ルーレット（カーブ）

他の曲線を転がして生成される数学的曲線

サイクロイド- 車輪上の回転点によって生成される曲線

エピトロコイド- 車輪の周りを回転する車輪

曲線の微分幾何学において、ルーレットは曲線の一種であり、サイクロイド、エピサイクロイド、ハイポサイクロイド、トロコイド、エピトロコイド、ハイポトロコイド、インボリュートを一般化したものです。基本的なレベルでは、ある曲線が別の曲線の上を滑ることなく転がりながら描く軌跡のことです。

意味

非公式な定義

緑色の放物線が、固定された等しい青色の放物線に沿って転がります。生成点は転がる放物線の頂点であり、赤色で示されたルーレットを描きます。この場合、ルーレットはディオクレスのシソイドです。^[1]

大まかに言えば、ルーレットとは、ある曲線が固定された別の曲線に沿って滑ることなく転がる際に、その曲線に接続された点（生成点または極と呼ばれる）によって描かれる曲線です。より正確には、ある曲線が移動している平面に接続され、その曲線が、同じ空間を占める固定された平面に接続された別の曲線に沿って滑ることなく転がる場合、移動している平面に接続された点は、固定された平面上でルーレットと呼ばれる曲線を描きます。

特殊なケースと関連概念

ローリング曲線が直線で、生成点が直線上の点である場合、ルーレットは固定曲線のインボリュートと呼ばれます。ローリング曲線が円で、固定曲線が直線である場合、ルーレットはトロコイドです。この場合、点が円上にある場合、ルーレットはサイクロイドです。

関連する概念にグリセットがあります。グリセットとは、2 つ (またはそれ以上) の指定された曲線に沿ってスライドするときに、指定された曲線に接続された点によって記述される曲線です。

正式な定義

形式的に言えば、曲線はユークリッド平面上の微分可能曲線でなければならない。固定曲線は不変に保たれ、回転曲線は連続的な合同変換を受ける。これにより、曲線は常に、どちらの曲線に沿っても同じ速度で移動する接点で接する（この制約を別の言い方で表現すると、2つの曲線の接点は合同変換の瞬間回転中心となる）。結果として得られるルーレットは、同じ合同変換の集合を受ける生成子の軌跡によって形成される。

元の曲線を複素平面上の曲線としてモデル化し、回転曲線（）と固定曲線（）の2つの自然なパラメータ化を とすると、すべての に対して、、 が成り立ちます。が転がる生成子のルーレットは、次の写像で与えられます。 ${\displaystyle r,f:\mathbb {R} \to \mathbb {C} }$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle r(0)=f(0)}$ ${\displaystyle r'(0)=f'(0)}$ ${\displaystyle |r'(t)|=|f'(t)|\neq 0}$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle p\in \mathbb {C} }$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle f}$

${\displaystyle t\mapsto f(t)+(p-r(t)){f'(t) \over r'(t)}.}$

一般化

回転曲線に一点を接続する代わりに、別の曲線を移動平面に沿って移動させると、合同な曲線の族が生成されます。この族の包絡線はルーレットとも呼ばれます。

より高い空間でのルーレットは確かに想像できますが、接線以上のものを揃える必要があります。

例

固定曲線が懸垂線で、回転曲線が直線である場合、次の式が成り立ちます。

${\displaystyle f(t)=t+i(\cosh(t)-1)\qquad r(t)=\sinh(t)}$

${\displaystyle f'(t)=1+i\sinh(t)\qquad r'(t)=\cosh(t).}$

直線のパラメータ化は次のように選択される。

${\displaystyle |f'(t)|={\sqrt {1^{2}+\sinh ^{2}(t)}}={\sqrt {\cosh ^{2}(t)}}=|r'(t)|.}$

上記の式を適用すると次のようになります。

${\displaystyle f(t)+(p-r(t)){f'(t) \over r'(t)}=t-i+{p-\sinh(t)+i(1+p\sinh(t)) \over \cosh(t)}=t-i+(p+i){1+i\sinh(t) \over \cosh(t)}.}$

p = − iの場合、式は定数虚数部（すなわち − i）を持ち、ルーレットは水平線となります。この興味深い応用例として、四角い車輪が、懸垂線弧の連続で構成された道路上を跳ねることなく転がり続けることが挙げられます。

ルーレットのリスト

固定曲線	ローリングカーブ	生成点	ルーレット
あらゆる曲線	ライン	線上の点	曲線のインボリュート
ライン	どれでも	どれでも	サイクロン
ライン	丸	どれでも	トロコイド
ライン	丸	円上の点	サイクロイド
ライン	円錐曲線	円錐の中心	シュトゥルムルーレット[2]
ライン	円錐曲線	円錐の焦点	ドロネールーレット[3]
ライン	放物線	放物線の焦点	カテナリー[4]
ライン	楕円	楕円の焦点	楕円カテナリー[4]
ライン	双曲線	双曲線の焦点	双曲懸垂線[4]
ライン	直角双曲線	双曲線の中心	長方形のエラスティカ[5]
ライン	サイクロサイクロイド	中心	楕円[6]
丸	丸	どれでも	中心トロコイド[7]
円の外側	丸	どれでも	上嘴管様部
円の外側	丸	円上の点	外旋円体
円の外側	同じ半径の円	どれでも	リマソン
円の外側	同じ半径の円	円上の点	カーディオイド
円の外側	半径の半分の円	円上の点	ネフロイド
円の内側	丸	どれでも	下転筋
円の内側	丸	円上の点	下サイクロイド
円の内側	半径の3分の1の円	円上の点	三角筋
円の内側	半径の4分の1の円	円上の点	アステロイド
放物線	反対方向にパラメータ化された等放物線	放物線の頂点	ディオクレスのシソイド[1]
カテナリー	ライン	上記の例を参照	ライン

参照

• ローリング
• ギヤ
• 軌跡（数学）
• 重ね合わせの原理
• スピログラフ
• トゥシ族のカップル
• ロゼッタ（軌道）

注記

1. 「Cissoid」 www.2dcurves.com
2. www.mathcurve.com の「Sturm's roulette」
3. www.mathcurve.com の「Delaunay のルーレット」
4. 「Delaunay's roulette」、www.2dcurves.com より
5. Greenhill, G. (1892). 楕円関数の応用. Macmillan. p. 88.
6. www.mathcurve.com の「直線固定曲線のルーレット」
7. 「中心トロコイド」mathcurve.com

参考文献

• WH Besant (1890) 「ルーレットとグリセットに関する注記」、コーネル大学歴史数学モノグラフより、元々は Deighton、Bell & Co. により出版。
• ワイスタイン、エリック・W.「ルーレット」。マスワールド。

さらに読む

• 2dcurves.comのルーレット
• Base, roulante et roulettes d'un mouvement plan sur plan (フランス語)
• Eine einheitliche Darstellung von ebenen, verallgemeinerten Rollbewegungen und deren Anwendungen (ドイツ語)

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