正確な微分

Type of infinitesimal in calculus

多変数微分積分学では、微分または微分形式が、直交座標系のある微分可能関数の一般微分と等しい場合、不正確微分とは対照的に正確または完全(正確微分)であると言われます(したがって、 は変数が独立している多変数関数であり、多変数微分積分学で扱われる場合は常にそうであると期待されます)。 ${\displaystyle dQ}$  ${\displaystyle Q}$ ${\displaystyle Q}$

完全微分は、全微分、完全微分とも呼ばれ、微分幾何学の研究では、完全形式と呼ばれます。

任意の積分経路上の正確な微分積分​​は経路独立であり、この事実は熱力学における状態関数の識別に使用されます。

概要

意味

ここでは 3 次元を扱っていますが、他の次元での正確な微分の定義は、3 次元の定義と構造的に似ています。3 次元では、 型の形式は微分形式と呼ばれます。この形式が空間の開領域上で正確であるとは、 全体にわたって となるような、上で定義された微分可能なスカラー関数が存在する場合です。ここで は直交座標（たとえば、直交座標、円筒座標、球面座標）です。言い換えれば、空間のある開領域において、微分形式が正確な微分であるとは、それが直交座標系における微分可能関数の一般微分に等しい場合です。 $${\displaystyle A(x,y,z)\,dx+B(x,y,z)\,dy+C(x,y,z)\,dz}$$ ${\displaystyle D\subset \mathbb {R} ^{3}}$ ${\displaystyle Q=Q(x,y,z)}$ ${\displaystyle D}$ $${\displaystyle dQ\equiv \left({\frac {\partial Q}{\partial x}}\right)_{y,z}\,dx+\left({\frac {\partial Q}{\partial y}}\right)_{x,z}\,dy+\left({\frac {\partial Q}{\partial z}}\right)_{x,y}\,dz,\quad dQ=A\,dx+B\,dy+C\,dz}$$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle x,y,z}$

上記の数式における括弧外の添え字は、微分中にどの変数が一定に保たれるかを示しています。偏微分の定義により、これらの添え字は必須ではありませんが、ここでは念のため明示的に示しています。

積分経路独立性

開領域で定義された微分可能スカラー関数の正確な微分はに等しく、 はの勾配、はスカラー積を表し、 は直交座標系を用いる場合の一般微分変位ベクトルです。 が微分可能クラス（連続微分可能）である場合、 は定義により対応するポテンシャル の保存ベクトル場となります。3次元空間では、やのような式を作成できます。 ${\displaystyle Q}$ ${\displaystyle D\subset \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle dQ=\nabla Q\cdot d\mathbf {r} }$ ${\displaystyle \nabla Q}$ ${\displaystyle Q}$ ${\displaystyle \cdot }$ ${\displaystyle d\mathbf {r} }$ ${\displaystyle Q}$ ${\displaystyle C^{1}}$ ${\displaystyle \nabla Q}$ ${\displaystyle Q}$ ${\displaystyle d\mathbf {r} =(dx,dy,dz)}$ ${\displaystyle \nabla Q=\left({\frac {\partial Q}{\partial x}},{\frac {\partial Q}{\partial y}},{\frac {\partial Q}{\partial z}}\right)}$

勾配定理によれば

${\displaystyle \int _{i}^{f}dQ=\int _{i}^{f}\nabla Q(\mathbf {r} )\cdot d\mathbf {r} =Q\left(f\right)-Q\left(i\right)}$

これは、与えられた経路の端点と端点の間のどの積分経路が選択されるかに依存しません。したがって、正確な微分積分​​は、与えられた経路の端点間の積分経路の選択に依存しない（経路独立性）と結論付けられます。 ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle f}$

3次元空間では、開領域上で定義された が微分可能クラスである場合（は のクラスと同値）、この積分経路独立性はベクトル解析の恒等式とストークスの定理を使って証明することもできます。 ${\displaystyle \nabla Q}$ ${\displaystyle D\subset \mathbb {R} ^{3}}$ ${\displaystyle C^{1}}$ ${\displaystyle Q}$ ${\displaystyle C^{2}}$ ${\displaystyle \nabla \times (\nabla Q)=\mathbf {0} }$

${\displaystyle \oint _{\partial \Sigma }\nabla Q\cdot d\mathbf {r} =\iint _{\Sigma }(\nabla \times \nabla Q)\cdot d\mathbf {a} =0}$

滑らかな向きの面を含む単純閉ループの場合。開領域が単純連結な開空間（大まかに言えば、内部に穴のない一枚の開空間）である場合、任意の非回転ベクトル場（回転がゼロであるベクトル場、すなわち）はストークスの定理により経路独立性を持つため、次のことが言えます。単純連結な開領域では、経路独立性を持つベクトル場（つまり保存ベクトル場）は非回転でなければならず、その逆もまた同様です。経路独立ベクトル場と保存ベクトル場の等式はで示されています。 ${\displaystyle \partial \Sigma }$ ${\displaystyle \Sigma }$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle C^{1}}$ ${\displaystyle \mathbf {v} }$ ${\displaystyle \nabla \times \mathbf {v} =\mathbf {0} }$ ${\displaystyle C^{1}}$

熱力学的状態関数

熱力学において、が正確な場合、関数 は系の状態関数です。つまり、現在の平衡状態のみに依存し、その状態に到達するまでの経路には依存しない数学関数です。内部エネルギー、エントロピー、エンタルピー、ヘルムホルツ自由エネルギー、ギブス自由エネルギーは状態関数です。一般に、仕事も熱も状態関数ではありません。（注：は物理学において熱を表すためによく使用されます。この記事の前半で正確な微分係数として使用されている と混同しないでください。） ${\displaystyle dQ}$ ${\displaystyle Q}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle W}$ ${\displaystyle Q}$ ${\displaystyle Q}$

1次元

1次元では微分形式

${\displaystyle A(x)\,dx}$

が正確であることと、その場合に 限ります（ただし、初等関数に関しては必ずしも原始関数 は原始関数 ではありません）。が原始関数を持ち、がの原始関数である場合、 は明らかに正確性の条件を満たします。が原始関数を持たない場合、 を微分可能関数として書くことはできないため、は不正確です。 ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle Q}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle {\frac {dQ}{dx}}=A}$ ${\displaystyle A(x)\,dx}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle dQ={\frac {dQ}{dx}}dx}$ ${\displaystyle A={\frac {dQ}{dx}}}$ ${\displaystyle Q}$ ${\displaystyle A(x)\,dx}$

2次元と3次元

2階微分の対称性により、任意の「行儀のよい」（非病的な）関数に対して、 ${\displaystyle Q}$

${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}Q}{\partial x\,\partial y}}={\frac {\partial ^{2}Q}{\partial y\,\partial x}}.}$

したがって、xy平面の単連結領域Rにおいて、が独立である場合、^[1]微分形式 ${\displaystyle x,y}$

${\displaystyle A(x,y)\,dx+B(x,y)\,dy}$

は、次の式が成り立つときのみ、正確な微分となる。

${\displaystyle \left({\frac {\partial A}{\partial y}}\right)_{x}=\left({\frac {\partial B}{\partial x}}\right)_{y}}$

が成り立ちます。 が厳密な微分で となり となるなら、はおよびに沿って微分可能（滑らかに連続）な関数となり となります。が成り立つなら、 と はそれぞれおよびに沿って微分可能（これも滑らかに連続）な関数となり となります。 が成り立ちます。 ${\displaystyle A={\frac {\partial Q}{\partial x}}}$ ${\displaystyle B={\frac {\partial Q}{\partial y}}}$ ${\displaystyle Q}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle \left({\frac {\partial A}{\partial y}}\right)_{x}={\frac {\partial ^{2}Q}{\partial y\partial x}}={\frac {\partial ^{2}Q}{\partial x\partial y}}=\left({\frac {\partial B}{\partial x}}\right)_{y}}$ ${\displaystyle \left({\frac {\partial A}{\partial y}}\right)_{x}=\left({\frac {\partial B}{\partial x}}\right)_{y}}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle \left({\frac {\partial A}{\partial y}}\right)_{x}={\frac {\partial ^{2}Q}{\partial y\partial x}}={\frac {\partial ^{2}Q}{\partial x\partial y}}=\left({\frac {\partial B}{\partial x}}\right)_{y}}$

3次元の場合、 xyz座標系の単連結領域Rでは、同様の理由により、微分

${\displaystyle dQ=A(x,y,z)\,dx+B(x,y,z)\,dy+C(x,y,z)\,dz}$

が厳密な微分となるのは、関数A、B、Cの間に次の関係が存在する 場合のみである。

${\displaystyle \left({\frac {\partial A}{\partial y}}\right)_{x,z}\!\!\!=\left({\frac {\partial B}{\partial x}}\right)_{y,z}}$;  ; ${\displaystyle \left({\frac {\partial A}{\partial z}}\right)_{x,y}\!\!\!=\left({\frac {\partial C}{\partial x}}\right)_{y,z}}$  ${\displaystyle \left({\frac {\partial B}{\partial z}}\right)_{x,y}\!\!\!=\left({\frac {\partial C}{\partial y}}\right)_{x,z}.}$

これらの条件は次の文と同等です: G がこのベクトル値関数のグラフである場合、曲面Gのすべての接ベクトルX、Yに対してs ( X、  Y ) = 0 となり、sはシンプレクティック形式となります。

これらの条件は容易に一般化でき、2次導関数の計算における微分順序の独立性から生じます。したがって、4変数関数である微分dQが厳密な微分となるためには、6つの条件（組み合わせ ）を満たす必要があります。 ${\displaystyle C(4,2)=6}$

偏微分関係

微分可能関数 が各独立変数について1 対 1 (単射)である場合(例: が固定の においてについて 1 対 1 であるのに対し、については必ずしも 1 対 1 ではない場合)、各独立変数は他の変数について微分可能関数であるため (例: )、次の全微分が存在します。 ${\displaystyle z(x,y)}$ ${\displaystyle z(x,y)}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle (x,y)}$ ${\displaystyle x(y,z)}$

${\displaystyle dx={\left({\frac {\partial x}{\partial y}}\right)}_{z}\,dy+{\left({\frac {\partial x}{\partial z}}\right)}_{y}\,dz}$

${\displaystyle dz={\left({\frac {\partial z}{\partial x}}\right)}_{y}\,dx+{\left({\frac {\partial z}{\partial y}}\right)}_{x}\,dy.}$

最初の式を2番目の式に代入して整理すると、次の式が得られる。

${\displaystyle dz={\left({\frac {\partial z}{\partial x}}\right)}_{y}\left[{\left({\frac {\partial x}{\partial y}}\right)}_{z}dy+{\left({\frac {\partial x}{\partial z}}\right)}_{y}dz\right]+{\left({\frac {\partial z}{\partial y}}\right)}_{x}dy,}$

${\displaystyle dz=\left[{\left({\frac {\partial z}{\partial x}}\right)}_{y}{\left({\frac {\partial x}{\partial y}}\right)}_{z}+{\left({\frac {\partial z}{\partial y}}\right)}_{x}\right]dy+{\left({\frac {\partial z}{\partial x}}\right)}_{y}{\left({\frac {\partial x}{\partial z}}\right)}_{y}dz,}$

${\displaystyle \left[1-{\left({\frac {\partial z}{\partial x}}\right)}_{y}{\left({\frac {\partial x}{\partial z}}\right)}_{y}\right]dz=\left[{\left({\frac {\partial z}{\partial x}}\right)}_{y}{\left({\frac {\partial x}{\partial y}}\right)}_{z}+{\left({\frac {\partial z}{\partial y}}\right)}_{x}\right]dy.}$

と は独立変数であり、制限なく選択できます。この最後の式が一般に成立するためには、括弧内の項はゼロでなければなりません。^[2]左括弧がゼロの場合は相互関係が成立し、右括弧がゼロの場合は以下に示すように循環関係が成立します。 ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle dy}$ ${\displaystyle dz}$

相互関係

括弧内の最初の項をゼロにすると、

${\displaystyle {\left({\frac {\partial z}{\partial x}}\right)}_{y}{\left({\frac {\partial x}{\partial z}}\right)}_{y}=1.}$

少し並べ替えると相互関係が生まれ、

${\displaystyle {\left({\frac {\partial z}{\partial x}}\right)}_{y}={\frac {1}{{\left({\frac {\partial x}{\partial z}}\right)}_{y}}}.}$

前述の導出にはさらに 2 つの順列があり、 、、 の間には合計 3 つの相互関係が生じます。 ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle z}$

循環関係

循環関係は循環則または三重積則とも呼ばれます。括弧内の2番目の項を0にすると、

${\displaystyle {\left({\frac {\partial z}{\partial x}}\right)}_{y}{\left({\frac {\partial x}{\partial y}}\right)}_{z}=-{\left({\frac {\partial z}{\partial y}}\right)}_{x}.}$

この方程式にの相互関係を適用し、並べ替えると巡回関係（三重積則）が得られる。 ${\displaystyle {\tfrac {\partial z}{\partial y}}}$

${\displaystyle {\left({\frac {\partial x}{\partial y}}\right)}_{z}{\left({\frac {\partial y}{\partial z}}\right)}_{x}{\left({\frac {\partial z}{\partial x}}\right)}_{y}=-1.}$

代わりに、と の相互関係をその後の並べ替えとともに使用すると、暗黙的な微分化の標準形が得られます。 ${\displaystyle {\tfrac {\partial x}{\partial y}}}$ ${\displaystyle {\tfrac {\partial y}{\partial z}}}$

${\displaystyle {\left({\frac {\partial y}{\partial x}}\right)}_{z}=-{\frac {{\left({\frac {\partial z}{\partial x}}\right)}_{y}}{{\left({\frac {\partial z}{\partial y}}\right)}_{x}}}.}$

2次元の厳密な微分から導かれるいくつかの有用な方程式

（熱力学方程式の理論における厳密な微分の使用については、ブリッジマンの熱力学方程式も参照のこと）

5つの状態関数、およびがあるとします。状態空間は2次元で、5つの量のいずれかが微分可能であるとします。すると連鎖律により ${\displaystyle z,x,y,u}$ ${\displaystyle v}$

${\displaystyle dz=\left({\frac {\partial z}{\partial x}}\right)_{y}dx+\left({\frac {\partial z}{\partial y}}\right)_{x}dy=\left({\frac {\partial z}{\partial u}}\right)_{v}du+\left({\frac {\partial z}{\partial v}}\right)_{u}dv}$

1

連鎖律によっても次のようになります。

${\displaystyle dx=\left({\frac {\partial x}{\partial u}}\right)_{v}du+\left({\frac {\partial x}{\partial v}}\right)_{u}dv}$

2

そして

${\displaystyle dy=\left({\frac {\partial y}{\partial u}}\right)_{v}du+\left({\frac {\partial y}{\partial v}}\right)_{u}dv}$

3

したがって（（2）と（3）を（1）に代入すると）：

${\displaystyle {\begin{aligned}dz=&\left[\left({\frac {\partial z}{\partial x}}\right)_{y}\left({\frac {\partial x}{\partial u}}\right)_{v}+\left({\frac {\partial z}{\partial y}}\right)_{x}\left({\frac {\partial y}{\partial u}}\right)_{v}\right]du\\+&\left[\left({\frac {\partial z}{\partial x}}\right)_{y}\left({\frac {\partial x}{\partial v}}\right)_{u}+\left({\frac {\partial z}{\partial y}}\right)_{x}\left({\frac {\partial y}{\partial v}}\right)_{u}\right]dv\end{aligned}}}$

4

これは（（4）と（1）を比較することによって）次のことを意味する：

${\displaystyle \left({\frac {\partial z}{\partial u}}\right)_{v}=\left({\frac {\partial z}{\partial x}}\right)_{y}\left({\frac {\partial x}{\partial u}}\right)_{v}+\left({\frac {\partial z}{\partial y}}\right)_{x}\left({\frac {\partial y}{\partial u}}\right)_{v}}$

5

（5）を加えると次のようになる。 ${\displaystyle v=y}$

${\displaystyle \left({\frac {\partial z}{\partial u}}\right)_{y}=\left({\frac {\partial z}{\partial x}}\right)_{y}\left({\frac {\partial x}{\partial u}}\right)_{y}}$

6

（5）を加えると次のようになる。 ${\displaystyle u=y}$

${\displaystyle \left({\frac {\partial z}{\partial y}}\right)_{v}=\left({\frac {\partial z}{\partial x}}\right)_{y}\left({\frac {\partial x}{\partial y}}\right)_{v}+\left({\frac {\partial z}{\partial y}}\right)_{x}}$

7

（７）と（８）を加えると次のようになる。 ${\displaystyle u=y}$ ${\displaystyle v=z}$

${\displaystyle \left({\frac {\partial z}{\partial y}}\right)_{x}=-\left({\frac {\partial z}{\partial x}}\right)_{y}\left({\frac {\partial x}{\partial y}}\right)_{z}}$

8

( を使用すると三重積の規則が得られます。 ${\displaystyle \partial a/\partial b)_{c}=1/(\partial b/\partial a)_{c}}$

${\displaystyle \left({\frac {\partial z}{\partial x}}\right)_{y}\left({\frac {\partial x}{\partial y}}\right)_{z}\left({\frac {\partial y}{\partial z}}\right)_{x}=-1}$

9

参照

• 高次の処理のための閉じた正確な微分形式
• 微分（数学）
• 不正確な微分
• 非正確な微分方程式を正確に解くための積分係数
• 正確な微分方程式

参考文献

1. 独立変数のペアが従属変数の（局所的に可逆な）関数である場合、次の定理が成り立つために必要なのは、または に関する偏微分を、および に関する偏微分（それぞれのヤコビ行列要素を含む）に置き換えることだけです。つまり、 が正確な微分である場合、かつその場合のみ、次の式が成り立ちます。 ${\displaystyle (x,y)}$ ${\displaystyle (u,v)}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle A(u,v)du+B(u,v)dv,}$ ${\displaystyle {\frac {\partial A}{\partial u}}{\frac {\partial u}{\partial y}}+{\frac {\partial A}{\partial v}}{\frac {\partial v}{\partial y}}={\frac {\partial B}{\partial u}}{\frac {\partial u}{\partial x}}+{\frac {\partial B}{\partial v}}{\frac {\partial v}{\partial x}}.}$
2. Çengel, Yunus A.; Boles, Michael A.; Kanoğlu, Mehmet (2019) [1989]. 「熱力学特性関係」.熱力学 - 工学的アプローチ（第9版）. ニューヨーク: McGraw-Hill Education. pp.  647– 648. ISBN 978-1-259-82267-4。

• ペロー, P. (1998). 『熱力学のAからZ』ニューヨーク: オックスフォード大学出版局.
• デニス・G・ジル（2008年5月14日）『微分方程式入門』Cengage Learning. ISBN 978-0-495-10824-5。

外部リンク

• 不正確な微分 – Wolfram MathWorldより
• 正確な微分と不正確な微分 – アリゾナ大学
• 正確な微分と不正確な微分 – テキサス大学
• 厳密な微分 – Wolfram MathWorldより

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