位相共役性

位相幾何学の概念

数学において、2つの関数は、一方を他方に共役させる同相写像が存在する場合、位相共役であると言われる。位相共役性、およびフローの関連しながらも異なる位相同値性は、反復関数、そしてより一般的には力学系の研究において重要である。なぜなら、 ある反復関数のダイナミクスが決定できれば、位相共役関数のダイナミクスも自明に決定されるからである。^[1]

これを直接的に説明すると、反復関数と同相 写像が存在し、 ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle h}$

${\displaystyle g=h^{-1}\circ f\circ h,}$

とが位相共役となる。すると 、 ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle g}$

${\displaystyle g^{n}=h^{-1}\circ f^{n}\circ h,}$

したがって、反復系は位相的にも共役である。ここで、 は関数合成を表す。 ${\displaystyle \circ }$

意味

${\displaystyle f\colon X\to X,g\colon Y\to Y}$、および は位相空間、および上の連続関数です。 ${\displaystyle h\colon Y\to X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$

${\displaystyle f}$と位相的に半共役であるということは 、定義により、 がとなる全射であることを意味します。 ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle h}$ ${\displaystyle f\circ h=h\circ g}$

${\displaystyle f}$とが位相的に共役であることは、定義により、それらが位相的に半共役であり、がさらに単射であり、したがって全単射であり、その逆も連続であることを意味します。つまり、は同相写像です。さらに、はとの間の位相的共役と呼ばれます。 ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle h}$ ${\displaystyle h}$ ${\displaystyle h}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle g}$

フロー

同様に、上の、上の はフローであり、 、 は上記と同じです。 ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \psi }$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle X,Y}$ ${\displaystyle h\colon Y\to X}$

${\displaystyle \phi }$と位相的に半共役であるということは、定義により、各 に対して となる全射であることを意味します。 ${\displaystyle \psi }$ ${\displaystyle h}$ ${\displaystyle \phi (h(y),t)=h\circ \psi (y,t)}$ ${\displaystyle y\in Y}$ ${\displaystyle t\in \mathbb {R} }$

${\displaystyle \phi }$位相的に共役であるということは、定義により、位相的に半共役であり、hが同相写像であることを意味する。^[2] ${\displaystyle \psi }$

例

• ロジスティック写像とテント写像は位相的に共役である。^[3]
• 単位高さのロジスティック写像とベルヌーイ写像は位相的に共役である。^[要出典]
• パラメータ空間内の特定の値に対して、ヘノン写像はそのジュリア集合に制限されると、2つの記号の両側列の空間上のシフト写像と位相的に共役または半共役になる。^[4]

議論

位相共役は、半共役とは異なり、位相空間の自身へのすべての連続射影の空間における同値関係を定義します。これは、位相共役である場合にとを関連づけることで定義されます。この同値関係は、力学系理論において非常に有用です。なぜなら、各クラスには位相的な観点から同じダイナミクスを共有するすべての関数が含まれるからです。例えば、の軌道は、共役によっての同相軌道に写像されます 。この事実は、 と書くことで明らかになります。 簡単に言えば、位相共役は位相的な意味での「座標変換」です。 ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle g=h^{-1}\circ f\circ h}$ ${\displaystyle g^{n}=h^{-1}\circ f^{n}\circ h}$

しかし、フローに対する類似の定義はいくぶん制約的である。実際、写像とが 各 に対して位相共役であることを要求しており、これは単に の軌道がの軌道に同相写像されるという以上のことを要求している。これが の位相同値性の定義の動機となり、これは におけるすべてのフローの集合を、位相的な観点から、同じダイナミクスを共有するフローのクラスに分割する。 ${\displaystyle \phi (\cdot ,t)}$ ${\displaystyle \psi (\cdot ,t)}$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle \psi }$ ${\displaystyle X}$

位相同値性

二つの流れとが位相的に同値であるとは、同相写像が存在し、の軌道を の軌道に同相写像し、軌道の向きが保存されるときである。言い換えれば、 を軌道とすると、 ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle \psi }$ ${\displaystyle h:Y\to X}$ ${\displaystyle \psi }$ ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}}$

${\displaystyle h({\mathcal {O}}(y,\psi ))=\{h\circ \psi (y,t):t\in \mathbb {R} \}=\{\phi (h(y),t):t\in \mathbb {R} \}={\mathcal {O}}(h(y),\phi )}$

各 について。さらに、時間の流れを並べる必要があります。各 について、 となる が存在し、 であれば、 となり、がとなるような であれば、 となります。 ${\displaystyle y\in Y}$ ${\displaystyle y\in Y}$ ${\displaystyle \delta >0}$ ${\displaystyle 0<\vert s\vert <t<\delta }$ ${\displaystyle \phi (h(y),s)=h\circ \psi (y,t)}$ ${\displaystyle s>0}$

全体的に見て、位相同値性は位相共役性よりも弱い同値性基準です。これは、時間項が軌道とその向きに沿って写像されることを必要としないためです。位相同値でありながら位相共役ではない系の例としては、閉軌道を持つ二次元微分方程式系の非双曲型クラスが挙げられます。これらの系の軌道は空間的に重なるように変換できますが、周期を相似的に一致させることはできないため、位相共役性の基準は満たしますが、位相同値性の基準は満たしません。

平滑性と軌道等価性

流れ、およびが微分方程式から生じる場合、より多くの同等性基準を研究することができます。 ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle \psi }$

微分方程式とで定義される2つの力学系は、次のような微分同相写像が存在するとき、滑らかに同値であるという。 ${\displaystyle {\dot {x}}=f(x)}$ ${\displaystyle {\dot {y}}=g(y)}$ ${\displaystyle h:X\to Y}$

${\displaystyle f(x)=M^{-1}(x)g(h(x))\quad {\text{where}}\quad M(x)={\frac {\mathrm {d} h(x)}{\mathrm {d} x}}.}$

その場合、動的システムは座標変換によって互いに変換できます。 ${\displaystyle y=h(x)}$

およびによって定義される同じ状態空間上の2つの力学系は、となる正の関数 が存在する場合、軌道的に等価であると言われます。軌道的に等価な系は、時間パラメータ化のみが異なります。 ${\displaystyle {\dot {x}}=f(x)}$ ${\displaystyle {\dot {x}}=g(x)}$ ${\displaystyle \mu :X\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle g(x)=\mu (x)f(x)}$

滑らかに等価なシステムや軌道的に等価なシステムは、位相的にも等価です。しかし、その逆は成り立ちません。たとえば、形式 の 2 次元の線型システムを考えます。行列 が2 つの正の実固有値を持つ場合、システムには不安定なノードがあります。また、行列 が正の実部を持つ 2 つの複素固有値を持つ場合、システムには不安定な焦点（またはスパイラル）があります。ノードと焦点は位相的に等価ですが、軌道的にも滑らかに等価ではありません。^[5]これは、それらの固有値が異なるためです（2 つの局所的に滑らかに等価なシステムのヤコビアンは でなければならないため、それらの固有値、代数的重複度、幾何学的重複度は等しくなければならないことに注意してください）。 ${\displaystyle {\dot {x}}=Ax}$ ${\displaystyle A}$

動的位相共役性の一般化

動的位相共役性の概念の拡張としては、次の 2 つが報告されています。

1. 同型力学系として定義される類似システム
2. 随伴関数とカテゴリカルダイナミクスにおける自然同値性を介して定義される随伴力学系。^{[6] [7]}

参照

• 可換図

参考文献

1. アーノルドVI常微分方程式理論における幾何学的手法（シュプリンガー、2020年）[1]
2. アーノルドVI常微分方程式理論における幾何学的手法（シュプリンガー、2020年）[2]
3. Alligood, KT, Sauer, T., Yorke, JA (1997).カオス：動的システム入門. Springer. pp.  114– 124. ISBN 0-387-94677-2。{{cite book}}: CS1 maint: 複数の名前: 著者リスト (リンク)
4. Devaney, R.; Nitecki, Z. (1979). 「ヘノン写像におけるシフト自己同型」 . Comm. Math. Phys . 67 (2): 137– 146. Bibcode :1979CMaPh..67..137D. doi :10.1007/bf01221362. S2CID  121479458. 2016年9月2日閲覧。
5. クズネツォフ, ユーリ・A. (1998). 『分岐理論の要素』（第2版）. シュプリンガー. ISBN 0-387-98382-1。
6. “複雑性とカテゴリーダイナミクス”. 2009年8月19日時点のオリジナルよりアーカイブ。
7. 「類似システム、位相共役性、随伴システム」。2015年2月25日時点のオリジナルよりアーカイブ。

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