のこぎり波

非正弦波形

のこぎり波
帯域制限された鋸歯波[1]を時間領域（上）と周波数領域（下）で示した図。基本波は220 Hz（A 3）である。
一般情報
一般的な定義	${\displaystyle x(t)=2\left(t-\left\lfloor t+{\tfrac {1}{2}}\right\rfloor \right),t-{\tfrac {1}{2}}\notin \mathbb {Z} }$
応用分野	エレクトロニクス、シンセサイザー
ドメイン、コドメイン、イメージ
ドメイン	${\displaystyle \mathbb {R} \setminus \left\{n-{\tfrac {1}{2}}\right\},n\in \mathbb {Z} }$
コドメイン	${\displaystyle \left(-1,1\right)}$
基本機能
パリティ	奇数
期間	1
具体的な機能
根	${\displaystyle \mathbb {Z} }$
フーリエ級数	${\displaystyle x(t)=-{\frac {2}{\pi }}\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {{\left(-1\right)}^{k}}{k}}\sin \left(2\pi kt\right)}$

のこぎり波

220 Hzのノコギリ波5秒

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ノコギリ波（または鋸歯状波）は、非正弦波形の一種です。傾斜角がゼロの鋸歯に似ていることから、この名前が付けられました。単一のノコギリ波、または断続的に発生するノコギリ波は、ランプ波形と呼ばれます。

鋸歯状波は一般的に上昇し、その後急激に下降します。逆鋸歯状波（逆鋸歯状波とも呼ばれます）は、下降し、その後急激に上昇します。これは、非対称三角波の極端な例とも考えられます。^[2]

時間tの床関数に基づく同等の区分線形関数は、周期1ののこぎり波の例です。 $${\displaystyle x(t)=t-\lfloor t\rfloor }$$ $${\displaystyle x(t)=t{\bmod {1}}}$$

より一般的な形式は、範囲-1から1、周期pの場合、 $${\displaystyle 2\left({\frac {t}{p}}-\left\lfloor {\frac {1}{2}}+{\frac {t}{p}}\right\rfloor \right)}$$

こののこぎり波関数は正弦波関数と同じ位相を持ちます。

矩形波は奇数倍音のみで構成されるのに対し、鋸歯波は耳障りでクリアな音で、そのスペクトルには基本周波数の偶数倍音と奇数倍音の両方が含まれています。すべての整数倍音を含むため、特にバイオリンやチェロのような弓弦楽器の音の減算合成に最適な波形の一つです。弓のスリップスティック動作によって弦が鋸歯状の動きで駆動されるためです。^[3]

加法鋸歯状波デモ

正弦波に毎秒追加される高調波によって作成される 220 Hz のノコギリ波。

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鋸歯波は加法合成法を用いて構成できます。周期pと振幅aに対して、次の無限フーリエ級数は鋸歯波と逆鋸歯波に収束します。

$${\displaystyle f={\frac {1}{p}}}$$ $${\displaystyle x_{\text{sawtooth}}(t)=-{\frac {2a}{\pi }}\sum _{k=1}^{\infty }{(-1)}^{k}{\frac {\sin(2\pi kft)}{k}}}$$ $${\displaystyle x_{\text{reverse sawtooth}}(t)={\frac {2a}{\pi }}\sum _{k=1}^{\infty }{(-1)}^{k}{\frac {\sin(2\pi kft)}{k}}}$$

デジタル合成では、これらの級数はkについてのみ加算され、最高次高調波N _maxはナイキスト周波数（サンプリング周波数の半分）よりも小さくなります。この加算は、一般に高速フーリエ変換を用いることでより効率的に計算できます。波形がy  =  x  −  floor ( x )のような帯域制限のない形式を用いて時間領域で直接デジタル的に生成される場合、無限の高調波がサンプリングされ、結果として得られる音にはエイリアシング歪みが含まれます。

倍音数が増加する鋸歯状波の加法合成のアニメーション

440 Hz (A ₄ )、880 Hz (A ₅ )、1,760 Hz (A ₆ )で演奏されたノコギリ波の音声デモを以下でご覧いただけます。帯域制限された（エイリアスのない）音とエイリアスのある音の両方が示されています。

ノコギリ波エイリアシングのデモ

鋸歯波は帯域制限され、440 Hz、880 Hz、1,760 Hzでエイリアシングされて再生されます。

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アプリケーション

• ノコギリ波は電子音楽でよく使われる波形です。ノコギリ波と矩形波は、減算型アナログシンセサイザーやバーチャルアナログシンセサイザーで音を作り出す際に最もよく使われる波形の一つです。
• 鋸歯波はスイッチング電源で使用されます。レギュレータチップでは、出力からのフィードバック信号が高周波の鋸歯波と継続的に比較され、コンパレータの出力に新たなデューティサイクルPWM信号が生成されます。
• コンピュータサイエンスの分野、特にオートメーションとロボット工学では、360°と0°での不連続性を回避しながら角度の合計と差を計算することができます。^{[引用が必要]} ${\displaystyle \mathrm {sawtooth} (\theta )=2\arctan(\tan({\frac {\theta }{2}}))}$
• 鋸歯波は、 CRTベースのテレビやモニター画面でラスター画像を生成するために使用される垂直および水平偏向信号の形式です。オシロスコープも水平偏向に鋸歯波を使用しますが、通常は静電偏向を使用します。
  • 波の「ランプ」上で、偏向ヨークによって生成された磁場が電子ビームを CRT の表面に沿って引きずり、走査線を作成します。
  • 波の「崖」では、磁場が突然崩壊し、電子ビームはできるだけ早く静止位置に戻ります。
  • 偏向ヨークに供給される電流は、様々な手段（トランス、コンデンサ、センタータップ巻線など）によって調整され、鋸歯状の崖の中間電圧がゼロ点となるように調整されます。つまり、負の電流は片方向への偏向を引き起こし、正の電流はもう片方向への偏向を引き起こします。このように、センターマウントの偏向ヨークは、画面全体を使ってトレースを描くことができます。水平周波数は、 NTSCでは15.734 kHz、 PALおよびSECAMでは15.625 kHzです。
  • 垂直偏向システムは、水平偏向システムと同じように動作しますが、周波数ははるかに低くなります ( NTSCでは 59.94 Hz 、PAL および SECAM では 50 Hz)。
  • 波形のランプ部分は直線でなければなりません。そうでない場合、電流が直線的に増加していないこと、つまり偏向ヨークによって生成される磁場が直線ではないことを示しています。その結果、電子ビームは非線形部分で加速されます。その結果、テレビ画像は非線形性の方向に「押しつぶされた」ように見えます。極端な場合には、電子ビームが画像のその側でより長い時間滞在するため、輝度が著しく増加します。
  • 初期のテレビ受信機には、画像の垂直方向または水平方向の直線性を調整できるコントロールが搭載されていました。しかし、電子部品の安定性が向上したため、後期のテレビ受信機にはこのようなコントロールは搭載されなくなりました。

参照

正弦波、方形波、三角波、のこぎり波

• 周期関数のリスト
• 正弦波
• 矩形波
• 三角波
• 脈波
• 音
• スーパーソー
• 波
• ジグザグ

参考文献

1. Kraft, Sebastian; Zölzer, Udo (2017年9月5日). 「LP-BLIT: ローパスフィルタ処理された波形の帯域制限インパルス列合成」.第20回国際デジタルオーディオエフェクト会議(DAFx-17)議事録. 第20回国際デジタルオーディオエフェクト会議 (DAFx-17). エディンバラ. pp.  255– 259.
2. 「フーリエ級数-三角波 - Wolfram MathWorldより」Mathworld.wolfram.com 2012年7月2日2012年7月11日閲覧。
3. Dave Benson. 「音楽：数学的な提供」（PDF） . Homepages.abdn.ac.uk . p. 42. 2021年11月26日閲覧。

外部リンク

• ヒュー・L・モンゴメリー、ロバート・C・ヴォーン(2007).乗法数論 I. 古典理論. ケンブリッジ数学入門. 第97巻. pp.  536– 537. ISBN 978-0-521-84903-6。

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