  1.9 36.83  2.0 35.00

r % T d  2.1 33.35  2.2 31.85  2.3 30.48  2.4 29.23  2.5 28.07  2.6 27.00  2.7 26.02  2.8 25.10  2.9 24.25  3.0 23.45

r % T d  3.1 22.70  3.2 22.01  3.3 21.35  3.4 20.73  3.5 20.15  3.6 19.60  3.7 19.08  3.8 18.59  3.9 18.12  4.0 17.67

r % T d  4.1 17.25  4.2 16.85  4.3 16.46  4.4 16.10  4.5 15.75  4.6 15.41  4.7 15.09  4.8 14.78  4.9 14.49  5.0 14.21

r % T d  5.5 12.95  6.0 11.90  6.5 11.01  7.0 10.24  7.5 9.58  8.0 9.01  8.5 8.50  9.0 8.04  9.5 7.64 10.0 7.27

r % T d 11.0 6.64 12.0 6.12 13.0 5.67 14.0 5.29 15.0 4.96 16.0 4.67 17.0 4.41 18.0 4.19 19.0 3.98 20.0 3.80

r % T d 21.0 3.64 22.0 3.49 23.0 3.35 24.0 3.22 25.0 3.11 26.0 3.00 27.0 2.90 28.0 2.81 29.0 2.72 30.0 2.64

r % T d 31.0 2.57 32.0 2.50 33.0 2.43 34.0 2.37 35.0 2.31 36.0 2.25 37.0 2.20 38.0 2.15 39.0 2.10 40.0 2.06

r % T d 41.0 2.02 42.0 1.98 43.0 1.94 44.0 1.90 45.0 1.87 46.0 1.83 47.0 1.80 48.0 1.77 49.0 1.74 50.0 1.71

たとえば、年間成長率が 4.8% の場合、倍増時間は 14.78 年となり、倍増時間が 10 年の場合は、成長率は 7% から 7.5% (実際は約 7.18%) になります。

資源消費の継続的な増加に当てはめると、ある倍増期における総消費量は、それ以前のすべての期間における総消費量と等しくなります。このことから、ジミー・カーター米大統領は1977年の演説で、過去20年間の世界の石油消費量は、それぞれ過去の歴史全体よりも多かったと指摘しました（1950年から1970年にかけての世界の石油消費量はほぼ指数関数的に増加しましたが、倍増期は10年未満でした）。

t ₁時点でのq ₁とt ₂時点でのq ₂という2つの成長量の測定値が与えられ、成長率が一定であると仮定すると、倍加時間は次のように計算できる。

${\displaystyle T_{d}=(t_{2}-t_{1})\cdot {\frac {\ln(2)}{\ln({\frac {q_{2}}{q_{1}}})}}.}$

関連概念

一定の負の相対的成長率または指数関数的減少を経験する物質の倍加時間に相当する概念は、半減期です。

eを基数とする同等の概念はe折り畳みです。

指数関数的増加（太線）と減少（細線）の倍加時間と半減期、およびそれらの70/ tおよび72/ t近似値を比較したグラフ。SVG版では、グラフにマウスポインターを合わせると、そのグラフとその補数がハイライト表示されます。

細胞培養倍加時間

細胞の倍加時間は、成長率（単位時間当たりの倍加量）を使用して次のように計算できます。

成長率:

${\displaystyle N(t)=N_{0}e^{rt}}$

または

${\displaystyle r={\frac {\ln \left(N(t)/N_{0}\right)}{t}}}$

どこ

• ${\displaystyle N(t)}$= 時刻tにおける細胞数
• ${\displaystyle N_{0}}$= 時刻0における細胞数
• ${\displaystyle r}$=成長率
• ${\displaystyle t}$= 時間（通常は時間単位）

倍加時間:

${\displaystyle {\text{doubling time}}={\frac {\ln(2)}{\text{growth rate}}}}$

以下は、以下の細胞の既知の倍加時間です。

細胞の種類	ソース	倍加時間
間葉系幹細胞	ねずみ	21～23時間[6]
心臓幹細胞	人間	29±10時間[7]

参照

• アルバート・アレン・バートレット
• 二進対数
• e折り
• 指数関数的減衰
• 指数関数的成長
• 人生の半分
• 相対成長率
• 72の法則

参考文献

1. Donella Meadows、『システム思考：入門書』、Chelsea Green Publishing、2008 年、33 ページ（ボックス「強化フィードバック ループと倍増時間に関するヒント」）。
2. 「The Daily — カナダの人口推計：2022年の人口増加は過去最高」。2023年3月22日。
3. 「複利の奇跡」がなぜ金融危機につながるのか、マイケル・ハドソン著
4. 興味を持っていただけましたか？ ジョン・H・ウェッブ
5. ミリアム・リヒトハイム、古代エジプト文学、II:135。
6. 「ライフテクノロジーズ」(PDF) 。 2015年4月2日時点のオリジナル(PDF)からアーカイブ。2015年3月12日閲覧。
7. Bearzi, Claudia; et al. (2007年8月). 「ヒト心臓幹細胞」. Proceedings of the National Academy of Sciences . 104 (35): 14068– 14073. Bibcode :2007PNAS..10414068B. doi : 10.1073/pnas.0706760104 . PMC 1955818. PMID  17709737 . 

外部リンク

• 倍加時間計算機
• http://geography.about.com/od/populationgeography/a/populationgrow.htm 2006年8月28日アーカイブ、Wayback Machineより

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