ヴェルディエの二重性

Duality for sheaves of k-modules over a locally compact space

数学において、ヴェルディエ双対性は代数位相幾何学におけるコホモロジー双対性であり、多様体に対するポアンカレ双対性を一般化したものである。ヴェルディエ双対性は、代数幾何学におけるスキームのエタール・コホモロジーにおけるアレクサンダー・グロタンディークの ポアンカレ双対性理論の局所コンパクト位相空間の 類似物として、ジャン＝ルイ・ヴェルディエ（1965）によって導入された。したがって、これは（前述のエタール理論や、例えばグロタンディークのコヒーレント双対性とともに）グロタンディークの六演算形式主義の一例である。

ヴェルディエ双対性は、多様体の古典的なポアンカレ双対性を2つの方向に一般化します。1つは、ある空間から別の空間への連続写像（多様体から1点空間への唯一の写像の古典的なケースに還元される）に適用され、もう1つは、特異点の存在のために多様体ではなくなる空間に適用されます。これは、構成可能層や倒錯層を研究する際によく見られます。

ヴェルディエの二重性

ヴェルディエ双対性は、（後述する適切な有限性条件を前提として）層の特定の導 来像関数が実際には随伴関数であることを述べている。これには2つのバージョンがある。

大域的ヴェルディエ双対性は、局所コンパクトハウスドルフ空間の連続写像に対して、コンパクト（または適切な）台を持つ直接像の導来関手が層の 導来カテゴリに右随伴を持つことを述べている 。言い換えれば、（アーベル群の）層（の複体）に対して、 ${\displaystyle f\colon X\to Y}$ ${\displaystyle Rf_{!}}$ ${\displaystyle f^{!}}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {G}}}$ ${\displaystyle Y}$

${\displaystyle RHom(Rf_{!}{\mathcal {F}},{\mathcal {G}})\cong RHom({\mathcal {F}},f^{!}{\mathcal {G}}).}$

局所ヴェルディエ双対性は、

${\displaystyle R\,{\mathcal {H}}om(Rf_{!}{\mathcal {F}},{\mathcal {G}})\cong Rf_{\ast }R\,{\mathcal {H}}om({\mathcal {F}},f^{!}{\mathcal {G}})}$

Y上の層の導来圏において。大域版と局所版の違いは、前者は導来圏の層の複体間の射を関係付けるのに対し、後者は内部 Hom 複体間の射を関係付けるため局所的に評価できることに注意する必要がある。局所的命題において両辺の大域切断を取ると、大域的ヴェルディエ双対性が得られる。

これらの結果は、有限コホモロジー次元を持つコンパクトに支えられた直接像関数を条件として成り立つ。これは、すべてのファイバー（ただし）およびに対してコンパクトに支えられたコホモロジーが消滅するような境界が存在する場合に当てはまる。これは、すべてのファイバーが最大で-次元多様体、またはより一般的には最大で-次元CW複体である場合に成立する。 ${\displaystyle f_{!}}$ ${\displaystyle d\in \mathbf {N} }$ ${\displaystyle H_{c}^{r}(X_{y},\mathbf {Z} )}$ ${\displaystyle X_{y}=f^{-1}(y)}$ ${\displaystyle y\in Y}$ ${\displaystyle r>d}$ ${\displaystyle X_{y}}$ ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle d}$

上の議論はアーベル群の層の導来圏に関するものである。代わりに環 と -加群の層（の導来圏）を考えることも可能であり、上のケースは に対応する 。 ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A=\mathbf {Z} }$

上の双対化複体 は次のように定義される。 ${\displaystyle D_{X}}$ ${\displaystyle X}$

${\displaystyle \omega _{X}=p^{!}(k),}$

ここで、pは点から点への写像である。特異点設定においてヴェルディエ双対性が興味深いのは、 が多様体（例えばグラフや特異代数多様体）でない場合、双対化複体は単一次に集中した層と準同型ではないということである。この観点から、導来圏は特異点空間の研究に不可欠である。 ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$

が有限次元局所コンパクト空間であり、上のアーベル群の層の有界導来圏である場合、ヴェルディエ双対は反変関手である。 ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle D^{b}(X)}$ ${\displaystyle X}$

${\displaystyle D\colon D^{b}(X)\to D^{b}(X)}$

定義

${\displaystyle D({\mathcal {F}})=R\,{\mathcal {H}}om({\mathcal {F}},\omega _{X}).}$

次の特性があります:

• ${\displaystyle D^{2}({\mathcal {F}})\cong {\mathcal {F}}}$構成可能なコホモロジーを持つ層の場合。
• （関数と の絡み合い）。がから への連続写像である場合、同型写像が存在する。 ${\displaystyle f_{*}}$ ${\displaystyle f_{!}}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$

  ${\displaystyle D(Rf_{!}({\mathcal {F}}))\cong Rf_{\ast }D({\mathcal {F}})}$。

古典的なポアンカレ双対性との関係

ポアンカレ双対性は、ヴェルディエ双対性の特別な場合として導出できる。ここでは、層コホモロジーの仕組みを用いて、空間のコホモロジーを明示的に計算する。

Xがコンパクトな向き付け可能なn次元多様体であり、kが体で、kに係数を持つX上の定数層であるとする。点への定数写像を とする。大域的ヴェルディエ双対性は次のように定義される。 ${\displaystyle k_{X}}$ ${\displaystyle f=p}$

${\displaystyle [Rp_{!}k_{X},k]\cong [k_{X},p^{!}k].}$

この命題からポアンカレ双対性がどのように得られるかを理解するには、両辺を一つずつ理解するのが最も簡単でしょう。

${\displaystyle k_{X}\to (I_{X}^{\bullet }=I_{X}^{0}\to I_{X}^{1}\to \cdots )}$

は定数層の単射的解決である。すると、右導来関手に関する標準的な事実により、

${\displaystyle Rp_{!}k_{X}=p_{!}I_{X}^{\bullet }=\Gamma _{c}(X;I_{X}^{\bullet })}$

は、コホモロジーがXのコンパクトに支えられたコホモロジーである複体である。層（またはベクトル空間）の複体間の射自体も複体を形成するので、

${\displaystyle \mathrm {Hom} ^{\bullet }(\Gamma _{c}(X;I_{X}^{\bullet }),k)=\cdots \to \Gamma _{c}(X;I_{X}^{2})^{\vee }\to \Gamma _{c}(X;I_{X}^{1})^{\vee }\to \Gamma _{c}(X;I_{X}^{0})^{\vee }\to 0}$

ここで、最後の非零項は0次であり、左側の項は負の次数である。導来圏における射は、層の鎖複体のホモトピー圏から複体の零次コホモロジーをとることによって得られる。すなわち、

${\displaystyle [Rp_{!}k_{X},k]\cong H^{0}(\mathrm {Hom} ^{\bullet }(\Gamma _{c}(X;I_{X}^{\bullet }),k))=H_{c}^{0}(X;k_{X})^{\vee }.}$

上記のヴェルディエの双対性の主張のもう一方の側面については、Xがコンパクトな有向n次元多様体 であるとき、

${\displaystyle p^{!}k=k_{X}[n],}$

これは多様体の双対複体である。右辺は次のように書き直すことができる。

${\displaystyle [k_{X},k_{X}[n]]\cong H^{n}(\mathrm {Hom} ^{\bullet }(k_{X},k_{X}))=H^{n}(X;k_{X}).}$

我々はついに、

${\displaystyle H_{c}^{0}(X;k_{X})^{\vee }\cong H^{n}(X;k_{X}).}$

この議論を繰り返すと、層k _Xを次数iの同じ層に置き換えて、古典的なポアンカレ双対性が得られる。

${\displaystyle H_{c}^{i}(X;k_{X})^{\vee }\cong H^{n-i}(X;k_{X}).}$

参照

• ポアンカレ双対性
• 6つの操作
• 一貫した二重性
• 派生カテゴリ

参考文献

• ボレル、アルマン（1984）、交差コホモロジー、Progress in Mathematics、バーゼル、ボストン、ベルリン：ビルクハウザー、ISBN 978-0-8176-3274-8
• ゲルファント、セルゲイ I. Manin、Yuri Ivanovich (1999)、ホモロジー代数、ベルリン: Springer、ISBN 978-3-540-65378-3
• Grothendieck、Alexandre (1977)、Séminaire de Géométrie Algébrique du Bois Marie - 1965-66 - Cohomologie l-adique et Fonctions L - (SGA 5)、数学の講義ノート、vol. 589、ベルリン、ニューヨーク: Springer-Verlag、pp. xii+484、ISBN 978-3-540-08248-4, Exposé I および II には、エタール状況における対応する理論が含まれています。
• Iversen、Birger (1986)、層のコホモロジー、Universitext、ベルリン、ニューヨーク: Springer-Verlag、doi :10.1007/978-3-642-82783-9、ISBN 978-3-540-16389-3、MR  0842190
• 柏原 正樹; Schapira、Pierre (2002)、Sheaves on Manifolds、ベルリン: Springer、ISBN 3540518614
• Verdier、Jean-Louis (1965)、「Dualité dans la cohomologie des espaces localement Compacts」、Séminaire Bourbaki、vol. 9、パリ: Société Mathématique de France、pp. Exp. No. 300、337–349 、 ISBN 978-2-85629-042-2、MR  1610971

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