デュアルコード

符号理論では、線形符号の双対符号

C\subset \mathbb {F} _{q}^{n}

は次のように定義される線形コードである。

C^{\perp }=\{x\in \mathbb {F} _{q}^{n}\mid \langle x,c\rangle =0\;\forall c\in C\}

どこ

\langle x,c\rangle =\sum _{i=1}^{n}x_{i}c_{i}

はスカラー積である。線型代数学の用語で言えば、双対コードは双線型形式に対するCの消滅子である。Cとその双対コードの次元は常に長さnに等しい。 $\langle \cdot \rangle$

\dim C+\dim C^{\perp }=n.

双対符号の生成行列は元の符号のパリティ検査行列であり、その逆も同様である。双対符号の双対は常に元の符号である。

自己双対コード

自己双対符号とは、それ自身が双対である符号である。これは、nが偶数で、かつ、次元C = n /2であることを意味する。自己双対符号において、各符号語の重みが定数の倍数となるような符号は、以下の4つのタイプのいずれかである。^[1] $c>1$

タイプIコードは、二重偶数ではない2元自己双対コードです。タイプIコードは常に偶数です（すべてのコードワードのハミング重みは偶数です）。
タイプ IIコードは、二重に偶数であるバイナリ自己デュアルコードです。
タイプIII符号は3値自己双対符号です。タイプIII符号のすべての符号語のハミング重みは3で割り切れます。
タイプIVコードはF ₄上の自己双対コードです。これらも偶数です。

タイプ I、II、III、または IV のコードは、長さnがそれぞれ 2、8、4、または 2 の倍数である場合にのみ存在します。

自己デュアルコードの生成行列がの形式である場合、デュアルコードの生成行列はです。ここで、は単位行列、です。 $G=[I_{k}|A]$ $C^{\perp}$ $[-{\bar {A}}^{T}|I_{k}]$ $I_{k}$ $(n/2)\times (n/2)$ ${\bar {a}}=a^{q}\in \mathbb {F} _{q}$

参考文献

^ ジョン・H・コンウェイ;ニュージャージー州スローン（1988年）。球のパッキング、格子、およびグループ。 Grundlehren der mathematischen Wissenschaften。 Vol. 290.シュプリンガー・フェルラーグp. 77.ISBN 0-387-96617-X。

ヒル、レイモンド (1986). 『符号理論入門』 . オックスフォード応用数学・計算科学シリーズ.オックスフォード大学出版局. p. 67. ISBN 0-19-853803-0。
Pless, Vera (1982).誤り訂正符号理論入門. Wiley-Interscience Series in Discrete Mathematics. John Wiley & Sons . p. 8. ISBN 0-471-08684-3。
JH van Lint (1992). 符号理論入門. GTM . 第86巻（第2版）. Springer-Verlag. p. 34. ISBN 3-540-54894-7。

外部リンク

MATH32031: 符号理論 - デュアルコード - 例と解説付きのpdf

[1] ジョン・H・コンウェイ;ニュージャージー州スローン（1988年）。球のパッキング、格子、およびグループ。 Grundlehren der mathematischen Wissenschaften。 Vol. 290.シュプリンガー・フェルラーグp. 77.ISBN 0-387-96617-X。