楕円境界値問題

微分方程式が有効な領域とそれに関連する境界値を表示します。

数学において、楕円型境界値問題（だえんかくけいじょうほう）は、発展問題における定常状態として考えることができる特殊な境界値問題である。例えば、ラプラシアンのディリクレ問題は、暖房をつけてから数時間後の室内の最終的な熱分布を与える。

微分方程式は、（例えば）金属板の熱の挙動を記述する熱方程式から、流体の運動を記述するナビエ・ストークス方程式、そして相対論的に物理宇宙を記述するアインシュタイン方程式に至るまで、幅広い自然現象を記述します。これらの方程式はすべて境界値問題ですが、さらにカテゴリに分類されます。これは、各カテゴリごとに異なる手法を用いて解析する必要があるためです。本稿では、線形楕円型問題として知られる境界値問題のカテゴリを扱います。

境界値問題と偏微分方程式は、2つ以上の量の間の関係を規定します。例えば、熱方程式では、ある点における温度変化率は、その点と近傍の点との温度差と関連しており、時間の経過とともに熱は高温の点から低温の点へと流れます。境界値問題には、空間、時間、そして温度、速度、圧力、磁場などの他の量も含まれることがあります。

時間に依存しない問題もあります。例えば、家と木の間に物干しロープを吊るした場合、風がなければ物干しロープは動かず、カテナリーと呼ばれる緩やかな曲線を描きます。^{[ 1 ]}この曲線は、位置、張力、角度、重力を関連付けた微分方程式の解として計算できますが、形状は時間の経過とともに変化しないため、時間変数は存在しません。

楕円境界値問題は、時間変数を含まず、代わりに空間変数のみに依存する問題の一種です。

主な例

2次元において、座標を とします。の1 次および 2次偏微分には下付き文字を使用し、についても同様の表記を用います。勾配、ラプラス演算子、発散 を定義します。定義から となることに注意してください。 ${\displaystyle x,y}$ ${\displaystyle u_{x},u_{xx}}$ ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle \nabla u=(u_{x},u_{y})}$ ${\displaystyle \Delta u=u_{xx}+u_{yy}}$ ${\displaystyle \nabla \cdot (u,v)=u_{x}+v_{y}}$ ${\displaystyle \Delta u=\nabla \cdot (\nabla u)}$

境界値問題の主な例はラプラス演算子である。

${\displaystyle \Delta u=f{\text{ in }}\Omega ,}$

${\displaystyle u=0{\text{ on }}\partial \Omega ;}$

ここで、 は平面上の領域であり、はその領域の境界です。関数は既知のデータであり、解は計算すべきものです。 ${\displaystyle \Omega }$ ${\displaystyle \partial \Omega }$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle u}$

この解は、境界が0度に保たれた形状の金属板における定常または極限の熱分布として解釈できます。関数 は、板の各点における発熱の強さを表します。長時間待つと、金属板内の温度分布は に近づきます。 ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle \Omega }$ ${\displaystyle \partial \Omega }$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle u}$

2次線形問題

一般に、境界値問題（BVP）は、境界条件に従う偏微分方程式（PDE）から構成されます。ここでは、ディリクレ境界条件に従う2階偏微分方程式を取り上げます。

を の有界な開集合とし、その境界を、変数を と表記する。PDE を の未知の関数に作用する偏微分演算子として表すと、の形式の境界積分関数が 得られる。 ここでは与えられた関数であり、演算子はの形式、 または 与えられた係数関数 に対して となる。 ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle \partial U}$ ${\displaystyle x=(x_{1},...,x_{n})}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle u=u(x)}$ ${\displaystyle x\in U}$ $${\displaystyle \left\{{\begin{aligned}Lu&=f&&{\text{in }}U\\u&=0&&{\text{on }}\partial U,\end{aligned}}\right.}$$ ${\displaystyle f:U\rightarrow \mathbb {R} }$ ${\displaystyle f=f(x)}$ ${\displaystyle u:U\cup \partial U\rightarrow \mathbb {R} }$ ${\displaystyle L}$ $${\displaystyle Lu(x)=-\sum _{i,j=1}^{n}(a_{ij}(x)u_{x_{i}})_{x_{j}}+\sum _{i=1}^{n}b_{i}(x)u_{x_{i}}(x)+c(x)u(x),}$$ $${\displaystyle Lu(x)=-\sum _{i,j=1}^{n}a_{ij}(x)u_{x_{i}x_{j}}+\sum _{i=1}^{n}{\tilde {b}}_{i}(x)u_{x_{i}}(x)+c(x)u(x),}$$ ${\displaystyle a_{ij}(x),b_{i}(x),c(x)}$

PDEは、前者の場合発散形、後者の場合非発散形と呼ばれます。関数が連続的に微分可能である場合、どちらの場合も に対して等価です 。行列表記では、をの行列値関数、を の次元列ベクトル値関数とすると、（発散形は ）と書くことができます 。一般性を失うことなく、行列は対称行列（つまり、すべての に対して、 ）である と仮定できます。この記事の残りの部分では、この仮定に基づきます。 ${\displaystyle Lu=f}$ ${\displaystyle a_{ij}}$ $${\displaystyle {\tilde {b}}_{i}(x)=b_{i}(x)+\sum _{j}a_{ij,x_{j}}(x).}$$ ${\displaystyle a(x)}$ ${\displaystyle n\times n}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle b(x)}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle x}$ $${\displaystyle Lu=-\nabla \cdot (a\nabla u)+b^{T}\nabla u+cu}$$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle i,j,x}$ ${\displaystyle a_{ij}(x)=a_{ji}(x)}$

ある定数に対して、次のいずれかの同値な条件が成り立つ 場合、演算子は楕円型であるといいます。 ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle \alpha >0}$

1. ${\displaystyle \lambda _{\min }(a(x))>\alpha \;\;\;\forall x}$（固有値を参照）。
2. ${\displaystyle u^{T}a(x)u>\alpha u^{T}u\;\;\;\forall u\in \mathbb {R} ^{n}}$。
3. ${\displaystyle \sum _{i,j=1}^{n}a_{ij}u_{i}u_{j}>\alpha \sum _{i=1}^{n}u_{i}^{2}\;\;\;\forall u\in \mathbb {R} ^{n}}$。

2 階偏微分演算子が楕円型の場合、関連する BVP は楕円型境界値問題と呼ばれます。 ${\displaystyle L}$

境界条件

上記のBVPはディリクレ問題の特別な例である。ノイマン問題は

${\displaystyle Lu=f{\text{ in }}\Omega }$そして

${\displaystyle u_{\nu }=g{\text{ on }}\partial \Omega }$

ここで、 はの外向き法線方向におけるの微分である。一般に、が任意のトレース演算子である場合、境界値問題を構築することができる。 ${\displaystyle u_{\nu }}$ ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle \partial \Omega }$ ${\displaystyle B}$

${\displaystyle Lu=f{\text{ in }}\Omega }$そして

${\displaystyle Bu=g{\text{ on }}\partial \Omega }$。

この記事の残りの部分では、が楕円であり、境界条件がディリクレ条件 であると仮定します。 ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle u=0{\text{ on }}\partial \Omega }$

ソボレフ空間

楕円型境界値問題の解析には、かなり高度な関数解析ツールが必要です。上の「1回微分可能」な関数の空間であるソボレフ空間が必要であり、関数とその偏導関数、はすべて平方積分可能となります。つまり、 となります。 ここで微妙な点は、偏導関数を「弱意味」で定義する必要があることです（詳細はソボレフ空間の記事を参照してください）。 空間 はヒルベルト空間であり、これがこれらの問題の解析を容易にする大きな要因となっています。 ${\displaystyle H^{1}(\Omega )}$ ${\displaystyle \Omega }$ ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle u_{x_{i}}}$ ${\displaystyle i=1,\dots ,n}$ $${\displaystyle H^{1}(\Omega )=\left\{u\in L^{2}(\Omega ),\;\;u_{x_{j}}\in L^{2}(\Omega ),\;\;1\leq i\leq n\right\}.}$$ ${\displaystyle H^{1}}$

特に断りのない限り、本稿におけるすべての微分は弱微分、ソボレフの意味で解釈されるものとする。「強微分」という用語は、微積分学における古典的な微分を指すために用いる。また、空間 は、回の強微分可能な関数から構成され、回の微分は連続であることも明記する。 ${\displaystyle C^{k}}$ ${\displaystyle k=0,1,\dots }$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle k}$

弱変分定式化

境界値問題をソボレフ空間の言語で表現するための第一歩は、それを弱形式に言い換えることである。ラプラス問題を考えてみよう。方程式の両辺に「テスト関数」を掛け、グリーンの定理を 用いて部分積分すると、 ${\displaystyle \Delta u=f}$ ${\displaystyle \varphi }$

${\displaystyle -\int _{\Omega }\nabla u\cdot \nabla \varphi +\int _{\partial \Omega }u_{\nu }\varphi =\int _{\Omega }f\varphi }$。

ディリクレ問題を解くので、 となる。技術的な理由から、 はと同じ関数空間から取られていると仮定するのが便利なので、 とも仮定する。これにより という項がなくなり、 ${\displaystyle u=0{\text{ on }}\partial \Omega }$ ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle \varphi =0{\text{ on }}\partial \Omega }$ ${\displaystyle \int _{\partial \Omega }}$

${\displaystyle A(u,\varphi )=F(\varphi )}$（*）

どこ

${\displaystyle A(u,\varphi )=\int _{\Omega }\nabla u\cdot \nabla \varphi }$そして

${\displaystyle F(\varphi )=-\int _{\Omega }f\varphi }$。

が一般楕円演算子である場合、同じ推論から双線型形式が導かれる。 ${\displaystyle L}$

${\displaystyle A(u,\varphi )=\int _{\Omega }\nabla u^{T}a\nabla \varphi -\int _{\Omega }b^{T}\nabla u\varphi -\int _{\Omega }cu\varphi }$。

ここではノイマン問題については説明しません。ただし、同様の方法で分析されることに注意してください。

連続双線型形式と強制双線型形式

写像は、1回微分可能で境界上で零となる関数のソボレフ空間上に定義される。ただし、とにいくつかの条件を課すものとする。多くの選択肢が考えられるが、本稿では次のように仮定する。 ${\displaystyle A(u,\varphi )}$ ${\displaystyle H_{0}^{1}\subset H^{1}}$ ${\displaystyle \partial \Omega }$ ${\displaystyle a,b,c}$ ${\displaystyle \Omega }$

1. ${\displaystyle a_{ij}(x)}$は連続的に微分可能である ${\displaystyle {\bar {\Omega }}}$ ${\displaystyle i,j=1,\dots ,n,}$
2. ${\displaystyle b_{i}(x)}$継続して ${\displaystyle {\bar {\Omega }}}$ ${\displaystyle i=1,\dots ,n,}$
3. ${\displaystyle c(x)}$連続しており、 ${\displaystyle {\bar {\Omega }}}$
4. ${\displaystyle \Omega }$制限があります。

読者は、写像がさらに双線型かつ連続であること、また写像が において線型であり、（例えば）が二乗積分可能である場合は連続であることを確認できます。 ${\displaystyle A(u,\varphi )}$ ${\displaystyle F(\varphi )}$ ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle f}$

全ての に対してが存在するとき、その写像は強制的であると言う。 ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \alpha >0}$ ${\displaystyle u,\varphi \in H_{0}^{1}(\Omega )}$

${\displaystyle A(u,\varphi )\geq \alpha \int _{\Omega }\nabla u\cdot \nabla \varphi .}$

これはラプラシアン（ ）については自明に成り立ち、およびを仮定すれば楕円演算子についても成り立ちます。（が楕円形のときは であることを思い出してください。） ${\displaystyle \alpha =1}$ ${\displaystyle b=0}$ ${\displaystyle c\leq 0}$ ${\displaystyle u^{T}au>\alpha u^{T}u}$ ${\displaystyle L}$

弱解の存在と一意性

ラックス・ミルグラムの補題によれば、が強制的かつ連続である場合、弱い問題(*)に対する 唯一の解が存在することが示される。 ${\displaystyle A(u,\varphi )}$ ${\displaystyle F(\varphi )}$ ${\displaystyle u\in H_{0}^{1}(\Omega )}$

さらに対称である場合（つまり、 ）、代わりにリース表現定理を使用して同じ結果を示すことができます。 ${\displaystyle A(u,\varphi )}$ ${\displaystyle b=0}$

これは、 が上の内積を形成し、それ自体がポアンカレの不等式に依存するという事実に依存しています。 ${\displaystyle A(u,\varphi )}$ ${\displaystyle H_{0}^{1}(\Omega )}$

強力なソリューション

我々は、弱いシステムを解くものが存在することを示したが、これが強いシステムを解くか どうかは分からない。 ${\displaystyle u\in H_{0}^{1}(\Omega )}$ ${\displaystyle u}$

${\displaystyle Lu=f{\text{ in }}\Omega ,}$

${\displaystyle u=0{\text{ on }}\partial \Omega ,}$

さらに厄介なのは、 が二回微分可能であるかどうかさえ確信が持てず、 の式が明らかに意味をなさなくなることです。この状況を改善する方法は数多くありますが、主なものは の正則性です。 ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle u_{x_{i}x_{j}}}$ ${\displaystyle Lu}$

規則性

2階線形楕円境界値問題の正則性定理は次の形をとる。

定理(ある条件)の場合、解は、2 次導関数が 2 乗積分可能な「2 度微分可能」な関数の空間にあります。 ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle H^{2}(\Omega )}$

定理の結論が成り立つために必要かつ十分な単純な条件は知られていませんが、次の条件は十分であることが知られています。

1. の境界は、または ${\displaystyle \Omega }$ ${\displaystyle C^{2}}$
2. ${\displaystyle \Omega }$凸状です。

が区分的に である場合、 は確かに 内にあると推論したくなるかもしれませんが、残念ながらそれは誤りです。 ${\displaystyle \partial \Omega }$ ${\displaystyle C^{2}}$ ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle H^{2}}$

ほぼどこでもソリューション

の場合、の2次導関数はほぼすべての場所で定義され、その場合、のほぼすべての場所で定義されます。 ${\displaystyle u\in H^{2}(\Omega )}$ ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle Lu=f}$

強力なソリューション

さらに、 の境界が滑らかな多様体であり、強い意味で無限微分可能であるならば、も強い意味で無限微分可能であることが証明できる。この場合、導関数の強い定義を用いる。 ${\displaystyle \Omega \subset \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle Lu=f}$

この証明は、 かつ ならば となる改良正則定理と、の関数はの場合は常に でもあるというソボレフの埋め込み定理に依存しています。 ${\displaystyle \partial \Omega }$ ${\displaystyle C^{k}}$ ${\displaystyle f\in H^{k-2}(\Omega )}$ ${\displaystyle k\geq 2}$ ${\displaystyle u\in H^{k}(\Omega )}$ ${\displaystyle H^{k}(\Omega )}$ ${\displaystyle C^{m}({\bar {\Omega }})}$ ${\displaystyle 0\leq m<k-n/2}$

数値解

例外的な状況では楕円問題を明示的に解くことは可能ですが、一般的には不可能です。自然な解決策は、楕円問題をより単純な問題で近似し、その単純な問題をコンピュータ上で解くことです。

これまでに列挙した優れた特性（および列挙していない多くの特性）のおかげで、線形楕円境界値問題に対する極めて効率的な数値ソルバーが存在します（例として有限要素法、有限差分法、スペクトル法を参照）。

固有値と固有解

ソボレフの別の埋め込み定理は、包含がコンパクト線型写像であることを述べています。コンパクト線型作用素のスペクトル定理を用いると、以下の結果が得られます。 ${\displaystyle H^{1}\subset L^{2}}$

定理 は強制的、連続、対称であると仮定する。からへの写像はコンパクト線型写像である。これは固有ベクトルと対応する固有値の基底を持ち、 ${\displaystyle A(u,\varphi )}$ ${\displaystyle S:f\rightarrow u}$ ${\displaystyle L^{2}(\Omega )}$ ${\displaystyle L^{2}(\Omega )}$ ${\displaystyle u_{1},u_{2},\dots \in H^{1}(\Omega )}$ ${\displaystyle \lambda _{1},\lambda _{2},\dots \in \mathbb {R} }$

1. ${\displaystyle Su_{k}=\lambda _{k}u_{k},k=1,2,\dots ,}$
2. ${\displaystyle \lambda _{k}\rightarrow 0}$として 、 ${\displaystyle k\rightarrow \infty }$
3. ${\displaystyle \lambda _{k}\gneqq 0\;\;\forall k}$、
4. ${\displaystyle \int _{\Omega }u_{j}u_{k}=0}$いつでも ${\displaystyle j\neq k}$
5. ${\displaystyle \int _{\Omega }u_{j}u_{j}=1}$すべての人のために ${\displaystyle j=1,2,\dots \,.}$

級数解と固有解の重要性

固有値と固有ベクトルを計算したら、次のように「明示的な」解を求めることができる。 ${\displaystyle Lu=f}$

${\displaystyle u=\sum _{k=1}^{\infty }{\hat {u}}(k)u_{k}}$

式を通して

${\displaystyle {\hat {u}}(k)=\lambda _{k}{\hat {f}}(k),\;\;k=1,2,\dots }$

どこ

${\displaystyle {\hat {f}}(k)=\int _{\Omega }f(x)u_{k}(x)\,dx.}$

(フーリエ級数を参照)

この級数は で収束します。数値近似を使用してコンピュータ上で実装されたこの法は、スペクトル法として知られています。 ${\displaystyle L^{2}}$

例

問題を考えてみましょう

${\displaystyle u-u_{xx}-u_{yy}=f(x,y)=xy}$の上 ${\displaystyle (0,1)\times (0,1),}$

${\displaystyle u(x,0)=u(x,1)=u(0,y)=u(1,y)=0\;\;\forall (x,y)\in (0,1)\times (0,1)}$（ディリクレ条件）。

読者は、固有ベクトルが正確に

${\displaystyle u_{jk}(x,y)=\sin(\pi jx)\sin(\pi ky)}$、 ${\displaystyle j,k\in \mathbb {N} }$

固有値を持つ

${\displaystyle \lambda _{jk}={1 \over 1+\pi ^{2}j^{2}+\pi ^{2}k^{2}}.}$

のフーリエ係数は表で調べることができ、 となる。したがって、 ${\displaystyle g(x)=x}$ ${\displaystyle {\hat {g}}(n)={(-1)^{n+1} \over \pi n}}$

${\displaystyle {\hat {f}}(j,k)={(-1)^{j+k+1} \over \pi ^{2}jk}}$

解決策を生み出す

${\displaystyle u(x,y)=\sum _{j,k=1}^{\infty }{(-1)^{j+k+1} \over \pi ^{2}jk(1+\pi ^{2}j^{2}+\pi ^{2}k^{2})}\sin(\pi jx)\sin(\pi ky).}$

最大原則

最大値原理には多くのバリエーションがあります。ここでは最も単純な例を挙げます。

定理（弱最大値原理） とし、 と仮定します。において であるとします。すると となります。言い換えれば、 は境界上で最大値に達します。 ${\displaystyle u\in C^{2}(\Omega )\cap C^{1}({\bar {\Omega }})}$ ${\displaystyle c(x)=0\;\forall x\in \Omega }$ ${\displaystyle Lu\leq 0}$ ${\displaystyle \Omega }$ ${\displaystyle \max _{x\in {\bar {\Omega }}}u(x)=\max _{x\in \partial \Omega }u(x)}$

強力な最大値原理によれば、が定数でない限り、すべて に対して であると結論付けられます。 ${\displaystyle u(x)\lneqq \max _{y\in \partial \Omega }u(y)}$ ${\displaystyle x\in \Omega }$ ${\displaystyle u}$

注記

1. スウェッツ、フォーベル、ベッケン、「巨匠から学ぶ」、1997年、MAA ISBN 0-88385-703-0、128～129ページ

参考文献

• エヴァンス, ローレンス C. (2010).偏微分方程式(PDF) . Graduate Studies in Mathematics . 第19巻 (1998年初版第2版). プロビデンス, RI:アメリカ数学会. doi : 10.1090/gsm/019 . ISBN 978-0-8218-4974-3. MR  2597943 .

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