Characteristic of conic sections
様々な離心率を持つ円錐曲線の族は、焦点 F と準線 L を共有しており、楕円（赤、 e = 1/2 ）、放物線（緑、 e = 1 ）、双曲線（青、 e = 2 ）が含まれます。この図では、離心率 0の 円錐曲線は焦点を中心とする 微小円であり、離心率 ∞ の円錐曲線 は微小距離だけ離れた2本の直線です。
有限半径の円は準線が無限に遠く離れており、有限距離の 2 本の線は焦点が無限に遠く離れています。 数学 において 、 円錐曲線 の 離心率は 、その形状を一意に特徴付ける非負の実数です。離心率は、円錐曲線が円からどれだけ離れているかを表す尺度と考えることができます。具体的には、
円 の離心率 は0です。 非円形の 楕円 の離心率は 0 から 1 の間です。 放物線 の離心率は 1 です。 双曲線 の離心率は 1 より大きくなります。 直線の離心率 は [ a] ∞ . {\displaystyle \infty .} 同じ離心率を持つ 2 つの円錐曲線は 相似 です。
定義 円錐の平面断面 任意の円錐曲線は、点（焦点）と直線（準線）までの距離が一定比となる 点の軌跡 として定義できます。この比は 離心率 と呼ばれ、一般的に e と表記されます。
離心率は、円錐曲線に関係する二股円錐 と平面との交点によって定義することもできる 。円錐の軸が垂直になっている場合、離心率は [1]である。
e = sin β sin α , 0 < α < 90 ∘ , 0 ≤ β ≤ 90 ∘ , {\displaystyle e={\frac {\sin \beta }{\sin \alpha }},\ \ 0<\alpha <90^{\circ },\ 0\leq \beta \leq 90^{\circ }\ ,} ここで、 β は平面と水平面との間の角度、αは円錐の傾斜母線と水平面との間の角度です。 平面の場合、断面は円になり、 円錐の場合、断面は放物線になります。（平面は円錐の頂点と交わってはいけません。） β = 0 {\displaystyle \beta =0} β = α {\displaystyle \beta =\alpha }
楕円または双曲線の線離心率は c （または f や e ）で表され、 中心 と 2 つ の 焦点 の いずれかとの間の距離です 。 離心率は、線離心率と 長半径 a の比として定義できます。つまり、 （放物線には中心がないため、線離心率は定義されません）。放物線は、 無限遠に1つの焦点 を持つ楕円または双曲線の 極限ケース として扱うことができます 。 e = c a {\displaystyle e={\frac {c}{a}}}
別名 離心率は、楕円に定義される 第二離心率 および 第三離心率 （下記参照）と区別するために、 第一離心率と呼ばれることもあります。また、 数値離心率 と呼ばれることもあります 。
楕円や双曲線の場合、線形離心率は 半焦点距離 と呼ばれることもあります。
表記 一般的に使用されている表記法は次の 3 つです。
e は偏心度、 c は線形偏心度です。 ε は偏心度、 e は線形偏心度です。 離心率の場合は e または ϵ< 、線形離心率の場合は f (半 焦点 距離の記憶法)。 この記事では最初の表記法を使用します。
価値観
円錐曲線 方程式 離心率（ e ） 直線偏心率（ c ） 丸 x 2 + y 2 = r 2 {\displaystyle x^{2}+y^{2}=r^{2}} 0 {\displaystyle 0} 0 {\displaystyle 0} 楕円 x 2 a 2 + y 2 b 2 = 1 {\displaystyle {\frac {x^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{b^{2}}}=1} または どこで y 2 a 2 + x 2 b 2 = 1 {\displaystyle {\frac {y^{2}}{a^{2}}}+{\frac {x^{2}}{b^{2}}}=1} a > b {\displaystyle a>b} 1 − b 2 a 2 {\displaystyle {\sqrt {1-{\frac {b^{2}}{a^{2}}}}}} a 2 − b 2 {\displaystyle {\sqrt {a^{2}-b^{2}}}} 放物線 x 2 = 4 a y {\displaystyle x^{2}=4ay} 1 {\displaystyle 1} 未定義 （ ） ∞ {\displaystyle \infty } 双曲線 x 2 a 2 − y 2 b 2 = 1 {\displaystyle {\frac {x^{2}}{a^{2}}}-{\frac {y^{2}}{b^{2}}}=1} または y 2 a 2 − x 2 b 2 = 1 {\displaystyle {\frac {y^{2}}{a^{2}}}-{\frac {x^{2}}{b^{2}}}=1} 1 + b 2 a 2 {\displaystyle {\sqrt {1+{\frac {b^{2}}{a^{2}}}}}} a 2 + b 2 {\displaystyle {\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}
ここで、楕円と双曲線の場合、 a は半長軸の長さ、 b は半短軸の長さです。
円錐曲線が一般二次形式で与えられる場合
A x 2 + B x y + C y 2 + D x + E y + F = 0 , {\displaystyle Ax^{2}+Bxy+Cy^{2}+Dx+Ey+F=0,} 次の式は、 円錐断面が放物線（離心率は1）でも 退化した双曲線でも退化した楕円でも虚数楕円でもない場合の離心率 e を与える： [2]
e = 2 ( A − C ) 2 + B 2 η ( A + C ) + ( A − C ) 2 + B 2 {\displaystyle e={\sqrt {\frac {2{\sqrt {(A-C)^{2}+B^{2}}}}{\eta (A+C)+{\sqrt {(A-C)^{2}+B^{2}}}}}}} ここで 、 3×3行列の 行列式が η = 1 {\displaystyle \eta =1}
[ A B / 2 D / 2 B / 2 C E / 2 D / 2 E / 2 F ] {\displaystyle {\begin{bmatrix}A&B/2&D/2\\B/2&C&E/2\\D/2&E/2&F\end{bmatrix}}} が負であるか、または その行列式が正であるか。 η = − 1 {\displaystyle \eta =-1}
定数 a と変化する離心率 e を持つ楕円と双曲線。
楕円 楕円 の離心率は 1 未満です。離心率が 0 の円を楕円として数えると、楕円の離心率は 0 以上になります。円に特別なカテゴリを与え、楕円のカテゴリから除外すると、楕円の離心率は 0 より大きくなります。
任意の楕円について、 aをその 長軸 の長さ 、 bをその 短軸 の長さとします 。楕円の中心を原点とし、 x 軸を長軸と一直線に並べた座標系において、楕円上の点は次式を満たします。
x 2 a 2 + y 2 b 2 = 1 , {\displaystyle {\frac {x^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{b^{2}}}=1,} 焦点は 座標 ( ± c , 0 ) {\displaystyle (\pm c,0)} c = a 2 − b 2 . {\textstyle c={\sqrt {a^{2}-b^{2}}}.}
関連する追加概念をいくつか定義します（省略記号のみ）。
名前 シンボル a と b の観点から e に関して 最初の偏心 e {\displaystyle e} 1 − b 2 a 2 {\displaystyle {\sqrt {1-{\frac {b^{2}}{a^{2}}}}}} e {\displaystyle e} 2番目の離心率 e ′ {\displaystyle e'} a 2 b 2 − 1 {\displaystyle {\sqrt {{\frac {a^{2}}{b^{2}}}-1}}} e 1 − e 2 {\displaystyle {\frac {e}{\sqrt {1-e^{2}}}}} 第三の離心率 e ″ = m {\displaystyle e''={\sqrt {m}}} a 2 − b 2 a 2 + b 2 {\displaystyle {\frac {\sqrt {a^{2}-b^{2}}}{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}} e 2 − e 2 {\displaystyle {\frac {e}{\sqrt {2-e^{2}}}}} 偏角 α {\displaystyle \alpha } cos − 1 ( b a ) {\displaystyle \cos ^{-1}\left({\frac {b}{a}}\right)} sin − 1 e {\displaystyle \sin ^{-1}e}
第一離心率 e （長軸 a と短軸 b について ）: e ² + ( b/a )² = 1
楕円の離心率は、最も簡単に言えば、線形離心率 c (楕円の中心と各焦点の間の距離) と長半径 a の長さの比です。
e = c a . {\displaystyle e={\frac {c}{a}}.} 離心率は、半径 a と中心から準線まで の距離 dの比でもあります。
e = a d . {\displaystyle e={\frac {a}{d}}.} 離心率は扁平率 f （ 長半径 a と短半径 b に対して定義）で表すことができます 。 f = 1 − b / a {\displaystyle f=1-b/a}
e = 1 − ( 1 − f ) 2 = f ( 2 − f ) . {\displaystyle e={\sqrt {1-(1-f)^{2}}}={\sqrt {f(2-f)}}.} ( f が 線形偏心である場合、一部の分野では平坦化は g で表されることがあります 。)
最大半径と最小半径を 、 それぞれ焦点から楕円までの最大距離と最小距離（つまり、焦点から長軸の両端までの距離）として定義する。長半径を a とすると、離心率は次のように与えられる
。 r max {\displaystyle r_{\text{max}}} r min {\displaystyle r_{\text{min}}}
e = r max − r min r max + r min = r max − r min 2 a , {\displaystyle e={\frac {r_{\text{max}}-r_{\text{min}}}{r_{\text{max}}+r_{\text{min}}}}={\frac {r_{\text{max}}-r_{\text{min}}}{2a}},} これは焦点間の距離を長軸の長さで割ったものです。
双曲線 双曲線 の離心率は 1より大きい任意の実数で表すことができ、上限はありません。 直角双曲線 の離心率はです 。 2 {\displaystyle {\sqrt {2}}}
離心率 を持つ 方程式 で与えられる双曲線の場合 、その 共役双曲線 は で与えられます 。共役双曲線の離心率が であれば 、これら 2 つは方程式 で関係付けられます。これは、 と の定義から示されます。このことから、 と が 成り立ち、これら 2 つの式の和は 1 になります。この関係から、 と のいずれ かが より大きく 、他方が より小さいこと がわかります。ただし の場合は、両方とも に等しくなります 。 x 2 a 2 − y 2 b 2 = 1 {\displaystyle {\frac {x^{2}}{a^{2}}}-{\frac {y^{2}}{b^{2}}}=1} e {\displaystyle e} y 2 b 2 − x 2 a 2 = 1 {\displaystyle {\frac {y^{2}}{b^{2}}}-{\frac {x^{2}}{a^{2}}}=1} e ′ {\displaystyle e'} 1 e 2 + 1 ( e ′ ) 2 = 1 {\displaystyle {\frac {1}{e^{2}}}+{\frac {1}{(e')^{2}}}=1} e 2 = 1 + b 2 a 2 = a 2 + b 2 a 2 {\displaystyle e^{2}=1+{\frac {b^{2}}{a^{2}}}={\frac {a^{2}+b^{2}}{a^{2}}}} ( e ′ ) 2 = 1 + a 2 b 2 = b 2 + a 2 b 2 {\displaystyle (e')^{2}=1+{\frac {a^{2}}{b^{2}}}={\frac {b^{2}+a^{2}}{b^{2}}}} 1 e 2 = a 2 a 2 + b 2 {\displaystyle {\frac {1}{e^{2}}}={\frac {a^{2}}{a^{2}+b^{2}}}} 1 ( e ′ ) 2 = b 2 a 2 + b 2 {\displaystyle {\frac {1}{(e')^{2}}}={\frac {b^{2}}{a^{2}+b^{2}}}} e {\displaystyle e} e ′ {\displaystyle e'} 2 {\displaystyle {\sqrt {2}}} a = b {\displaystyle a=b} 2 {\displaystyle {\sqrt {2}}}
二次曲面 楕円、ゼロから無限大までのすべての離心率を持つ双曲線、および 1 つの立方体表面上の放物線。 三次元二次 曲面の離心率は、その指定された 断面 の離心率です 。例えば、三軸楕円体では、 子午線離心率 は、最長軸と最短軸（そのうちの1つは極軸）の両方を含む断面によって形成される楕円の離心率であり、 赤道離心率 は、中心を通り極軸に垂直な断面（つまり赤道面）によって形成される楕円の離心率です。ただし、円錐断面は高次の曲面にも発生することがあります（図を参照）。
天体力学 天体力学 では 、球面ポテンシャル内の束縛軌道について、上記の定義は非公式に一般化されています。 遠心距離が近 心 距離に近い場合 、軌道の離心率は低いと言われ、大きく異なる場合、軌道は離心率が高い、あるいは離心率が1に近いと言われます。この定義は、ケプラーのポテンシャルにおける楕円の離心率の数学的定義と一致しています 。 1 / r {\displaystyle 1/r}
類似の分類 数学における多くの分類では、円錐曲線の離心率による分類から派生した用語が使用されています。
参照
参考文献 ^ 二重直線である退化した円錐の極限離心率は 1 です。これは、楕円の短軸と長軸の比がゼロ ( ) に近づく極限、つまり離心率である極限と 同じです。これは、 の双曲線の極限でも同様で 、離心率は です。ただし、交差する直線のペアである退化した円錐の極限離心率は で 、 は直線間の角度です。 のとき、 は無限大です。これは 、交差する直線 を漸近線とする 双曲線を考えればわかります 。漸近線間の角度 は で与えられます 。双曲線の離心率は です 。双曲線が漸近線に退化すると、離心率は のままです 。 b / a → 0 {\displaystyle b/a\to 0} e = 1 − ( b / a ) 2 → 1 {\displaystyle e={\sqrt {1-(b/a)^{2}}}\to 1} b / a → 0 {\displaystyle b/a\to 0} e = 1 + ( b / a ) 2 → 1 {\displaystyle e={\sqrt {1+(b/a)^{2}}}\to 1} sec α {\displaystyle \sec \alpha } 2 α {\displaystyle 2\alpha } e {\displaystyle e} 2 α = π {\displaystyle 2\alpha =\pi } x 2 a 2 − y 2 b 2 = 1 {\displaystyle {\frac {x^{2}}{a^{2}}}-{\frac {y^{2}}{b^{2}}}=1} y = ± b a x {\displaystyle y=\pm {\frac {b}{a}}x} 2 α {\displaystyle 2\alpha } tan α = b / a {\displaystyle \tan \alpha =b/a} e = 1 + ( b / a ) 2 = 1 + tan 2 α = sec α {\displaystyle e={\sqrt {1+(b/a)^{2}}}={\sqrt {1+\tan ^{2}\alpha }}=\sec \alpha } sec α {\displaystyle \sec \alpha }
外部リンク ウィキメディア・コモンズには、 Eccentricity に関連するメディアがあります 。
