楕円

Quadric surface that looks like a deformed sphere

方程式を持つ楕円体の例⁠× ²/2^​⁠ + ⁠y ²/b ²⁠ + ⁠z ²/c ²⁠ = 1 :

• 球、 a = b = c = 4、上;
• 球状体、 a = b = 5、 c = 3、左下;
• 三軸楕円体、a = 4.5、b = 6、c = 3、右下

楕円体とは、方向スケーリング、より一般的にはアフィン変換によって球面を変形することで得られる表面です。

楕円体とは二次曲面であり、三変数二次多項式の零点集合として定義できる曲面です。二次曲面の中でも、楕円体は以下の2つの性質のいずれかによって特徴付けられます。すべての平面断面は、楕円形、空断面、または一点に縮約されます（これが「楕円のような」という意味の名前の由来です）。楕円体は有界であり、十分に大きな球体で囲むことができます。

楕円体には、互いに直交する3本の対称軸があり、 これらは対称中心（楕円体の中心）で交差します。楕円体によって対称軸上に区切られる線分は、主軸（または単に楕円体の軸）と呼ばれます。3本の軸の長さが異なる場合、その図形は三軸楕円体（稀に不等辺楕円体）であり、軸は一意に定義されます。

2つの軸の長さが同じ場合、楕円体は回転楕円体（回転楕円体とも呼ばれる）です。この場合、楕円体は3番目の軸の周りの回転に対して不変であり、したがって、同じ長さの2つの直交軸を選択する方法は無限にあります。2つの軸の長さが同じ場合：

• 3 番目の軸が短い場合、楕円体は平らにされた球体になります (扁平回転楕円体と呼ばれます)。
• 3 番目の軸が長い場合は、球面が長く伸びた形になります (長球面と呼ばれます)。

3 つの軸の長さが同じ場合、楕円体は球体になります。

標準方程式

一般楕円体（三軸楕円体とも呼ばれる）は、次のように直交座標で定義される二次曲面です。

${\displaystyle {\frac {x^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{b^{2}}}+{\frac {z^{2}}{c^{2}}}=1,}$

ここで、、およびは半軸の長さです。 ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle c}$

点、、 は面上にあります。原点からこれらの点までの線分は、楕円体の主半軸と呼ばれます。これは、 a、b、c が主軸の長さの半分であるためです。これらは楕円体の長軸と短軸に相当します。 ${\displaystyle (a,0,0)}$ ${\displaystyle (0,b,0)}$ ${\displaystyle (0,0,c)}$

球面座標系において、一般楕円体は次のように定義されます。 ${\displaystyle (x,y,z)=(r\sin \theta \cos \varphi ,r\sin \theta \sin \varphi ,r\cos \theta )}$

${\displaystyle {r^{2}\sin ^{2}\theta \cos ^{2}\varphi \over a^{2}}+{r^{2}\sin ^{2}\theta \sin ^{2}\varphi \over b^{2}}+{r^{2}\cos ^{2}\theta \over c^{2}}=1,}$

ここでは極角、 は方位角です。 ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle \varphi }$

のとき、楕円体は球体です。 ${\displaystyle a=b=c}$

のとき、楕円体は回転楕円体または回転楕円体である。特に、 のときは扁平回転楕円体であり、のときは長楕円体である。 ${\displaystyle a=b\neq c}$ ${\displaystyle a=b>c}$ ${\displaystyle a=b<c}$

パラメータ化

楕円体はいくつかの方法でパラメータ化できますが、楕円体軸が座標軸と一致する場合、表現が簡単になります。一般的な選択肢は、

${\displaystyle {\begin{aligned}x&=a\sin \theta \cos \varphi ,\\y&=b\sin \theta \sin \varphi ,\\z&=c\cos \theta ,\end{aligned}}\,\!}$

どこ

${\displaystyle 0\leq \theta \leq \pi ,\qquad 0\leq \varphi <2\pi .}$

これらのパラメータは球面座標として解釈することができ、ここでθは極角、φは楕円体の点（x、y、z）の方位角である。 ^[1]

極ではなく赤道から測ると、

${\displaystyle {\begin{aligned}x&=a\cos \theta \cos \lambda ,\\y&=b\cos \theta \sin \lambda ,\\z&=c\sin \theta ,\end{aligned}}\,\!}$

どこ

${\displaystyle -{\tfrac {\pi }{2}}\leq \theta \leq {\tfrac {\pi }{2}},\qquad 0\leq \lambda <2\pi ,}$

θは、換算緯度、パラメトリック緯度、または偏心異常であり、λは方位角または経度です。

外接球面ではなく、楕円体の表面に対して直接角度を測定する。

${\displaystyle {\begin{bmatrix}x\\y\\z\end{bmatrix}}=R{\begin{bmatrix}\cos \gamma \cos \lambda \\\cos \gamma \sin \lambda \\\sin \gamma \end{bmatrix}}\,\!}$

どこ

${\displaystyle {\begin{aligned}R={}&{\frac {abc}{\sqrt {c^{2}\left(b^{2}\cos ^{2}\lambda +a^{2}\sin ^{2}\lambda \right)\cos ^{2}\gamma +a^{2}b^{2}\sin ^{2}\gamma }}},\\[3pt]&-{\tfrac {\pi }{2}}\leq \gamma \leq {\tfrac {\pi }{2}},\qquad 0\leq \lambda <2\pi .\end{aligned}}}$

γは地球上の地心緯度、λは経度です。これらは楕円体の中心を原点とする真の球面座標です。^[要出典]

測地学において、測地緯度は、二軸楕円体に対して定義される鉛直面と赤道面の間の角度として最も一般的に用いられます。より一般的な三軸楕円体については、楕円体緯度を参照してください。

音量

楕円体で囲まれた 体積は

${\displaystyle V={\tfrac {4}{3}}\pi abc.}$

主直径 A、B、C（A = 2 a、B = 2 b、C = 2 c ）に関して、体積は

${\displaystyle V={\tfrac {1}{6}}\pi ABC}$。

この方程式は、3 つの楕円半径がすべて等しい場合は球体の体積の方程式に簡約され、そのうち 2 つが等しい場合は扁平回転楕円体の体積の方程式に簡約されます。

楕円体の体積は⁠2/3⁠外接 楕円柱の体積、そして⁠π/6⁠外接箱の体積。内接箱と外接箱の体積はそれぞれ以下の通りです。

${\displaystyle V_{\text{inscribed}}={\frac {8}{3{\sqrt {3}}}}abc,\qquad V_{\text{circumscribed}}=8abc.}$

表面積

一般的な（三軸）楕円体の表面積は^[2]

${\displaystyle S=2\pi c^{2}+{\frac {2\pi ab}{\sin(\varphi )}}\left(E(\varphi ,k)\,\sin ^{2}(\varphi )+F(\varphi ,k)\,\cos ^{2}(\varphi )\right),}$

どこ

${\displaystyle \cos(\varphi )={\frac {c}{a}},\qquad k^{2}={\frac {a^{2}\left(b^{2}-c^{2}\right)}{b^{2}\left(a^{2}-c^{2}\right)}},\qquad a\geq b\geq c,}$

ここでF ( φ , k )とE ( φ , k )はそれぞれ第一種と第二種の不完全楕円積分である。 ^[3]

この一般的な楕円体の表面積は、楕円積分のカールソン対称形式の一つである⁠ ⁠で表される。 ${\displaystyle R_{G}}$^[4]

${\displaystyle S=4\pi bcR_{G}\left({\frac {a^{2}}{b^{2}}},{\frac {a^{2}}{c^{2}}},1\right).}$

上記の式をR _Gの性質を使って簡略化すると、^[5]楕円体Vの体積でも表すことができます。

${\displaystyle S=3VR_{G}\left(a^{-2},b^{-2},c^{-2}\right).}$

F ( φ , k )およびE ( φ , k )の式とは異なり、 R _Gに関する方程式は、 a、b、およびcの順序の選択に依存しません。

回転楕円体（または球体）の表面積は、次のような基本関数で表すことができます。

${\displaystyle S_{\text{oblate}}=2\pi a^{2}\left(1+{\frac {c^{2}}{ea^{2}}}\operatorname {artanh} e\right),\qquad {\text{where }}e^{2}=1-{\frac {c^{2}}{a^{2}}}{\text{ and }}(c<a),}$

または

${\displaystyle S_{\text{oblate}}=2\pi a^{2}\left(1+{\frac {1-e^{2}}{e}}\operatorname {artanh} e\right)}$

または

${\displaystyle S_{\text{oblate}}=2\pi a^{2}\ +{\frac {\pi c^{2}}{e}}\ln {\frac {1+e}{1-e}}}$

そして

${\displaystyle S_{\text{prolate}}=2\pi a^{2}\left(1+{\frac {c}{ae}}\arcsin e\right)\qquad {\text{where }}e^{2}=1-{\frac {a^{2}}{c^{2}}}{\text{ and }}(c>a),}$

これらは、基本的な三角関数の恒等式からわかるように、同値な式である（すなわち、扁平楕円体Sの公式は_長楕円体の表面積を計算するのに用いることができ、その逆も同様である）。どちらの場合も、eは対称軸を通る断面によって形成される楕円の離心率と同一視することができる（楕円を参照）。これらの結果の導出は、 Mathworldなどの標準的な情報源で見ることができる。^[6]

近似式

${\displaystyle S\approx 4\pi {\sqrt[{p}]{\frac {a^{p}b^{p}+a^{p}c^{p}+b^{p}c^{p}}{3}}}.\,\!}$

ここでp ≈ 1.6075は最大1.061%の相対誤差をもたらす。^[7] pの値が= ⁠8/5⁠ = 1.6は、ほぼ球形の楕円体の場合に最適であり、相対誤差は最大 1.178% です。

c がaやbよりもはるかに小さい「平坦な」限界では、面積はおよそ2π abとなり、p = log ₂ 3 ≈ 1.5849625007に相当します。

平面断面

楕円体の平面断面

平面と球面の交点は円（または一点に縮約されるか、空）である。任意の楕円体は、何らかのアフィン変換による単位球面の像であり、任意の平面は、同じ変換による別の平面の像である。したがって、アフィン変換は円を楕円に写像するため、平面と楕円体の交点は楕円または一点、あるいは空である。^{[8]明らかに、回転楕円体には円が含まれている。これは三軸楕円体にも当てはまるが、それほど明白ではない（} 「円」の項を参照）。

平面断面の楕円の決定

楕円体の平面断面（例を参照）

与えられたもの:楕円体⁠× ²/2^​⁠ + ⁠y ²/b ²⁠ + ⁠z ²/c ²⁠ = 1と、方程式n _x x + n _y y + n _z z = dを持つ平面は、共通して楕円を持ちます。

求む：楕円が媒介変数方程式で表されるような 3つのベクトルf ₀（中心）とf ₁、f _{2 （共役ベクトル）}

${\displaystyle \mathbf {x} =\mathbf {f} _{0}+\mathbf {f} _{1}\cos t+\mathbf {f} _{2}\sin t}$

(楕円を参照)。

単位球面の平面断面（例を参照）

解答:スケーリングu = ⁠×/1つの⁠、v = ⁠y/b⁠、w = ⁠z/c⁠楕円体を単位球面u ² + v ² + w ² = 1に変換し、与えられた平面を次の式を持つ平面に

${\displaystyle \ n_{x}au+n_{y}bv+n_{z}cw=d.}$

m _u u + m _v v + m _w w = δを新しい平面のヘッセ正規形とし、

${\displaystyle \;\mathbf {m} ={\begin{bmatrix}m_{u}\\m_{v}\\m_{w}\end{bmatrix}}\;}$

その単位法線ベクトル。したがって

${\displaystyle \mathbf {e} _{0}=\delta \mathbf {m} \;}$

交差円の中心であり 、

${\displaystyle \;\rho ={\sqrt {1-\delta ^{2}}}\;}$

その半径（図を参照）。

m _w = ±1（つまり平面が水平）の場合、

${\displaystyle \ \mathbf {e} _{1}={\begin{bmatrix}\rho \\0\\0\end{bmatrix}},\qquad \mathbf {e} _{2}={\begin{bmatrix}0\\\rho \\0\end{bmatrix}}.}$

m _w ≠ ±1 の場合、

${\displaystyle \mathbf {e} _{1}={\frac {\rho }{\sqrt {m_{u}^{2}+m_{v}^{2}}}}\,{\begin{bmatrix}m_{v}\\-m_{u}\\0\end{bmatrix}}\,,\qquad \mathbf {e} _{2}=\mathbf {m} \times \mathbf {e} _{1}\ .}$

いずれの場合も、ベクトルe ₁、e ₂は交差平面に直交し、平行で、長さρ（円の半径）を持ちます。したがって、交差円は次の媒介変数方程式で記述できます。

${\displaystyle \;\mathbf {u} =\mathbf {e} _{0}+\mathbf {e} _{1}\cos t+\mathbf {e} _{2}\sin t\;.}$

逆スケーリング (上記参照) により単位球が楕円体に再変換され、ベクトルe ₀、e ₁、e _{2が交差楕円のパラメトリック表現に必要なベクトル}f ₀、f ₁、f ₂にマッピングされます。

楕円の頂点と半軸を見つける方法については、楕円で説明されています。

例:図は、半軸がa = 4、b = 5、c = 3で、平面x + y + z = 5で切断された楕円体を示しています。

ピンと紐を使った構造

ピンと紐を使った楕円の作図:
| S ₁ S ₂ |、紐の長さ（赤）

ピンと紐で作る楕円体、青：焦点円錐

楕円体の半軸の決定

ピンと紐を使った楕円体の構築は、2 本のピンと紐を使用して楕円を構築するというアイデアを転用したものです(図を参照)。

回転楕円体のピンと紐による作図は、回転楕円体のピンと紐による作図によって与えられます。

三軸楕円体の点の構成はより複雑である。最初のアイデアはスコットランドの物理学者J.C.マクスウェル（1868年）によるものである。^[9]主要な研究と二次曲面への拡張は、ドイツの数学者O.シュタウデによって1882年、1886年、1898年に行われた。^{[10] [11] [12]}楕円体と双曲面のピンと紐による構成については、ヒルベルトとコーン＝ヴォッセン著『幾何学と想像力』に記述されている。^[13]

建設の手順

1. 楕円 Eと双曲線 Hを選択します。これらは焦点円錐のペアです。楕円の頂点と焦点、および長さlの弦(図の赤) があります。 $${\displaystyle {\begin{aligned}E(\varphi )&=(a\cos \varphi ,b\sin \varphi ,0)\\H(\psi )&=(c\cosh \psi ,0,b\sinh \psi ),\quad c^{2}=a^{2}-b^{2}\end{aligned}}}$$ $${\displaystyle S_{1}=(a,0,0),\quad F_{1}=(c,0,0),\quad F_{2}=(-c,0,0),\quad S_{2}=(-a,0,0)}$$
2. 弦の一方の端を頂点 S ₁に、もう一方の端を焦点F ₂に固定します。弦は正のy座標とz座標を持つ点Pでしっかりと固定され、弦は双曲線の上部の後ろをS ₁からPまで走り（図を参照）、双曲線上を自由に移動できます。PからF 2 までの弦の部分は楕円の前方を走り、移動します。弦は双曲線上の任意の点_を通る点を通り、その点における距離| S ₁ P |は最小となります。弦の2番目の部分と楕円に関する同様の記述も成り立ちます。
3. そして、Pは楕円体の点であり、方程式は $${\displaystyle {\begin{aligned}&{\frac {x^{2}}{r_{x}^{2}}}+{\frac {y^{2}}{r_{y}^{2}}}+{\frac {z^{2}}{r_{z}^{2}}}=1\\&r_{x}={\tfrac {1}{2}}(l-a+c),\quad r_{y}={\textstyle {\sqrt {r_{x}^{2}-c^{2}}}},\quad r_{z}={\textstyle {\sqrt {r_{x}^{2}-a^{2}}}}.\end{aligned}}}$$
4. 楕円体の残りの点は、焦点円錐における弦の適切な変更によって構築できます。

半軸

生成された楕円体の半軸の方程式は、点Pの特別な選択によって導くことができる。

${\displaystyle Y=(0,r_{y},0),\quad Z=(0,0,r_{z}).}$

図の下部は、F ₁とF ₂がxy平面における楕円の焦点でもあることを示しています。したがって、与えられた楕円と共焦点であり、弦の長さはl = 2 r _x + ( a − c )です。r _{xについて解くと}、 r x ₌ ⁠となります。1/2⁠ ( l − a + c ) ; さらにr²
_歳= r²
_倍− c ²。

上の図から、S ₁とS ₂はxz平面における楕円体の楕円断面の焦点であり、 r^2z
_​= r²
_倍− 2 ^。​

コンバース

逆に、三軸楕円体がその方程式によって与えられている場合は、ステップ 3 の方程式から、ピンとストリングの構造の パラメーターa、b、lを導き出すことができます。

共焦点楕円体

EがEの半軸の2乗と 共焦点の楕円体である場合

${\displaystyle {\overline {r}}_{x}^{2}=r_{x}^{2}-\lambda ,\quad {\overline {r}}_{y}^{2}=r_{y}^{2}-\lambda ,\quad {\overline {r}}_{z}^{2}=r_{z}^{2}-\lambda }$

次にEの方程式から

${\displaystyle r_{x}^{2}-r_{y}^{2}=c^{2},\quad r_{x}^{2}-r_{z}^{2}=a^{2},\quad r_{y}^{2}-r_{z}^{2}=a^{2}-c^{2}=b^{2}}$

ピンと紐の構造に用いられる対応する焦点円錐曲線は、楕円体Eと同じ半軸a、b、cを持つことがわかる。したがって（楕円の焦点と同様に）、三軸楕円体の焦点円錐曲線を（無限個の）焦点とみなし、それらを楕円体の焦点曲線と呼ぶ。 ^[14]

逆のことも真である。長さlの2番目の文字列を選択し、

${\displaystyle \lambda =r_{x}^{2}-{\overline {r}}_{x}^{2}}$

次に方程式

${\displaystyle {\overline {r}}_{y}^{2}=r_{y}^{2}-\lambda ,\quad {\overline {r}}_{z}^{2}=r_{z}^{2}-\lambda }$

有効であり、2 つの楕円体が共焦点であることを意味します。

極限ケース、回転楕円体

a = c（回転楕円体）の場合、S ₁ = F ₁およびS ₂ = F ₂となり、これは焦点楕円が線分に縮退し、焦点双曲線がx軸上の2つの無限線分に収束することを意味する。楕円体はx軸の周りに回転対称であり、

${\displaystyle r_{x}={\tfrac {1}{2}}l,\quad r_{y}=r_{z}={\textstyle {\sqrt {r_{x}^{2}-c^{2}}}}}$。

焦点双曲線の性質

上：焦点双曲線を持つ3軸楕円体。
下：楕円体の平行投影と中心投影。球面のように見える。つまり、見かけの形状は円である。

真の曲線

楕円体をその焦点双曲線の外部点Vから見ると、楕円体は球面のように見え、つまり見かけの形状は円である。同様に、点Vを含む楕円体の接線は円錐の直線であり、その回転軸はVにおける双曲線の接線である。^{[15] [16]}中心V を無限遠に消失させると、焦点双曲線の対応する漸近線を方向とする直交平行射影が得られる。楕円体上の真の形状曲線（接線）は円ではない。

図の下部には、左側に楕円体（半軸60、40、30）の漸近線に沿った平行投影、右側に中心Vと双曲線の接線V上の主点Hを持つ中心投影が示されています。（HはVから像面への垂線の足です。）どちらの投影も、見かけの形状は円です。平行投影の場合、原点Oの像が円の中心となり、中心投影の場合、主点Hが中心となります。

臍の穴

焦点双曲線は楕円体の4つの臍の点で交差する。^[17]

焦点楕円の性質

焦点楕円とその内側部分は、 r _z → 0に対してa、bで決まる共焦点楕円体の極限面（無限に薄い楕円体）と考えることができる。極限の場合、

${\displaystyle r_{x}=a,\quad r_{y}=b,\quad l=3a-c.}$

高次元と一般的な位置

超楕円体、または次元のユークリッド空間内の次元の楕円体は、 次数 2 の同次部分が正定値の二次形式である、 次数 2の多項式によって定義される二次超曲面です。 ${\displaystyle n-1}$ ${\displaystyle n}$

超楕円体は、可逆なアフィン変換による球面の像として定義することもできる。スペクトル定理を用いて、次のような標準的な方程式を得ることができる。

${\displaystyle {\frac {x_{1}^{2}}{a_{1}^{2}}}+{\frac {x_{2}^{2}}{a_{2}^{2}}}+\cdots +{\frac {x_{n}^{2}}{a_{n}^{2}}}=1.}$

n次元超楕円体の体積は、超球面の体積の公式において、R ^{n を}半軸a ₁ a ₂ ... a _nの積に置き換えることによって得られます。

${\displaystyle V={\frac {\pi ^{\frac {n}{2}}}{\Gamma {\left({\frac {n}{2}}+1\right)}}}a_{1}a_{2}\cdots a_{n}\approx {\frac {1}{\sqrt {\pi n}}}\cdot \left({\frac {2e\pi }{n}}\right)^{n/2}a_{1}a_{2}\cdots a_{n}}$

（ここでΓはガンマ関数である）。

二次曲面として

Aがn行n列の 正定値対称行列で、vがベクトルである場合、次式を満たす 点xの集合は ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n},}$

${\displaystyle (\mathbf {x} -\mathbf {v} )^{\mathsf {T}}\!{\boldsymbol {A}}\,(\mathbf {x} -\mathbf {v} )=1}$

はvを中心とするn次元楕円体である。この式はx − vの楕円体ノルムとも呼ばれる。すべての楕円体に対して、上記の式を満たすAとvは一意に存在する。 ^{[18] : 67} ${\displaystyle (\mathbf {x} -\mathbf {v} )^{\mathsf {T}}\!{\boldsymbol {A}}\,(\mathbf {x} -\mathbf {v} )}$

Aの固有ベクトルは楕円体の主軸であり、Aの固有値は半軸の2乗の逆数である（3次元ではこれらはa ⁻²、b ⁻²、c ⁻²である）。^[19]特に：

• 楕円体の直径は最長半軸の 2 倍であり、これはAの最大固有値の逆数の平方根の 2 倍です。
• 楕円体の幅は最短半軸の 2 倍であり、これはAの最小の固有値の逆数の平方根の 2 倍です。

球面に可逆な線形変換を施すと楕円体が生成され、適切な回転によって上記の標準形にすることができます。これは極分解の帰結です（スペクトル定理も参照）。線形変換が対称3×3行列で表される場合、行列の固有ベクトルは（スペクトル定理により）直交し、楕円体の軸の方向を表します。半軸の長さは固有値から計算されます。特異値分解と極分解は、これらの幾何学的観察と密接に関連する行列分解です。

あらゆる正定値行列に対して、 A ^1/2と表記される唯一の正定値行列が存在する。 この表記法は、この行列が の「正の平方根」として見ることができるという事実に基づいている。によって定義される楕円体は、次のように表すこともできる^{[18] ：67} ${\displaystyle {\boldsymbol {A}}}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {A}}={\boldsymbol {A}}^{1/2}{\boldsymbol {A}}^{1/2};}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {A}}.}$ ${\displaystyle (\mathbf {x} -\mathbf {v} )^{\mathsf {T}}\!{\boldsymbol {A}}\,(\mathbf {x} -\mathbf {v} )=1}$

${\displaystyle A^{-1/2}\cdot S(\mathbf {0} ,1)+\mathbf {v} }$

ここでS( 0,1 )は原点の周りの単位球面である。

パラメトリック表現

単位球のアフィン像としての楕円体

一般的な位置における楕円体のパラメトリック表現の鍵となるのは、次の代替定義です。

楕円体は単位球のアフィン像です。

アフィン変換はベクトルf ₀と正規の 3 × 3 行列Aによる変換で表すことができます。

${\displaystyle \mathbf {x} \mapsto \mathbf {f} _{0}+{\boldsymbol {A}}\mathbf {x} =\mathbf {f} _{0}+x\mathbf {f} _{1}+y\mathbf {f} _{2}+z\mathbf {f} _{3}}$

ここで、 f ₁、f ₂、f _3は行列Aの列ベクトルです。

一般的な位置における楕円体のパラメトリック表現は、単位球のパラメトリック表現（上記参照）とアフィン変換によって得ることができます。

${\displaystyle \mathbf {x} (\theta ,\varphi )=\mathbf {f} _{0}+\mathbf {f} _{1}\cos \theta \cos \varphi +\mathbf {f} _{2}\cos \theta \sin \varphi +\mathbf {f} _{3}\sin \theta ,\qquad -{\tfrac {\pi }{2}}<\theta <{\tfrac {\pi }{2}},\quad 0\leq \varphi <2\pi }$。

ベクトルf ₁、f ₂、f ₃が直交系を形成する場合、ベクトルf ₀ ± f _1,2,3を持つ 6 つの点は楕円体の頂点であり、| f ₁ |、| f ₂ |、| f ₃ |は半主軸です。

点x ( θ , φ )における表面法線ベクトルは

${\displaystyle \mathbf {n} (\theta ,\varphi )=\mathbf {f} _{2}\times \mathbf {f} _{3}\cos \theta \cos \varphi +\mathbf {f} _{3}\times \mathbf {f} _{1}\cos \theta \sin \varphi +\mathbf {f} _{1}\times \mathbf {f} _{2}\sin \theta .}$

任意の楕円体に対して、暗黙的な表現 F ( x , y , z ) = 0が存在する。簡単のため、楕円体の中心を原点とすると、f ₀ = 0となり、上式は楕円体を表す。^[20]

${\displaystyle F(x,y,z)=\operatorname {det} \left(\mathbf {x} ,\mathbf {f} _{2},\mathbf {f} _{3}\right)^{2}+\operatorname {det} \left(\mathbf {f} _{1},\mathbf {x} ,\mathbf {f} _{3}\right)^{2}+\operatorname {det} \left(\mathbf {f} _{1},\mathbf {f} _{2},\mathbf {x} \right)^{2}-\operatorname {det} \left(\mathbf {f} _{1},\mathbf {f} _{2},\mathbf {f} _{3}\right)^{2}=0}$

アプリケーション

楕円形には多くの実用的な用途があります。

測地学

• 地球楕円体。地球の形状を近似する数学的図形。
• 参照楕円体。これは、一般的な惑星の形状を近似する数学的図形です。

力学

• ポアンソの楕円体。回転する剛体のトルクのない運動を視覚化する幾何学的手法。
• ラメの応力楕円体。ある点における応力状態をグラフィカルに表現するためのモール円の代替手段です。
• 操作性楕円体。ロボットの動作の自由度を表すために使用されます。
• ヤコビ楕円体、回転する流体によって形成される三軸楕円体

結晶学

• 屈折率楕円体。結晶内の屈折率の方向と相対的な大きさを表す楕円体の図。
• 熱楕円体、結晶構造内の原子の熱振動の大きさと方向を示すために結晶学で使用される楕円体。

コンピュータサイエンス

• 楕円体法、理論的に重要な凸最適化アルゴリズム

点灯

• 楕円反射投光器
• 楕円反射鏡スポットライト

薬

• 前立腺のMRI画像から得られた測定値は、L × W × H × 0.52（0.52は、⁠π/6⁠）^[21]

動的特性

均一な密度ρの楕円体の質量は

${\displaystyle m=V\rho ={\tfrac {4}{3}}\pi abc\rho .}$

均一密度の楕円体の慣性モーメントは

${\displaystyle {\begin{aligned}I_{\mathrm {xx} }&={\tfrac {1}{5}}m\left(b^{2}+c^{2}\right),&I_{\mathrm {yy} }&={\tfrac {1}{5}}m\left(c^{2}+a^{2}\right),&I_{\mathrm {zz} }&={\tfrac {1}{5}}m\left(a^{2}+b^{2}\right),\\[3pt]I_{\mathrm {xy} }&=I_{\mathrm {yz} }=I_{\mathrm {zx} }=0.\end{aligned}}}$

a = b = cの場合、これらの慣性モーメントは均一な密度の球体の慣性モーメントと同じになります。

ヤコビ楕円体準惑星ハウメアとその2つの衛星の想像図

楕円体と直方体は、長軸または短軸に沿って安定して回転しますが、中軸に沿っては安定しません。これは、消しゴムを回転させることで実験的に確認できます。さらに、慣性モーメントを考慮すると、長軸に沿った回転は短軸に沿った回転よりも摂動を受けやすいことがわかります。^[22]

このことの実際的な効果の 1 つは、ハウメアなどの不等辺天体は一般に短軸に沿って回転することです (扁平なだけの地球も同様です)。さらに、潮汐ロックのため、ミマスなどの同期軌道上の衛星は、長軸が惑星に対して放射状に揃った状態で軌道を回っています。

均質な自己重力流体の回転体は、静水圧平衡状態にあり、かつ中程度の回転速度の場合、マクローリン回転楕円体（扁平回転楕円体）またはヤコビ楕円体（不等辺楕円体）のいずれかの形状をとる。より高速な回転では、楕円体ではない梨状体や卵形の形状をとることが予想されるが、これらは安定ではない。

流体力学

楕円体は、固体の周囲を流れる流体のクリープ流を計算できる最も一般的な形状です。計算には、流体中を移動するために必要な力と流体中で回転するために必要な力が含まれます。応用例としては、大きな分子のサイズと形状の決定、小さな粒子の沈降速度、微生物の遊泳能力などがあります。^[23]

確率と統計学

多変量正規分布を一般化し金融分野で用いられる楕円分布は、その密度関数によって定義できる。楕円分布が存在する場合、密度関数f は以下の構造を持つ。

${\displaystyle f(x)=k\cdot g\left((\mathbf {x} -{\boldsymbol {\mu }}){\boldsymbol {\Sigma }}^{-1}(\mathbf {x} -{\boldsymbol {\mu }})^{\mathsf {T}}\right)}$

ここで、kはスケールファクター、xはn次元のランダム行ベクトルで中央値ベクトルμ（後者が存在する場合は平均ベクトルでもある）、Σは共分散行列が存在する場合はそれに比例する正定値行列、 gは非負実数から非負実数への写像で曲線下の有限面積を与える関数である。^[24]多変量正規分布は、g ( z ) = exp(− ⁠z/2⁠ ) の二次形式zに対して。

したがって、密度関数は二次関数のスカラーからスカラーへの変換です。さらに、任意の等密度面の方程式は、二次関数がその密度の値に固有の定数に等しく、等密度面が楕円体であることを述べています。

参照

• 楕円形のドーム
• 楕円体座標
• 統計学における楕円分布
• 扁平率 は、楕円率や扁平率とも呼ばれ、円または球を直径に沿って圧縮して、それぞれ楕円または回転楕円体 (回転楕円体) を形成する尺度です。
• フォカロイド、2つの同心円状の共焦点楕円体で囲まれた殻
• 楕円体上の測地線
• 測地基準点、最もよく適合した楕円体でモデル化された重力地球
• 同形体、2つの同心円状の相似楕円体で囲まれた殻
• ジョン楕円体、与えられた凸集合を含む最小の楕円体。
• サーフェスのリスト
• 超楕円体

注記

1. クライスツィヒ (1972、pp. 455–456)
2. FWJ Olver、DW Lozier、RF Boisvert、CW Clark編、2010年、「NIST Handbook of Mathematical Functions」（ Cambridge University Press）、第19.33節「Triaxial Ellipsoids」 。 2012年1月8日閲覧。
3. 「DLMF: 19.2 定義」。
4. 「楕円体の表面積」. analyticphysics.com . 2024年7月23日閲覧。
5. 「DLMF: §19.20 特殊なケース ‣ 対称積分 ‣ 第19章 楕円積分」. dlmf.nist.gov . 2024年7月23日閲覧。
6. Weisstein, Eric. 「Prolate Spheroid」. Wolfram MathWorld (Wolfram Research) . 2017年8月3日時点のオリジナルよりアーカイブ。 2018年3月25日閲覧。
7. 最終解答は、 Gerard P. Michon (2004-05-13) により、 Wayback Machineで2011-09-30にアーカイブされています。Thomsenの公式とCantrellのコメントを参照してください。
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11. Staude, O.: Ueber neue Focaleigenschaften der Flächen 2. 成績。数学。アン。 27、253–271 (1886)。
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24. Frahm, G., Junker, M., Szimayer, A. (2003). 楕円コピュラ：適用範囲と限界. 統計・確率論, 63(3), 275–286.

参考文献

• クレイジグ、エルウィン（1972）、Advanced Engineering Mathematics（第3版）、ニューヨーク：Wiley、ISBN 0-471-50728-8

外部リンク

• 「楕円体」、ジェフ・ブライアント著、Wolfram Demonstrations Project、2007 年。
• 楕円体と二次曲面、MathWorld。

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