正積図法

Type of map projection

モルワイデ図法（正積図法）

地図学において、等角投影法、正積投影法、または正積投影法は、地図上のあらゆる領域間の相対的な面積を維持する地図投影法です。等角投影法は、人口、農地分布、森林地帯などのシナリオ分布を示す主題図に広く用いられています。これは、等角投影法では地図上の事象の見かけの密度が変化しないためです。

ガウスの 定理「エグレギウム」によれば、正積投影は正角投影にはなり得ません。これは、正積投影は必然的に形状を歪めることを意味します。地図上の点や経路は歪みがないかもしれませんが、地図上の領域が広がれば広がるほど、形状の歪みは必然的に大きくなり、より顕著になります。

北緯 0°、東経 0° を中心とした世界のランベルト正積方位図法。

説明

球面の地図投影が等面積となるためには、その生成式がコーシー・リーマンのような条件を満たしていなければならない。^[1]

${\displaystyle {\frac {\partial y}{\partial \varphi }}\cdot {\frac {\partial x}{\partial \lambda }}-{\frac {\partial y}{\partial \lambda }}\cdot {\frac {\partial x}{\partial \varphi }}=s\cdot \cos \varphi }$

は地図全体で一定です。ここで、は緯度、は経度、およびは与えられた座標ペアの投影座標（平面座標）です。 ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle (\varphi ,\lambda )}$

例えば、正弦曲線図法は非常に単純な正積図法です。その生成式は次のとおりです。

${\displaystyle {\begin{aligned}x&=R\cdot \lambda \cos \varphi \\y&=R\cdot \varphi \end{aligned}}}$

ここで地球の半径です。偏微分を計算すると、 ${\displaystyle R}$

${\displaystyle {\frac {\partial x}{\partial \varphi }}=-R\cdot \lambda \cdot \sin \varphi ,\quad {\frac {\partial x}{\partial \lambda }}=R\cdot \cos \varphi ,\quad {\frac {\partial y}{\partial \varphi }}=R,\quad {\frac {\partial y}{\partial \lambda }}=0}$

など

${\displaystyle {\frac {\partial y}{\partial \varphi }}\cdot {\frac {\partial x}{\partial \lambda }}-{\frac {\partial y}{\partial \lambda }}\cdot {\frac {\partial x}{\partial \varphi }}=R\cdot R\cdot \cos \varphi -0\cdot (-R\cdot \lambda \cdot \sin \varphi )=R^{2}\cdot \cos \varphi =s\cdot \cos \varphi }$

定数の値を取ります。 ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle R^{2}}$

楕円体の等面積地図の場合、満たさなければならない対応する微分条件は次の通りである: ^[1]

${\displaystyle {\frac {\partial y}{\partial \varphi }}\cdot {\frac {\partial x}{\partial \lambda }}-{\frac {\partial y}{\partial \lambda }}\cdot {\frac {\partial x}{\partial \varphi }}=s\cdot \cos \varphi \cdot {\frac {(1-e^{2})}{(1-e^{2}\sin ^{2}\varphi )^{2}}}}$

回転楕円体の離心率はどこにありますか。 ${\displaystyle e}$

統計グリッド

「統計グリッド」という用語は、データの視覚化、ジオコード、統計的空間分析に使用される、等面積表面表現の離散グリッド（グローバルまたはローカル）を指します。^{[2] [3] [4] [5] [6]}

等面積投影法の一覧

以下は面積を保存する投影法です。

• 方位角
  • ランベルト方位正積図
  • ヴィーヒェル（擬似方位角）

標準緯線が北緯 20 度と北緯 50 度であるアルベルス図法の世界図。

• 円錐曲線
  • アルバース
  • ランベルト正積円錐図法

北緯 30 度を標準緯線とするボトムリー投影の世界図。

• 擬円錐形
  • ボンヌ
  • ボトムリー
  • ヴェルナー

ランベルト正積円筒図法による世界図

• 円筒形（歪みのない緯度）
  • ランベルト円筒等面積図法（0°）
  • ベールマン（30°）
  • ホーボー・ダイアー（37°30′）
  • ガル・ピーターズ（45°）

等面積擬円筒図法である等面積地球図法

• 擬円筒形
  • ボッグスのユーモルフィック
  • コリニョン
  • エッカート II、IV、VI
  • 平等な地球
  • グッドのホモロシン
  • モルワイデ
  • 正弦波
  • トブラー超楕円形
• 他の
  • エッカート・グライフェンドルフ
  • マクブライド・トーマス平面極四次図法^[7]
  • ハンマー
  • ストレベ 1995
  • スナイダー正積図法。測地線グリッドに使用されます。

参照

• オータリック緯度
• オータリック半径
• 等面積図（数学）
• 測度保存力学系
• 測地多角形領域

参考文献

1. Snyder, John P. (1987). 地図投影法 — 実用マニュアル. USGS Professional Paper. Vol. 1395. ワシントン: 米国政府印刷局. p. 28. doi :10.3133/pp1395.
2. “INSPIREヘルプデスク | INSPIRE”. 2021年1月22日時点のオリジナルよりアーカイブ。2019年12月1日閲覧。
3. http://scorus.org/wp-content/uploads/2012/10/2010JurmalaP4.5.pdf ^{[裸の URL PDF ]}
4. IBGE (2016)、「Grade Estatística」。 Arquivo grade_estatistica.pdfem FTP ou HTTP、Censo 2010 2019 年 12 月 2 日にウェイバック マシンにアーカイブ
5. Tsoulos, Lysandros (2003). 「EUにおける統計地図作成のための正積投影法」. Annoni, Alessandro, Luzet, Claude, Gubler, Erich (編).ヨーロッパの地図投影法.欧州委員会共同研究センター. pp.  50– 55.
6. Brodzik, Mary J.; Billingsley, Brendan; Haran, Terry; Raup, Bruce; Savoie, Matthew H. (2012年3月13日). 「EASE-Grid 2.0：地球グリッドデータセットの漸進的かつ大幅な改善」. ISPRS International Journal of Geo-Information . 1 (1). MDPI AG: 32– 45. doi : 10.3390/ijgi1010032 . ISSN  2220-9964.
7. 「McBryde-Thomas Flat-Polar Quartic Projection - MATLAB」www.mathworks.com . 2024年1月3日閲覧。

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