ドラゴンカーブ

ドラゴン曲線は、自己相似フラクタル曲線の族に属する曲線の一種であり、リンデンマイヤーシステムなどの再帰的手法によって近似することができます。ドラゴン曲線は、おそらく紙片を繰り返し半分に折ることで生成される形状として最もよく考えられていますが、ドラゴン曲線と呼ばれる曲線は、異なる方法で生成されるものもあります。

ハイウェイドラゴン

ハイウェイ・ドラゴン（ハーター・ハイウェイ・ドラゴン、ジュラシック・パーク・ドラゴンとも呼ばれる）は、 NASAの物理学者ジョン・ハイウェイ、ブルース・バンクス、ウィリアム・ハーターによって初めて研究されました。 1967年、マーティン・ガードナーはサイエンティフィック・アメリカン誌のコラム「数学ゲーム」でこのドラゴンについて記述しました。その特性の多くは、チャンドラー・デイヴィスとドナルド・クヌースによって初めて発表されました。マイケル・クライトンの小説『ジュラシック・パーク』の章題にも登場しました。^[1]

工事

ハイウェイドラゴンは、基本線分の各線分を、直角で右と左に交互に45度回転する2つの線分に繰り返し置き換えることによって構築できます。^[2]

ハイウェイドラゴンは、複素平面における次の反復関数系の極限集合でもあります。

f_{1}(z)={\frac {(1+i)z}{2}}

f_{2}(z)=1-{\frac {(1-i)z}{2}}

初期の点集合。 $S_{0}=\{0,1\}$

代わりに実数のペアを使用すると、これは次の2つの関数と同じになります。

f_{1}(x,y)={\frac {1}{\sqrt {2}}}{\begin{pmatrix}\cos 45^{\circ }&-\sin 45^{\circ }\\\sin 45^{\circ }&\cos 45^{\circ }\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}

f_{2}(x,y)={\frac {1}{\sqrt {2}}}{\begin{pmatrix}\cos 135^{\circ }&-\sin 135^{\circ }\\\sin 135^{\circ }&\cos 135^{\circ }\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}+{\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}}

ドラゴンを折る

ハイウェイドラゴン曲線は、細長い紙を折ることで作ることができ、この方法が最初に発見された方法です。^[1]細長い紙を右半分に折ります。もう一度右半分に折ります。ここで細長い紙を広げ、各折り目を解いて 90 度回転すると、回転順序は RRL、つまりハイウェイドラゴンの 2 番目の反復になります。細長い紙をもう一度右半分に折ると、展開された細長い紙の回転順序は RRLRRLL となり、ハイウェイドラゴンの 3 番目の反復になります。細長い紙を右半分に折り続けると、ハイウェイドラゴンのさらなる反復が作成されます (実際には、4 回または 5 回繰り返すと、細長い紙が厚くなりすぎて鋭角に折ることができなくなります)。

この一連の紙片の折り畳みパターンは、右折り（R）と左折り（L）の順序として、次のようになります。

1回目の反復: R
2回目の反復: R R L
3回目の反復: R R L R R L L
4 回目の反復: R R L R R L L R R R L L R L 。

各反復は、前の反復をコピーし、次にRをコピーし、次に前の反復の2番目のコピーを逆の順序でLとRの文字を入れ替えてコピーすることで見つけることができます。^[1]

プロパティ

ハイウェイ・ドラゴン曲線には多くの自己相似性が見られます。最も顕著なのは、同じパターンが45°傾き、縮小率がである繰り返しです。これらの自己相似性に基づいて、その長さの多くは単純な有理数です。 $\textstyle {\sqrt {2}}$

ドラゴン曲線は平面をタイル状に敷き詰めることができる。例えば、線分から始まるドラゴンの再帰的定義を用いて、正方形のタイルの各辺をドラゴン曲線に置き換えるという方法がある。各線分の拡張初期方向は、正方形のタイルのチェッカーボード色から決定でき、垂直線分は黒タイルに拡張し白タイルから拡張し、水平線分は黒タイルに拡張し白タイルから拡張する。^[3]
空間充填曲線であるドラゴン曲線のフラクタル次元はちょうど2である。初期線分の長さが1であるドラゴン曲線の場合、平面のタイリングからわかるように、その面積は1/2である。^[1]
ドラゴン曲線で覆われた集合の境界は無限長で、フラクタル次元を持ち、これは方程式^[4]の実数解である。 $2\log _{2}\lambda \approx 1.523627086202492,$ $\lambda ={\frac {1+(28-3{\sqrt {87}})^{1/3}+(28+3{\sqrt {87}})^{1/3}}{3}}\approx 1.69562076956$ $\lambda ^{3}-\lambda ^{2}-2=0.$

ツインドラゴン

ツインドラゴン（デイビス・クヌース・ドラゴンとも呼ばれる）は、2つのハイウェイ・ドラゴン曲線を背中合わせに並べることで構成できます。これは、次の反復関数系の極限集合でもあります。

f_{1}(z)={\frac {(1+i)z}{2}}

f_{2}(z)=1-{\frac {(1+i)z}{2}}

ここで、初期形状は次の集合によって定義されます。 $S_{0}=\{0,1,1-i\}$

これはリンデンマイヤーシステムとして記述することもできます。最初の文字列に別のセクションを追加するだけです。

角度90°
初期文字列FX+FX+
文字列書き換え規則
- X ↦ X + YF
- Y ↦ FX − Y。

これはまた、を基数 $(-1\pm i)$ として書き表したときに同じ整数部を持つ複素平面上の点の軌跡でもある。^[5]

テルドラゴン

テトラドラゴンはリンデンマイヤーシステムとして書くことができます:

角度120°
初期文字列F
文字列書き換え規則
- F ↦ F+F−F。

これは、次の反復関数系の極限セットです。

f_{1}(z)=\lambda z

f_{2}(z)={\frac {i}{\sqrt {3}}}z+\lambda

f_{3}(z)=\lambda z+\lambda ^{*}

{\mbox{ここで }}\lambda ={\frac {1}{2}}-{\frac {i}{2{\sqrt {3}}}}{\text{ および }}\lambda ^{*}={\frac {1}{2}}+{\frac {i}{2{\sqrt {3}}}}.

レヴィドラゴン

レヴィC曲線はレヴィドラゴンと呼ばれることもあります。^[6]

解集合におけるドラゴン曲線の出現

線型微分方程式の解の集合が得られれば、重ね合わせの原理により、それらの解の任意の線型結合は元の方程式にも従う。言い換えれば、既存の解の集合に関数を適用することで、新たな解が得られる。これは、反復関数系が集合内に新たな点を生成する仕組みに似ているが、すべてのIFSが線型関数であるとは限らない。概念的に同様に、リトルウッド多項式の集合は、関数の集合をこのような反復適用することで得られる。

リトルウッド多項式は次の多項式です。ただし、すべてです。 $p(x)=\sum _{i=0}^{n}a_{i}x^{i}\,$ $a_{i}=\pm 1$

いくつかの場合では、次の関数を定義します。 $|w|<1$

f_{+}(z)=1+wz

f_{-}(z)=1-wz

z=0から始めて、これらの関数をd+1回反復して使用することで、d次のリトルウッド多項式をすべて生成することができます。^[7]例えば： $f_{+}(f_{-}(f_{-}(0)))=1+(1-w)w=1+1w-1w^{2}$

に対して、上記の関数のペアはHeighwayドラゴンのIFS定式化と等価であることがわかる。つまり、Heighwayドラゴンは、ある反復回数まで反復され、ある次数までのすべてのLittlewood多項式の集合を、点で評価して記述する。実際、Littlewood多項式の根を十分に多くプロットすると、これらの座標に近い点にドラゴン曲線に似た構造が現れる。^[7]^[8]^[9] $w=(1+i)/2$ $w=(1+i)/2$

変種

ドラゴン曲線は、直交する角度で4つの可能な方向を持つ2つの線で構成される反復関数の基本セットに属します。


曲線	創造主と創造年の龍族
レヴィ曲線	エルネスト・セザーロ(1906)、ゲオルグ・ファーバー(1910)、ポール・レヴィ(1914)
ドラゴンカーブ	ジョン・ハイウェイ（1966年）、ブルース・バンクス（1966年）、ウィリアム・ハーター（1966年）
デイビス・ダイヤモンド	チャンドラー・デイヴィス（1970年）、ドナルド・J・クヌース（1970年）
クヌース・ウェッジ	チャンドラー・デイヴィス（1970年）、ドナルド・J・クヌース（1970年）
ユニコーンカーブ	ピーター・ヴァン・ロイ（1989）^[10]
ライオンカーブ	ベルント・ライナー・ヴァール（1989）^[11]

回転角度は90°から他の角度に変更可能です。120°に変更すると三角形の構造になり、60°に変更すると次の曲線になります。

離散ドラゴン曲線は、図のようにドラゴンポリオミノに変換できます。離散ドラゴン曲線と同様に、ドラゴンポリオミノはフラクタルドラゴン曲線の極限に近づきます。

参照

参考文献

^ abcd Tabachnikov, Sergei (2014)、「ドラゴン曲線の再考」、The Mathematical Intelligencer、36 (1): 13– 17、doi :10.1007/s00283-013-9428-y、MR 3166985、S2CID 14420269
^ エドガー、ジェラルド (2008)、「ハイウェイのドラゴン」、エドガー、ジェラルド編『測度、位相、フラクタル幾何学』、数学入門（第2版）、ニューヨーク：シュプリンガー、pp. 20– 22、doi :10.1007/978-0-387-74749-1、ISBN 978-0-387-74748-4、MR 2356043
^ エドガー（2008年）「ハイウェイのドラゴンが平面をタイル化する」74～75ページ。
^ ドナルド・クヌース（1998年）「位置数システム」『コンピュータプログラミングの技法』第2巻（第3版）ボストン：アディソン・ウェスレー、206頁。ISBN 0-201-89684-2. OCLC 48246681。
^ バーント・ワール;ピーター・ヴァン・ロイ。マイケル・ラーセン。エリック・カンプマン (1994)。Macintosh でのフラクタルの探索(第 1 版)。ボストン: アディソン・ウェスリー。ページ 1–352。ISBN 978-0201626308。
^ ベイリー、スコット; キム、セオドア; ストリチャーツ、ロバート S. (2002)、「レヴィドラゴンの内側」、アメリカ数学月刊誌、109 (8): 689– 703、doi :10.2307/3072395、JSTOR 3072395、MR 1927621 。
^ ab 「nカテゴリーカフェ」.
^ 「Week285」.
^ 「根の美しさ」。
^ 「第3章：Macintoshでのクラシカルフラクタルの作成」www.wahl.org . 2025年9月17日閲覧。
^ 「第3章：Macintoshでのクラシカルフラクタルの作成」www.wahl.org . 2025年9月17日閲覧。

外部リンク

ワイススタイン、エリック W.、「ドラゴン曲線」、MathWorld
ドラゴンカーブに関するクヌース
ドラゴンカーブ

[tabachnikov-1] Tabachnikov, Sergei (2014)、「ドラゴン曲線の再考」、The Mathematical Intelligencer、36 (1): 13– 17、doi :10.1007/s00283-013-9428-y、MR 3166985、S2CID 14420269

[2] エドガー、ジェラルド (2008)、「ハイウェイのドラゴン」、エドガー、ジェラルド編『測度、位相、フラクタル幾何学』、数学入門（第2版）、ニューヨーク：シュプリンガー、pp. 20– 22、doi :10.1007/978-0-387-74749-1、ISBN 978-0-387-74748-4、MR 2356043

[3] エドガー（2008年）「ハイウェイのドラゴンが平面をタイル化する」74～75ページ。

[4] ドナルド・クヌース（1998年）「位置数システム」『コンピュータプログラミングの技法』第2巻（第3版）ボストン：アディソン・ウェスレー、206頁。ISBN 0-201-89684-2. OCLC 48246681。

[Knuth2-5] バーント・ワール;ピーター・ヴァン・ロイ。マイケル・ラーセン。エリック・カンプマン (1994)。Macintosh でのフラクタルの探索(第 1 版)。ボストン: アディソン・ウェスリー。ページ 1–352。ISBN 978-0201626308。

[6] ベイリー、スコット; キム、セオドア; ストリチャーツ、ロバート S. (2002)、「レヴィドラゴンの内側」、アメリカ数学月刊誌、109 (8): 689– 703、doi :10.2307/3072395、JSTOR 3072395、MR 1927621 。

[ncafe-7] 「nカテゴリーカフェ」.

[8] 「Week285」.

[9] 「根の美しさ」。

[10] 「第3章：Macintoshでのクラシカルフラクタルの作成」www.wahl.org . 2025年9月17日閲覧。

[11] 「第3章：Macintoshでのクラシカルフラクタルの作成」www.wahl.org . 2025年9月17日閲覧。

v t e フラクタル
特徴	フラクタル次元アスアッド箱の数え方樋口相関ハウスドルフパッキング位相幾何学的再帰自己相似性
反復関数システム	バーンズリーシダカンターセットコッホ・スノーフレークメンガースポンジシェルピンスキ絨毯シェルピンスキー三角形アポロニアンガスケットフィボナッチワード空間充填曲線ブランマンジェ曲線デ・ラーム曲線ミンコフスキードラゴンカーブヒルベルト曲線コッホ曲線レヴィC曲線ムーア曲線ペアノ曲線シェルピンスキー曲線 Zオーダー曲線弦 T定規 nフレークヴィチェクフラクタルゴスパー曲線ピタゴラスの木ワイエルシュトラス関数
奇妙なアトラクター	マルチフラクタルシステム
Lシステム	フラクタルキャノピー空間充填曲線 H木
脱出時間のフラクタル	燃える船のフラクタルジュリア集合満たされたニュートンフラクタルドゥアディウサギリャプノフフラクタルマンデルブロ集合ミシュウレヴィッツ点マルチブロットセットニュートンフラクタルトライコーンマンデルボックスマンデルバルブ
レンダリング技術	ブッダブロット軌道トラップピックオーバー茎
ランダムフラクタル	ブラウン運動ブラウン運動木ブラウン運動モーターフラクタル風景レヴィ飛行パーコレーション理論自己回避歩行
人々	マイケル・バーンズリーゲオルク・カントルビル・ゴスパーフェリックス・ハウスドルフデズモンド・ポール・ヘンリーガストン・ジュリアニールス・ファビアン・ヘルゲ・フォン・コッホポール・レヴィアレクサンドル・リャプノフブノワ・マンデルブロハミド・ナデリ・イェガネルイス・フライ・リチャードソンヴァツワフ・シェルピンスキ
他の	海岸線のパラドックスフラクタルアートハウスドルフ次元によるフラクタル一覧自然のフラクタル幾何学（1982年刊）フラクタルの美（1986年刊）カオス：新しい科学の創造（1987年刊）万華鏡カオス理論

v t e 紙折りの数学
フラットフォールディング	大小大の補題折り目パターン藤田・羽鳥公理川崎の定理前川の定理地図の折りたたみナプキンの折り方の問題浄土折り紙吉沢・ランドレットシステム
ストリップ折り	ドラゴンカーブフレクサゴンメビウスの帯規則的な折り紙の順序
3D構造	ミウラ折りモジュラー折り紙紙袋問題硬い折り紙シュワルツランタン園部吉村座屈
多面体	多面体に関するアレクサンドロフの定理柔軟な多面体（ブリカール八面体、カライドサイクル、ココツァキス多面体、ステフェンの多面体）ネット開花共通ネットソースの展開星の展開
その他	折り曲げと切断の定理リル法
出版物	折り紙の幾何学的練習幾何学的折り畳みアルゴリズム幾何学的な折り紙数学における折り畳みの歴史折り紙の多面体デザイン折り紙
人々	ロジャー・C・アルペリンマルゲリータ・ピアソラ・ベロチブルーノ・ブッフベルガーヤン・チェンロバート・コネリーエリック・デメインマーティン・デメインローナ・グルケヴィッツデビッド・A・ハフマントム・ハルコディ・フシミ藤田史明川崎利和ロバート・J・ラングアンナ・ルビウ前川淳三浦公良ジョセフ・オルークロバート・ルメリー舘智宏イヴ・トーレンス