初等関数

数学関数の種類

数学において、初等関数とは、初心者が一般的に遭遇する、1変数（実数または複素数）の関数です。基本的な初等関数には、多項式関数、有理関数、三角関数、指数関数と対数関数、n乗根、逆三角関数、およびこれらの加算、乗算、除算、合成によって得られる関数があります。絶対値関数や区分定義関数など、初心者が遭遇する関数の中には初等関数ではないものもあります。より一般的には、現代数学において、初等関数は、前述の関数の集合、すべての代数関数（初心者はあまり遭遇しません）、および係数が初等関数である 多項式の根によって得られるすべての関数で構成されます

この基本関数のリストは、もともと 1833 年にジョセフ・リウヴィルによって提示されました。重要な特性は、すべての基本関数が任意の次数の導関数を持ち、それらも基本的であり、微分規則(または根の場合は暗黙的微分規則)を適用することでアルゴリズム的に計算できることです。基本関数のテイラー級数は、その定義域のすべての点の近傍で収束します。より一般的には、それらは大域解析関数であり、孤立した点を除くすべての複素引数に対して定義されます (基本関数 や のように、複数の値を持つ場合もあります) 。対照的に、基本関数の原始導関数は基本的である必要はなく、特定の基本関数に原始原始導関数があるかどうかを判断するのは困難です。 ${\displaystyle {\sqrt {z}}}$ ${\displaystyle \log z}$

リウヴィルの結果は、基本関数が基本原始積分を持つ場合、この原始積分は対数の線形結合であり、対数の係数と引数は、ある意味で関数の定義に含まれる基本関数であるというものです。130年以上経った今、ロバート・ヘンリー・リッシュにちなんで名付けられたリッシュアルゴリズムは、基本関数が基本原始積分を持つかどうかを判定し、持つ場合はその原始積分を計算するアルゴリズムです。基本関数を扱っているにもかかわらず、リッシュアルゴリズムは初等的とはほど遠く、2025年現在、完全な実装は利用できないようです。^[更新]

19世紀後半の解析学において、基本関数は、定義に必要な独立積分の回数に応じて、しばしば連続する種類に分類されました。積分なしに表現できる関数、すなわち、有理関数から代数演算、指数、対数、円三角関数または双曲三角関数を用いて生成される関数は、第一種基本関数（リウヴィルの意味で）と呼ばれました。誤差関数や楕円積分など、代数関数の単一の積分によって定義される関数は第二種基本関数であり、それらの逆関数である楕円関数は同じ位数であるとみなされました。より高次の「種類」（第三種、第四種など）は、代数関数の多重積分に対応し、超楕円関数やより一般的なアーベル関数を生み出しました。^[1]

この分類の本質的な点は、任意の種類の基本関数のクラスが基本演算 (加算、乗算、合成、微分) の下で閉じていることであり、微分は同じクラスの外に出ることはないが、積分は次のより高い種類に上がる可能性がある。

例

基本的な例

単一変数xの基本関数には次のものがあります。

• 定数関数:オイラー・マスケロニ定数、アペリの定数、ヒンチンの定数など。任意の定数の実数 (または複素数)。 ${\displaystyle 2,\ \pi ,\ e,}$
• ⁠ ⁠ ${\displaystyle x}$の累乗:など。(指数は任意の実定数または複素定数にすることができます。) ${\displaystyle x^{\alpha }=e^{\alpha \log x}}$
• 指数関数: ${\displaystyle \textstyle e^{x},\quad a^{x}=e^{x\log a}}$
• 対数: ${\displaystyle \textstyle \log x,\quad \log _{a}x={\frac {\log x}{\log a}}}$
• 三角関数など ${\displaystyle \textstyle \sin x={\frac {e^{ix}-e^{-ix}}{2i}},\ \cos x={\frac {e^{ix}+e^{-ix}}{2}},\ \tan x={\frac {\sin x}{\cos x}},\ }$
• 逆三角関数など ${\displaystyle \arcsin x,\ \arccos x,}$
• 双曲線関数など ${\displaystyle \sinh x,\ \cosh x,}$
• 逆双曲線関数など ${\displaystyle \operatorname {arsinh} x,\ \operatorname {arcosh} x,}$
• 前述の関数のいずれかの有限数を加算、減算、乗算、または除算することによって得られるすべての関数^[2]
• 係数が基本関数である多項式の根として得られるすべての関数^{[3] [4]}
• 前述の関数のいずれかを有限個組み合わせて得られるすべての関数

複素変数zの特定の基本関数（ やなど）は、多価関数となる場合があります。さらに、特定の関数クラスは、最後の2つの規則を用いることで、他の関数から得られる場合もあります。例えば、指数関数を加算、減算、除算と組み合わせると双曲線関数が得られ、代わりに と組み合わせると三角関数が得られます。 ${\displaystyle {\sqrt {z}}}$ ${\displaystyle \log z}$ ${\displaystyle e^{z}}$ ${\displaystyle iz}$

複合関数の例

基本関数の例には以下が含まれます。

• 加算、例：( x + 1)
• 掛け算、例：(2 x )
• 多項式関数
• ${\displaystyle {\frac {e^{\tan x}}{1+x^{2}}}\sin \left({\sqrt {1+(\log x)^{2}}}\right)}$
• ${\displaystyle -i\log \left(x+i{\sqrt {1-x^{2}}}\right)}$

最後の関数は、複素平面全体における逆余弦に等しくなります。 ${\displaystyle \arccos x}$

すべての単項式、多項式、有理関数、代数関数は基本です。

非初等関数

すべての基本関数は、次の意味で解析的である：それらは、複素平面上の有限個の点を除いて解析的である複素変数（多値でもよい）の関数に拡張できる。^{[5]したがって、}絶対値関数などの非解析的関数は基本的ではなく、^[6]他の区分的に定義された関数のほとんども基本的ではない。

すべての解析関数が初等関数であるわけではありません。実際、ほとんどの特殊関数は初等関数ではありません。非初等関数には以下のものがあります。

• ガンマ関数
• 非基本的なリウヴィリ関数（以下を含む）
  • 指数積分（Ei）、対数積分（Liまたはli）、フレネル積分（SおよびC）
  • 誤差関数は、すぐには明らかではないかもしれないが、 Rischアルゴリズム を使用して証明できる。 ${\displaystyle \mathrm {erf} (x)={\frac {2}{\sqrt {\pi }}}\int _{0}^{x}e^{-t^{2}}\,dt,}$
• ディリクレ積分や楕円積分を含むその他の非初等積分

閉包

定義から直接的に、初等関数の集合は算術演算、（代数的）根の抽出、および合成に関して閉じていることが分かります。初等関数は微分に関して閉じています。極限と無限和に関して閉じていません。重要なのは、初等関数はリウヴィルの定理（非初等積分を参照）によって示されるように、積分に関して閉じていないことです。リウヴィル関数は、初等関数として定義され、再帰的にリウヴィル関数の積分として定義されます

微分代数

特定の超越関数を拡張することで初等関数の集合を拡張し、例えばランバートW関数^[7]や楕円関数[ ^8]などを含めることを提案する人もいます。これらはすべて解析関数です。リウヴィルの定理の観点から重要な属性は、それらがクラスとして、微分をとることについて閉じていることです。例えば、方程式によって暗黙的に定義されるランバート関数は、暗黙的な微分によって得られる微分を持ちます。これは、 である限り、再び「初等的」です ${\displaystyle w=W(z)}$ ${\displaystyle we^{w}=z}$ ${\displaystyle W'(z)={\frac {e^{-W(z)}}{1+W(z)}},}$ ${\displaystyle W(z)}$

初等関数の数学的定義は微分代数において形式化されている。微分体とは 、微分（微分の代数版）という追加の演算を持つ体である。微分演算を用いることで、新たな方程式を書き、その解を代数の拡張に用いることができる。有理関数体から出発することで、2つの特殊な超越拡張（対数と指数）を体に加え、初等関数を含む塔を構築することができる。

微分体 ⁠ ⁠は、 ${\displaystyle F}$⁠ ⁠を自身に写す微分 ⁠ ⁠ ${\displaystyle u\mapsto \partial u}$を伴う体です 。微分は微分を一般化し、線型（つまり⁠ ⁠）であり、⁠ ⁠内の任意の2つの元⁠ ⁠と⁠ ⁠に対してライプニッツの積分則（つまり⁠ ⁠ ）を満たします。⁠ ⁠の⁠ ⁠上の有理関数は、通常の微分を備えた場合、微分体の基本的な例を形成します。 ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle \partial (u+v)=\partial u+\partial v}$ ${\displaystyle \partial (u\cdot v)=\partial u\cdot v+u\cdot \partial v}$ ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ ${\displaystyle \mathbb {C} }$

⁠ ⁠の元hが定数であるとは、⁠ ⁠ のときである。⁠ ⁠の定数は、微分値が零の微分体を形成する。微分体の微分体拡大は、定数体を拡大する可能性があることに注意する必要がある。 ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle \partial h=0}$ ${\displaystyle F}$

微分体Fの微分拡大Gの関数uがF上の基本関数であるとは、それがFから始まるGの微分部分体の有限連鎖（包含関係）に属し、それぞれが前の部分体上に次のいずれかの関数によって生成されるときである。

• 前の体上の代数的、または
• 指数関数、つまり、 ある⁠ ⁠に対して⁠ ⁠ ${\displaystyle \partial u=u\partial a}$、または ${\displaystyle a\in F}$
• 対数、つまり、ある⁠ ⁠に対して⁠ ⁠となります。 ${\displaystyle \partial u=\partial a/a}$ ${\displaystyle a\in F}$

（リウヴィルの定理を参照）

この定義によれば、通常の基本関数は、有理関数体上の基本関数と全く同じである。この一般化された定義により、リウヴィルの定理を適用する際に、あらゆる超越関数を基本関数とみなすことが可能となる。

参照

• 代数関数
• 閉形式式 – 与えられた演算集合を含む数式
• 微分ガロア理論
• 初等関数算術 - 証明論における算術体系
• リウヴィルの定理（微分代数）  - 初等関数の原始関数が初等関数として表現できる場合を述べる
• タルスキーの高校代数学の問題
• 超越関数 – 多項式方程式を満たさない解析関数

注釈

1. フォーサイス 1893
2. モリス・テネンバウム (1985). 『常微分方程式』 ドーバー、p. 17. ISBN 0-486-64940-7。
3. スピヴァック、マイケル (1994) 『微積分学（第3版）』 ヒューストン、テキサス州：Publish or Perish、363ページ。ISBN 0914098896 OCLC  31441929
4. リット、1章
5. Risch, Robert H. (1979). 「解析の基本関数の代数的性質」 . American Journal of Mathematics . 101 (4): 743– 759. doi :10.2307/2373917. ISSN  0002-9327. JSTOR  2373917.
6. Watson and Whittaker 1927、p 82の脚注。基本関数の文脈では、の根として定義される関数は2値です。 ${\displaystyle y=f(x)}$ ${\displaystyle y^{2}-x^{2}=0}$ ${\displaystyle y=\pm x}$
7. スチュワート、ショーン (2005). 「カリキュラムのための新しい基本関数？」(PDF) .オーストラリア高等数学ジャーナル. 19 (2): 8– 26.
8. インス、EL (1956) [1926].常微分方程式. ニューヨーク: ドーバー出版. ISBN 0-486-60339-4, 330ページの脚注

参考文献

• フォーサイス、アンドリュー(1893). 複素変数関数論. ケンブリッジ. JFM  25.0652.01
• ジョセフ・リウヴィル（1833a）。 「第一の記憶は、国家価値を超えて統合されたものではない」。エコールポリテクニックジャーナル。第 14 巻: 124 – 148。
• ジョセフ・リウヴィル（1833b）。 「第二の記憶は、代数的価値を持たない統合的決定法」。エコールポリテクニックジャーナル。第 14 巻: 149 – 193。
• ジョセフ・リウヴィル（1833c）。 「algébrique を評価しないでください。」数学に関するジャーナル。10 : 347–359 .
• リット、ジョセフ(1950). 微分代数学. AMS .
• ローゼンリヒト, マクスウェル(1972). 「有限項における積分」.アメリカ数学月刊誌. 79 (9): 963– 972. doi :10.2307/2318066. JSTOR  2318066.

さらに詳しい情報

• ダベンポート、ジェームズ・H. (2007). 「関数を理解する」とはどういう意味か？.機械化された数学アシスタントに向けて. コンピュータサイエンス講義ノート. 第4573巻.  55～ 65ページ. doi :10.1007/978-3-540-73086-6_5. ISBN 978-3-540-73083-5 S2CID  8049737

外部リンク

• 数学百科事典における初等関数
• ワイスタイン、エリック・W.「初等関数」。MathWorld。

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