双対化層

代数幾何学からの概念

代数幾何学において、体k上のn次元の適切なスキームX上の双対層は、線形関数とともに連接層である。 ${\displaystyle \omega _{X}}$

${\displaystyle t_{X}:\operatorname {H} ^{n}(X,\omega _{X})\to k}$

ベクトル空間の自然な同型性を誘導する

${\displaystyle \operatorname {Hom} _{X}(F,\omega _{X})\simeq \operatorname {H} ^{n}(X,F)^{*},\,\varphi \mapsto t_{X}\circ \varphi }$

X上の各連接層Fに対して成り立つ（上付き文字 * は双対ベクトル空間を表す）。^[1]この線型汎関数はトレース射と呼ばれる。 ${\displaystyle t_{X}}$

対が存在する場合、自然同型を除いて一意である。実際、圏論の言語では、はX上の連接層の圏からkベクトル空間の圏への反変関手を表すオブジェクトである。 ${\displaystyle (\omega _{X},t_{X})}$ ${\displaystyle \omega _{X}}$ ${\displaystyle F\mapsto \operatorname {H} ^{n}(X,F)^{*}}$

正規射影多様体Xに対しては双対層が存在し、それは実際には標準層:である。ここでは標準因子である。より一般に、任意の射影スキームに対して双対層が存在する。 ${\displaystyle \omega _{X}={\mathcal {O}}_{X}(K_{X})}$ ${\displaystyle K_{X}}$

セールの双対性定理には次のような変形がある：純粋次元nの射影スキームXと、純粋次元nのX上のコーエン・マコーレー層Fに対して、自然同型が存在する^[2]。 ${\displaystyle \operatorname {Supp} (F)}$

${\displaystyle \operatorname {H} ^{i}(X,F)\simeq \operatorname {H} ^{n-i}(X,\operatorname {{\mathcal {H}}om} (F,\omega _{X}))^{*}}$。

特に、X自体がCohen–Macaulay スキームである場合、上記の双対性は任意の局所自由層に対して成立します。

相対双対化層

スキームの適切な有限表示射が与えられたとき、(Kleiman 1980)は相対双対化層またはを^{[3] の}層として定義し、各開集合と上の準連接層に対して、標準同型が存在する。 ${\displaystyle f:X\to Y}$ ${\displaystyle \omega _{f}}$ ${\displaystyle \omega _{X/Y}}$ ${\displaystyle U\subset Y}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle U}$

${\displaystyle (f|_{U})^{!}F=\omega _{f}\otimes _{{\mathcal {O}}_{Y}}F}$、

これは関数的であり、オープン制約と可換である。 ${\displaystyle F}$

例: ^[4]が体上の有限型のスキーム間の局所完全交差射である場合、（定義により） の各点には開近傍と因数分解（余次元 の正則埋め込みに続いて相対次元 の滑らかな射）が存在する。すると ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle f|_{U}:U{\overset {i}{\to }}Z{\overset {\pi }{\to }}Y}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle r}$

${\displaystyle \omega _{f}|_{U}\simeq \wedge ^{r}i^{*}\Omega _{\pi }^{1}\otimes \wedge ^{k}N_{U/Z}}$

ここでは相対ケーラー微分層であり、は への正規束です。 ${\displaystyle \Omega _{\pi }^{1}}$ ${\displaystyle N_{U/Z}}$ ${\displaystyle i}$

例

節点曲線の双対層

滑らかな曲線Cの場合、その双対層は標準層によって与えられます。 ${\displaystyle \omega _{C}}$ ${\displaystyle \Omega _{C}^{1}}$

ノードpを持つ節点曲線Cについて、 2点x、yを同一視した正規化を考えることができる。を xとyに可能な単純極を持つ上の有理1-形式層とし、をxとyにおける留数の和が0となる有理1-形式からなる部分層とする。すると、直接像は節点曲線Cの双対化層を定義する。この構成は、複数のノードを持つ節点曲線に容易に一般化できる。 ${\displaystyle \pi :{\tilde {C}}\to C}$ ${\displaystyle \Omega _{\tilde {C}}(x+y)}$ ${\displaystyle {\tilde {C}}}$ ${\displaystyle \Omega _{\tilde {C}}(x+y)_{0}}$ ${\displaystyle \pi _{*}\Omega _{\tilde {C}}(x+y)_{0}}$

これは、曲線のコンパクト化されたモジュライ空間上のホッジ束の構成に用いられます。これにより、相対標準層を、節点曲線を媒介変数化する境界上に拡張することが可能になります。そして、ホッジ束は相対双対化層の直接像として定義されます。

射影スキームの双対層

上述のように、双対層はすべての射影スキームに対して存在する。P n の閉部分スキーム X に対し、その双対層はと与えられる。言い換えれば、アンビエントP ^{n上の双対層を用いて、} X上の双対層を構築する。^[1] ${\displaystyle {\mathcal {Ext}}_{\mathbf {P} ^{n}}^{r}({\mathcal {O}}_{X},\omega _{\mathbf {P} ^{n}})}$

参照

• 一貫した二重性
• 再帰束
• ゴレンシュタインリング
• デュアル化モジュール

注記

1. Hartshorne 1977、第3章、§7。
2. Kollár & Mor 1998、定理 5.71。
3. クライマン 1980、定義6
4. Arbarello、Cornalba、Griffiths 2011、第10章、§2の終わり近く。

参考文献

• アルバレロ、E.コルナルバ、M.ペンシルバニア州グリフィス (2011)。代数曲線の幾何学。 Grundlehren der mathematischen Wissenschaften。 Vol. 268.土井：10.1007/978-3-540-69392-5。ISBN 978-3-540-42688-2. MR  2807457。
• クライマン, スティーブン L. (1980). 「準コヒーレント層の相対的双対性」(PDF) . Compositio Mathematica . 41 (1): 39– 60. MR  0578050.
• コラール、ヤーノシュ; 森、重文 (1998)、「代数多様体の双有理幾何学」、ケンブリッジ数学論集、第134巻、ケンブリッジ大学出版局、ISBN 978-0-521-63277-5、MR  1658959
• ハーツホーン、ロビン（1977）、代数幾何学、大学院数学テキスト、第52巻、ニューヨーク：シュプリンガー・フェアラーク、ISBN 978-0-387-90244-9、MR  0463157

外部リンク

• ヴァキル、ラヴィ. 「代数幾何学の基礎 第53回および第54回」(PDF) .数学216：代数幾何学の基礎 2005-06 .
• 相対的双対化層（参照、動作）

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