変形（工学）

工学において、変形（物体の大きさや形状の変化）は弾性変形と塑性変形に分類されます。変形が無視できるほど小さい場合、その物体は剛体変形と呼ばれます。

主な概念

エンジニアリングアプリケーションにおける変形の発生は、次の背景概念に基づいています。

変位とは、物体全体の移動や回転（剛体変換）を含む、物体上の点の位置の変化のことです。
変形とは、剛体変換を除く、物体上の内部点間の相対位置の変化であり、物体の形状やサイズの変化を引き起こします。
ひずみとは、微小立方体の材料が基準形状に対して示す相対的な 内部変形、すなわち無次元形状変化を指します。機械的ひずみは機械的応力によって引き起こされます。応力-ひずみ曲線を参照してください。

応力とひずみの関係は、降伏点までは一般的に線形かつ可逆的であり、変形は弾性変形です。材料の弾性は、加えられた応力が分子結合の破壊に必要なエネルギーを超えない場合に発生し、材料は可逆的に変形し、応力が除去されると元の形状に戻ります。材料の線形関係はヤング率として知られています。降伏点を超えると、除荷後もある程度永久歪みが残り、これを塑性変形と呼びます。固体全体の応力とひずみの測定は、材料力学の分野によって、また構造体の場合は構造解析によって行われます。

上の図では、圧縮荷重（矢印で示す）によって円筒が変形し、元の形状（破線）が側面が膨らんだ形状に変化（変形）していることがわかります。側面が膨らんでいるのは、材料がひび割れなどの破損を起こさない程度の強度はあるものの、荷重をそのまま支えるには強度が足りないためです。その結果、材料は横方向に押し出されます。内部力（この場合は変形に対して直角方向）が、加えられた荷重に抵抗します。

変形の種類

材料の種類、物体のサイズと形状、そして加えられる力に応じて、様々な種類の変形が生じる可能性があります。右の図は、鋼鉄などの典型的な延性材料の工学的な応力-ひずみ線図を示しています。変形メカニズムマップを用いて表すことができるように、異なる条件下では異なる変形モードが発生する可能性があります。

永久変形は不可逆であり、加えられた力を除去しても変形は持続しますが、一時変形は加えられた力を除去すると消失するため回復可能です。一時変形は弾性変形とも呼ばれ、永久変形は塑性変形と呼ばれます。

弾性変形

工学ひずみにおける一時的変形または弾性変形の研究は、コンクリートや鋼鉄など、機械工学や構造工学で使用される、非常に小さな変形を受ける材料に適用されます。工学ひずみは、ひずみと回転がともに小さい、微小ひずみ理論（微小ひずみ理論、微小変形理論、微小変位理論、または微小変位勾配理論とも呼ばれる）によってモデル化されます。

エラストマーやポリマーなど、大きな変形を受ける材料には、ひずみの工学的定義は適用できません。例えば、典型的な工学的ひずみは1%を超えます^{[1]。そのため、}伸張、対数ひずみ、グリーンひずみ、アルマンシひずみなど、より複雑なひずみの定義が必要になります。エラストマーやニチノールなどの形状記憶金属は、ゴムと同様に大きな弾性変形範囲を示します。しかし、これらの材料の弾性は非線形です。

通常の金属、セラミック、およびほとんどの結晶は線形弾性とより狭い弾性範囲を示します。

線形弾性変形はフックの法則によって規定され、次のように述べられています。

\sigma =E\varepsilon

どこ

$σ$ は加えられる応力です。
$Eは$ ヤング率または弾性率と呼ばれる材料定数です。
$ε$ は結果として生じるひずみです。

この関係は弾性領域にのみ適用され、応力-ひずみ曲線の傾きを用いてヤング率（ $E$ ）を求めることができることを示しています。エンジニアは引張試験においてこの計算をよく使用します。この弾性領域以下の面積は、復元力と呼ばれます。

すべての弾性材料が線形弾性変形を起こすわけではないことに注意すべきである。コンクリート、ねずみ鋳鉄、多くのポリマーなど、一部の材料は非線形に応答する。これらの材料にはフックの法則は適用できない。^[2]

塑性変形

この種の変形は、加えられた力を取り除くだけでは元に戻りません。ただし、塑性変形範囲内の物体は、まず弾性変形を起こしており、加えられた力を取り除くだけで弾性変形が元に戻るため、物体は部分的に元の形状に戻ります。柔らかい熱可塑性プラスチックは、銅、銀、金などの延性金属と同様に、かなり広い塑性変形範囲を持っています。鋼鉄も同様ですが、鋳鉄はそうではありません。硬い熱硬化性プラスチック、ゴム、結晶、セラミックの塑性変形範囲は最小限です。広い塑性変形範囲を持つ材料の例としては、濡れたチューインガムがあり、これは元の長さの数十倍に引き伸ばすことができます。

引張応力下における塑性変形は、ひずみ硬化領域、ネッキング領域、そして最終的に破壊（破断とも呼ばれる）という特徴を持つ。ひずみ硬化の間、材料は原子転位の移動によって強度が増す。ネッキング段階は、試験片の断面積の減少によって示される。ネッキングは極限強度に達した後に始まる。ネッキングの間、材料は最大応力に耐えられなくなり、試験片のひずみが急激に増加する。塑性変形は材料の破壊で終了する。

延性金属の応力（加えられる力）とひずみ（変形）の関係を示す応力-ひずみ曲線の図。

失敗

圧縮破壊

通常、鉄筋や柱などに加えられる圧縮応力は、短縮につながります。

構造要素または試験片に荷重をかけると、圧縮応力が増加し、最終的には圧縮強度に達します。材料の特性に応じて、延性挙動を示す材料（ほとんどの金属、一部の土壌およびプラスチック）では降伏破壊モード、脆性挙動を示す材料（地盤材料、鋳鉄、ガラスなど）では破断破壊モードとなります。

柱やトラスバーなどの細長い構造要素では、圧縮力Fが増加すると、圧縮強度よりも低い応力で座屈が発生し、構造的な破損につながります。

骨折

破断は、材料が弾性変形範囲の限界、そして塑性変形範囲の限界に達した後に発生します。この時点で、力が蓄積され、破壊を引き起こすのに十分な大きさになります。十分な力が加われば、すべての材料は最終的に破壊します。

ストレスと緊張の種類

工学応力と工学ひずみは、物体の大きさに大きな変化がない場合、外力と変形から決定できる内部状態の近似値です。大きさに大きな変化がある場合は、物体の瞬間的な大きさから真応力と真ひずみを導き出すことができます。

工学的応力とひずみ

元の断面積が $A 0$ の棒が、両端から等しく反対方向に引っ張る力 $Fを$ 受け、張力を受けているとします。このとき、材料は、力と棒の断面積の比で定義される応力と、軸方向の伸びを経験します。

工学的応力とひずみの方程式
ストレス	歪み
$\sigma ={\frac {F}{A_{0}}}$	$\varepsilon ={\frac {L-L_{0}}{L_{0}}}={\frac {\Delta L}{L_{0}}}$

下付き文字の 0 は、サンプルの元の寸法を示します。応力のSI 導出単位はニュートン/平方メートル、またはパスカル(1 パスカル = 1 Pa = 1 N/m ² ) であり、ひずみには単位がありません。この材料の応力-ひずみ曲線は、サンプルを引き伸ばし、サンプルが破損するまでひずみによる応力の変化を記録することによってプロットされます。慣例により、ひずみは横軸に設定され、応力は縦軸に設定されます。工学的目的では、材料の断面積は変形プロセス全体を通じて変化しないと想定されることが多いことに注意してください。実際の面積は弾性変形と塑性変形により変形中に減少するため、これは正しくありません。元の断面積とゲージ長に基づく曲線は工学応力-ひずみ曲線と呼ばれ、瞬間断面積と長さに基づく曲線は真応力-ひずみ曲線と呼ばれます。特に明記しない限り、工学応力-ひずみが一般的に使用されます。

真のストレスと緊張

上記の工学的応力とひずみの定義では、引張試験における材料の 2 つの挙動が無視されています。

断面積の縮小
伸長の複合的な発達

これらの挙動を考慮するために、真応力と真ひずみは工学応力と工学ひずみとは異なる定義で与えられます。

真の応力とひずみの方程式
ストレス	歪み
$\sigma _{\mathrm {t} }={\frac {F}{A}}$	$\varepsilon _{\mathrm {t} }=\int {\frac {\delta L}{L}}$

ここで寸法は瞬間値である。試料の体積が保存され、変形が均一に起こると仮定すると、

A_{0}L_{0}=AL

真の応力とひずみは、工学応力と工学ひずみで表すことができます。真の応力については、

\sigma _{\mathrm {t} }={\frac {F}{A}}={\frac {F}{A_{0}}}{\frac {A_{0}}{A}}={\frac {F}{A_{0}}}{\frac {L}{L_{0}}}=\sigma (1+\varepsilon )

株については、

\delta \varepsilon _{\mathrm {t} }={\frac {\delta L}{L}}

両辺を積分し境界条件を適用すると、

\varepsilon _{\mathrm {t} }=\ln \left({\frac {L}{L_{0}}}\right)=\ln(1+\varepsilon )

そのため、引張試験では、真応力は工学応力よりも大きく、真ひずみは工学ひずみよりも小さくなります。したがって、真応力-ひずみ曲線を定義する点は、等価な工学応力-ひずみ曲線を定義するために、上方かつ左方に移動します。真応力と工学ひずみの差は、塑性変形とともに大きくなります。低ひずみ（弾性変形など）では、両者の差はごくわずかです。引張強度点については、工学応力-ひずみ曲線では最大点ですが、真応力-ひずみ曲線では特別な点ではありません。工学応力はサンプルに加えられる力に比例するため、ネッキング形成の基準は次のように設定できます。 $\delta F=0.$

{\begin{aligned}&\delta F=\sigma _{\text{t}}\,\delta A+A\,\delta \sigma _{\text{t}}=0\\&-{\frac {\delta A}{A}}={\frac {\delta \sigma _{\mathrm {t} }}{\sigma _{\mathrm {t} }}}\end{aligned}}

この解析は、極限引張強度（UTS）点の性質を示唆しています。加工強化効果は、UTS点における断面積の収縮と正確にバランスしています。

ネッキング形成後、試料は不均一な変形を受けるため、上記の式は適用できません。ネッキングにおける応力とひずみは次のように表されます。

{\begin{aligned}\sigma _{\mathrm {t} }&={\frac {F}{A_{\mathrm {neck} }}}\\\varepsilon _{\mathrm {t} }&=\ln \left({\frac {A_{0}}{A_{\mathrm {neck} }}}\right)\end{aligned}}

真応力と真ひずみの関係を説明するには、一般的に経験式が使用されます。

\sigma _{\mathrm {t} }=K(\varepsilon _{\mathrm {t} })^{n}

ここで、 $n$ はひずみ硬化指数、 $K$ は強度係数である。nは材料の加工硬化挙動の尺度である。nが大きい材料は $ネッキング$ $に対する$ 耐性が高い。通常、室温での金属の $n$ は0.02から0.5の範囲である。^[3]

議論

上記では変形中の面積変化を無視しているため、真の応力ひずみ曲線を再度導出する必要があります。応力ひずみ曲線を導出するためには、材料を変形させた場合でも体積変化は0であると仮定できます。以下の仮定が成り立ちます。

A_{i}\times \varepsilon _{i}=A_{f}\times \varepsilon _{f}

すると、真の応力は以下のように表すことができます。

{\begin{aligned}\sigma _{T}={\frac {F}{A_{f}}}&={\frac {F}{A_{i}}}\times {\frac {A_{i}}{A_{f}}}\\&=\sigma _{e}\times {\frac {l_{f}}{l_{i}}}\\[2pt]&=\sigma _{E}\times {\frac {l_{i}+\delta l}{l_{i}}}\\[2pt]&=\sigma _{E}(1+\varepsilon _{E})\end{aligned}}

さらに、真ひずみ $εT は$ 以下のように表されます。

\varepsilon _{T}={\frac {dl}{l_{0}}}+{\frac {dl}{l_{1}}}+{\frac {dl}{l_{2}}}+\cdots =\sum _{i}{\frac {dl}{l_{i}}}

そして、その値は次のように表すことができます。

\int _{l_{0}}^{l_{i}}{\frac {dl}{l}}\,dx=\ln \left({\frac {l_{i}}{l_{0}}}\right)=\ln(1+\varepsilon _{E})

したがって、右の図のようにとに関してプロットを誘導することができます。 $\sigma _{T}$ $\varepsilon _{E}$

さらに、真の応力-ひずみ曲線に基づいて、ネッキングが発生し始める領域を推定できます。ネッキングは、最大力が作用する極限引張応力に達した後に現れ始めるため、この状況は以下のように表すことができます。

dF=0=\sigma _{T}dA_{i}+A_{i}d\sigma _{T}

したがって、この形式は以下のように表現できます。

{\frac {d\sigma _{T}}{\sigma _{T}}}=-{\frac {dA_{i}}{A_{i}}}

これは、応力変化に比べて面積減少が著しくなる箇所でネッキングが発生し始めていることを示しています。そして、応力はネッキングが発生した特定の領域に集中します。

さらに、真の応力-ひずみ曲線に基づいてさまざまな関係を誘導することができます。

1) 真ひずみと応力の曲線は、真応力と真ひずみの対数をとることで、近似的な直線関係で表すことができます。この関係は以下のように表されます。

\sigma _{T}=K\times (\varepsilon _{T})^{n}

ここで、は応力係数、はひずみ硬化係数です。通常、の値は室温で0.02から0.5程度の範囲にあります。が1の場合、この材料は完全弾性体として表すことができます。^[4]^[5] $K$ $n$ $n$ $n$

2) 実際には、応力はひずみ変化率にも大きく依存します。したがって、ひずみ変化率に基づいて経験式を導くことができます。

\sigma _{T}=K'\times ({\dot {\varepsilon _{T}}})^{m}

ここで、は材料の流動応力に関連する定数です。はひずみの時間微分を示し、ひずみ速度とも呼ばれます。はひずみ速度感度です。さらに、の値はネッキングに対する抵抗力と関連しています。通常、の値は室温では0～0.1の範囲ですが、温度が上昇すると0.8まで上昇します。 $K'$ ${\dot {\varepsilon _{T}}}$ $m$ $m$ $m$

1) と 2) を組み合わせると、次のような究極の関係を作成できます。

\sigma _{T}=K''\times (\varepsilon _{T})^{n}({\dot {\varepsilon _{T}}})^{m}

ひずみ、ひずみ速度、応力を関連付けるグローバル定数はどこですか。 $K''$

3) 真応力-ひずみ曲線とその微分形に基づいて、ネッキング開始に必要なひずみを推定できます。これは、右図に示すように、真応力-ひずみ曲線の交点に基づいて計算できます。

この図は、異なる温度におけるネッキングひずみの依存性も示しています。FCC金属の場合、応力-ひずみ曲線とその微分値は温度に大きく依存します。そのため、高温では、より低いひずみ値でもネッキングが発生し始めます。

これらすべての特性は、突然の環境における材料の挙動をさらに分析するために、真の応力-ひずみ曲線を計算することの重要性を示しています。

4) いわゆる「コンシダー構築」と呼ばれるグラフィカル手法は、サンプルにネッキングやドローイングが生じた場合の応力-ひずみ曲線の挙動を判断するのに役立ちます。行列式をとれば、真の応力とひずみは以下のように工学応力と工学ひずみで表すことができます。 $\lambda =L/L_{0}$

\sigma _{T}=\sigma _{e}\times \lambda ,\qquad \varepsilon _{T}=\ln \lambda .

したがって、工学応力の値は、真応力と値によって作られる割線で表すことができます。図と割線の形状を分析することで、材料が絞り現象またはネッキング現象を示すかどうかを判断できます。 $\lambda$ $\lambda =0$ $\lambda =1$ $\sigma _{T}-\lambda$

プロットを検討してください。(a) 接線のない真の応力-ひずみ曲線。ネッキングもドローイングもありません。(b) 接線が1本の場合。ネッキングのみがあります。(c) 接線が2本の場合。ネッキングとドローイングの両方があります。^[6]

図 (a) では、凹状の上向きの Consider プロットのみがあります。これは、降伏点降下がないため、材料は降伏する前に破損することを示しています。図 (b) では、の点で接線が割線と一致する特定の点があります。この値を超えると、傾きは割線よりも小さくなり、ネッキングが現れ始めます。図 (c) では、降伏が現れ始めますが、のときに延伸が起こります。延伸後、材料全体が伸びて、最終的に破損を示します。との間では、材料自体は伸びず、むしろネックのみが伸び始めます。 $\lambda =\lambda _{Y}$ $\lambda =\lambda _{d}$ $\lambda _{Y}$ $\lambda _{d}$

誤解

曲がる材料はすべて「弱い」、曲がらない材料は「強い」という誤解がよくあります。実際には、鋼鉄のように大きな弾性変形や塑性変形を受ける多くの材料は、塑性変形範囲が小さいガラスのような脆性材料であれば破壊に至るような応力を吸収することができます。^[7]

参照

参考文献

^ リース、デイビッド (2006). 『基礎工学塑性：工学および製造への応用入門』バターワース・ハイネマン. p. 41. ISBN 0-7506-8025-3. 2017年12月22日時点のオリジナルよりアーカイブ。
^ Callister, William D. (2004) 『材料科学と工学の基礎』 John Wiley and Sons, 第2版, p. 184. ISBN 0-471-66081-7。
^ コートニー、トーマス (2005).材料の機械的挙動. Waveland Press, Inc. pp. 6– 13.
^ ab コートニー、トーマス (2000).材料の機械的挙動イリノイ州: ウェーヴランド・プレス. p. 165. ISBN 9780073228242。
^ 「真の応力とひずみ」（PDF） . 2018年1月27日時点のオリジナル（PDF）からアーカイブ。2018年5月15日閲覧。
^ ローランド、デイヴィッド。「応力-ひずみ曲線」(PDF)。マサチューセッツ工科大学
^ ライス、ピーター、ダットン、ヒュー (1995). 構造ガラス. テイラー＆フランシス. p. 33. ISBN 0-419-19940-3。{{cite book}}: CS1 maint: multiple names: authors list (link)

[1] リース、デイビッド (2006). 『基礎工学塑性：工学および製造への応用入門』バターワース・ハイネマン. p. 41. ISBN 0-7506-8025-3. 2017年12月22日時点のオリジナルよりアーカイブ。

[2] Callister, William D. (2004) 『材料科学と工学の基礎』 John Wiley and Sons, 第2版, p. 184. ISBN 0-471-66081-7。

[3] コートニー、トーマス (2005).材料の機械的挙動. Waveland Press, Inc. pp. 6– 13.

[:0-4] コートニー、トーマス (2000).材料の機械的挙動イリノイ州: ウェーヴランド・プレス. p. 165. ISBN 9780073228242。

[5] 「真の応力とひずみ」（PDF） . 2018年1月27日時点のオリジナル（PDF）からアーカイブ。2018年5月15日閲覧。

[6] ローランド、デイヴィッド。「応力-ひずみ曲線」(PDF)。マサチューセッツ工科大学

[7] ライス、ピーター、ダットン、ヒュー (1995). 構造ガラス. テイラー＆フランシス. p. 33. ISBN 0-419-19940-3。{{cite book}}: CS1 maint: multiple names: authors list (link)