複合多面体

幾何学において、複合多面体とは、平面で切断すると2つの凸多面体（正多面体）が生成される凸多面体です。このような多面体をこれ以上生成できなくなるまで繰り返し切断したものを、基本多面体または非複合多面体と呼びます。

定義と例

正二十面体は、五角柱の底面に二つの五角錐を接合して構成されているため、複合多面体です。正二十面体の三つの錐を切断すると三減二十面体が得られ、そこからさらに凸状の正面を持つ多面体を作ることはできません。

凸多面体は、その辺の循環を通る面ではない平面が存在する場合、複合多面体と呼ばれます。この平面で多面体を切断すると、元の多面体と同じ面を持つ2つの凸正面多面体が生成され、切断面上に2つの新しい面が追加されます。[ 1 ]多面体を繰り返し切断しても、それ以上凸正面多面体が生成されない場合、基本多面体または非複合多面体と呼ばれます。複合多面体は、2つ以上の非複合多面体を接合した結果として定義することもできます。[ 2 ] [ 3 ]

正八面体と正二十面体は複合多面体です。正八面体は、2つの正四角錐に分割することができ、これらは基本多面体です。正二十面体から1つと2つの角錐を平面で切断すると、縮小二十面体と2縮小二十面体という複合多面体が得られます。さらに、3つ目の角錐を切断すると、三縮小二十面体と呼ばれる基本多面体が得られます。[ 4 ] [ 3 ]プリズムと反プリズムの族は、基本多面体の例です。正四角錐と三減二十面体のほか、ジョンソンの基本立体には、五角錐、三角キューポラ、四角キューポラ、五角形キューポラ、五角形ロタンダ、二面減菱形二十二面体、三減菱形二十二面体、スナブ二蝶形、スナブ正方形反プリズム、スフェノコロナ、スフェノメガコロナ、ヘベスフェノメガコロナ、ジスフェノシングラム、ビルナビロタンダ、三角ヘベスフェノロタンダがある。[ 2 ] [ 5 ]

正面を持つ基本多面体は、凸正面を持つ多面体から列挙することができる。ザルガラー（1967）は、面が正多角形または正多角形の和である基本多面体を列挙することに興味を示し、28の例を示した。これらはザルガラー立体と呼ばれる。[ 6 ] [ 4 ]イワノフ（1971）とピラキン（1973）はさらに6つの例を示しており、それぞれ5つのイワノフ立体と1つのピラキン立体である。[ 7 ] [ 8 ] [ 4 ]。

参考文献

  1. ^スロボダン、ミシッチ;オブラドヴィッチ、マリヤ。ユカノヴィッチ、ゴルダナ（2015）。「幾何学的および建築的形態としての複合凹面キューポラ」(PDF)。幾何学とグラフィックスのジャーナル。19 (1): 79–91 .
  2. ^ a b Timofeenko, AV (2009). 「寄木細工の面を持つ凸多面体」(PDF) . Doklady Mathematics . 80 (2): 720– 723. doi : 10.1134/S1064562409050238 .
  3. ^ a bハーツホーン、ロビン(2000). 『幾何学：ユークリッドとその先』数学学部テキスト. シュプリンガー出版. p. 464. ISBN 9780387986500。
  4. ^ a b c Timofeenko, AV (2010). 「非複合多面体の接合」(PDF) .サンクトペテルブルク数学ジャーナル. 21 (3): 483– 512. doi : 10.1090/S1061-0022-10-01105-2 .
  5. ^ジョンソン、ノーマン(1966). 「正則面を持つ凸多面体」.カナダ数学ジャーナル. 18 : 169–200 . doi : 10.4153/CJM-1966-021-8 .
  6. ^バージニア州ザルガラー(1967)。 「規則的な面を持つ凸多面体」。ザピスキー・ナウチニフ・セミナロフ・ロミ。2：5-221。
  7. ^ Ivanov, BA (1971). 「正多角形で構成される面を持つ多面体」.ウクライナ. Geom. Sb (ロシア語) (10): 20– 34. MR 0301634 . 
  8. ^ Pyrakhin, Yu. A. (1973). 「正多面体を持つ凸多面体」.ウクライナ. Geom. Sb. (ロシア語) (14): 83– 88. MR 0338930 . 
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