ゲルフォンド定数

数学において、指数π e ^{π [ 1 ]}はゲルフォンド定数^{[ 2 ]}とも呼ばれ、実数eのπ乗です。

その小数展開は次のようになります。

e ^π =23.140 692 632 779 269 005 72 ...（ OEISの配列A039661）

eとπ の両方と同様に、この定数は無理数かつ超越数である。これはゲルフォンド・シュナイダーの定理から導かれる。この定理では、 aが代数的で0にも1にも等しくなく、bが代数的だが有理数ではないことを前提として、 a ^bが超越数であることが証明される。iは虚数単位である。 − iは代数的だが有理数ではないので、e ^πは超越数である。数πとe ^πは、ユーリ・ネステレンコによって実証されたように、有理数上で代数的に独立であることも知られている。^{[ 3 ]} e ^πがリウヴィル数であるかどうかは分かっていない。^{[ 4 ]}この定数は、ヒルベルトの第7の問題でゲルフォンド・シュナイダー定数2 ^{√ 2}とともに言及されており、「ゲルフォンドの定数」という名前はソ連の数学者アレクサンダー・ゲルフォンドに由来する。^{[ 5 ]} $${\displaystyle e^{\pi }=(e^{i\pi })^{-i}=(-1)^{-i},}$$

発生事例

定数eπ^は超球の体積に関連して現れる。

半径1のn球の体積( ⁠ ⁠ ${\displaystyle V_{n}}$ ) と表面積( ⁠ ⁠ ${\displaystyle S_{n-1}}$ )のグラフ。

半径Rのn次元球面の体積は次式で与えられる。ここでΓはガンマ関数である。単位球面（R = 1）のみを考えると、次式が得られる。任意の偶数次元2n次元球面は次式を得る。すべての偶数次元単位球面の体積を合計し、指数関数の級数展開を用いると次式が得られる。^{[ 6 ]}また、次式も得られる。 $${\displaystyle V_{n}(R)={\frac {\pi ^{\frac {n}{2}}R^{n}}{\Gamma \left({\frac {n}{2}}+1\right)}},}$$ $${\displaystyle V_{n}(1)={\frac {\pi ^{\frac {n}{2}}}{\Gamma \left({\frac {n}{2}}+1\right)}},}$$ $${\displaystyle V_{2n}(1)={\frac {\pi ^{n}}{\Gamma (n+1)}}={\frac {\pi ^{n}}{n!}}}$$ $${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }V_{2n}(1)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {\pi ^{n}}{n!}}=\exp(\pi )=e^{\pi }.}$$

k ₀ = ⁠と定義すると1/√2​⁠そしてn > 0^の場合には、この数列は急速にeπに収束する。 ^{[ 7 ]} $${\displaystyle k_{n+1}={\frac {1-{\sqrt {1-k_{n}^{2}}}}{1+{\sqrt {1-k_{n}^{2}}}}}}$$ $${\displaystyle (4/k_{n+1})^{2^{-n}}}$$

類似または関連する定数

ラマヌジャン定数

e ^{π √ 163}という数はラマヌジャン定数として知られています。この定数を小数展開すると、次のようになります。

e ^{π √ 163} =262 537 412 640 768 743 .999 999 999 999 250 072 59 ... （ OEISのシーケンスA060295）

これは整数640320 ³ + 744に非常に近い値になります。これはヒーグナー数の応用で、ここで問題となるヒーグナー数は 163 です。この数は 1859 年に数学者シャルル・エルミートによって発見されました。^{[ 8 ]} 1975 年のScientific American誌のエイプリルフールの記事で、 ^{[ 9 ]}「数学ゲーム」コラムニストのマーティン・ガードナーは、この数は実は整数であり、インドの数学の天才シュリニヴァーサ・ラマヌジャンが予言していた（そのためラマヌジャン定数と呼ばれる）というデマを流しました。ラマヌジャン定数も超越数です。

640320 ³ + 744という数に1 兆分の 1以内という偶然の近さは、複素乗算とj 不変量のq展開によって説明されます。具体的には、次のようになります。また、O ( e ^{- π √ 163} )は誤差項であり、これにより、e ^{π √ 163}が640320 ³ + 744より 0.000 000 000 000 75小さいことが説明されます。 $${\displaystyle j((1+{\sqrt {-163}})/2)=(-640\,320)^{3}}$$ $${\displaystyle (-640\,320)^{3}=-e^{\pi {\sqrt {163}}}+744+O\left(e^{-\pi {\sqrt {163}}}\right)}$$ $${\displaystyle {\displaystyle O\left(e^{-\pi {\sqrt {163}}}\right)=-196\,884/e^{\pi {\sqrt {163}}}\approx -196\,884/(640\,320^{3}+744)\approx -0.000\,000\,000\,000\,75}}$$

(この証明の詳細については、ヒーグナー数に関する記事を参照してください。)

eπ − π^という数

e ^π − πという数も整数に非常に近く、その小数展開は次のように表されます。

e ^π − π =19.999 099 979 189 475 767 26 ...（OEISのシーケンスA018938）

この一見驚くべき偶然の説明は、2023年9月にA. Domanによって与えられ、それはヤコビのシータ関数に関連する以下の合計の結果である:合計の項の合計は であるため、最初の項が支配的である。したがって、合計は に切り捨てられ、を解くと が得られる。の近似を書き直し、 の近似を使用すると が得られる。したがって、項を並べ替えると が得られる。皮肉なことに、 の粗い近似により、精度がさらに1桁向上する。^{[ 10 ]} $${\displaystyle \sum _{k=1}^{\infty }\left(8\pi k^{2}-2\right)e^{-\pi k^{2}}=1.}$$ ${\displaystyle k\geq 2}$ ${\displaystyle \sim 0.0003436.}$ ${\displaystyle \left(8\pi -2\right)e^{-\pi }\approx 1,}$ ${\displaystyle e^{\pi }}$ ${\displaystyle e^{\pi }\approx 8\pi -2.}$ ${\displaystyle e^{\pi }}$ ${\displaystyle 7\pi \approx 22}$ $${\displaystyle e^{\pi }\approx \pi +7\pi -2\approx \pi +22-2=\pi +20.}$$ ${\displaystyle e^{\pi }-\pi \approx 20.}$ ${\displaystyle 7\pi }$

π ^{e の}数

π ^eの小数展開は次のように表される。

${\displaystyle \pi ^{e}=}$22.459 157 718 361 045 473 42 ...（ OEISの配列A059850）

この数が超越数かどうかは不明です。ゲルフォンド・シュナイダーの定理によれば、 aとbが代数的数（aとbはどちらも複素数とみなされる）である場合にのみ、 a ^bが超越数であるかどうかを明確に推論できることに注意してください。

e ^πの場合、複素指数形式の性質と、それを(−1) ^{− i}に変換するための上記の同値性により、この数が超越数であることを証明することしかできず、ゲルフォンド・シュナイダーの定理を適用することができます。

π ^{e に}はそのような同値性はなく、したがってπとe はともに超越数であるため、ゲルフォンド＝シュナイダーの定理を用いてπ ^eの超越性について結論を導くことはできない。しかしながら、現在証明されていないシャヌエル予想は、その超越性を示唆するであろう。 ^{[ 11 ]}

数i ⁱ

複素対数の主値を使用すると、の小数展開は次のように表されます。 $${\displaystyle i^{i}=(e^{i\pi /2})^{i}=e^{-\pi /2}=(e^{\pi })^{-1/2}}$$

${\displaystyle i^{i}=}$0.207 879 576 350 761 908 54 ... （OEISの配列A049006）

その超越性はe ^πの超越性から直接導かれ、​​ゲルフォンド・シュナイダーの定理からも直接導かれます。

参照

• 超越数
• 超越数論、超越数に関する問題を研究する学問
• オイラーの恒等式
• ゲルフォンド・シュナイダー定数

参考文献

1. "A039661 - OEIS" . oeis.org . 2024年10月27日閲覧。
2. Weisstein, Eric W. 「Gelfondの定数」 . mathworld.wolfram.com . 2024年10月27日閲覧。
3. ネステレンコ、Y (1996)。 「モジュラー関数と超越問題」。Comptes Rendus de l'Académie des Sciences、Série I。322 (10): 909–914 . Zbl 0859.11047。 
4. Waldschmidt、Michel (2004-01-24)。 「オープン・ディオファンティン問題」。arXiv : math/0312440。
5. ロバート・ティデマン(1976). 「ゲルフォンド・ベーカー法とその応用について」.フェリックス・E・ブラウダー編.ヒルベルト問題から生じる数学的発展.純粋数学シンポジウム紀要. 第XXVIII.1巻.アメリカ数学会. pp.  241– 268. ISBN 0-8218-1428-1. Zbl  0341.10026 .
6. 「単位球の体積の合計」 www.johndcook.com 2019年5月26日2024年10月27日閲覧。
7. Borwein, J. ; Bailey, D. (2004). 『実験による数学：21世紀のもっともらしい推論』マサチューセッツ州ウェルズリー：AK Peters. p.  137. ISBN 1-56881-211-6. Zbl  1083.00001 .
8. バロー、ジョン・D (2002). 『自然の定数』 ロンドン: ジョナサン・ケープ. p. 72. ISBN 0-224-06135-6。
9. 年4月）「数学ゲーム」サイエンティフィック・アメリカン誌、232（4）号、127頁。Bibcode ： 1975SciAm.232e.102G。doi ：10.1038 / scientificamerican0575-102。
10. Eric Weisstein、「Almost Integer」 、 MathWorldにて
11. Waldschmidt, Michel (2021). 「シャヌエル予想：超越数の代数的独立性」（PDF） .

さらに読む

• アラン・ベイカーとギスベルト・ヴュストホルツ著『対数形式とディオファントス幾何学』、ニュー・マセマティカル・モノグラフ9、ケンブリッジ大学出版局、2007年、ISBN 978-0-521-88268-2

外部リンク

• MathWorldのゲルフォンド定数
• ゲルフォンド定数の新しい複雑な電力塔のアイデンティティ
• MathWorldのほぼ整数

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