エッジワース系列

Infinite sum approximating a probability distribution in terms of its cumulants

確率論において、グラム・シャルリエA級数（ヨルゲン・ペダーセン・グラムとカール・シャルリエにちなんで名付けられた）とエッジワース級数（フランシス・イシドロ・エッジワースにちなんで名付けられた）は、実数直線上の確率分布をそのキュムラントで近似する級数である。^[1]これらの級数は同じであるが、項の配置（したがって級数を切り捨てる精度）が異なっている。^[2]これらの展開の重要な考え方は、確率密度関数fが既知で適切な特性を持つ分布の特性関数で近似される分布の特性関数を書き、逆フーリエ変換によってf を復元するというものである。 ${\displaystyle (-\infty ,\infty )}$

グラム・シャルリエA系列

連続確率変数を考察する。その分布の特性関数を とし、その密度関数をfとし、そのキュムラントをとする。これを、確率密度関数ψ、特性関数、キュムラント を持つ既知の分布で展開する。密度ψは通常、正規分布の密度となるように選択されるが、他の選択も可能である。キュムラントの定義により、次式が成り立つ（Wallace, 1958 参照）^{[3] 。} ${\displaystyle {\hat {f}}}$ ${\displaystyle \kappa _{r}}$ ${\displaystyle {\hat {\psi }}}$ ${\displaystyle \gamma _{r}}$

${\displaystyle {\hat {f}}(t)=\exp \left[\sum _{r=1}^{\infty }\kappa _{r}{\frac {(it)^{r}}{r!}}\right]}$そして

${\displaystyle {\hat {\psi }}(t)=\exp \left[\sum _{r=1}^{\infty }\gamma _{r}{\frac {(it)^{r}}{r!}}\right],}$

これにより、次の正式なアイデンティティが得られます。

${\displaystyle {\hat {f}}(t)=\exp \left[\sum _{r=1}^{\infty }(\kappa _{r}-\gamma _{r}){\frac {(it)^{r}}{r!}}\right]{\hat {\psi }}(t)\,.}$

フーリエ変換の性質により、は のフーリエ変換である。ここで、Dはxに関する微分演算子である。したがって、方程式の両辺をで変化させた後、 fについて形式展開が 成り立つことがわかる。 ${\displaystyle (it)^{r}{\hat {\psi }}(t)}$ ${\displaystyle (-1)^{r}[D^{r}\psi ](-x)}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle -x}$

${\displaystyle f(x)=\exp \left[\sum _{r=1}^{\infty }(\kappa _{r}-\gamma _{r}){\frac {(-D)^{r}}{r!}}\right]\psi (x)\,.}$

ψを正規密度として選択した 場合

${\displaystyle \phi (x)={\frac {1}{{\sqrt {2\pi }}\sigma }}\exp \left[-{\frac {(x-\mu )^{2}}{2\sigma ^{2}}}\right]}$

平均と分散がfで与えられ、つまり平均と分散が与えられている場合、展開は次のようになる。 ${\displaystyle \mu =\kappa _{1}}$ ${\displaystyle \sigma ^{2}=\kappa _{2}}$

${\displaystyle f(x)=\exp \left[\sum _{r=3}^{\infty }\kappa _{r}{\frac {(-D)^{r}}{r!}}\right]\phi (x),}$

なぜなら、 正規分布の高次キュムラントは0であるので、すべてのr > 2に対して、指数関数を展開し、導関数の順序に従って項をまとめると、グラム・シャルリエA級数が得られる。このような展開は、ベル多項式を用いて簡潔に次のよう に表すことができる。 ${\displaystyle \gamma _{r}=0}$

${\displaystyle \exp \left[\sum _{r=3}^{\infty }\kappa _{r}{\frac {(-D)^{r}}{r!}}\right]=\sum _{n=0}^{\infty }B_{n}(0,0,\kappa _{3},\ldots ,\kappa _{n}){\frac {(-D)^{n}}{n!}}.}$

ガウス関数のn次導関数はエルミート多項式で次のように表されるので、 ${\displaystyle \phi }$

${\displaystyle \phi ^{(n)}(x)={\frac {(-1)^{n}}{\sigma ^{n}}}He_{n}\left({\frac {x-\mu }{\sigma }}\right)\phi (x),}$

これにより、グラム・シャルリエA級数の最終的な表現は次のようになる。

${\displaystyle f(x)=\phi (x)\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{n!\sigma ^{n}}}B_{n}(0,0,\kappa _{3},\ldots ,\kappa _{n})He_{n}\left({\frac {x-\mu }{\sigma }}\right).}$

この級数を積分すると累積分布関数が得られる。

${\displaystyle F(x)=\int _{-\infty }^{x}f(u)du=\Phi (x)-\phi (x)\sum _{n=3}^{\infty }{\frac {1}{n!\sigma ^{n-1}}}B_{n}(0,0,\kappa _{3},\ldots ,\kappa _{n})He_{n-1}\left({\frac {x-\mu }{\sigma }}\right),}$

ここで、正規分布の CDF です。 ${\displaystyle \Phi }$

正規分布に最初の2つの補正項のみを含めると、次の式が得られます。

${\displaystyle f(x)\approx {\frac {1}{{\sqrt {2\pi }}\sigma }}\exp \left[-{\frac {(x-\mu )^{2}}{2\sigma ^{2}}}\right]\left[1+{\frac {\kappa _{3}}{3!\sigma ^{3}}}He_{3}\left({\frac {x-\mu }{\sigma }}\right)+{\frac {\kappa _{4}}{4!\sigma ^{4}}}He_{4}\left({\frac {x-\mu }{\sigma }}\right)\right]\,,}$

およびと。 ${\displaystyle He_{3}(x)=x^{3}-3x}$ ${\displaystyle He_{4}(x)=x^{4}-6x^{2}+3}$

この式は正であることが保証されていないため、有効な確率分布ではないことに注意してください。グラム・シャルリエA級数は多くの興味深いケースで発散します。収束するのは、無限大よりも速く減少する場合のみです（Cramér 1957）。収束しない場合は、展開の誤差を推定できないため、級数は真の漸近展開ではありません。このため、一般にグラム・シャルリエA級数よりもエッジワース級数（次のセクションを参照）が好まれます。 ${\displaystyle f(x)}$ ${\displaystyle \exp(-(x^{2})/4)}$

エッジワースシリーズ

エッジワースは中心極限定理の改良として同様の展開を展開した。^[4]エッジワース級数の利点は誤差が制御されており、真の漸近展開となることである。

有限の平均と分散を持つ独立かつ同一に分布する確率変数のシーケンスを とし、それらの標準化された合計を とします。 ${\displaystyle \{Z_{i}\}}$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle \sigma ^{2}}$ ${\displaystyle X_{n}}$

${\displaystyle X_{n}={\frac {1}{\sqrt {n}}}\sum _{i=1}^{n}{\frac {Z_{i}-\mu }{\sigma }}.}$

変数の累積分布関数を とすると、中心極限定理により、 ${\displaystyle F_{n}}$ ${\displaystyle X_{n}}$

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }F_{n}(x)=\Phi (x)\equiv \int _{-\infty }^{x}{\tfrac {1}{\sqrt {2\pi }}}e^{-{\frac {1}{2}}q^{2}}dq}$

平均と分散が有限である限り、すべての に対して成り立ちます。 ${\displaystyle x}$

の標準化により、 の最初の2つのキュムラントが および であることが保証されます。ここで、平均と分散に加えて、iid確率変数はより高いキュムラント を持つと仮定します。キュムラントの加法性と同次性から、のキュムラントに関してのキュムラントはに対して、 ${\displaystyle \{Z_{i}\}}$ ${\displaystyle X_{n}}$ ${\displaystyle \kappa _{1}^{F_{n}}=0}$ ${\displaystyle \kappa _{2}^{F_{n}}=1.}$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle \sigma ^{2}}$ ${\displaystyle Z_{i}}$ ${\displaystyle \kappa _{r}}$ ${\displaystyle X_{n}}$ ${\displaystyle Z_{i}}$ ${\displaystyle r\geq 2}$

${\displaystyle \kappa _{r}^{F_{n}}={\frac {n\kappa _{r}}{\sigma ^{r}n^{r/2}}}={\frac {\lambda _{r}}{n^{r/2-1}}}\quad \mathrm {where} \quad \lambda _{r}={\frac {\kappa _{r}}{\sigma ^{r}}}.}$

の特性関数の形式表現を標準正規分布で展開すると、つまり ${\displaystyle {\hat {f}}_{n}(t)}$ ${\displaystyle F_{n}}$

${\displaystyle \phi (x)={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\exp(-{\tfrac {1}{2}}x^{2}),}$

すると、展開におけるキュムラント差は

${\displaystyle \kappa _{1}^{F_{n}}-\gamma _{1}=0,}$

${\displaystyle \kappa _{2}^{F_{n}}-\gamma _{2}=0,}$

${\displaystyle \kappa _{r}^{F_{n}}-\gamma _{r}={\frac {\lambda _{r}}{n^{r/2-1}}};\qquad r\geq 3.}$

の密度関数のグラム・シャルリエA級数は、 ${\displaystyle X_{n}}$

${\displaystyle f_{n}(x)=\phi (x)\sum _{r=0}^{\infty }{\frac {1}{r!}}B_{r}\left(0,0,{\frac {\lambda _{3}}{n^{1/2}}},\ldots ,{\frac {\lambda _{r}}{n^{r/2-1}}}\right)He_{r}(x).}$

エッジワース級数はグラム・シャルリエA級数と同様に展開されるが、項が のべき乗に従ってまとめられる点が異なる。n − ^{m /2}項の係数は、mの整数分割に対応するベル多項式の単項式をまとめることで得られる。したがって、特性関数は次のように表される^。 ${\displaystyle n}$

${\displaystyle {\hat {f}}_{n}(t)=\left[1+\sum _{j=1}^{\infty }{\frac {P_{j}(it)}{n^{j/2}}}\right]\exp(-t^{2}/2)\,,}$

ここでは次数の多項式である。また、逆フーリエ変換を行うと、密度関数は次のようになる。 ${\displaystyle P_{j}(x)}$ ${\displaystyle 3j}$ ${\displaystyle f_{n}}$

${\displaystyle f_{n}(x)=\phi (x)+\sum _{j=1}^{\infty }{\frac {P_{j}(-D)}{n^{j/2}}}\phi (x)\,.}$

同様に級数を積分すると分布関数が得られる。

${\displaystyle F_{n}(x)=\Phi (x)+\sum _{j=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{j/2}}}{\frac {P_{j}(-D)}{D}}\phi (x)\,.}$

この多項式は次のように 明示的に書くことができる。 ${\displaystyle P_{m}(-D)}$

${\displaystyle P_{m}(-D)=\sum \prod _{i}{\frac {1}{k_{i}!}}\left({\frac {\lambda _{l_{i}}}{l_{i}!}}\right)^{k_{i}}(-D)^{s},}$

ここで、和は、およびとなるmのすべての整数分割にわたっている。 ${\displaystyle \sum _{i}ik_{i}=m}$ ${\displaystyle l_{i}=i+2}$ ${\displaystyle s=\sum _{i}k_{i}l_{i}.}$

たとえば、m = 3 の場合、この数を分割する方法は 3 つあります: 1 + 1 + 1 = 2 + 1 = 3。したがって、次の 3 つのケースを検討する必要があります。

• 1 + 1 + 1 = 1 · k ₁なので、k ₁ = 3、 l ₁ = 3、s = 9 となります。
• 1 + 2 = 1 · k ₁ + 2 · k ₂なので、k ₁ = 1、k ₂ = 1、 l ₁ = 3、l ₂ = 4、s = 7 となります。
• 3 = 3 · k ₃なので、k ₃ = 1、 l ₃ = 5、s = 5 となります。

したがって、必要な多項式は

${\displaystyle {\begin{aligned}P_{3}(-D)&={\frac {1}{3!}}\left({\frac {\lambda _{3}}{3!}}\right)^{3}(-D)^{9}+{\frac {1}{1!1!}}\left({\frac {\lambda _{3}}{3!}}\right)\left({\frac {\lambda _{4}}{4!}}\right)(-D)^{7}+{\frac {1}{1!}}\left({\frac {\lambda _{5}}{5!}}\right)(-D)^{5}\\&={\frac {\lambda _{3}^{3}}{1296}}(-D)^{9}+{\frac {\lambda _{3}\lambda _{4}}{144}}(-D)^{7}+{\frac {\lambda _{5}}{120}}(-D)^{5}.\end{aligned}}}$

展開の最初の5つの項は^[5]

${\displaystyle {\begin{aligned}f_{n}(x)&=\phi (x)\\&\quad -n^{-{\frac {1}{2}}}\left({\tfrac {1}{6}}\lambda _{3}\,\phi ^{(3)}(x)\right)\\&\quad +n^{-1}\left({\tfrac {1}{24}}\lambda _{4}\,\phi ^{(4)}(x)+{\tfrac {1}{72}}\lambda _{3}^{2}\,\phi ^{(6)}(x)\right)\\&\quad -n^{-{\frac {3}{2}}}\left({\tfrac {1}{120}}\lambda _{5}\,\phi ^{(5)}(x)+{\tfrac {1}{144}}\lambda _{3}\lambda _{4}\,\phi ^{(7)}(x)+{\tfrac {1}{1296}}\lambda _{3}^{3}\,\phi ^{(9)}(x)\right)\\&\quad +n^{-2}\left({\tfrac {1}{720}}\lambda _{6}\,\phi ^{(6)}(x)+\left({\tfrac {1}{1152}}\lambda _{4}^{2}+{\tfrac {1}{720}}\lambda _{3}\lambda _{5}\right)\phi ^{(8)}(x)+{\tfrac {1}{1728}}\lambda _{3}^{2}\lambda _{4}\,\phi ^{(10)}(x)+{\tfrac {1}{31104}}\lambda _{3}^{4}\,\phi ^{(12)}(x)\right)\\&\quad +O\left(n^{-{\frac {5}{2}}}\right).\end{aligned}}}$

ここで、φ ^{( j )} ( x )は点xにおけるφ(·)のj次導関数である。正規分布の密度の導関数は正規分布の密度と（はn次エルミート多項式）の関係にあることを思い出すと、密度関数を用いた代替表現が説明される。BlinnikovとMoessner (1998)は、展開の高次項を計算するための簡単なアルゴリズムを与えている。 ${\displaystyle \phi ^{(n)}(x)=(-1)^{n}He_{n}(x)\phi (x)}$ ${\displaystyle He_{n}}$

格子分布（離散値を持つ）の場合、エッジワース展開は格子点間の不連続なジャンプを考慮して調整する必要があることに注意する必要がある。^[6]

図: 3つのχ²分布の標本平均の密度

3つのカイ2乗変数の標本平均の密度。このグラフは、真の密度、正規近似、および2つのエッジワース展開を比較しています。

サンプル平均を取得します 。 ${\displaystyle X_{i}\sim \chi ^{2}(k=2),\,i=1,2,3\,(n=3)}$ ${\displaystyle {\bar {X}}={\frac {1}{3}}\sum _{i=1}^{3}X_{i}}$

にはいくつかの分布を使用できます。 ${\displaystyle {\bar {X}}}$

• ガンマ分布に従う正確な分布: 。 ${\displaystyle {\bar {X}}\sim \mathrm {Gamma} \left(\alpha =n\cdot k/2,\theta =2/n\right)=\mathrm {Gamma} \left(\alpha =3,\theta =2/3\right)}$
• 漸近正規分布: 。 ${\displaystyle {\bar {X}}{\xrightarrow {n\to \infty }}N(k,2\cdot k/n)=N(2,4/3)}$
• 2 次と 3 次の 2 つのエッジワース展開。

結果の議論

• 有限サンプルの場合、いくつかのポイントでの CDF 値が を超える可能性があるため、エッジワース展開が適切な確率分布になることは保証されません。 ${\displaystyle [0,1]}$
• これらは（漸近的に）絶対誤差を保証しますが、残りの部分のエッジワース項を全体のエッジワース項と比較することで相対誤差を簡単に評価できます。^[2]

参照

• コーニッシュ・フィッシャー拡大
• エッジワース二項木

参考文献

1. Stuart, A., & Kendall, MG (1968). 『統計学の先端理論』Hafner Publishing Company.
2. Kolassa, John E. (2006).統計における級数近似法（第3版）. Springer. ISBN 0387322272。
3. Wallace, DL (1958). 「分布の漸近近似」. Annals of Mathematical Statistics . 29 (3): 635– 654. doi : 10.1214/aoms/1177706528 . JSTOR  2237255.
4. Hall, P. (2013). ブートストラップとエッジワース展開. Springer Science & Business Media.
5. Weisstein, Eric W.「エッジワース級数」. MathWorld .
6. コラッサ、ジョン E.ピーター・マッカラ (1990)。 「格子分布用のエッジワースシリーズ」。統計年報。18 (2): 981–985。土井: 10.1214/aos/1176347637。JSTOR  2242145。

さらに読む

• 「エッジワース級数」、数学百科事典、EMSプレス、2001 [1994]
• Blinnikov, S.; Moessner, R. (1998). 「ほぼガウス分布の展開」(PDF) .天文学と天体物理学補足シリーズ. 130 : 193–205 . arXiv : astro-ph/9711239 . Bibcode :1998A&AS..130..193B. doi :10.1051/aas:1998221.
• コックス, DR ;バーンドルフ＝ニールセン, OE (1989). 『統計学における漸近的手法』ロンドン: チャップマン・アンド・ホール.
• Cramér, H. (1957). 『統計の数学的手法』 プリンストン：プリンストン大学出版局.
• ホール、P. (1992). 『ブートストラップ展開とエッジワース展開』 ニューヨーク: シュプリンガー.
• ケンドール, M.; スチュアート, A. (1977). 『統計学の先端理論』 第1巻 分布理論（第4版）. ニューヨーク: マクミラン.
• Kolassa, JE (2006).シリーズ 統計学における近似法. 統計学講義ノート. 第88巻（第3版）. ニューヨーク: Springer.
• マーティン、ダグラス；アローラ、ロヒット（2017）「修正バリュー・アット・リスクと期待ショートフォールの非効率性とバイアス」『ジャーナル・オブ・リスク』19（6）：59-84 . doi：10.21314/JOR.2017.365.
• McCullagh, P. (1987). 『テンソル法による統計学』ロンドン: Chapman and Hall.
• Tan, WY (1980). 「多変量分布の近似について」. Gupta, RP (編).多変量統計解析. North-Holland. pp.  237– 249. ISBN 0-444-86019-3。
• ウォレス, DL (1958). 「分布の漸近近似」.数理統計年報. 29 (3): 635– 654. doi : 10.1214/aoms/1177706528 .

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