超越数

In mathematics, a non-algebraic number

数学において、超越数（ちょうせつすう）とは、代数的ではない実数または複素数、すなわち整数（または有理数）係数を持つ非零多項式の根ではない数である。最もよく知られている超越数はπとeである。^{[1] [2]}数が超越数であるという性質は、超越性と呼ばれる。

超越数のクラスはごくわずかしか知られていませんが、これは特定の数が超越数であることを示すのが非常に難しい場合があるためです。しかし、超越数は珍しくありません。実際、ほとんどすべての実数と複素数は超越数です。代数的数は可算集合 を形成しますが、実数の集合と複素数の集合はどちらも不可算集合であり、したがってどの可算集合よりも大きいからです。 ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {C} }$

すべての超越実数（実超越数または超越無理数とも呼ばれる）は無理数です。なぜなら、すべての有理数は代数的だからです。^{[3] [4] [5] [6]}逆は真ではありません。すべての無理数が超越数であるわけではありません。したがって、実数の集合は、有理数、代数的無理数、超越実数の重複しない集合で構成されます。 ^[3]たとえば、2 の平方根は無理数ですが、多項式方程式x ² − 2 = 0の根であるため、超越数ではありません。黄金比（またはで表記）は、多項式方程式x ² − x − 1 = 0の根であるため、超越数ではない別の無理数です。 ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle \phi }$

歴史

「超越的」という名称はラテン語の trānscendere  （乗り越える、超える）に由来し、^[7]ライプニッツが1682年にsin x がxの代数関数ではないことを証明した論文で初めてこの数学的概念に使用されました。^{[8] 18世紀の}オイラーは、おそらく現代的な意味で超越数を初めて定義した人物です。^[9]

ヨハン・ハインリヒ・ランベルトは、 1768年にπが無理数であることを証明する論文の中で、 eとπはともに超越数であると予想し、 πが超越数であるという暫定的な証明を提案した。^[10]

ジョゼフ・リウヴィルは1844年に初めて超越数の存在を証明し^{[11] 、1851年には}リウヴィル定数などの最初の小数の例を示した。

$${\displaystyle {\begin{aligned}L_{b}&=\sum _{n=1}^{\infty }10^{-n!}\\[2pt]&=10^{-1}+10^{-2}+10^{-6}+10^{-24}+10^{-120}+10^{-720}+10^{-5040}+10^{-40320}+\ldots \\[4pt]&=0.{\textbf {1}}{\textbf {1}}000{\textbf {1}}00000000000000000{\textbf {1}}00000000000000000000000000000000000000000000000000000\ \ldots \end{aligned}}}$$

ここで、小数点以下のn番目の桁は、あるkに対してn = k ! ( k の階乗) の場合には1 になり、それ以外の場合には0 になります。^[12]言い換えれば、この数のn番目の桁は、 nが1! = 1、2! = 2、3! = 6、4! = 24などの場合にのみ 1 になります。リウヴィルは、この数が、無理数よりも有理数によってより近似できる超越数のクラスに属し、この数のクラスはリウヴィル数と呼ばれていることを示しました。リウヴィルは、すべてのリウヴィル数が超越数であることを示しました。^[13]

超越数の存在を証明する目的で特別に構築されることなく超越数であることが証明された最初の数は、1873 年にシャルル・エルミートによって証明されたeである。

1874年、ゲオルク・カントールは代数的数は可算であり、実数は不可算であることを証明した。彼はまた、超越数を構成するための新しい手法を提示した。^[14]これは代数的数の可算性の証明によって既に示唆されていたが、カントールは実数と同数の超越数が存在することを証明する構成法も発表した。^[a]カントールの研究は、超越数の普遍性を確立した。

1882年、フェルディナント・フォン・リンデマンはπが超越数であることの完全な証明を初めて発表した。彼はまず、 aが非ゼロの代数数であればe ^aは超越数であることを証明した。すると、 e ^iπ = −1は代数的であるので（オイラーの恒等式を参照）、iπは超越数でなければならない。しかし、 iは代数的であるため、πも超越数でなければならない。このアプローチはカール・ワイエルシュトラスによって一般化され、現在ではリンデマン・ワイエルシュトラスの定理として知られている。πの超越性は、コンパスと定規のみを用いた幾何学的作図では、たとえば円の二乗など、特定の結果を生み出せないことを意味する。

1900年、デイヴィト・ヒルベルトは超越数に関する問題、すなわちヒルベルトの第7の問題を提起した。「aが0でも1でもない代数的数であり、 bが無理代数的数である場合、aと^bは必ず超越数となるか？」という問いである。この肯定的な答えは、1934年にゲルフォンド・シュナイダーの定理によって示された。この研究は、1960年代にアラン・ベイカーによって、代数的数の任意の対数における線型形式の下限に関する研究の中で拡張された。 ^[16]

プロパティ

超越数は、いかなる整数多項式の根でもない（複素数でもよい）数である。すべての実超越数は無理数でもある。なぜなら、すべての有理数は1 次整数多項式の根だからである。^[17]超越数の集合は非可算無限である。有理数係数の多項式は可算であり、そのような多項式はそれぞれ有限個の0を持つので、代数的数も可算でなければならない。しかし、カントールの対角線論法は、実数（したがって複素数も）が非可算であることを証明している。実数は代数的数と超越数の和集合であるため、両方の部分集合が可算であることは不可能である。このため超越数は非可算である。

有理数は超越数ではなく、すべての実超越数は無理数です。無理数には、すべての実超越数と、二次無理数やその他の代数的無理数を含む代数的数のサブセットが含まれます。

任意の非定数一変数代数関数を超越引数に適用すると、超越値が得られます。例えば、πが超越数であることが分かれば、、、などの数も超越数であることがすぐに分かります。 ${\displaystyle 5\pi }$ ${\displaystyle {\tfrac {\pi -3}{\sqrt {2}}}}$ ${\displaystyle ({\sqrt {\pi }}-{\sqrt {3}})^{8}}$ ${\displaystyle {\sqrt[{4}]{\pi ^{5}+7}}}$

ただし、多変数の代数関数を超越数に適用すると、これらの数が代数的に独立していない場合は代数的数になる可能性があります。たとえば、πと(1 − π )は両方とも超越数ですが、π + (1 − π ) = 1は超越数ではありません。たとえば、e + πが超越数であるかどうかは不明ですが、 e + πとeπの少なくとも 1 つは超越数でなければなりません。より一般的には、任意の 2 つの超越数aとbについて、 a + bとabの少なくとも 1 つは超越数でなければなりません。これを確認するには、多項式( x − a )( x − b ) = x ² − ( a + b ) x + ab を考えます 。( a + b )とabが両方とも代数的であれば、これは代数係数を持つ多項式になります。代数的数は代数的に閉体を形成するため、多項式の根aとbは代数的根でなければならないということになります。しかし、これは矛盾であり、したがって、係数の少なくとも1つは超越根でなければなりません。

計算不可能な数は超越数の厳密なサブセットです。

すべてのリウヴィル数は超越数であるが、その逆は成り立たない。任意のリウヴィル数は、単純な連分数展開において、必ず有界な部分商を持つ。計数論的議論を用いると、有界な部分商を持つ超越数が存在することが示され、したがってそれらはリウヴィル数ではない。

eの明示的な連分数展開を用いると、 e はリウヴィル数ではない（ただし、連分数展開における部分商は無限大である）ことが示される。 1953年、クルト・マーラーはπもリウヴィル数ではないことを示した。有界項を持ち、「単純な」構造を持ち、最終的に周期的ではないすべての無限連分数は超越的であると予想されている^[18]（言い換えれば、少なくとも3次多項式の代数的無理根は、その連分数展開に明確なパターンを持たない。なぜなら、最終的には周期的連分数は2次無理数に対応するからである。エルミートの問題を参照）。

超越的であることが証明された数字

超越的であることが証明された数字:

• π (リンデマン・ワイエルシュトラスの定理による)。
• ${\displaystyle e^{a}}$a が代数的かつ非ゼロ（リンデマン・ワイエルシュトラスの定理により）である場合、特にオイラー数 eの場合。
• ${\displaystyle e^{\pi {\sqrt {n}}}}$ここで、nは正の整数、特にゲルフォン定数 （ゲルフォン・シュナイダーの定理による）です。 ${\displaystyle e^{\pi }}$
• πとπの代数的結合は、（代数的独立性から）およびとなる。^[19] ${\displaystyle e^{\pi {\sqrt {n}}},n\in \mathbb {Z} ^{+}}$ ${\displaystyle \pi +e^{\pi }}$ ${\displaystyle \pi e^{\pi }}$
• ${\displaystyle a^{b}}$ここで、 aは代数的だが 0 または 1 ではない。bは無理代数的、特にゲルフォンド・シュナイダー定数 (ゲルフォンド・シュナイダー定理による) である。 ${\displaystyle 2^{\sqrt {2}}}$
• aが代数的であり、0 または 1 に等しくない場合、対数関数の任意の分岐に対して自然対数 ln ( a )が成り立ちます (リンデマン-ワイエルシュトラスの定理による)。
• ${\displaystyle \log _{b}(a)}$aとbが正の整数であり、両方が同じ整数の累乗ではなく、a が1 に等しくない場合 (ゲルフォンド・シュナイダーの定理より)。
• 形式のすべての数は超越数であり、 はすべての に対して代数的であり、 はすべての に対して非ゼロ代数的である(ベイカーの定理による)。 ${\displaystyle \pi +\beta _{1}\ln(a_{1})+\cdots +\beta _{n}\ln(a_{n})}$ ${\displaystyle \beta _{j}}$ ${\displaystyle 1\leq j\leq n}$ ${\displaystyle a_{j}}$ ${\displaystyle 1\leq j\leq n}$

• 三角関数 sin( x )、cos( x )およびそれらの双曲線関数は、任意の非ゼロ代数数xに対して、ラジアンで表されます(リンデマン・ワイエルシュトラスの定理による)。
• 任意の代数的数xに対して、逆三角関数 arcsin( x )、arccos( x )およびそれらの双曲線関数の結果がゼロでない値になります(リンデマン・ワイエルシュトラスの定理による)。
• ${\displaystyle \pi ^{-1}{\arctan(x)}}$となる有理数xに対して。^[20] ${\displaystyle x\notin \{0,\pm {1}\}}$
• ドッティー数 d（余弦関数の不動点）は、方程式の唯一の実数解であり、xはラジアン単位である（リンデマン・ワイエルシュトラスの定理による）。^[21] ${\displaystyle \cos(x)=x}$
• ${\displaystyle W(a)}$a が代数的でゼロでない場合、ランベルトの W 関数の任意の枝（リンデマン・ワイエルシュトラスの定理による）、特にオメガ定数 Ω。
• ${\displaystyle W(r,a)}$もしaとrの位数がともに代数的で、一般化ランバートW関数の任意の枝に対してであるならば。^[22] ${\displaystyle a\neq 0}$
• ${\displaystyle {\sqrt {x}}_{s}}$、任意の自然数の平方超根は整数または超越数のいずれかです（ゲルフォンド・シュナイダーの定理により）。
• またはの形をとる有理数のガンマ関数の値。^[23] ${\displaystyle \Gamma (n/2),\Gamma (n/3),\Gamma (n/4)}$ ${\displaystyle \Gamma (n/6)}$
• πとπの代数的結合、あるいはレムニスケート定数のようなπとπの代数的結合（それぞれの代数的独立性から得られる）。^[19] ${\displaystyle \Gamma (1/3)}$ ${\displaystyle \Gamma (1/4)}$ ${\displaystyle \varpi }$
• ベータ関数 の値が非整数有理数である場合。[ 24 ^] ${\displaystyle \mathrm {B} (a,b)}$ ${\displaystyle a,b}$ ${\displaystyle a+b}$
• 第一種ベッセル関数 、その第一導関数、および商は、 νが有理数でxが代数的で非零のとき超越関数である。 ^[25]また、νが有理数のとき、およびのすべての非零根は超越関数である。^[26] ${\displaystyle J_{\nu }(x)}$ ${\displaystyle {\tfrac {J'_{\nu }(x)}{J_{\nu }(x)}}}$ ${\displaystyle J_{\nu }(x)}$ ${\displaystyle J'_{\nu }(x)}$
• 数、ここでと はベッセル関数、γはオイラー・マスケロニ定数である。^{[27] [28]} ${\displaystyle {\tfrac {\pi }{2}}{\tfrac {Y_{0}(2)}{J_{0}(2)}}-\gamma }$ ${\displaystyle Y_{\alpha }(x)}$ ${\displaystyle J_{\alpha }(x)}$
• フィボナッチゼータ関数の正の偶数引数における値。 ^[29]
• 任意のリウヴィル数、特にリウヴィル定数。 ${\displaystyle \sum _{k=1}^{\infty }{\frac {1}{10^{k!}}}}$
• 無理数とは、シャンパーノウン定数 やカーエン定数（ロスの定理による）など、2 より大きい数値のことです。 ${\displaystyle C_{10}}$
• 代数的周期にならないように人工的に作られた数。^[30]
• 計算できない任意の数、特にチャイティン定数。
• いかなる基数においても単純に正規分布しない無理数を構築した。 ^[31]
• ある固定された基数に対する数字がシュトゥルム語を形成する数。^[32]
• プルーエ・テュー・モース定数^[33]とそれに関連するウサギ定数^{[34] 。}
• コモルニク・ロレティ定数[ ^35]
• 紙折り定数（ガウス・リウヴィル数とも呼ばれる）。^[36]
• Y. GaoとJ. Gaoによって定義された高速収束速度を持つ無限級数の値は、例えば[ ^37] ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {3^{n}}{2^{3^{n}}}}}$
• の形式の任意の数（ただし、、は変数の多項式、、は代数的多項式、、は1より大きい任意の整数）。[ ^38] ${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }{\frac {E_{n}(\beta ^{r^{n}})}{F_{n}(\beta ^{r^{n}})}}}$ ${\displaystyle E_{n}(z)}$ ${\displaystyle F_{n}(z)}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle \beta }$ ${\displaystyle \beta \neq 0}$ ${\displaystyle r}$
• およびの形の数値b > 1の場合、は床関数である。^{[11] [39] [40] [41] [42] [43]} ${\displaystyle \sum _{k=0}^{\infty }10^{-b^{k}}}$ ${\displaystyle \sum _{k=0}^{\infty }10^{-\left\lfloor b^{k}\right\rfloor }}$ ${\displaystyle b\mapsto \lfloor b\rfloor }$
• と は2つの異なる小数点以下の数字のみで構成され、その非ゼロの桁位置はモーザー・デ・ブリュイン数列とその倍数で与えられる。[ 44 ^] ${\displaystyle \alpha =3.3003300000...}$ ${\displaystyle \alpha ^{-1}=0.3030000030...}$
• ロジャース・ラマヌジャン連分数 の値は、が代数的であり、である。^[45]シータ関数のレムニスカティック値（ に対して同じ条件下で）も超越的である。^[46] ${\displaystyle R(q)}$ ${\displaystyle {q}\in \mathbb {C} }$ ${\displaystyle 0<|q|<1}$ ${\displaystyle \sum _{n=-\infty }^{\infty }q^{n^{2}}}$ ${\displaystyle {q}}$
• j ( q )は代数的だが虚数二次関数ではない（つまり、例外的なセット上の拡張次数が 2 である数体である）。 ${\displaystyle {q}\in \mathbb {C} }$ ${\displaystyle \mathbb {Q} }$
• 定数およびは、 Gijswijt数列の最初の出現インデックスの式で、kは1より大きい任意の整数です。^[47] ${\displaystyle \epsilon _{k}}$ ${\displaystyle \nu _{k}}$

予想された超越数

超越数または代数数であることがまだ証明されていない数:

• 2つ以上の超越数の非自明な組み合わせのほとんどは、それ自体が超越数または無理数であることすら知られていません: eπ、e + π、π ^π、e ^e、π ^e、π ^{√ 2}、e ^{π 2} 。 e + πとπ / eは両方とも、次数≤ 8で平均サイズが 10 ⁹の整数係数の多項式方程式を満たさないことが示されている。^{[48] [49]数}e ^eとe ^{e 2}の少なくとも1つは超越数です。^[50]代数的数体には代数的に閉じた数があり、eとπは多項式x ² - ( e + π ) x + eπの根なので、数eπとe + πの少なくとも1つは超越数です。シャヌエルの予想によれば、上記の数はすべて超越数であり代数的に独立しています。^[51]
• オイラー・マスケロニ定数 γ : 2010年に、オイラー・レーマー定数の無限リスト（ γ /4を含む）には、最大で1つの代数的数しか含まれないことが示された。^{[52] [53] 2012年には、} γとゴンペルツ定数 δの少なくとも1つが超越数であることが示された。^[54]
• リーマンゼータ関数 ζ (n)の奇数における値、特に無理数であることが知られているアペリーの定数ζ (3) 。他の数ζ (5)、ζ (7)、ζ (9)、…については、この値さえも知られていない。 ${\displaystyle n\geq 3}$
• ディリクレベータ関数 β ( n )の偶数正整数における値、特にカタラン定数β (2)。(いずれも無理数ではないことが知られている。) ^[55] ${\displaystyle n\geq 2}$
• 正の整数に対するガンマ関数 Γ (1/ n )の値は無理数であることは知られておらず、ましてや超越数であることは知られていない。^{[56] [57]}少なくとも1つの数Γ(1/ n )とΓ(2/ n )は超越数である。^[24] ${\displaystyle n=5}$ ${\displaystyle n\geq 7}$ ${\displaystyle n\geq 2}$
• 明らかに代数的ではない何らかの限界によって与えられた数。 ^[57]

特定の数値の証明

証拠e超越的である

自然対数の底eが超越数的であることの最初の証明は1873年に遡ります。ここでは、シャルル・エルミートの元の証明を簡略化したデイヴィッド・ヒルベルト(1862–1943)の戦略に従います。その考え方は次のとおりです。

矛盾点を見出すために、eが代数的であると仮定する。すると、次式を満たす整数係数c ₀ , c ₁ , ..., c _nの有限集合が存在する。 これらの係数に無理数eのべき乗を乗じた場合、その整数状態を利用することは難しいが、これらのべき乗を「ほぼ」整数値をとる積分に取り込むことができる。正の整数kについて、多項式を定義し、上式の両辺に を乗じて次式を得る。 $${\displaystyle c_{0}+c_{1}e+c_{2}e^{2}+\cdots +c_{n}e^{n}=0,\qquad c_{0},c_{n}\neq 0~.}$$ $${\displaystyle f_{k}(x)=x^{k}\left[(x-1)\cdots (x-n)\right]^{k+1},}$$ $${\displaystyle \int _{0}^{\infty }f_{k}(x)\,e^{-x}\,\mathrm {d} x\ ,}$$ $${\displaystyle c_{0}\left(\int _{0}^{\infty }f_{k}(x)e^{-x}\,\mathrm {d} x\right)+c_{1}e\left(\int _{0}^{\infty }f_{k}(x)e^{-x}\,\mathrm {d} x\right)+\cdots +c_{n}e^{n}\left(\int _{0}^{\infty }f_{k}(x)e^{-x}\,\mathrm {d} x\right)=0~.}$$

それぞれの積分領域を分割することにより、この方程式は、という形式で表すことができます。ここで、P は整数になりますが、さらに重要なのは、kとともに急速に増加することです。 $${\displaystyle P+Q=0}$$ $${\displaystyle {\begin{aligned}P&=c_{0}\left(\int _{0}^{\infty }f_{k}(x)e^{-x}\,\mathrm {d} x\right)+c_{1}e\left(\int _{1}^{\infty }f_{k}(x)e^{-x}\,\mathrm {d} x\right)+c_{2}e^{2}\left(\int _{2}^{\infty }f_{k}(x)e^{-x}\,\mathrm {d} x\right)+\cdots +c_{n}e^{n}\left(\int _{n}^{\infty }f_{k}(x)e^{-x}\,\mathrm {d} x\right)\\Q&=c_{1}e\left(\int _{0}^{1}f_{k}(x)e^{-x}\,\mathrm {d} x\right)+c_{2}e^{2}\left(\int _{0}^{2}f_{k}(x)e^{-x}\,\mathrm {d} x\right)+\cdots +c_{n}e^{n}\left(\int _{0}^{n}f_{k}(x)e^{-x}\,\mathrm {d} x\right)\end{aligned}}}$$

補題1

がゼロでない整数となるような任意の大きなkが存在します。 ${\displaystyle \ {\tfrac {P}{k!}}\ }$

証明．任意の自然数に対して成立する標準積分（ガンマ関数の場合） を思い出してください。より一般的には、 $${\displaystyle \int _{0}^{\infty }t^{j}e^{-t}\,\mathrm {d} t=j!}$$ ${\displaystyle j}$

もしそうなら。 ${\displaystyle g(t)=\sum _{j=0}^{m}b_{j}t^{j}}$ ${\displaystyle \int _{0}^{\infty }g(t)e^{-t}\,\mathrm {d} t=\sum _{j=0}^{m}b_{j}j!}$

これにより、 を正確に計算できるようになります。なぜなら、 の任意の項は変数変換によってと書き直すことができるからです。したがって、後者の和は における整数係数の多項式、つまり整数係数のべき乗の線形結合です。したがって、 は階乗の（同じ整数係数を持つ）線形結合であり、特に は整数です。 ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle P}$ $${\displaystyle c_{a}e^{a}\int _{a}^{\infty }f_{k}(x)e^{-x}\,\mathrm {d} x=c_{a}\int _{a}^{\infty }f_{k}(x)e^{-(x-a)}\,\mathrm {d} x=\left\{{\begin{aligned}t&=x-a\\x&=t+a\\\mathrm {d} x&=\mathrm {d} t\end{aligned}}\right\}=c_{a}\int _{0}^{\infty }f_{k}(t+a)e^{-t}\,\mathrm {d} t}$$ $${\displaystyle P=\sum _{a=0}^{n}c_{a}\int _{0}^{\infty }f_{k}(t+a)e^{-t}\,\mathrm {d} t=\int _{0}^{\infty }{\biggl (}\sum _{a=0}^{n}c_{a}f_{k}(t+a){\biggr )}e^{-t}\,\mathrm {d} t}$$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle t^{j}}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle j!}$ ${\displaystyle P}$

より小さな階乗はより大きな階乗を割り切れるので、その線形結合に現れる最小の階乗は 全体をも割り切れます。はにおいて非ゼロの係数で現れる最も小さいべき項から得られますが、この最小の指数は、この多項式の根としての の重複度でもあります。はの重複度と の重複度を持つように選ばれるので、の場合に最小の指数は となり、の場合にとなります。したがって はを割り切れます。 ${\displaystyle j!}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle j!}$ ${\displaystyle t^{j}}$ ${\displaystyle \textstyle \sum _{a=0}^{n}c_{a}f_{k}(t+a)}$ ${\displaystyle j}$ ${\displaystyle t=0}$ ${\displaystyle f_{k}(x)}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle x=0}$ ${\displaystyle k+1}$ ${\displaystyle x=a}$ ${\displaystyle a=1,\dots ,n}$ ${\displaystyle t^{k}}$ ${\displaystyle f_{k}(t)}$ ${\displaystyle t^{k+1}}$ ${\displaystyle f_{k}(t+a)}$ ${\displaystyle a>0}$ ${\displaystyle k!}$ ${\displaystyle P}$

補題の最後の主張、すなわち が非ゼロであることを証明するには、 がを割り切れないことを証明すれば十分です。そのためには、およびより大きい任意の素数を とします。上記から、に対して がのそれぞれを割り切ることがわかっているので、特にそれらはすべて で割り切れます。これは最初の項 に行き着きます。(下降階乗と上昇階乗 を参照) となり、それらの高次項はすべて 以上の階乗を生じます。したがって、その右辺は素数 より小さい非ゼロの整数因数の積であるため、その積は で割り切れず、 についても同じことが成り立ちます。特に はゼロにはなりません。 ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle k+1}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle k+1}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle |c_{0}|}$ ${\displaystyle (k+1)!}$ ${\displaystyle \textstyle c_{a}\int _{0}^{\infty }f_{k}(t+a)e^{-t}\,\mathrm {d} t}$ ${\displaystyle 1\leqslant a\leqslant n}$ ${\displaystyle k+1}$ ${\displaystyle \textstyle c_{0}\int _{0}^{\infty }f_{k}(t)e^{-t}\,\mathrm {d} t}$ $${\displaystyle f_{k}(t)=t^{k}{\bigl [}(t-1)\cdots (t-n){\bigr ]}^{k+1}={\bigl [}(-1)^{n}(n!){\bigr ]}^{k+1}t^{k}+{\text{higher degree terms}}}$$ ${\displaystyle (k+1)!}$ $${\displaystyle P\equiv c_{0}\int _{0}^{\infty }f_{k}(t)e^{-t}\,\mathrm {d} t\equiv c_{0}{\bigl [}(-1)^{n}(n!){\bigr ]}^{k+1}k!{\pmod {(k+1)}}}$$ ${\displaystyle k+1}$ ${\displaystyle k+1}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle P}$

補題2

十分に大きいkの場合、. ${\displaystyle \left|{\tfrac {Q}{k!}}\right|<1}$

証明。

$${\displaystyle {\begin{aligned}f_{k}e^{-x}&=x^{k}\left[(x-1)(x-2)\cdots (x-n)\right]^{k+1}e^{-x}\\&=\left(x(x-1)\cdots (x-n)\right)^{k}\cdot \left((x-1)\cdots (x-n)e^{-x}\right)\\&=u(x)^{k}\cdot v(x)\end{aligned}}}$$

ここでu ( x )、v ( x )は任意のxに対してxの連続関数であり、区間[0, n ]で有界となる。つまり 、定数G、H > 0が存在し、

$${\displaystyle \ \left|f_{k}e^{-x}\right|\leq |u(x)|^{k}\cdot |v(x)|<G^{k}H\quad {\text{ for }}0\leq x\leq n~.}$$

したがって、 Qを構成するそれぞれの積分は有界であり、最悪のケースは

$${\displaystyle \left|\int _{0}^{n}f_{k}e^{-x}\ \mathrm {d} \ x\right|\leq \int _{0}^{n}\left|f_{k}e^{-x}\right|\ \mathrm {d} \ x\leq \int _{0}^{n}G^{k}H\ \mathrm {d} \ x=nG^{k}H~.}$$

合計Qを制限することも可能になりました。

$${\displaystyle |Q|<G^{k}\cdot nH\left(|c_{1}|e+|c_{2}|e^{2}+\cdots +|c_{n}|e^{n}\right)=G^{k}\cdot M\ ,}$$

ここでMはkに依存しない定数である。したがって、

$${\displaystyle \ \left|{\frac {Q}{k!}}\right|<M\cdot {\frac {G^{k}}{k!}}\to 0\quad {\text{ as }}k\to \infty \ ,}$$

この補題の証明を終える。

結論

両方の補題を満たすkの値を選ぶと、ゼロでない整数を極めて小さな量に加えるとゼロになるという不可能性が生じる。したがって、eが整数係数の多項式方程式を満たすという当初の仮定も不可能となる。つまり、eは超越数である。 ${\displaystyle \left({\tfrac {P}{k!}}\right)}$ ${\displaystyle \left({\tfrac {Q}{k!}}\right)}$

超越のπ

リンデマンの当初のアプローチとは異なる同様の戦略を用いて、πが超越数であることを示すことができる。e の証明で用いられたガンマ関数といくつかの推定値に加えて、対称多項式に関する事実が証明において重要な役割を果たしている。

πとeの超越性の証明に関する詳しい情報については、参考文献と外部リンクを参照してください。

参照

• 数学ポータル

• 超越数論、超越数に関する問題を研究する学問
• 超越要素、抽象代数における超越数の一般化
• ゲルフォンド・シュナイダー定理
• ディオファントス近似
• 周期は、積分方程式によって定義される可能性のある可算な数の集合（すべての代数的数と一部の超越数を含む）。
• ハートマニス・スターンズ予想、数の展開を計算する複雑さに基づく予想的超越基準

自然数（ℕ）、整数（ℤ）、有理数（ℚ）、実数（ℝ）、複素数（ℂ）間の包含関係

注記

1. カントールの構成は、超越数集合と実数集合の間に一対一対応を構築する。本稿では、カントールはこの構成を無理数集合にのみ適用する。 ^[15]

参考文献

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